CC BY
17
т
¿А
^ СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 539.3
Павлов В.П. - доктор технических наук, профессор E-mail: victor.pavlov.1951@gmail.com Нусратуллин Э.М. - старший преподаватель E-mail: nusratullinem@rambler.ru Филиппов А.А. - младший научный сотрудник E-mail: sigur ros@list.ru
Уфимский государственный авиационный технический университет
Адрес организации: 450000, Россия, г. Уфа, ул. К. Маркса, д. 12 Мухамедова И.З. - кандидат физико-математических наук, доцент E-mail: muhamedova-inzilij a@mail.ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Адрес организации: 420043, Россия, г.Казань, ул. Зеленая, д. 1
Методика определения упругих характеристик гибридного композиционного материала и оценка ее точности
Аннотация
Предлагается методика расчета эффективных характеристик жесткости гибридного композиционного материала (ГКМ) с двумя видами армирующих волокон, базирующаяся на конечно-элементном анализе напряженно-деформированного состояния представительного элемента ГКМ в пакете ANSYS. Рассматривается ГКМ на основе магниевой матрицы, армированной углеродными и борными армирующими волокнами. При заданной структуре ГКМ вычислены эффективные характеристики его жесткости.
Ключевые слова: гибридный композиционный материал, эффективные
коэффициенты жесткости.
Постановка задачи и этапы её решения
В изделиях современной техники широко применяют гибридные композиционные материалы (ГКМ), армированные одновременно двумя видами волокон (например, борными и углеродными).
При расчетах конструкций на прочность и жесткость обычно неоднородный гибридный композиционный материал заменяют эквивалентным ему однородным анизотропным материалом, для которого необходимо знать характеристики упругости. При этом возникают две проблемы:
- что понимать под эквивалентностью неоднородного композиционного материала и однородного анизотропного материала;
- как определить эффективные упругие характеристики эквивалентного анизотропного материала.
В связи с этим существует актуальная задача механики композиционных материалов - вычисление эффективных характеристик упругости композитов на основе информации о физико-механических свойствах их компонент и законах распределения армирующих элементов по объему композиционного материала.
Следует отметить, что нет однозначного решения данной задачи, и каждый исследователь может реализовать свой путь.
В данном исследовании математически моделируются характеристики упругости гибридного композиционного материала на основе метода конечного элемента с применением программного комплекса ANSYS. При этом сначала создается идеализированная физическая модель представительного элемента ГКМ на основе магниевой матрицы, армированной углеродными и борными волокнами; затем формируется конечно-элементная модель данного элемента ГКМ; далее в пакете ANSYS рассчитываются напряжения на боковых поверхностях представительного элемента ГКМ
* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект 2012-1.4-12-000-1004-006).
при шести основных видах его деформации (растяжениях и сдвигах) и вычисляются эффективные коэффициенты жесткости анизотропного однородного материала, эквивалентного рассматриваемому гибридному композиционному материалу.
Оценка точности предлагаемой методики выполняется на примере рассмотрения изотропного и ортотропного материалов, для которых известны точные соотношения закона Гука между напряжениями и деформациями.
Представительный элемент гибридного композиционного материала
В работе формируется представительный элемент трехкомпонентного гибридного композиционного материала на основе магниевой матрицы, содержащий углеродные и борные армирующие волокна (рис. 1).
Представительный элемент ГКМ имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами сторон ах, ау, а2, измеряемыми соответственно вдоль координатных осей
X, У, 2 (рис. 1). В нем одно прямое борное волокно диаметра ¿в = 100 мкм и четырнадцать прямых углеродных волокон цилиндрической формы диаметра ¿с = 10 мкм (рис. 1). Борное волокно направлено вдоль оси У, а углеродные волокна
направлены вдоль оси X (рис. 1). Расстояние между соседними углеродными волокнами вдоль оси 2 и минимальное расстояние между борным и углеродным волокнами равным А с = 2 мкм (рис. 1). Минимальные расстояния от углеродных волокон до боковых граней представительного элемента, перпендикулярных осям У и 2, равны соответственно А су = 1 мкм и А сх = 1 мкм (рис. 1).
