CC BY
148
УДК 332.871:005.591.6(075.8) МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА РАЗМЕРА УЩЕРБА ПРИ ПРЕВЫШЕНИИ ЗНАЧЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНО ДОПУСТИМОЙ МАССЫ
ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА
Р.И. Дворниченко1, А.Д. Пятикоп2
Балтийский федеральный университет им. И. Канта (БФУ им. И. Канта),
236041, г. Калининград, А.Невского ул. д. 14
Представлена методика применения математической экстраполяции, которая позволяет определять размер ущерба при превышении значения предельно допустимой массы транспортного средства.
Ключевые слова: экстраполяция, транспортное средство, корреляция, статистический анализ, аппроксимирующая функция.
TECHNIQUE OF APPLICATION OF MATHEMATICAL EXTRAPOLATION FOR CALCULATION OF THE EXTENT OF HARM AT EXCESS OF VALUE OF MAXIMUM PERMISSIBLE WEIGHT OF THE VEHICLE
R.I. Dvornichenko, A.D. Piatikop
I.Kant Baltik Federal University (I.Kant BFU), 236041, Kaliningrad, street A. Nevskogo, 14
The methods of application of mathematical extrapolation, with the help of which we define the extent of the damage in excess of the maximum permissible mass of the vehicle.
Keywords: extrapolation, means of transport, correlation, statistical analysis, approximating function.
Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами (ТС), осуществляющими перевозки тяжеловесных грузов, при движении по автомобильным дорогам общего пользования регионального или межмуниципального значения Калининградской области, однозначно определяется по специальным таблицам [1].
Если превышение массы ТС столь велико, что уровень соответствующего ущерба не прописан в таблице явно, то необходимо применить метод математической экстраполяции [3 - 5].
Рассмотрим исходную таблицу 1. Она задаёт функцию f0 (рис. 1) - зависимость размера ущерба от превышения предельно допустимой массы транспортного средства в диапазоне от 0 до 50-ти тонн. Чтобы продлить эту функцию далее за границу в 50 тонн, необходимо построить новую функцию f, аппроксимирующую f на интервале от 0 до 50-ти.
Для построения аппроксимации использован метод наименьших квадратов [2]. В результате расчётов в качестве аппроксимирующей функции f был получен полином второй степени
fx) = 1,086x2 + 12,094х+204,807.
График функции f изображён на рисунке
2. Как видно из графика полученная функция не только хорошо коррелирует с исходными данными на интервале от 0 до 50-ти тонн, но и
вполне корректно продлевает зависимость далее.
Таблица 1. Показатели размера ущерба при превышении значения предельно допустимой массы транспортного средства [1]
№ Превышение предельно допустимой массы транспортного средства (тонн) Размер ущерба (рублей на 100 км)
1 До 5 240
2 Свыше 5 до 7 285
3 Свыше 7 до 10 395
4 Свыше 10 до 15 550
5 Свыше 15 до 20 760
6 Свыше 29 до 25 1035
7 Свыше 25 до 30 1365
8 Свыше 30 до 35 1730
9 Свыше 35 до 40 2155
10 Свыше 40 до 45 2670
11 Свыше 45 до 50 3255
Статистический анализ аппроксимирующей функции показывает что:
-максимальное абсолютное отклонение функции в контрольных точках не превышает
значения в 31 рубль.
3500
г 3000
Ь 2500
>2000
5.
I 1500 | 1000 ' 500
10
50
60
20 30 40
Превышение массы (тонн)
Рисунок 1. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения массы ТС
9000 8000 5 7000 £ 6000 | 5000 “ 4000 5 3000 2. 2000 ^ 1000 о
и
20
70
30 40 50
Превышение массы (тонн)
Рисунок 2. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения массы ТС
Аналогичные расчёты по такой же схеме были проведены для вычисления ущерба ТС при превышении предельно допустимой нагрузки на ось.
Таблица 2. Показатели размера ущерба при превышении значений предельно допустимых нагрузок на каждую ось транспортного средства
№ Превышение предельно допустимых осевых нагрузок на ось транспортного средства (процентов) Размер ущерба для транспортных средств, не оборудованных пневматической или эквивалентной подвеской (рублей на 100 км) Размер ущерба для транспортных средств, оборудованных пневматической или эквивалентной подвеской (рублей на Размер ущерба в период временных ограничений в связи с не благоприятными природно -климатическими условиями (рублей на 100 км)
1 До 10 925 785 5260
2 От 10 до 20 1120 950 7710
3 От 20 до 30 2000 1700 10960
4 От 30 до 40 3125 2660 15190
5 От 40 до 50 4105 3490 21260
6 От 50 до 60 5215 4430 27330
В результате вычислений в качестве аппроксимирующих функций получены три полинома второй степени:
/і(х)=0,888 х 2+36,782 х +586,201.
