Методика расчета промерзания оснований зимних лесовозных дорог Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 625.711.84+625.31

А. С. Миляев,

доктор технических наук, профессор ftacademy@hom.ru

Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПРОМЕРЗАНИЯ ОСНОВАНИЙ ЗИМНИХ ЛЕСОВОЗНЫХ ДОРОГ

Промерзание, биогенный грунт, основание зимних дорог, уравнение теплопроводности, численное решение.

Freezing process, biogenous ground, winter road, heat conduction equation, numerical solution.

При проектировании зимних лесовозных дорог необходимо располагать информацией о распределении температуры по глубине естественного основания. Эта информация позволяет определить толщину мерзлого слоя грунта и выполнить прочностные расчеты дорожной конструкции [1].

Далее приводится методика расчета промерзания биогенного грунта естественного основания зимней лесовозной дороги. Методика расчета построена на числовом примере.

Постановка задачи. Рассматривается промерзание в течение пяти суток слоя биогенного грунта толщиной 1,5 м, служащего естественным основанием зимней лесовозной дороги. Относительная влажность грунта Жгр в долях плотности скелета грунта равна двум. Слой биогенного грунта подстилается термически активным массивом, в котором, благодаря жизнедеятельности микроорганизмов, поддерживается положительная температура [2]. Грунт покрыт свежевыпавшим снегом толщиной 0,1 м.

Температура воздуха изменяется по закону

Tair = а + bt + c • sin(®t), (1)

где а, b, c, ю - постоянные величины: а = -5 °C, b = -2,315 • 10-5 °C/c, c = -5 °C, ю = 7,272 • 10-5 рад/c.

График зависимости (1) представлен на рис. 1.

Ттг, град

Рис. 1. Температура воздуха над поверхностью снежного покрова

Прочность мерзлого слоя биогенного грунта обеспечивается за счет замерзания капельно-жидкой воды в порах грунта. При этом происходит выделение скрытой теплоты кристаллизации Qw = 3,35-105 Дж/кг.

В соответствии со СНиП [3] теплота замерзания грунта Qгp, Дж/м , принимается равной количеству теплоты, необходимой для замерзания воды в единице объема грунта, и определяется по формуле

Qгp = Qw(Wгp - Жт)ря , (2)

где Жгр - суммарная влажность грунта, доли единицы; Жт - влажность мерзлого грунта между включениями льда, доли единицы; р5 - плотность скелета грунта, кг/ м .

Математическая формулировка задачи. Распространение теплоты в слоях воздуха, снега и биогенного грунта подчиняется уравнению теплопроводности [4]:

дИ Г ддх + дд} ^

дх ду

+ Чу, (3)

3

где Н - энтальпия, Дж/м ; qx , ду - тепловые потоки в направлении осей х, у, Вт/м2 ; qV - мощность внутренних источников энергии, Вт/м3; ? - время,

с. По закону Фурье qx = -1 х —, где Хх - теплопроводность в направлении

Эх

оси х, Вт/м • °С; Т - температура, °С.

После подстановки qx, qy в уравнение (3) оно получает вид

ЭН Э Л ЭТ А Э Л ЭТЛ

Э? Эх

1

Эх

+ ■

Эу 11у Эу

+ а

V •

Приращение энтальпии определяется выражением

Т

Н = £ рС (Т )йТ,

(4)

(5)

где Ть , Т - начальное и текущее значения температуры; р - плотность тела, кг/м ; С - теплоемкость, Дж/кг • °С.

Ограничиваясь постоянным р и кусочно-линейной зависимостью С от температуры, как показано на рис. 2, энтальпию можно представить кусочно-линейной зависимостью

Н = (рЙ )к £ йТ, к = 1, 2,

(6)

Сгр, Дж/(кг- град) 10000

9500

9200

8800

8400

8000

7600

7200

6800 -20

-16

, Л

Сгр

1

Сгр, рг 1 1

-12

-8

-4

8 Тгр, град

Рис. 2. Зависимость теплоемкости грунта от температуры Теплоемкости мерзлого и талого грунта: Сгр, рг = 6,82 • 10 Дж/(кг • °С); Сгр, л = 9,45 • 103 Дж/(кг • °С)

Т

ь

ь

0

4

Уравнение (4) с учетом (6) принимает вид

(сС )

ЭТ—_Э_

Э? Эх

1

эт

Эх

+ ■

Э

1

эт

ду I у Эу

+ ду, к — 1,2,

(7)

3

Принимая плотность биогенного грунта равной 400 кг/м и используя указанные числовые значения теплоемкостей мерзлого и талого грунта, получаем зависимость энтальпии грунта Нгр от температуры (рис. 3).

