CC BY
50
ВЕСТНИК 10/2012
УДК 624.012.45
Е.А. Филимонова
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
МЕТОДИКА ПОИСКА ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ РИСКА ОТКАЗА
Главная задача строительного проектирования — создание конструкций максимально экономичных и максимально надежных. Повышение безопасности ведет к удорожанию конструкции, удешевление конструкции связано с повышение риска. Цель проектировщика — выбор экономичных параметров конструкции среди множества решений, удовлетворяющих расчетным требованиям и минимально допустимому риску.
Ключевые слова: метод поиска, оптимизация, риск, вероятность отказа, ущерб, нелинейные ограничения, целевая функция, железобетонная плита.
При выборе критерия оптимальности для железобетонных конструкций следует учитывать комплекс требований, в т.ч. требования экономичности, технологичности, безопасности, а также ограничения на материальные и трудовые ресурсы.
Данные показатели разделим на две группы: натуральные и стоимостные, оценивающие затраты на создание, транспортировку, монтаж и эксплуатацию конструкции, а также на возмещение возможного ущерба от отказа конструкции.
На натуральные показатели будем накладывать ограничения сверху типа ¥б < [Г6], О < [Оа], Т< [Т] ... , (1)
с учетом конкретной экономической ситуации, а также с учетом величин этих показателей по ранее имеющимся решениям.
Выбор среди них наилучшего следует осуществить по стоимостному показателю, учитывая все виды затрат на изготовление и содержание конструкции.
В качестве примера рассмотрим целевую функцию для плиты перекрытия, которую запишем в следующем виде:
Ф =
А1У6(к) + Л2У62(к) + £(( (г) + АГа1)) + Аби(к) + ДФ(а) + ДФ() + )
(2)
где Уб(к) — объем бетона к-го участка плиты; V — объем арматуры данного вида; к(К) — толщина плиты к-го участка; ДФ(а) — дополнительные затраты на изготовление арматурных сеток различных направлений; ДФ^) — дополнительные затраты, учитывающие обрыв и размещение арматурных сеток; ^ Я — суммарный риск потерь при отказе конструкции.
Целевая функция (2) подобна известным функционалам со штрафными составляющими. Однако здесь риск, с одной стороны, связан с варьируемыми параметрами, с другой — имеет допустимое значение.
Для приближения экономической модели к реальной необходимо в (2) знать достоверные значения коэффициентов А , А , А, А , А6 как для сборной железобетонной плиты, изготовленной на заводах ЖБИ, так и монолитных плит, сделанных на строительных площадках. Коэффициенты А. — константы, образуемые суммированием удельных стоимостных характеристик. Они зависят от индекса экономического пояса изготавливаемой конструкции и определяются исходя из ФЕР.
Исходя из определения риска как вероятности отказа конструкции с последствиями определенного уровня за определенный период эксплуатации, значение риска в денежном выражении будем находить по формуле [1]
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве vestnik
_MGSU
Qi = PC, (3)
где Р. — вероятность отказа конструкции; С. — суммарный ущерб при отказе конструкций.
Ci = k () + c2Va(r)), (4)
где k — индекс пересчета на текущий момент; с1 — удельная стоимость 1 м3 бетона, включающая непосредственную стоимость бетона и стоимость производства работ; с2 — удельная стоимость 1 т арматуры, включающая непосредственную стоимость арматуры и стоимость производства работ.
Отказ конструкции можно интерпретировать как выброс случайного процесса резерва несущей способности в отрицательную область.
Численные методы Монте-Карло позволяют оценить эти выбросы в недопустимую область.
Оценку вероятности отказа можно определить, например, выражением [2]
D, =aqfY (-ß)r/ (ßMV2i), (5)
где ю0, ßM,fY (-ß)— эффективная частота, коэффициент широкополосности и значение плотности распределения ординаты случайного процесса Y(t) в точке ß; Т — заданное время эксплуатации строительного объекта; ß — характеристика безопасности, определяемая по формуле
ß = Y/Y = (r-s)/(R2 +s2 // (6)
где Y, R, S — соответствующие математические ожидания; Y, R, S— соответствующие стандарты.
