CC BY
103
Методика оценки уровня понимания учебновербальной информации естественно-математических
дисциплин
Дарья Александровна Рукосуева старший преподаватель, аспирант кафедры информатики и вычислительной
техники,
Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева, ул. К. Маркса, 100, Красноярск, Красноярский край, Россия, 660049,
(8391) 211-33-36 rukosueva@mail.ru
Аннотация
Статья является результатом теоретического изучения проблемы понимания учебно-вербальной информации естественно-математических дисциплин. Рассмотрены основные этапы формирования знаний на основе понимания с точки зрения информационного подхода в обучении. Предложена модель понимания учебно-вербальной информации. В качестве параметров понимания выделены такие понятия, как глубина, полнота понимания и степень покрытия сообщения тезаурусом приемника информации. На основе трех параметров понимания выделены пять уровней понимания: уровень узнавания, распознавания, интерпретации, снятия неопределенности и творческий уровень. На основе модели понимания учебно-вербальной информации и выделенных параметров понимания предложена методика диагностики уровня понимания.
The article is a result of theoretical studying of a problem of understanding of the natural-mathematical disciplines’ training-verbal information. The basic stages of knowledge formation on the basis of understanding from the point of view of the information approach in training are considered. The model of understanding of the training-verbal information is offered. As understanding parameters such concepts, as depth, completeness of understanding and degree of a covering of the message are allocated by the thesaurus of the receiver of the information. On the basis of three parameters of understanding five levels of understanding are allocated: level of a cognizance, recognition, interpretation, removal of uncertainty and creative level. On the basis of model of understanding of the training-verbal information and the allocated parameters of understanding diagnostics of level of understanding is offered.
Ключевые слова
понимание учебно-вербальной информации, параметры понимания, уровни понимания, диагностика уровней понимания.
understanding of the training-verbal information, understanding parameters, understanding levels, diagnostics of levels of understanding.
Введение
В современных педагогических исследованиях в области методики преподавания предметных дисциплин краеугольным камнем является проблема повышения качества обучения. Анализируя результаты обучения студентов педагогических вузов можно констатировать, что особенно остро эта проблема проявляется в предметной области естественно-математических наук и информатики.
Причины данной ситуации, возможно, кроются в падении уровня абстрактного и логического мышления обучаемых, вызванного неэффективной организацией педагогического процесса, слабым учетом их индивидуального уровня развития, а также особенностей восприятия информации. При этом уровень образования, формируемый также в рамках естественно-математических дисциплин, безусловно, является фундаментом для дальнейшего развития человека, проявляющегося, в частности, в виде инновационной деятельности.
Качество обучения студентов дисциплинам естественно-математического блока в значительной мере зависит от понимания учебной информации, так как они оперируют понятиями с высокой степенью абстракции.
Проблема понимания является предметом исследования многих наук, каждая из которых рассматривает ее со своей точки зрения.
Что же касается исследований понимания применительно к практике обучения, то данная проблема здесь является ключевой, ведь от понимания зависит весь процесс обучения в целом. Как отмечает Е.Т. Коробов: «именно для дидактики раскрытие механизмов и процессов понимания, выявление наиболее существенных причин непонимания, разработка приемов лучшего понимания являются наиболее важными условиями обеспечения эффективности обучения» [3].
В этой связи следует отметить противоречие между необходимостью учета характеристик понимания учебной информации в процессе учебно-познавательной деятельности ученика и отсутствием объективных измерителей этих характеристик и способов их улучшения.
При формировании основополагающих принципов организации педагогического процесса сообразно дидактической спирали очень важно производить переходы с одного уровня сложности содержания на другой, опираясь на некоторые четкие и объективные показатели. Как видится автору, в качестве такого показателя может выступать уровень понимания, зависящий от сформированности тезауруса обучаемого. Соответственно, вопросы оптимизация процесса обучения могут быть построены исходя из методологии информационного подхода к обучению. С точки зрения Н.И. Пака информационная природа познания позволяет говорить об информационном подходе в обучении. Информационный подход в образовании следует формировать на базе информационных постулатов, методе информационного моделирования сущности материи. Цель обучения в этой парадигме - формирование информационной модели познания учащегося с заданным объемом и качеством тезауруса, развитие его знания, как механизма восприятия и извлечения информации из естественных и искусственных сообщений [5].
Основной целью данного исследования является определение и описание методики диагностики уровня понимания учебно-вербальной информации естественно-математических дисциплин.