Нтр, Дж/м

4 • 108

3,6 • 108

3,2 • 108

2.8 • 108

2.4 • 108

2 • 108

1,6 • 108

1,2 • 108

0,8 • 108

0,4 • 108

-20 -16

-12

-8

-4

8 Тгр, град

Рис. 3. Зависимость энтальпии грунта от температуры Энтальпия мерзлого и талого грунта: Нгр, р. = 38,2 • 106 Дж/м3; Нгр, л = 306,2 • 106 Дж/м3

В правой части уравнения (7) теплопроводность в направлении осей х, у также зависит от температуры. Эта зависимость представлена на рис. 4.

0

0

4

Kf, Вт 2,12

2,0

1,875

1,75

1,625

1,5

1,375

1,25

1,125

1,0

0,875

-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 Tro, град

Рис. 4. Зависимость теплопроводности грунта от температуры

Теплопроводности мерзлого и талого грунта: Хгр, fr = 38,2 • 106 Вт/м • °С;

Хгр, h = 306,2 • 106 Вт/м • °С

Воздух, снег и грунт являются составными частями плоской закрытой термодинамической системы, на двух границах которой приложена температура, а две другие границы теплоизолированы. Направим ось x вглубь основания, а ось y - поперек трассы дороги. Вырежем из основания прямоугольник длиной lx и шириной ly, как показано на рис. 5, где hair, hsnw, hfnd -толщины слоев воздуха, снега и грунта соответственно. Внутренних источников энергии в системе нет (qV = 0), однако в слое биогенного грунта при замерзании поровой воды выделяется теплота кристаллизации Qгр, которую необходимо учесть в расчете. Примем, что теплота кристаллизации Qrp выделяется в интервале температур от 0 до -1 °С.

Начальные условия: при t = 0 в слое снега температура T = -2 °C, в грунте T = 0,5 °C.

град

----- I I ^гр, fr !

|

(

| ^гр, th

У

-А >

ч

со О М

<а Я

и

П/пс1

Основание

т

1у

А.

Рис. 5. Термодинамическая система

И

х

0

I

х

Граничные условия: на прямой х = 0 температура Т = Т^) (см. формулу (1) и график на рис. 1); на прямой х = 1х температура Т = 2 °С; на прямых у = 0 и у = 1у тепловые потоки ду = 0.

Требуется найти толщину мерзлого слоя грунта при t = 120 ч.

Метод решения задачи. Используем численный метод конечных элементов, шаговое по времени решение и итерационную процедуру приближения на каждом шаге решения.

Для обеспечения устойчивости решения шаг по времени Лt и максимальный размер сетки узлов конечных элементов ЛИ должны отвечать критерию [5]

£ 1, (8)

С (ЛИ)2 2

где X - теплопроводность и С - теплоемкость тел, входящих в термодинамическую систему, причем теплоемкость С в выражении (8) имеет размерность Дж/м • °С.

Используя теплоемкость с размерностью Дж/кг • °С, критерий (8) переписываем в виде

£ 1, (9)

рС(ЛИ)2 2

з

где р - плотность тела, кг/м

Конечно-элементная модель характеризуется следующими входными данными.

Длина модели 1х = 1,61 м, ширина 1у = 0,02 м.

Параметры воздуха: плотность раГ = 1,29 кг/м ; теплопроводность Гка1г =

_'у -5

= 2,44 • 10 Вт/м • °С; теплоемкость СаГ = 1 • 10 Дж/кг • °С; толщина слоя воздуха Ишг = 0,01 м.

Параметры снега: плотность psnw = 200 кг/м ; теплопроводность

3

Knw = 0,1 Вт/м • °С; теплоемкость Csnw = 2,09 • 10 Дж/кг • °C; толщина слоя снега hsnw = 0,1 м.

Параметры биогенного грунта: плотность ргр = 400 кг/м ; теплопроводность талого грунта Хгр, th = 0,93 Вт/м • °С; теплоемкость талого грунта Сгр, th = 9,45 • 10 Дж/кг • °C; теплопроводность мерзлого грунта ^гр,fr = 1,99 Вт/м • °С; теплоемкость мерзлого грунта Сгр,fr = 6,82 • 10 Дж/кг • °С; толщина слоя грунта hfnd = 1,5 м.