Рис. 1. Слоистая структура гибридного композиционного материала
Расстояние от борного волокна до боковых граней представительного элемента, перпендикулярных оси X равно Авх = 5 мкм (рис. 1). На основе указанных размеров определяются размеры представительного элемента вдоль координатных осей:
ах = ¿в + 2А вх, ау = ¿с + 2АСУ. (1)
а2 = 14^с + 14А с + 2А С2,
При указанных размерах:
• общий объем представительного элемента ГКМ равен V = ахауа2 ;
2
• объем углеродной компоненты равен Vс = 14л^сах / 4;
2
• объем борной компоненты равен Vв = ^¿ва2 /4.
На основе данных выражений коэффициенты армирования ГКМ по углеродным (Чс ) и борным (Чв) волокнам определяются по формулам:
Чс = Vс / V = 0,34; Чв = Vв / V = 0,26. (2)
Компоненты ГКМ имеют следующие характеристики:
• матрица из магниевого сплава МЛ-10: Ем = 0,44 • 1011 Па, V= 0,28 ;
• углеродные армирующие волокна: Е^ = 3 • 1011 Па, Пс = 0,2;
• борные армирующие волокна: Ев = 4 • 1011 Па , Vв = 0,25 .
Анизотропный однородный материал, эквивалентный гибридному композиционному материалу
Существующие пакеты программ не позволяют рассчитывать напряженно-деформированное состояние конструкций из композиционных материалов с полным учетом его структуры. Поэтому при расчетах неоднородный композиционный материал заменяется эквивалентным ему однородным анизотропным материалом.
В качестве эквивалентного в работе рассматривается ортотропный материал, для которого связь между напряжениями О х, О у, О 2, X ху, X у2, X х2 и деформациями
е х, е у, е 2, у ху, у у2, у х2 определяется шестью соотношениями закона Гука:
О х = Е1,1е х + Е1,2 еу + Е1,3 е 2 >
О у = Е2,1ех + Е2,2 еу + Е2,3е 2 = (3)
О 2 = Е3,1е х + Е3,2 еу + Е3,3 е 2 = х ху = Е4,4 у ху ’ Х у2 = Е5,5 у у2, х х2 = Е6,6 у х2.
Необходимые для практического применения соотношений системы (3) значения коэффициентов жесткости ЕI j, /, ] = 1, 2, 3 , Е4 4, Е5 5, Еб 6 эквивалентного
материала получаются на основе математического моделирования деформирования представительного элемента из ГКМ.
В соответствии с соотношениями (3) реализуется шесть экспериментов, в каждом из которых только одна из компонент деформации отличается от нуля.
Моделирование упругих характеристик гибридного композиционного материала в пакете ANSYS
Для определения эффективных коэффициентов жесткости ГКМ реализуется шесть экспериментов.
В первом эксперименте реализуется деформация представительного элемента при которой: е х Ф 0, еу = е 2 = уху = уу2 = ух2 = 0 . Изменение формы и размеров
представительного элемента в этом случае показаны на рис. 2, а .
При линейной деформации е х Ф 0 перемещения точек на поверхностях
представительного объема определяются следующим алгоритмом:
• перемещения точек на всех гранях представительного объема вдоль направлений осей У, 2 равны нулю Уг = ^г = 0,
• на всех гранях представительного элемента перемещения точек вдоль оси X определяются выражением иг = ехх.
