Методика построения регрессионных зависимостей для тяговых кривых методом наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

В Ы В О Д Ы

1. Модернизация землеройных машин инженерного вооружения на основе использования базовых шасси отечественного производства обеспечивает повышение ремонтопригодности и эффективности боевого применения.

2. Модернизация систем приводов рабочего оборудования землеройных машин инженерного вооружения позволит уменьшить массу рабочего оборудования и снизить стоимость изготовления, упростит техническое обслуживание и ремонт землеройных машин инженерного вооружения.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Машины инженерного вооружения. Ч. I: Общая характеристика. Машины для преодоления разрушений

и механизации земляных работ: учеб. для курсантов военных училищ инженерных войск / А. В. Ольшанский [и др.]; под ред. А. В. Ольшанского. - М.: Военное изд-во, 1986. - 422 с.

2. Гидравлическая система рабочего оборудования землеройной машины: пат. 5586 Респ. Беларусь, МПК (2006) F 16Н 61/40, F 15В 11/00 / А. Я. Котлобай, А. А. Котлобай, Н. Г. Шмуляев, Ю. В. Костко, С. В. Кондратьев, В. Ф. Тамело; заявитель Белорусский национальный технический университет. - № и 20090218; заявл. 2009.03.18; опубл. 2009.10.30 // Афщыйны бюл. / Нац. цэнтр штэлектуал. уласнасщ. - 2009. - № 5.

3. Коробкин, В. А. Агрегаты дискретного действия гидроприводов строительных и дорожных машин / В. А. Ко-робкин, А. Я. Котлобай, А. А. Котлобай // Строительные и дорожные машины. - 2010. - № 5. - С. 43-46.

4. О перспективных направлениях создания гидравлических агрегатов приводов строительных и дорожных машин / В. А. Коробкин [и др.] // Наука и техника. -2012. - № 6. - С. 71-76.

Поступила 13.02.2013

УДК 629.114.2

МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ДЛЯ ТЯГОВЫХ КРИВЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Канд. техн. наук, доц. РАВИНО В. В., инж. КАЛИНИН Н. В.

Белорусский национальный технический университет

В результате тяговых испытаний колесных и гусеничных тракторов получен богатый экспериментальный материал [1, 2], который позволил установить взаимосвязь между коэффициентом использования сцепного веса фкр = = - вес трактора, приходящийся на

ведущие колеса; для полноприводных колесных и гусеничных тракторов весь вес G трактора используется в качестве сцепного, т. е. Осц = = О для создания усилия на крюке /''|ф) и буксованием 8 движителя [3].

Экспериментальные зависимости фкр(8) используются для определения оптимальных конструктивных параметров трактора и анализа их ходовых систем. Большое практическое значение имеют зависимости фкр(8) для построения теоретической тяговой характеристики проектируемого трактора. Однако при выполнении расчетов удобнее пользоваться не массивами данных фКр(5), а иметь аналитические выраже-

Наука итехника, № 5, 2013

ния, позволяющие воспроизвести кривую фкр(8) во всем диапазоне изменения буксования движителей.

Поскольку сцепной вес, приходящийся на ведущие мосты и колеса трактора, зависит от условий работы, в более общем виде целесообразнее исследовать зависимость буксования колеса не от абсолютного значения развиваемой им касательной силы тяги, а от отношения этой силы к сцепному весу, т. е. от реализуемого коэффициента сцепления ф.

Существует достаточно много формул, описывающих зависимости между ф и буксованием 5 или, что то же самое, между 1<\, и 8. Наиболее распространенной из них является экспоненциальная зависимость [3]

ф = фтах(1 -е4"), (1)

где фтах и к постоянные эмпирические коэффициенты, зависящие от почвенного фона и типа применяемых шин.

Также часто используются зависимости, описываемые гиперболическим тангенсом [4, 5], и формула, предложенная Pacejka (Magic Formula) [6]

Ф = /)sin(Carctg(/i5 - Е{ВЪ - arctg(/i5)))). (2)

где B, C, D, E - вспомогательные коэффициенты.

По мнению ряда авторов [3, 6], зависимость между коэффициентом сцепления ф и буксованием 8 наилучшим образом аппроксимируется показательной функцией (1). Для определения коэффициентов, входящих в (1), можно использовать метод средних, если представить (1) в виде уравнения прямой в полулогарифмических координатах [7]. Но этот метод обладает невысокой точностью и применим только для сравнительных расчетов [3]. В [3] изложена методика определения коэффициентов уравнения (1), но она очень громоздкая и имеет узкое применение, ограничивающееся собственно только формулой (1).

Целью настоящей работы является разработка универсальной методики, позволяющей определять неизвестные коэффициенты в уравнениях (1), (2) и других на основании таблицы экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. Для удобства сопоставления полученных результатов с существующими методика будет изложена для экспоненциальной зависимости (1).