/2(х)=0,749 х 2+31,639 х +493,969.
/3(х)=5,246 х 2+128,729 х +4504,482.
Графики этих функций представлены на рисунках 3 - 5.
Максимальное абсолютное отклонение ущерба в контрольных точках не превышает значений 218, 187 и 338 рублей для первой, второй и третьей функций соответственно. Максимальные относительные отклонения в контрольных точках составляют 19,4%, 19,7% и 1,6% (при превышении нагрузки более чем на 20% максимальное относительное отклонение не превосходит 5% для всех трёх функций). Среднеквадратические отклонения составляют 133; 114,5 и 183 рубля соответственно.
Рисунок 3. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения осевых нагрузок ТС
Рисунок 4. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения осевых нагрузок ТС
Показатели размера ущерба, соответствующие приведенным выше функциям, приведены в таблицах 3, 4.
Расчёт размера ущерба при превышении значения предельно допустимой массы транспортного средства свыше 50 тонн :
Все вычисления производились в программе Mathcad 2001 Professional по следующему алгоритму.
1. Задаём набор контрольных точек для построения аппроксимирующей функции f(x) методом наименьших квадратов.
/ 1.086 N х = I 12.094 I.
\204.807/
Таблица 3. Показатели размера ущерба при превышении значения предельно допустимой массы транспортного средства, полученные методом математической экстраполяции
Table=
0 1
0 2,5 240
1 6,0 285
2 8,5 397
3 12,5 550
4 17,5 760
5 22,5 1035
6 27,5 1365
7 32,5 1730
8 37,5 2155
9 42,5 2670
10 47,5 3255
Table =:
^2.5 6 12.517.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5^ ' V240 285 550 760 1035 1365 1730 2155 2670 3255/
2. Задаём ряд констант: М - количество контрольных точек; N - количество базовых функций (х2; х; 1}; I, у - целые индексы в диапазоне от 0 до 2.
М := 11; N = 3; ¿:=0..Л-1; ; =
0.. N — 1; д(х) = ^х|
Превышение предельно допустимых нагрузок на ось транспортов) средства,%
Рисунок 5. Размер ущерба, причиняемого транспортными средствами от превышения осевых нагрузок ТС
3. Строим матрицу системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для минимизации суммы квадратов отклонений искомой функции от контрольных точек
Ли = ^"“о^СГаЫе^о). • д(ТаЫек,0)..
4. Задаем правую часть СЛАУ.
в; = д(ТаЬ1ек,0). • ТаЫекл.
5. Решаем полученную СЛАУ: х:= А~г • В;
Xi Превышение предельно допустимой массы транспортного средства (тонн) Размер ущерба (рублей на 100 км)
52,5 Свыше 50 до 55 3833
57,5 Свыше 55 до 60 4491
62,5 Свыше 60 до 65 5203
67,5 Свыше 65 до 70 5969
72,5 Свыше 70 до 75 6790
77,5 Свыше 75 до 80 7665
82,5 Свыше 80 до 85 8594
87,5 Свыше 85 до 90 9578
92,5 Свыше 90 до 95 10616
97,5 Свыше 95 до 100 11708
102,5 Свыше 100 до 105 12854
107,5 Свыше 105 до НО 14055
112,5 Свыше 110 до 115 15310
117,5 Свыше 115 до 120 16619
122,5 Свыше 120 до 125 17983
127,5 Свыше 125 до 130 19401
132,5 Свыше 130 до 135 20873
137,5 Свыше 135 до 140 22400
142,5 Свыше 140 до 145 23981
147,5 Свыше 145 до 150 25616
Таблица 4. Показатели размера ущерба при превышении значений предельно допустимых осевых нагрузок на каждую ось транспортного средства, полученные методом математической экст-__________________раполяции___________________
Хт Превышение предельно допустимых осевых нагрузок на ось транспортного средства (процентов) размер ущерба для транспортных средств, не оборудованных пневматической или эквивалентной подвеской (рублей на 100 км) Размер ущерба для транспортных средств, оборудованных пневматической или эквивалентной подвеской (рублей на 100 км) Размер ущерба в период временных ограничений в связи с неблагоприятными природно климатическими условиями (рублей на 100 км)
65 От 60 до 70 6729 5715 35036
75 От 70 до 80 8340 7080 43668
85 От 80 до 90 10128 8595 53349
95 От 90 до 100 12095 10259 64079
105 От 100 до ПО 14239 12074 75858
115 От ПОдо 120 16560 14038 88687
125 От 120 до 130 19059 16152 102564
135 От ПОдо 140 21736 18416 117491
145 От 140 до 150 24590 20829 133467
155 От 150 до 160 27622 23393 150493
165 От 160 до 170 30831 26106 168567
175 От ПОдо 180 34218 28969 187691
185 От 180 до 190 37783 31982 207864
195 От 190 до 200 41525 35144 229086
6. Функция принимает вид:
/(х) = 1.086х2 + 12.094х + 204,807
Bk,i = 'Zf=01g(Tablej,0)i • Tablejik+1;
Расчёт размера ущерба при превышении значений предельно допустимых осевых нагрузок на каждую ось транспортного средства свыше 60 процентов.