Теоретическая часть
В последние годы значительный вклад был внесен в области диагностики понимания учебно-вербальной информации, в частности, решению таких вопросов,
как и при каких условиях понимание может быть оценено, какие методы и технологии могут быть использованы для этого. Однако большинство работ посвящено диагностики понимания информации, представленной на естественном языке, проблема же диагностики понимания информации естественноматематических дисциплин остается слабо разработанной, а существующие труды обладают, на наш взгляд, некоторыми недостатками.
Так, например, А.А. Николау и Д. Питта-Пантази на примере темы «Дроби» для учащихся 5-6-х классов выделяют 6 факторов, определяющих понимание данного понятия:
1) индуктивное рассуждение (умение осуществлять поиск общих закономерностей и правил);
2) определение и математическое объяснение (умение объяснять полученные математические знания);
3) аргументация и обоснования (умение признать истинность или ложность математического заявление);
4) смысл дробной величины;
5) формы представления понятия (умение представлять дроби в графической, знаковой, словесной формах);
6) связь дробей с другими понятиями [12].
Таким образом, А.А. Николау и Д. Питта-Пантази рассматривают только компоненты понимания математического понятия «дроби», не учитывая, что каждый компонент может обладать определенной степенью сформированности (оценка осуществлялась в рамках бинарной системы оценивания - 0,1), а понимание конкретного понятия в целом может быть представлено на определенном уровне.
Дж. Галарджо и Дж. Л. Гонзалез отмечают, что одним из основных принципов, на которых может построиться методика диагностики понимания математики, является оценка понимания структуры знания. По их мнению, математическое знание, как объект понимания, представляется в виде двух структур: эпистемологической и феноменологической. Эти структуры являются результатом отношений к другим областям математического знания (эпистемологическая структура) и к ситуациям, которые задают смысл этим знаниям (феноменологическая структура) [11].
Эпистемологическая структура состоит из ряда особенностей: синтаксиса знания (формы представления), опоры на предшествующих математических знаниях и связей с этими знаниями. Эпистемологическая структура представляется на трех уровнях: техническом, аналитическом и формальном.
Феноменологическая структура описывает, в каких ситуациях могут быть применены полученные математические знания. Данная структура может быть представлена как на уровне определенной ситуации (алгоритм решения известен), так и на уровне неопределенной ситуации (необходимо определить алгоритм решения).
Предложенная Голарджо и Гонзалез модель понимания была рассмотрены для учащихся начальных классов на примере умножения натуральных чисел, и может быть применена только на начальном этапе изучения математики, т.к. при дальнейшем изучении математических дисциплин структура знания усложняется и углубляется, а от учащихся требуются новые уровни понимания.
Н.В. Коржавина для диагностики понимания информатики и математики студентами гуманитарных вузов оценивает знания и умения, которые могут быть сформированы на конкретном уровне понимания. Так она выделила четыре уровня понимания (рецептивный, репродуктивный, продуктивный, эвристический) и определила набор знаний и умений на каждом из них [2]. Однако в ее диагностике отсутствует оценка глубины понимания, что, по мнению А.А. Смирнова, является основной характеристикой уровней понимания [8].
На основе рассмотренных методик и выделенных в них недостатков, нами предлагается методика оценки уровня понимания учебно-вербальной информации естественно-математических дисциплин студентами педагогических вузов на примере курса «Математическая физика».
Прежде чем преступить к описанию методики, определим, что является пониманием, как происходит процесс понимания в рамках учебного процесса, какими параметрами обладает понимание и на каких уровнях оно может быть представлено.
Если рассматривать процесс обучения как информационный процесс, то обучение - это процесс получения и обработки новой информации, пригодной для функционирования организма в социальной среде. Причем, новая информация должна быть понята и включена в систему имеющихся знаний учащегося. Прежде чем быть понятой, информация проходит несколько этапов, точнее, зон обработки: чувственно-эмоциональную зону, зону памяти и воображения (рис. 1).
Рис. 1. Модель понимания учебно-вербальной информации
На первом этапе информация об изучаемом нами объекте или явлении поступает в чувственно-эмоциональную зону через сенсорную систему. Сенсорная система состоит из зрительной, слуховой, вкусовой, обонятельной и осязательной подсистем, с помощью которых в наш мозг поступает информация о внешнем мире в виде ощущений.
Ощущение - это отражение отдельных свойств предметов или явлений окружающей действительности, воздействующих на наши органы чувств [9; 10]. В чувственно-эмоциональной зоне ощущения представляются в виде закодированного сообщения, поступившего из внешней среды. Прием и переработка человеком поступившей через органы чувств такого сообщения завершается появлением образов предметов или явлений. Процесс формирования этих образов называется восприятием. В чувственно-эмоциональной зоне восприятие играет роль некоторого фильтра, так как из внешней среды мы постоянно получаем множество сообщений (сигналов), но воспринимаем только часть, на основе которых мы строим перцептивные (от лат. регсерйо - восприятие) образы.