При этом вероятность отказа Q0 может варьироваться в пределах от 10-5 в эксплуатационной стадии и 10° в случае аварийной ситуации.
В последнее время в теории оптимального проектирования явно прослеживается смещение акцента на более строгую общую постановку задачи оптимизации, в т.ч. отбором и дальнейшим совершенствованием методов поиска, ориентированных на решение задачи с ограничениями [3—6].
Среди таких методов отметим приближенный метод Ц-./-процедур, разработанный Н.Н. Складневым и получивший развитие в работах А.Г. Тамразяна и др.
В данном случае разработана усовершенствованная методика поиска, которая позволяет находить оптимальные решения нелинейных целевых функций при нелинейных ограничениях, что особенно важно в задачах проектирования железобетонных конструкций [7].
В совокупности все ограничительные условия (1) образуют систему неравенств, сводимую к виду
8 ] j [8 ] i
Ф i = _ j < 0, i = 1, 2, ..., n. (7)
Движение осуществляется из некоторой точки недопустимой области Н. При переходе от итерации г к итерации г + 1 будем соблюдать следующий принцип. В
точке х (г) положение поиска определяется двумя показателями: значением целевой функции Ф и обобщенной невязки Р.
Невязкой по ограничению] будем называть величину Р определяемую по формулам
Р = Ф/> если Ф/ >0; (8)
= 0, если ф/ < 0.
вестник 10/2012
Совокупность невязок Р. образует вектор Р с нормой
Р (9)
Переход от точки х (г) в любую соседнюю точку связан с приращениями величин Ф и Р следующим образом:
ДФ = Ф (х(г +1) - Ф( х( г));
(10)
ДР = Р (((г) - Р( Х(г +1)).
Нас интересуют такие направления движения, при которых ДР оказывается по возможности больше, а ДФ — меньше. Для этого образуем новую целевую функцию вида
дц=дф. <■»
дф
Осуществим движение таким образом, чтобы максимизировать ДЦ. Для этого
используем следующую процедуру, назначая при итерации (г + 1) вектор х(г +1) по формулам
х(г+1) = х(г) + Sxi ДЦк,Я "к; (12)
К %ЕДц2,,
V (i)
где к — корректирующий множитель, регулирующий скорость сходимости поиска в точке оптимума. Выполненные численные анализы показали, что относительно более быстрая сходимость обеспечивается при к = 1, 5.2, 5 . — шаг поиска, в общем случае переменный.
Учитывая, что в железобетонных плитах параметры х. имеют разную размерность и существенно разные абсолютные значения, осуществим их нормирование, приняв в (12)
Дц (13)
sxi =— sk , (13)
К
где вк задается в зависимости от отношений х1Ш1П и назначается в пределах
5 = 2.5.
к
Движение с использованием формул (7)—(13) называется Ц-процедурой. Движение по процедуре (12) обеспечивает переход из недопустимой области Н на границу вблизи точки оптимума.
Однако Ц-процедура не обеспечивает точного попадания в окрестность точки хопт, в некоторых случаях она не успевает выправить траекторию поиска. Поэтому для общности метода необходимо усилить Ц-процедуру алгоритмом дополнительного движения вдоль границы. Для уточнения решения производится отталкивание вглубь недопустимой области Н и оттуда снова делается движение в сторону области Б по алгоритму Ц-процедуры. Отталкивание вглубь области Н осуществляется с обязательным тяготением к движению вдоль границы, хотя положение границы в прилегающих областях в некоторых случаях точно не известно. Для такого обратного движения вводится новая целевая функция Д/, получаемая инверсионным преобразованием функции ДЦ:
= -ДЦ-1. (14)
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТМК
_мвви
Процедура отталкивания осуществляется по формулам (7)—(14) с заменой в них ЛЦ на ЛУ. Она называется У-процедурой.