Рис. 2. Деформации представительного элемента ГКМ: а - линейная деформация при ех Ф 0, Ь - сдвиговая деформация при у ху ф 0
Далее средствами А№У8 строится конечно-элементная модель представительного элемента ГКМ рассматриваемого представительного элемента и определяется его напряженное состояние. Затем на всех трех гранях представительного элемента ГКМ определяются
—(е х) —(е х) —(е х)
осредненные напряжения О х , О у , О 2 , при подстановке которых в первые три
уравнения системы (3) получаются выражения для определения коэффициентов жесткости:
Ец = О%* >/ ех, Е2Д =Оуех )/ ех, Е3Д =о2Ех )/ ех (4)
Второй и третий эксперименты во многом схожи с первым экспериментом.
Так, во втором эксперименте задается отличная от нуля деформация
эквивалентного материала е у Ф 0 , а остальные деформации приравниваются нулю:
еу Ф 0, ех = е г = уху = уу2 = ухг = 0 (5)
При заданной деформации е средствами пакета АШУ8 определяются осредненные
__(е у ) _(е у ) _(е у )
напряжения: о ^ , о у^ , о 2у , при подстановке которых в первые три уравнения
системы (3) получаются выражения для определения коэффициентов жесткости:
Е,2 =°ху ]/еу, Е 2,2 =О (уу}/е у, Е3,2 =О 2£ у}/еу . (6)
В третьем эксперименте задается отличная от нуля деформация эквивалентного материала е2 Ф 0, остальные деформации считаются равными нулю:
е2 Ф 0, е х =еу =уху =уу2 =у2х = 0- (7)
При заданной деформации е2 рассчитываются осредненные напряжения (е ) (е ) (е )
ох , оу 2), О2 , при подстановке которых в первые три уравнения системы (3)
получаются выражения для определения коэффициентов жесткости:
Е1,3 =ох£2}/е2, Е23 =оуЁ2)/, Е33 =0<£2}/е2 . (8)
Для определения характеристик жесткости при сдвиге рассматривается деформирование представительного элемента при деформациях сдвига уху, уу2, ух2.
Так, в четвертом эксперименте задается отличной от нуля только сдвиговая деформация уху : уху Ф 0, ех =еу =е2 =уу2 =ух2 = 0 (рис. 2, Ь ). При этом
перемещения точек на поверхностях представительного объема определяются по алгоритму:
• перемещения всех точек на всех гранях представительного объема вдоль направлений осей У, 2 равны нулю Уг = ^г = 0;
• перемещение точек вдоль оси X определяются формулой иг = ухуу .
Далее средствами А№У8 определяется осредненное напряжение х^у^), при подстановке которого в четвертое уравнение системы (3) получается выражение для определения коэффициентов жесткости Е4 4 = Ххх ^ / уху .
В пятом эксперименте рассматривается представительный элемент при отличной от нуля деформации сдвига уу2: уу2 Ф 0, е х =е у =е 2 =уху =ух2 = 0. Затем
_( у )
определяется осредненное напряжение Х уг , при подстановке которого в пятое уравнение системы (3) получается выражение для определения коэффициента жесткости
Е5,5 =х£')/ у2 .
В шестом эксперименте рассматривается представительный элемент при отличной от нуля деформации сдвига ух2: ух2 Ф 0, е х =е у =е 2 =уху = уу2 = 0. На основе
_( у )
АК8У8 определяется осредненное напряжение Х у2 , при подстановке которого в шестое уравнение системы (3) получается выражение для определения коэффициента жесткости
Е' = х(ух2) /у
-С/6,6 1х2 1 I х2 .
Таким образом, шесть математических экспериментов позволяют определить все входящие в закон Гука (3) характеристики жесткости однородного ортотропного материала, эквивалентного неоднородному ГКМ.