Процесс восприятия объекта или явления зависит от того, в какой обстановке мы находимся (т.е. от контекста), или от нашего внутреннего состояния, другими словами, процесс восприятия зависит от внешних и внутренних факторов.
Стоит отметить, что некоторые сигналы из внешней среды нами вообще не воспринимаются в связи с их незначительностью для нас или слабостью воздействия на наши органы чувств (т.н. порог восприятия).
Однако процессы возникновения ощущения и их восприятия не формируются последовательно, а протекают параллельно, и дают общую картину воспринимаемого в сумме.
Когда перцептивный образ сформирован, происходит его сопоставление с образами в зоне памяти, полученных в результате предыдущего опыта. Как отмечает Р. Солсо: «Если бы предыдущее научение не влияло на наше восприятие, странные знаки на этой странице, которые мы называем буквами, не воспринимались бы как части слов и слова были бы лишены значения. Мы научаемся значению зрительных (а также слуховых, тактильных, вкусовых и обонятельных) сигналов. Наш мозг полон ассоциативных структур, которые интерпретируют основную энергию стимула естественного мира» [9].
Образ в зоне памяти представляет собой пятимодальный объект, состоящий из самого понятия и его свойств, полученных от чувственно-эмоциональной зоны, и обработанный в зоне восприятия (рис. 2).
Общие свойства образов
Рис. 2. Модель ментальных образов
Сами образы не существуют отдельно, а представляют собой целую иерархию понятий и классов, причем данная структура является динамически развивающейся во времени. В вершине структуры располагается целостная сущность образа, а в определенные моменты времени (в зависимости от времени и качества взаимодействия человека с реальным объектом) эта целостность «читается» частями в виде отдельных свойств - информации об образе, например, визуальных, звуковых и пр. Также каждое свойство в начале воспринимается как целостная сущность, затем оно иерархично снова разлагается на новые свойства в процессе дальнейшего восприятия и познания объекта [7].
Так, например, воспринимая два объекта шар и куб, мы относим их к классу «Фигуры», выделяем одинаковые свойства - площадь, объем, координаты х, у, ъ и т.д. Однако, куб состоит из квадратов, у него есть углы, а площадь и объем находятся по отличным от шара формулам.
Такая структура ментальных образов и их свойств образует систему индивидуальных знаний. Количество ментальных единиц определяют наш тезаурус, т.е. множество смысловыражающих единиц нашего внутреннего языка с заданной на нём системой семантических отношений.
На основе текущей информации и взятых образов из памяти, посредством мыслительных процессов, происходит осмысление информации, а именно ее понимание. Понимание представляет собой процесс сведения непонятного к понятному, т.е. посредством доступных логических манипуляций мы из понятных нам представлений строим представление (модель) того, что ранее нам было непонятно [4].
Понимание различается в широком и узком смысле. Понимание в широком смысле - это установление существенных связей или отношений между предметами реальной действительности посредством применения (использования) знаний. Понимание в узком смысле - это компонент мышления, состоящий в выявлении и разрешении скрытых (невыраженных) вопросов в проблемных ситуациях на основе использования имеющихся знаний и применения специальных приемов [3].
По мнению В.В. Знакова, понимание, как компонент мышления, обеспечивает установление связи раскрываемых новых свойств объекта познания с уже известными субъекту, формирование операционального смысла новых свойств объекта и определение их места и роли в структуре мыслительной деятельности [1].
Важную роль в процессе понимания играет зона воображения. В процессе отражения окружающего мира человек наряду с восприятием того, что действует на него в данный момент, извлекает из памяти образы, которые воздействовали на него раньше, создает новые образы или модернизирует, обогащает старые. Путем воображения человек может достроить недостающие связи между образами или укрепить имеющиеся. Таким образом, воображение - это отражение в сознании осознанных образов, их поведения в пространстве и во времени.
Совместно с зоной памяти воображение обеспечивает нам понимание новой информации, поступившей из внешнего мира.
Учебно-вербальная информация поступает к человеку в виде кодового сообщения (речь, текст и пр.). Структурно эта информация представляет собой целостную совокупность взаимосвязанных образов, обеспечивающих упорядоченность или определенность некоторой учебной ситуации. Информация, объемом N может быть закодирована различными способами и представлена в виде сообщения (Мп). Восприятие и понимание (извлечение смысла или воображение целостной совокупности взаимосвязанных образов) сообщения зависит от тезауруса приемника, от его объема и содержания образов в нем, т.е. в зоне воображения может отразиться весь код сообщения или только его часть, а может отсутствовать отражение образов вообще (полное непонимание). Объем отраженной информации в зоне воображения примем за X.