После того, как из некоторой точки х(г) в области Н осуществлен переход в
точку х(г +1), оказавшуюся в области В, фиксируется величина ф (Хгр ). Далее по
У-процедуре отталкиваемся в область Н и из зафиксированной там новой точки снова при помощи Д-процедуры выходим на границу, отмечая на ней новую граничную точку Хгр с соответствующим значением ф (хГр). Если окажется, что ф (хгр) > ф ((р),
то движение останавливается и точка х гр принимается за решение задачи.
Приведем иллюстративный численный пример, когда и функции ограничений, и целевая функция имеют нелинейную зависимость. Пусть
\Г
Ф = х +1
(15)
(Xl -7)2 + 7 < x2, +10 > x2.
(16)
Теоретическое решение задачи: х1 = 7, Ф = 19,25.
При таком виде ограничений допустимая область В будет иметь замкнутый вид. Поиск начнем с произвольной точки (1; 1). Решение показано на рисунке.
2
15 14 13 12 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 X
Процедура поиска оптимума
В процедурной точке 1 (2;3) имеем: Ф1 = 4,25, Р1 = 0,9063. В направлении х1 ЛЦ1 = 0,1825, в направлении х2 ЛЦ2 = 0,0313. Параметр ЛЦ является показателем чувствительности /-го варьируемого параметра, т.е. наиболее предпочтительным считается то направление, при котором ЛЦ является максимальным. Значит, поиск необходимо продолжить по направлению х1 по формуле (12). Шаг поиска ^ определим
ВЕСТНИК 10/2012
по формуле (13). Продолжая поиск таким образом, попадем в точку А (8,615; 9,6897) Ф = 32,09, Р = 0. Совершая затем отталкивание по ./-процедуре, попадаем в точку В (8,5956; 7,8243), Ф = 23,90 и по процедуре Ц снова попадаем на границу допустимых значений. При этом с каждым новым попаданием точка поиска приближается к оптимуму. Через 8 итераций процедура находит оптимальное решение с координатами x1 = 6,94, x2 = 7,07, Ф = 19,44, что отличается от теоретического решения меньше одного процента.
Усиление процедуры видится в спрямлении траектории поиска по диагоналям как в направлении приращений, так и в обратную сторону.
Таким образом, усовершенствованная методика поиска позволяет гарантированно решить задачу оптимизационного выбора параметров конструкций как при нелинейных ограничениях, так и с нелинейной целевой функцией.
Библиографический список
1. Тамразян А.Г. К оценке риска чрезвычайных ситуаций по основным признакам его проявления на сооружение // Бетон и железобетон. 2001. № 5. С. 8—10.
2. Пичугин С.Ф., Семко А.В., Махинько А.В. К определению коэффициента надежности по назначению с учетом рисков в строительстве // Изв. Вузов. Строительство. 2005. № 11—12. С. 105—109.
3. Huang C., Kroplin B. Optimum design of composite laminated plates via a multi-objective function. International Journal of Mechanical Science. 1995. T. 37. № 3. рр. 317—326.
4. Falso S.A., Afonso S.M.B., Vaz L.E. Analysis and optimal design plates and shells under dynamic loads - II: Optimization // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2004. T. 27. № 3. рp. 197—209.
5. Безделев В.В., Дмитриева Т.Л. Использование многометодной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2010. № 2. С. 90—95.
6. Яров В.А., Прасоленко Е.В. Проектирование круглых монолитных плит перекрытий рациональной структуры с использованием топологической и параметрической оптимизации // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2011. № 3. С. 89—102.
7. Тамразян А.Г., Филимонова Е.А. Метод поиска резерва несущей способности железобетонных плит перекрытий // Промышленное и гражданское строительство. 2011. № 3. С. 23—25.
Поступила в редакцию в августе 2012 г.
Об авторе: Филимонова Екатерина Александровна — аспирант кафедры железобетонных и каменных конструкций, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, 129337, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Филимонова Е.А. Методика поиска оптимальных параметров железобетонных конструкций с учетом риска отказа // Вестник МГСУ 2012. № 10. С. 128—133.