В качестве исходных данных используются результаты эксперимента, приведенные в [1] для колесного трактора массой 3,4 т, почвенный фон - поле, подготовленное под посев. Поскольку в [1] данные представлены в виде графиков, для оцифровки кривых и составления таблицы полученных результатов воспользуемся программой GetData Graph Digitizer (getda-ta - graph - digitizer. com). Обработку экспериментальных данных будем проводить в среде Microsoft Excel [8].

Суть методики состоит в следующем. В столбцы А и В, начиная со второй строки, вносятся значения буксования и коэффициента сцепления, полученные в результате проведения эксперимента (рис. 1).

В ячейки Е2 и F2 вводятся произвольные начальные приближения коэффициентов фтах

и k. В данном случае принимаем их равными единице. Далее, начиная с ячейки С2, записываем аналитическую зависимость ф(5), т. е. формулу (1). Для ячейки С2 выражение будет следующим:

=$E$2*(1 -EXP((-1)*$F$2*A2))4.

Затем в ячейках, начиная с D2, необходимо вычислить остатки, т. е. разницу между расчетным и экспериментальным значениями коэффициента сцепления ф. Для ячейки D2 выражение будет следующим:

=B2-C2.

В соответствии с методом наименьших квадратов необходимо подобрать такие значения фтах и к, чтобы сумма квадратов всех остатков, записанных в столбце D, была минимальной. Поэтому в ячейке G2 следует написать формулу

=CYMMKB(D2:D24).

Для оценки полученных результатов рассчитаем ошибку по общеизвестной формуле, при этом в ячейку I2 записано количество проведенных замеров

=KOPEHb($G$2/($I$2*($I$2-1))).

В результате заполнения получилась таблица, представленная на рис. 1. Дополнительно для наглядности построен график зависимости ф(8) со значениями фтах и к, равным начальным приближениям, а также на этом графике нанесены экспериментальные точки.

После заполнения всех полей необходимо вызвать надстройку «Поиск решения» и заполнить в соответствии с рис. 2. Для Excel 2010/2013 надстройка «Поиск решения» находится на вкладке «Данные» в группе «Анализ». Если ее там нет, то надстройку необходимо загрузить следующим образом:

1) на вкладке «Файл» выбрать команду «Параметры», а затем - категорию «Надстройки»;

2) в поле «Управление» выбрать значение «Надстройки Excel» и нажать кнопку «Перейти»;

3) в поле «Доступные надстройки» установить флажок рядом с пунктом «Поиск решения» и нажать кнопку «ОК».

, Наука итехника, № 5, 2013

Буксование (экс пер.)

Коэффициент сцепления (экспер.)

Коэффициент сцепления (расчетн.)

Остатки

Коэффициент

fmx

Коэффициент к

С утшял ква^фатов

Ошибка

Число замеров

=$E$2*Ç1-EXPÇÇ-1

*$F$2*A2))

=В2-С2

=СУММКВ(Р2:Р24) |=KOPEHb($G$2/($I$2*($I$2-lTO |23

0,0806

0,103

0,1875

0,2024

0,2047

0,3097

0,3797

0,4146

0,445

0.J4SS

0,6123

0,6442

0,0459

0,7022

0,7137

0,7409

0,7593

0,8355

0,8676

0,1869

0,2443

0,3908

0,3259

0,3631

0,432

0,4435

0,4998

0,4827

0,5324

0,5396

0,547

0,5757

0,5681

0,5511

0,584

0,5754

0,5858

0,5953

=$Е$2*

=$Е$2*

-EXPÇÇ-1

*$F$2*A3))

1-ЕХРСС-1

*$F$2*A4))

=Е!4-С4

=$Е$2*

=$Е$2*

-EXPÇÇ-1

*$F$2*A5))

1-EXPÇÇ-1

*$F$2*A6))

=В6-С6

=$Е$2*

=$Е$2*

-EXPÇÇ-1

*$F$2*A7))

1-EXPÇÇ-1

*$F$2*A8))

=В8-С8

=$Е$2*

=$Е$2*

1-EXPÇÇ-1

*$F$2*A9»

=В9-С9

1-EXPÇÇ-1

*ÍF$2*A1P))

=В10-С10

=$EÎ2*

=$EÎ2*

1-EXPÇÇ-l

*ÍF$2*Airfl

=B11-C11

1-EXPÇÇ-l

*ÍF$2*A12»

=B12-C12

=$EÎ2*

=$EÎ2*

1-EXPÇÇ-l

*ÎF$2*A13»

=B13-C13

1-EXPÇÇ-l

*ÎF$2*A14fl

=B14-C14

=$EÎ2*

=$E$2*

1-EXPÇÇ-l

*ÎF$2*A15»