Отношение количества передаваемой информации источником (например, в семантических единицах) к количеству обработанной информации приемником можно принять за меру понимания. Критериями измерителя понимания следует принять отношение по количеству входных и отраженных в воображении образов, и по качеству этих образов, т.е. по глубине и полноте. Таким образом, измеритель понимания учебно-вербальной информации определяется тремя критериями: глубиной и полнотой образов, а также степенью покрытия.
Глубина понимания характеризуется содержанием структуры образа, его связей и смысла отношений с другими образами, включенности его в классы и подклассы понятий. Другими словами, если при восприятии объекта в воображении формируется его образ с четкой иерархической структурой, включающей все необходимые связи, а также смысловые отношения с другими образами, снимающими большую неопределенность ситуации (более высокая пирамида образа
и его место в схеме ментальных понятий ситуации), то имеем более глубокое понимание рассматриваемого объекта (рис. 3).
А
<--------------------->
полнота
Рис. 3. Глубина и полнота понимания
Полнота понимания объекта при его восприятии характеризуется количеством возможных и воображаемых в образе свойств и связей между ними. Другими словами полноту понимания объекта можно определить как объем информации воображаемого образа. В этой связи степень понимания воспринимаемого объекта можно определить как глубину и полноту воображаемого образа, т.е. умением приемника выделить в объекте понимания главные, существенные, определяющие признаки, свойства и т.п., сопоставить их с нужными, релевантными образами.
В любом сообщении содержатся образы нескольких объектов и понятий. Степень понимания сообщения следует определить как интегральную глубину и полноту понимания отдельных его образов. Помимо глубины и полноты понимания сообщения целесообразно ввести третью характеристику - степень покрытия сообщения тезаурусом приемника.
Предположим, из внешней среды поступило сообщение объемом N т.е. содержащее N семантических единиц, а приемник отразил (активизировал в зоне памяти и сформировал в зоне воображения) Х образов. Тогда, степень покрытия будет определяться отношением:
к = X
покрытия ^ *
При этом качество каждого образа в этой формуле не учитывается, поскольку их глубина и полнота рассматриваются в виде отдельных критериев понимания. Качество и количество семантических единиц зависит от целей и содержания обучения, другими словами, преподаватель в рамках своей дисциплины сам определяет, что требуется понять студенту и в каком объеме. Все три параметра (глубина, полнота понимания и степень покрытия) определяют уровень понимания воспринимаемой информации. Условно разобьем каждую характеристику на три уровня: низкий, средний и высокий (табл. 1).
Таблица 1.
Описание уровней полноты, глубины понимания и степени покрытия
Параметры Низкий Средний Высокий
Глубина Выделение несущественных признаков и свойств объекта. Выделение только части существенных признаков и свойств воспринимаемого Выделение существенных признаков и свойств воспринимаемого
Отсутствие представления иерархии классов и подклассов, в которые входит воспринимаемый объект. Слабый уровень оперирования абстрактными понятиями. Слабое представление области их применения. объекта (не менее 60% к эталону), в результате чего сформирована разорванная иерархия классов и подклассов, в которые входит воспринимаемый объект. Понимание только прямой зависимости одного объекта от другого. Переход от конкретного воспринимаемого объекта к абстрактному. Частичное представление области применения воспринимаемого объекта. объекта разных уровней, включение его в классы образов по общим свойствам и признакам. Представление иерархии классов и подклассов, в которые входит воспринимаемый объект. Понимание сложной зависимости одного объекта от другого. Переход от конкретного воспринимаемого объекта к абстрактному. Знание области применения воспринимаемого объекта.
Полнота Слабое представление свойств и признаков воспринимаемого объекта, отсутствие связей и отношений между ними. Слабое знание возможных форм и видов представления воспринимаемого объекта. Отсутствие представления структуры сложного объекта. Знание и выделение неполного объема признаков и свойств воспринимаемого объекта (не менее 60% к эталону) , частичная установка связей между ними. Знание только части форм и видов представления воспринимаемого объекта. Слабое представление структуры сложного объекта. Знание и выделение признаков и свойств воспринимаемого объекта по эталону, установка связей и отношений между ними. Знание форм и видов представления воспринимаемого объекта по эталону. Умение привести целый класс конкретных примеров подобных объектов. Умение сложный объект разбить на более простые объекты.