E.A. Filimonova
IDENTIFICATION OF OPTIMAL PARAMETERS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES WITH ACCOUNT FOR THE PROBABILITY OF FAILURE
The principal mission of structural design consists in the development of economical though reliable structures. Any safety-related improvements boost the cost of a structure, while any reduction of costs involves higher risks. The objective of any structural designer is to pinpoint the optimal structural parameters among the whole variety of solutions that fall within the range of the pre-set design requirements and minimal risks. Selection of the opti-mality criteria applicable to reinforced concrete structures is to be based on a set of requirements, including low costs, technological efficiency, safety and observance of limits imposed onto the expenditure of material resources and the workforce.
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕ5ТЫ1К
_мвви
The author suggests splitting the aforementioned parameters into the two groups, namely, natural parameters and value-related parameters that are introduced to assess the costs of development, transportation, construction and operation of a structure, as well as the costs of its potential failure. The author proposes a new improved methodology for the identification of the above parameters that ensures optimal solutions to non-linear objective functions accompanied by non-linear restrictions that are critical to the design of reinforced concrete structures. Any structural failure may be interpreted as the bounce of a random process associated with the surplus bearing capacity into the negative domain. Monte Carlo numerical methods make it possible to assess these bounces into the unacceptable domain.
Key words: optimization, risk, probability of failure, damage, non-linear constraints, objective function, reinforced concrete slab.
References
1. Tamrazyan A.G. K otsenke riska chrezvychaynykh situatsiy po osnovnym priznakam ego proy-avleniya na sooruzhenie [Concerning the Assessment of the Risk of Emergencies on the Basis of Their Principal Features Demonstrated by the Structure]. Beton i zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete]. 2001, no. 5, pp. 8—10.
2. Pichugin S.F., Semko A.V., Makhin'ko A.V. K opredeleniyu koeffitsienta nadezhnosti po naz-nacheniyu s uchetom riskov v stroitel'stve [Identification of the Reliability Ratio with Account for Construction-related Risks]. Izv. vuzov. Stroitel'stvo. [News of Higher Education Institutions. Civil Engineering.] 2005, no. 11—12, pp. 105—109.
3. Huang C., Kroplin B. Optimum Design of Composite Laminated Plates via a Multi-objective Function. International Journal of Mechanical Science. 1995, vol. 37, no. 3, pp. 317—326.
4. Falso S.A., Afonso S.M.B., Vaz L.E. Analysis and Optimal Design of Plates and Shells under Dynamic Loads - II: Optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2004, vol. 27, no. 3, pp.197—209.
5. Bezdelev V.V., Dmitrieva T.L. Ispol'zovanie mnogometodnoy strategii optimizatsii v proektirovanii stroitel'nykh konstruktsiy [Employment of the Multi-methodological Strategy for the Optimization in the Design of Building Structures]. Izv. vuzov. Stroitel'stvo. [News of Higher Education Institutions. Civil Engineering.] 2010, no. 2, pp. 90—95.
6. Yarov V.A., Prasolenko E.V. Proektirovanie kruglykh monolitnykh plit perekrytiy ratsional'noy struktury s ispol'zovaniem topologicheskoy i parametricheskoy optimizatsii [Design of Circular In-situ Floor Slabs of Rational Structure through the Employment of Topological and Parametric Optimization]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta [Proceedings of Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering]. 2011, no. 3, pp. 89—102.
7. Tamrazyan A.G., Filimonova E.A. Metod poiska rezerva nesushchey sposobnosti zhelezobeton-nykh plit perekrytiy [Methodology of Identification of the Surplus Bearing Capacity of Reinforced Concrete Floor Slabs]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo [Industrial and Civil Engineering]. 2011, no. 3, pp. 23—25.
About the author: Filimonova Ekaterina Aleksandrovna — postgraduate student, Department of Reinforced Concrete and Masonry Structures, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU),
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Filimonova E.A. Metodika poiska optimal'nykh parametrov zhelezobetonnykh kon-struktsiy s uchetom riska otkaza [Identification of Optimal Parameters of Reinforced Concrete Structures with Account for the Probability of Failure]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 10, pp. 128—133.