В результате расчетов при числе узлов конечно-элементной сетки N » 1-106 были получены следующие значения эффективных коэффициентов жесткости ГКМ в (Па):
Е1Д = 1,4 • 1011, Е12 = 3,9 • 1010, Е13 = 3,1 • 1010,
Е21 = 3,9 • 1010, Е22 = 1,9 • 1011, Е23 = 4,3 • 1010,
Е31 = 3,1 • 1010, Е3,2 = 4,3 • 1010, Е33 = 1,0 • 1011, (9)
Е44 = 4,2 • 1010, Е55 = 4,1 • 1010, Е66 = 3,3 • 1010
Оценка погрешности по эталонной задаче для изотропного материала
При любом математическом моделировании некоторого процесса возникает вопрос о точности получаемых результатов. В связи с этим разработанная методика расчета коэффициентов жесткости гибридного композиционного материала проверялась при решении модельных задач, имеющих точное решение.
При первой проверке всем компонентам ГКМ присваивались значения характеристик упругости изотропного материала (выбрана матрица). В этом случае при верном алгоритме и качественной реализации в пакете ЛК8У8 должны получаться эффективные характеристики жесткости равные характеристикам жесткости выбранного изотропного материала.
Следуя такому подходу, были выполнены расчеты коэффициентов жесткости при различном числе узлов конечно-элементной сетки N и на их основе рассчитаны погрешности расчетов по формуле:
ЕТ-
і = 1,...,6, і=1,...,6,
(10)
где Ет - точное значение коэффициента жесткости материала,
Е і - расчетное значение коэффициента жесткости материала.
Зависимости погрешностей расчетов 8/ от десятичного логарифма числа узлов конечно-элементной сетки N для изотропного материала представлены на рис. 3.
їді -ртН
І/
-12
О -Елл Д - Є22 п "Езз Эталонный изотропный материал
й >
/
. . ~^ч .
ІЯ I
-12
-4
О -Еи Д -Е55 □ - Ет Эталонный изотропный материал
$в%- г
7 ІдА/
7 ІдЛ/
Рис. 3. Погрешности расчетов коэффициентов жесткости Е д модельного изотропного материала в зависимости от числа узлов N конечно-элементной сетки
Из рис. 3 видно, что при максимальном числе узлов N -5
1 • 106 погрешность
расчетов 5.. < 1 • 10 5. Кроме этого, из рис. 3 видно, при числе узлов N > 1-10° и
наблюдается тенденция увеличения погрешности, т.е. дальнейшее увеличение числа узлов не приведет к повышению точности расчетов, а, наоборот, приведет к увеличению погрешности расчетов из-за увеличения вычислительной ошибки, возникающей при выполнении арифметических операций в процессе математических вычислений.
При второй проверке всем компонентам ГКМ присваивались значения характеристик упругости ортотропного материала с характеристиками, близкими к характеристикам анализируемого ГКМ. В этом случае при верном алгоритме и качественной реализации в пакете ЛК8У8 должны получаться эффективные характеристики жесткости, равные характеристикам жесткости модельного ортотропного материала.
Зависимости погрешностей расчетов 5у от десятичного логарифма числа узлов
конечно-элементной сетки N для ортотропного материала представлены на рис. 4.
.1^-1
-12
-4
о д -Е п 33 Эталонный ортотропный материал
& ;
8—8- /
-12
-4
О -б44 Л -^55 . П 66 Эталонный ортотропный материал
ІдА/
ІдА/
Рис. 4. Погрешности расчетов коэффициентов жесткости Емодельного ортотропного материала
У
в зависимости от числа узлов N конечно-элементной сетки
Результаты расчетов для ортотропного материала во многом схожи с результатами расчетов для изотропного материала.
Видно (рис. 4), что минимальная погрешность, равная Ьд »1 • 10 5 , наблюдается
при числе узлов Nтях »1 • 106 . Из рис. 4 видно, при числе узлов N > 1-106
наблюдается тенденция увеличения погрешности с ростом N .
Таким образом, исследования по оценке точности при решении эталонных задач
показали, что оптимальной является конечно-элементная сетка при N » 1 • 106 узлов, для
которой погрешность расчетов не превышает величины
5И = 1 •10
-5
Ориентируясь на эту величину, можно ожидать, что и для ГКМ погрешность прогнозирования коэффициентов жесткости ГКМ, представленных в (9), при числе узлов
6 3
N = 1 -10 не превысит величины dj = 1 • 10 , необходимой для инженерных расчетов.