Степень покрытия &<=0,6 ^0,6 ^=0,9
Представив все три параметра понимания в трехмерном пространстве и разделив оси на три уровня (1 - низкий, 2 - средний, 3 - высокий), получим куб, состоящий из 27 частей (рис. 4). Каждая часть куба описывает различные уровни понимания. Например, сегмент (1,1,1) - это уровень полного непонимания, где входная информация абсолютно новая для приемника и в зоне памяти нет ментальных образов для ее усвоения. Последний уровень (3,3,3) описывает ситуацию, когда входная информация человеку уже знакома и ничего нового для него в себе не несет, т.е. происходит полное понимание. В процессе обучения нас интересуют те уровни, которые обеспечивают достаточное понимание изучаемого материала для дальнейшей ее обработки и применения.
Рис. 4. Уровни понимания
Задав каждому уровню трех характеристик вес (1 - низкий, 2 - средний и 3 -высокий), получим суммарный вес уровня понимания. Таким образом, условно можно выделить пять уровней понимания учебно-вербальной информации: уровень узнавания, распознавания, интерпретации, снятия неопределенности и творческий уровень (табл. 2).
Таблица 2
Уровни понимания учебно-вербальной информации_________________
Г П СП Суммарный вес Уровень понимания Описание уровня понимания
1 1 1 1 3 Уровень узнавания Неполное понимание (припоминание). Опознание воспринимаемого объекта как уже известного по прошлому опыту
2 1 1 2 4
3 1 2 1 4
4 2 1 1 4
5 1 1 3 5 Уровень распознавания Понимание на основе близких из тезауруса к воспринимаемым образов (подобие, сходство)
6 1 2 2 5
7 1 3 1 5
8 2 1 2 5
9 2 2 1 5
10 3 1 1 5
11 1 2 3 6 Уровень интерпретации Внутренне понимание воспринимаемого (ассоциация, интуиция).
12 1 3 2 6
13 2 1 3 6
14 2 2 2 6
15 2 3 1 6
16 3 1 2 6
17 3 2 1 6
18 1 3 3 7 Уровень снятия неопределенност Понимание на репродуктивном уровне. Наличие объяснений и выводов,
19 2 2 3 7
Г П СП Суммарный вес Уровень понимания Описание уровня понимания
20 2 3 2 7 и почему вводится то или иное понятие. Способность объяснить понимаемое своими словами.
21 3 1 3 7
22 3 2 2 7
23 3 3 1 7
24 2 3 3 8 Творческий уровень Полное понимание. Формирование собственных теорий и новой системы знаний на основе имеющейся
25 3 2 3 8
26 3 3 2 8
27 3 3 3 9
Примечание. Г - глубина, П - полнота, СП - степень покрытия
Оценка уровня понимания в курсе «Математическая физика»
В качестве примера оценки уровня понимания приведем фрагмент теста с открытыми вопросами, позволяющий определить готовность студентов к изучению курса «Математическая физика».
Математическая физика - это математический аппарат изучения физических процессов и явлений, позволяющий математически описывать их, проводить анализ и предсказывать результаты. В процессе изучения данной дисциплины студенты должны познакомиться с основными идеями, понятиями и фактами предмета для сознательного восприятия процедур прикладного анализа. Им предстоит получить представление об основных уравнениях математической физики и овладеть методикой нахождения их решений [6]. Более того, студенты продолжают изучать уравнения математической физики в рамках таких дисциплин, как численные методы, компьютерное моделирование и т.д.
Однако, как показывает опыт преподавания, многие студенты не готовы к изучению данного курса, т.к. у них не сформированы на должном уровне опорные знания, полученные на предшествующих дисциплинах естественно-математического блока. В связи с этим, преступая к изучению курса «Математическая физика» необходимо проводить предварительный контроль опорных знаний с целью получения сведений об исходном уровне познавательной деятельности студентов. Результаты такого контроля могут быть использованы для адаптации учебного процесса к особенностям контингента учащихся.
Прежде чем проводить предварительный контроль опорных знаний, необходимо определить систему этих знаний, без которых процесс обучения курсу будет невозможен или затруднен. Условно можно разбить эту систему на две части: знание и понимание физических понятий и законов, знание и понимание математического аппарата, с помощью которого решаются задачи математической физики. В нашем диагностическом материале рассматривается только вторая часть опорных знаний математической физики. В качестве примера рассматриваются только понятия «функция», «производная» и «дифференциальные уравнения». Приведем фрагмент системы ментальных образов математического аппарата, необходимых для успешного освоения материала курса «Математическая физика» (рис. 5).
Рис. 5. Фрагмент системы опорных знаний курса «Математическая физика» из раздела предшествующих математических дисциплин
На основе выделенных ментальных образов был построен диагностический материал определения уровня понимания опорных знаний математической физики с учетом описанных выше параметров: полноты, глубины понимания и степени покрытия сообщения тезаурусом студента (табл. 3).