Г120, град 2

-0,3

-1,4

-3,1

-4,8

-6,5

-8,2

-9,9

-11,6

-13,3

-15

0 0,161 0,322 0,483 0,644 0,805 0,966 1,127 1,288 1,449 х, м Рис. 6. Распределение температуры в конечно-элементной модели

Шаг сетки узлов принимаем равным 0,01 м: Ah = 0,01 м; шаг по времени согласно критерию (8) получается равным: для снега Atsnw = 20 с, для талого грунта At^, th = 200 с, для мерзлого грунта At^, fr = 68 с.

Выбираем среднее значение шага по времени Atavr = 100 с, минимальное - Atmin = 20 с.

Точность решения на каждом шаге по времени контролируем с помощью итерационной процедуры по двум показателям: по стабилизации количества тепла, протекающего через конечный элемент и по стабилизации температуры.

Результаты решения задачи. В результате решения задачи на каждом шаге по времени получаются значения температуры в узлах конечных элементов. Поскольку в данном случае необходимо получить распределение температуры в слое снега и грунта по прошествии 120 ч изменения температуры воздуха согласно уравнению (1), в файл выходных данных записываем результаты расчета только на последнем шаге по времени Т120 и строим соответствующий график зависимости температуры Т120 от координаты х в узлах на прямой у = 0,01 м. Этот график представлен на рис. 6. Кружком на графике отмечена точка, расположенная на нижней границе промерзания модели. При этом принято, что биогенный грунт замерзает при температуре, равной -0,1 °С. Так как модель включает в себя слой воздуха толщиной 0,01 м и слой снега толщиной 0,1 м, то толщина мерзлого грунта составляет всего лишь 0,12 м.

Заключение и выводы. Разработана методика расчета процесса промерзания грунта естественного основания зимних лесовозных дорог, в которой учитываются фактические (не усредненные за предыдущие годы) метеорологические данные в текущий период времени. Ее можно использовать при проектировании для решения теплотехнических задач, в частности для определения толщины мерзлого слоя грунта с учетом суточного изменения температуры воздуха в любой момент времени после наступления холодной погоды, что необходимо как для проектирования зимней дороги, так и для определения сроков начала эксплуатации существующей дороги. Методика базируется на численном решении нестационарного нелинейного уравнения теплопроводности, в котором теплоемкость, энтальпия и теплопроводность зависят от температуры.

Приведенный пример расчета промерзания биогенного грунта естественного основания зимней дороги показывает, что тепло, выделяемое термически активным массивом, подстилающим основание, сильно замедляет процесс промерзания.

Библиографический список

1. Миляев, А. С. Автоматизированный расчет конструкций зимних лесовозных [Текст] : учеб. пособие / А. С. Миляев. - СПб., 2006. - 303 с.

2. Румянцев, В. А. Биотеплофизика замерзания мелководного озера [Текст] / В. А. Румянцев, С. М. Шишкаев // ДАН. 1996. Т. 347, № 1. - С. 106-108.

3. СНиП 2.02.04-88. Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах / Госстрой России. - М.: ГУП ЦПП, 2000. - 52 с.

4. Исаченко, В. П. Теплопередача [Текст] / В. П. Исаченко, В. А. Осипова, А. С. Сукомел. - М.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.

5. Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач [Текст] / Р. Рихтмайер, К. Мортон. - М.: Мир, 1972. - 418 с.

Построена и обоснована методика расчета процесса промерзания биогенного грунта естественного основания зимних дорог, которую можно применять при проектировании для решения теплотехнических задач.

Методика базируется на численном решении нестационарного нелинейного уравнения теплопроводности, в котором теплоемкость, энтальпия и теплопроводность зависят от температуры и испытывают резкий скачок при замерзании поровой воды в грунте.

* * *

The technique of account of a freezing process of the natural basis ground of winter roads, which can be applied for want of designing to a solution of thermal problems, is constructed and justified. The technique bases on a numerical solution of a non-stationary nonlinear heat conduction equation, in which thermal capacity, enthalpy and thermal conduction depend on temperature and test a sharp saltus for want of freezing the pore water in a ground.