Исходные данные по размеру ущерба для транспортных средств, оборудованных и необорудованных пневматической или эквивалентной подвеской, а также размер ущерба в период временных ограничений были сведены в общую таблицу и обработаны в программе Mathcad 2001 Professional по следующему алгоритму.
1. Задаём сводную таблицу по размеру ущерба, таким образом, что в первом столбце записываем превышение предельно допустимых осевых нагрузок в процентах, а в следующих трёх столбцах записываем последовательно размер ущерба: для ТС без пневматической подвески, для ТС оборудованных пневматической подвеской и для всех ТС в период временных ограничений.
0 1 2 3
0 5 925 785 5260
1 15 1120 950 7710
2 25 2000 1700 10960
3 35 3125 2660 15190
4 45 4105 3490 21260
5 55 5215 4430 27330
2. Задаём ряд констант:
М - количество контрольных точек; N - количество базовых функций {х2;х;1}; К - количество искомых функций; г, у, к - целые индексы.
М := 6;
N := 3;
К := 3; г = 0..^ — 1;
;:= 0..К- 1; к = 0..К-1; д(х) = (1хх2Г
3. Строим матрицу системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для минимизации суммы квадратов отклонения искомой функции от контрольных точек.
Ли = ^"“(^(ТаЫе^о). • ,д(ТаЫек,о)..
4. Строим правые части СЛАУ для каждо-
го набора контрольных точек (записаны по-
строчно в матрице В).
/ 16490 652350 2941250 \
В ^ I 14015 554475 25022375 ]№
87710 3407450 153048750
5. Решаем полученные системы уравнений:
!л~г • 5иЬтаШх(В, 0,0,0,2)7’\
X := I А~г • 5иЬтаШх(В, 1ДД2)Т I;
\Л_1 • submatrix(S, 2,2,0,2)7/
Х% = (586.201 36.782 0.888)№
= (493.969 31.639 0.749Ж°
*£ = (2504.482 128.729 5.246).
6. Искомые функции принимают вид:
У1( х)=0,888 х 2+36,782 х+58б,201;
/2(х)=0,749 х 2+31,639 х +493,969;
/э(х) =5,246 х 2+128,729 х +4504,482. Предложенная методика использовалась
отделом транспорта Правительства Калининградской области при привлечении знаний предельнодопустимых осевых нагрузках на каждую ось транспортного средства при разработке движения автотранспорта по дорогам области.
Литература
1. Постановление Правительства Калининградской области №579 от 28 июля 2011г. Об определении размера ущерба, причиняемого транспортными средствами, осуществляющими перевозки тяжеловесных грузов, при движении по автомобильным дорогам общего пользования регионального и межмуниципального значения Калининградской области.
2. Определение параметров аппроксимирующих функций.- г. Сергиев Посад: Все для Вас - Подмосковье, 2007. - 132с. ISBN 978-5-901091-82-1 (стр. 5-10)
3. Клачек П.М., Корягин С.И. Системы обработки информации и управления на автомобильном транспорте. Изд-во РГУ им. И.Канта, Калининград, 2008, 236 с.
4. Корягин С.И., Клачек П.М. Прикладные расчетные методы, модели и алгоритмы, применяемые при ограничении и управлении дорожным движением. Изд-во БФУ им.И. Канта, Калининград, 2011, 143с.
5. Клачек П.М., Корягин С.И., Колесников А.В., Минкова Е.С. Гибридные Адаптивные интеллектуальные системы. Часть 1. Теория и технология разработки, Изд-во БФУ им.И.Канта, Калининград, 375с.
1 Дворниченко Роман Игоревич, аспирант кафедры «Технологии транспортных процессов и сервиса» БФУ им. И. Канта, тел. (4012) 33-82-84, E-mail: [email protected];
2 Пятикоп Алексей Дмитриевич, студент 4-го курса БФУ им. И. Канта, тел. +7 911 491 45 96