Таблица 3
Диагностический материал понимания опорных знаний курса «Математическая физика» из раздела предшествующих математических
дисциплин
Понятия № Задание
1. Функция 1.1. Функция одной переменной 1 Приведите примеры указанных функций, запишите их аналитическое задание, схематично изобразите график и укажите их отличительные особенности друг от друга: 1.1. линейной функции; 1.2. нелинейной функции; 1.3. периодической функции.
2 Объясните (своими словами), как Вы понимаете функцию от одной переменной.
3 Выразите и как функцию от х, если известно, что y = 1 + x, z = cos y, u = V 1 - z2 .
4 3 u Даны функции: y = x , z = sin t, f = —. Попытайтесь построить, w как можно больше, различных сложных функций, используя предложенные.
Понятия № Задание
5 Если известно, что f (x) = 2sin(x2), то чему будет равно: 51 f(z) = 5-2- f (3x3) =
6 Если известно, что f (2t + 3) = 5t2 -1, то чему будет равно: 6.1. f (z) = 6.2. f (x2) =
7 Разложите функцию f (x) = cos(lg(1 + x2)) на элементарные функции.
8 Приведите примеры из жизни применения функций одной переменной.
9 Выразите зависимость длины b одного катета прямоугольного треугольника от длины a другого при постоянной гипотенузе с=5. Постройте график этой функции.
10 «График функции - это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты -соответствующими значениями функции у. Обычно рассматриваются графики вещественных скалярных функций одного вещественного переменного f: R ^ R, которые являются множеством точек плоскости R х R ». Выделите основные понятия в тексте и дайте им определения.
11 Объясните (своими словами), что называют графиком функции z = f (x, y) ? Приведите примеры таких функций, заданных словесным или графическим способом.
1.2. Функция нескольких переменных 12 Приведите примеры различных функций, зависящих от двух переменных, заданных аналитически.
13 Приведите несколько примеров функций, зависящих от нескольких переменных, заданных аналитически.
14 Если известно, что f (x, y) = xy + y2, то чему будет равно 14.1. f(z, t) = 14.2. f (x3,1) =
15 x2 + 4x + 4 ( \ Если известно, что f (x + 2, y3) = , + sin (xy3 + 2 y31, то y чему будет равно: m. f (z,t) = 15.2. f (x2,2 y) =
16 Приведите примеры из жизни применения функций нескольких переменных.
Понятия № Задание
17 «Функция одной переменной у=Дх) геометрически иллюстрируется своим графиком. Подобную интерпретацию можно дать и для функции двух переменных 2=Дх,у). Если взять в пространстве прямоугольную систему координат с осями (х,у,2), а на плоскости (х,у) - область М и в каждой точке М(х,у) восстановить перпендикуляр к плоскости (х,у), отложив на нём значения 2=Д(х,у), то геометрическим местом полученных таким способом точек будет некоторая поверхность. В свою очередь, равенство 2=Д(х,у) называется уравнением поверхности». Выделите основные понятия в тексте и схематично изобразить их на графике.
18 Опишите (своими словами), как вы понимаете понятие производной функции Дх).
2.1.Производная функции одной переменной 19 Приведите несколько примеров задач, приводящих к физическому смыслу производной.
20 Приведите несколько примеров задач, приводящих к геометрическому смыслу производной.
2. Производная 21 &2 Свободно падающее тело движется по закону ^ = ——, где g 2 (= 9,8 м / с2) есть ускорение силы тяжести. 21.1. Схематично изобразите траекторию движения тела. 21.2. Схематично изобразите график зависимости пройденного пути от времени. 21.3. Получите формулу скорости падающего тела для момента времени 1 21.4. Найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени от 5 до 6 сек.
22 Приведите примеры применения производной в жизни?
23 8(г)=2г+бг2(м), V(t)=S,(t)=2+12t(м/c), У(2)=26(м/с). Прокомментируйте ход решения задачи. Какие исходные данные были даны, а что необходимо было найти?
к 0 а Д с 24 Объясните (своими словами), как Вы понимаете понятие частной производной функции и = / (х, у)
Н 1= а с* \ <-м Е 25 Приведите примеры частной производной функции и = /(х, у). 25.1. по переменной х; 25.2. по переменной у.
26 Установите связь между производной и частной производной.