=B15-C15

1-EXPÇÇ-l

*tF$2*A16))

=B16-C16

=$E$2*

=$E$2*

1-EXPÇÇ-l

*$FÎ2*A17»

=B17-C17

1-EXPÇÇ-l

*$FÎ2*A18»

=B18-C18

=$E$2*

=$EÎ2*

1-EXPÇÇ-l

*$F$2*A19»

=B19-C19

=$E$2*

1-EXPÇÇ-l

*ÎFÎ2*A20))

=B20-C20

=$EÎ2*

1-EXPÇÇ-l

*ÎFÎ2*A21))

=B21-C21

=$E$2*

1-EXPÇÇ-l

*$F$2*A22»

=B22-C22

1-EXPÇÇ-l

=$ЕД2*С1-ЕХРСС-1

*$F$2*A23»

=B23-C23

*$F$2*A24»

=B24-C24

0,4 0,6

Буксование

♦ Эксперимент j

Рис. 1. Исходные данные для определения коэффициентов регрессии

Рис. 2. Заполнение надстройки «Поиск решения» (на примере Excel 2010)

Целевой ячейкой будет G2, равная минимальному значению, а изменяться будут ячейки E2 и F2. После нажатия кнопки «Выпол-

нить» и подтверждения найденных результатов в ячейках Е2 и ¥2 появятся искомые значения коэффициентов соответственно фтах и к

Наука 62

иТ ехника, № 5, 201'з2

(рис. 3). Полученные таким образом результа- что говорит о правильности разработанной ты хорошо согласуются с приведенными в [3], методики.

1

2

3

4

5

6 7 В

9

10 11 12

13

14

15

16 17 1В 19 2D 21 22 23

Буксование (экспер.)

Коэффициент сцепления (экспер.)

Коэффициент сцепления (расчета.)

Коэффициент

Коэффициент к

Сумма ква/фатов

Ошибка

Число замеров

0,0000

0,0000

0,58416

4,71351

0,00969

0,00438

23

0,41-К 0,4450

0,1254

0,4998 0,4827

0,1125

0,5014 0,5125

-0,0016 -0,0298

0,4 0,6

Буксование

Эксперимент -Расчёт

Рис. 3. Результаты расчета по

Рассуждая аналогично, можно найти коэффициенты в зависимости Pacejka или любой другой зависимости. То есть нет необходимости приводить таблицы со значениями коэффициентов различных кривых регрессий, так как их может быть огромное множество, а используя данную методику, можно при наличии экспериментальных данных легко получить коэффициенты для любых формул.

В Ы В О Д Ы

1. Разработана методика для определения коэффициентов кривой буксования по результатам экспериментальных исследований методом наименьших квадратов с использованием MS Excel.

2. Отличительной особенностью данной методики является то, что от пользователя не требуется знание языков программирования или специализированных программ статистической обработки данных (например, Statistika), и при этом пользователь в состоянии определять коэффициенты регрессии для уравнений практически любой сложности.

3. Изложенный подход в использовании метода наименьших квадратов может быть легко использован для расчета коэффициентов ре-

:лению коэффициентов регрессии

грессии методом наименьших квадратов в любой другой области научных исследований.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Колобов, Г. Г. Тяговые характеристики тракторов / Г. Г. Колобов, А. П. Парфенов. - М.: Машиностроение, 1972. - 153 с.

2. Тяговые характеристики сельскохозяйственных тракторов: альбом-справочник / А. П. Антонов [и др.]. -М.: Россельхозиздат, 1979. - 240 с.

3. Бойков, В. П. Методика аппроксимации кривых буксования показательными функциями / В. П. Бойков, Ю. Е. Атаманов, Ч. И. Жданович // Весщ Нацыянальнай акадэми навук Беларуа. Сер. фiзiка-тэхнiчных навук. -2000. - № 1. - C. 120-126.

4. Шумилин, А. В. Математическая модель криволинейного движения гусеничной машины по деформируемому основанию / А. В. Шумилин // Тракторы и сельскохозяйственные машины. - 1993. - № 5. - С. 8-11.

5. Тракторы: теория / В. В. Гуськов [и др.]; под общ. ред. В. В. Гуськова. - М.: Машиностроение, 1988. - 376 с.

6. Pacejka, Hans B. Tyre Mechanics and Vehicle Dynamics / Hans B. Pacejka. - Oxford: ButterworthHeinemann, 2002. - 621 p.

7. Львовский, Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул: учеб. пособие для втузов / Е. Н. Львовский. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1988. - 239 с.

8. Лавренов, С. М. Excel: сб. примеров и задач / С. М. Лавренов. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 336 с.

Поступила 10.04.2013

Наука итехника, № 5, 2013