Выводы:
1. Предложена методика определения эффективных характеристик жесткости гибридного композиционного материала на основе магниевой матрицы, армированной борными и углеродными волокнами, базирующаяся на методе конечного элемента с применением программного комплекса ANSYS.
2. Сформирована модель представительного элемента гибридного композиционного материала, состоящая из одного борного и четырнадцати углеродных волокон, и на основе пакета ANSYS вычислены эффективные коэффициенты жесткости анизотропного однородного материала, эквивалентного рассматриваемому ГКМ.
3. На основе решения модельных задач, имеющих точное решение, проведен анализ зависимости погрешности расчетов от количества узлов конечно-элементной сетки и выяснено, что до числа узлов N »1 • 106 точность расчетов возрастает, а далее с ростом N в связи погрешностью арифметических вычислений точность расчетов убывает. Оптимальной является сетка с числом узлов N »1 • 106, при которой ожидаемая погрешность прогнозирования коэффициентов жесткости ГКМ не превысит достаточной для инженерных расчетов величины dj = 1-10 3.
Список литературы
1. Каюмов Р. А. Связанная задача расчета механических характеристик материалов и конструкций из них // Механика твердого тела, 1999, № 6. - С. 118-127.
2. Каюмов Р.А. Расширенная задача идентификации механических характеристик материалов по результатам испытаний конструкций // Механика твердого тела, 2004, № 2. - С. 94-105.
3. Каюмов Р.А, Мухамедова И.З., Шакирова А.М., Абдуллин И.Ш., Хамматова В.В. Анализ влияния холодной плазмы на жесткостные характеристики полимерных материалов // Известия КГАСУ, 2010, № 1 (13). - С. 302-307.
Pavlov V.P. - doctor of technical sciences, professor
E-mail: victor.pavlov.1951@gmail.com
Nusratullin E.M. - senior lecturer
E-mail: nusratullinem@rambler.ru
Filippov A.A. - junior researcher
E-mail: sigur ros@list.ru
Ufa State Aviation Technical University
The organization address: 450000, Russia, Ufa, Karl Marx st., 12
Muhamedova I.Z. - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
E-mail: muhamedova-inzilij a@mail.ru
Kazan State University of Architecture and Enginieering
The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1
The methodology of determining the elastic characteristics of a hybrid composite material
and estimation of its accuracy
Resume
A method is proposed to calculate the effective characteristics of rigidity of a hybrid composite material (HCM) with two types of reinforcing fibres, based on the finite-element analysis of stressed-deformed state of the representative element of the HCM on the package
ANSYS. Covers HCM on the basis of magnesium matrix, the reinforced carbon and boric reinforcing fibers. Several model problems are solved. When given the structure of the GCM calculated effective characteristics of its stiffness. On the example of reference objectives of the analysis of the accuracy of the developed method and it is shown that this method allows to obtain results with a permissible for practical calculations of the relative error not exceeding 1*10-5. Found the optimal number of grid nodes, where the expected error of prediction coefficients does not exceed the HCM stiffness sufficient for engineering calculations of value. Keywords: hybrid composite material, effective coefficients of stiffness.
References
1. Kayumov R.A. Related problem of calculating of the mechanical characteristics of materials and its structures // Mekhanika tverdogo tela, 1999, № 6. - P. 118-127.
2. Kayumov R.A. Extended task of identifying the mechanical characteristics of materials based on the results of structures’ tests // Mekhanika tverdogo tela 2004, № 2. - P. 94-105.
3. Kayumov R.A., Muhamedova I.Z., Shakirova A.M., Abdullin I.Sh., Hammatova V.V. Analysis of the influence of cold plasma to stiffness characteristics of polymeric materials // Izvestia KGASU, 2010, № 1(13). - P. 302-307.