Понятия № Задание
27 При гармоническом колебательном движении по оси абсцисс, около начала координат скорость точки задается формулой: dx 2ж (2nt Л „ ~ , — = — cosí ^Фо\, где t- время, T - период колебания, р0 - dt T ^ T ) начальная фаза. dx 27.1. Что обозначает отношение ? Что описывает х? dt 27.2. Попытайтесь схематично изобразить график движения точки относительно времени t. 27.3. Найдите положение точки в момент времени t2, если известно, что в момент tj она находилась в точке X = X.
28 «Если первые частные производные функции u(x,y) определены в некоторой окрестности точки М0(х0,_у0) и непрерывны в самой точке M0, то данная функция имеет полный дифференциал в этой точке». Выделите основные понятия в теореме и дайте им определение.
3. Дифференциальные уравнения к о ы н Д е в О д % ы ю О .3 29 Объясните (своими словами), что называют обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).
30 Какие виды ОДУ Вы знаете? Приведите примеры.
31 Что является решением дифференциального уравнения f (X, у, у', y") = 0 ?
32 Скорость прямолинейного движения точки равна u(t) = . Найдите зависимость пути от времени, если известно, что через 1 сек. точка прошла 1 м.
33 Сколько произвольных постоянных (постоянных интегрирования) будет в решение обыкновенного дифференциального уравнения у' = ? Почему?
34 «Необходимо отметить, что не существует общих методов интегрирования дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, интегрируемы с помощью известных методов, в приложениях встречаются сравнительно редко. В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Среди приближенных методов выделяют аналитические и числовые». Выделите основные понятия в тексте и дайте им определение.
д 5 3 о в со Д О 6 S S 3 и н о СЗ F о п .3 35 Объясните (своими словами), что называют дифференциальным уравнением с частными производными.
36 Какие виды дифференциальных уравнений с частными производными Вы знаете? Приведите примеры.
37 Что является решением дифференциального уравнения f (X ^ Ux, Uy ) = 0 ?
38 Почему дифференциальные уравнения описывают целый класс функций?
39 Где в жизни используются дифференциальные уравнения?
40 Порядком дифференциального уравнения с частными производными называют порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Приведите примеры дифференциальных уравнений первого, второго и третьего порядка.
После выполнения студентами теста заполняется оценочный лист (табл. 4). Номера заданий в оценочном листе стоят не в хронологическом порядке. Это связано с тем, что логически верно сначала ставить вопросы на оценку полноты понимая, затем - глубины, а потом - степени покрытия сообщения тезаурусом приемника. Однако мы, как и А.А. Смирнов, считаем, что основной характеристикой уровней понимания является глубина.
Используя описание параметров понимания по уровням (табл. 1) в оценочном листе под номерами заданий, соответствующих каждому параметру, выставляются веса: 1 - низкий уровень, 2 - средний, 3 - высокий.
Для оценки заданий на диагностику степени покрытия сообщения тезаурусом студента считается количество понятий «закодированных» в сообщении (N), количество понятий, описанные студентом (Х) и вычисляется коэффициент степени покрытия K=X/N. Семантические единицы и их количество, заключенное в сообщение, указаны в оценочном листе, рядом с номером задания. В столбце «Среднее значение» выставляется уровень степени покрытия сообщения тезаурусом обучаемого (табл. 1).
После проверки теста для каждой строки в столбце «Среднее значение» подсчитывается средний вес каждого параметра. По полученной весовой триаде (Глубина, Полнота, Степень покрытия) для каждого раздела определяется уровень понимания (табл. 2) каждой единицы опорных знаний.
Таблица 4.
Оценочный лист
№ № П. П П Номера заданий Оценочные веса параметров понимания Сред. знач. Уровень понимания
1 1.1. Г 5.1 5.2 6.1 6.2 7 8 9
П 1.1 1.2 1.3 2 3 4
СП 10 Абсцисса, ордината, аргумент, значение функции, вещественное число, скалярная величина. N=6
1.2. Г 14.1 14.2 15.1 15.2 16
П 11 12 13
СП 17 Система координат (х,у,2), плоскость, точка, значение функции, перпендикуляр, поверхность. N=6
2 2.1. Г 21.1 21.2 21.3 21.4 22
П 18 19 20
СП 23 Исходные данные, путь, скорость, производная, значение скорости в момент времени 1 N=5
2.2. Г 26 27.1 27.2 27.3
П 24 25.1 25.2
№ № П. П П Номера заданий Оценочные веса параметров понимания Сред. знач. Уровень понимания
СП 28 Частная производная первого порядка, производная определена, производная непрерывна, полный дифференциал. N=4
3 3.1. Г 32 33
П 29 30 31
СП 34 Интеграл, дифференциальное уравнение, решение ДУ, методы решения, аналитический метод, числовой метод решения. N=6
3.2. Г 38 39
П 35 36 37
СП 40 Дифф частн первс поряд эеренциальное уравнение с ыми производными, ДУ >го порядка, ДУ второго ща, ДУ третьего порядка. N=4
Примечание: 1111 - параметр понимания, Г - глубина понимания, П - полнота понимания, СП - степень покрытия, ДУ - дифференциальное уравнение.
Таким образом, на основе полученных результатов преподаватель планирует, если необходимо, повторение (объяснение) материала, а также учитывает эти результаты в дальнейшей организации учебно-познавательной деятельности студентов в курсе «Математическая физика».
Резюмируя вышеизложенное, выделим основополагающие позиции. Во-первых, если рассматривать обучение как информационный процесс, то можно выделить такую формализованную характеристику как уровень понимания. Во-вторых, данный уровень может быть диагностирован и выражен в количественных единицах. Наконец, согласно результатам диагностики уровня понимания возможно повысить качество обучения, формируя дальнейшую стратегию: переход на более сложный уровень содержания или возврат и доформирование «непонятых» семантических единиц.
Заключение
В качестве вывода приведем следующие положения, важные, по мнению автора, для организации педагогического процесса:
1) преступая к изучению нового материала, необходимо определить готовность обучаемого к восприятию и пониманию новых понятий, а именно определить, какие опорные знания сформированы на должном уровне, а что необходимо скорректировать и дополнить;
2) диагностика уровня понимания изученного материала должна осуществляться с учетом полноты, глубины понимания и степени покрытия сообщения тезаурусом приемника;
3) в рамках изучаемой темы необходимо определить «зеленый коридор» понимания, а именно, какого качества и в каком количестве у обучаемого должны быть сформированы образы данной предметной области;
4) необходимо определять наиболее оптимальные способы представления учебно-вербальной информации, обеспечивающих более полное понимание.
Структурированная согласно описанной модели понимания учебная информация и адаптированная в соответствии с ней последовательность педагогических воздействий, по мнению автора, способны повысить эффективность обучения в области естественно-математических дисциплин. Предложенная диагностика поможет определить на каком уровне учебно-вербальная информация была понята обучаемыми.
В дальнейшем предполагается исследовать средства и методы обучения, позволяющие повышать уровень понимания учащимися учебного материала, выявить оптимальное соотношение представления в нем вербальной и визуальной информации, определить методики обучения, обеспечивающие более высокий уровень его понимания.
Литература
1. Знаков В.В. Понимание как проблема психологии мышления // Вопросы психологии. 1991. №1. - С. 18-26.
2. Коржавина Н.В. Активизация понимания студентами учебного материала средствами информационных технологий: дис.... канд. пед. наук. Екатеринбург, 2007. - С. 103-142.
3. Коробов Е.Т. Понимание как дидактическая проблема // Московский
психологический журнал. - 2005. №11. URL:
http://magazine.mospsy.ru/nomer11/s10.shtml (дата обращения: 27.03.2011)
4. Никифоров А.М. Понимание понимания пониманием // Материалы Российского междисциплинарного семинара по темпорологии. 2005. URL: http://www.chronos.msu.ru/RREPORTS/nikiforov_ponimanie.htm (дата обращения: 27.03.2011)
5. Пак Н.И. Информационный подход в обучении // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции. Бийск: БПГУ им. В. М. Шукшина, 2010. С. 25-29.
6. Рукосуева Д.А. Методика отбора содержания дисциплины «Уравнения математической физики» // Открытое образование: опыт, проблемы, перспективы: материалы IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (Красноярск, 15-16 мая 2008 г.). Красноярск, 2008. - С. 243-245
7. Рукосуева Д.А. Особенности восприятия математических знаний с использованием методов визуализации // Молодежь и наука XXI века: Материалы XI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием. Том 1. Красноярск, 2010. - С. 225 - 227.
8. Смирнов А. А. Проблемы психологии памяти. М, 1966. - 168 с.
9. Солсо Р.Л. Когнитивная психология. 6-е изд. СПб.: Питер, 2006. - 589 с.
10. Столяренко Л.Д. Основы психологии. Ростов н/Д: Феникс, 2003. - 672 с.
11. Gallargo J. Gonzalez J.L. Assessing understanding in mathematics: steps towards an operative model // For the Learning of Mathematics 26, 2 (July, 2006). FLM Publishing Association, Edmonton, Alberta, Canada. 2006. - P. 10-15
12. Nicolaou A.A., Pitta-Pantazi D. A new theoretical model for understanding fractions at the elementary school. University of Cyprus, 2010. URL: http://www. cerme7 .univ. rzeszow.pl/W G/2/CERME7_W G2_Nicolaou-Pitta.pdf
