CC BY
36
УДК 550.8.528
МЕТОДИКА КАРТОПОСТРОЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
© 2017 г. | Д.Н. Крылов1, М.Д. Крылова2
;000 «Газпром ВНИИГАЗ», Москва, Россия, d_krylov@vniigaz.gazprom.ru; '"ООО «РН-Эксплорейшн», Москва, Россия, md_krvlova@rn-exp.rosneft.ru
INTERPOLATION TECHNOLOGY IN CASE OF COMPLEX MAPPING SOLUTIONS
© 2017 I D.N. Krylov1, M.D. Krylova"
:000 "Gazprom VNIIGAZ", Moscow, Russia, d krylov@vniigaz.gazprom.ru; *000 "RN-Exploration", Moscow, Russia, md_krvlova@rn-exp.rosneft.ru
Поступила 10.01.2017 г. Принята к печати 31.05.2017 г.
Ключевые слова: интерполяция; оптимизация; интерпретация; валидация; достоверность; алгоритм.
В статье описана технология определения оптимального варианта интерполяции при выполнении картопострое-ний по материалам бурения. В рамках предлагаемой технологии используется метод валидации, а также алгоритмы оптимизированной статистической фильтрации в «живом» окне (умное осреднение). Методика предназначена для картирования аномалий сложной формы, выделение которых затруднено даже в условиях хорошей разбуренности территории (неоднозначно решаемая интерпретационная задача).
Received 10.01.2017 Accepted for publishing 31.05.2017
Key words: interpolation; optimization; interpretation; validation; accuracy; algorithm.
Some key geological data could be obtained only on the basis of well information. Technology of interpolation to find optimal well mapping solution is presented in the paper. In case of complex anomaly zone geometry and sparse drilling the mapping could be complex and have multiple different solutions or even not correct. Mapping process could be optimized by the proper choice of interpolation algorithm and data filtration. Technology employs algorithms of linear and optimized statistical interpolation in the "live" window (smart averaging). Mapping error is quantitatively assessed by validation technique, i.e. by removing wells from computing process one by one and calculating each time the interpolated datum error at the removed well location. Then using trial and error method we can test interpolation and filtration options and compare interpolation errors for each set of interpolation parameters. After the error distribution analysis the best interpolation parameters are determined and used for mapping.
В практике геологической интерпретации при построении карт параметров нередко возникает необходимость формирования непрерывной матрицы значений 20 на основе отдельных разрозненных значений, например определенных по данным бурения скважин. Однако такая математическая задача зачастую неоднозначна и может иметь множество существенно различных решений [1, 2, 4]. Ситуация аналогична задаче восстановления формы сигнала, дискретизация которого не является избыточной, а значительная часть дискретных значений отсутствует. Возможность получения достоверного решения, значительным образом не противоречащего «истине», зависит от частоты дискретизации и числа имеющихся дискретных значений (другими словами, числа скважин и их расположения на исследуемой площади), от частотного спектра сигнала (особенностей распределения картируемого параметра в пространстве) и собственно алгоритма восстановления сигнала (картопостроения). При этом принципиально важно установить, имеет ли конкретная задача картопостроения возможность получить корректное решение, максимально приближенное к «истине».
Не в наших силах изменить распределение в пространстве картируемого параметра, аномалии которого могут принимать самые причудливые формы, а также число и расстановку скважин. Однако выбор способа картопостроения находится в компетенции интерпретатора. Тестовые исследования показали, что за счет оптимального выбора алгоритма и параметров интерполяции погрешность результата интерполяции в некоторых случаях можно уменьшить в несколько раз ¡2, 8]. Учитывая тесную корреляционную связь между среднеквадра-тической ошибкой интерполяции и числом интерполируемых значений (т.е. скважин) и имея оценку величин ошибки оптимального и эталонного карто-построений, можно подсчитать экономический эффект от правильного выбора алгоритма и параметров интерполяции.
В рамках предлагаемой технологии картопостроения рассматриваются только алгоритмы классической интерполяции (линейная, бикубическая, соседних значений, модификации умного осреднения). Так называемая сплайновая интерполяция, введу ее очевидной неустойчивости и высокой вероятности
ГЕОЛОГ! 1Я Л
неаэтиигдэА
воспроизведения «артефактов», авторами статьи не используется. Под термином «сплайн-интерполяция» авторы понимают все семейство аналогичных алгоритмов, втом числе реализованных на базе кригинга, радиальных функций и решения дифференциальных уравнений. С помощью каждого из перечисленных видов сплайн-интерполяции можно получать идентичные решения [3, 6, 9]. Начиная с 1970-1980-х гг. сплайн-интерполяция широко используется в специальном программном обеспечении и позволяет в рамках одной процедуры выполнять одновременно фильтрацию и интерполяцию данных, однако имеет ряд очевидных недостатков.
Особую группу составляют алгоритмы стохастической геостатистики, используемые в специальном программном обеспечении начиная с 1980-1990-х гг. [1]. Они позволяют проводить интерполяцию точечных данных путем расчета множества равновероятных случайных реализаций, воспроизводящих заданные характеристики изменчивости среды. При таком подходе фактор неединственности решения как бы контролируется, однако отсутствует количественный критерий выбора оптимальной реализации или суммы реализаций. К сожалению, использование этих алгоритмов в рамках предлагаемой технологии оптимального картопостроения хотя и возможно теоретически, но нереализуемо на практике, поскольку разумно ограниченный во времени анализ большого числа равновероятных реализаций и вариантов их суммирования находится за пределами существующих возможностей современной вычислительной техники.
Методы интерполяции
Поскольку описание известных методов бикубической, линейной интерполяции и интерполяции методом соседних значений можно найти в многочисленных справочниках и учебниках, опишем только появившиеся сравнительно недавно алгоритмы оптимизационной интерполяции, реализованные на основе принципа умного осреднения [7,8].
На рис. 1 представлены результаты интерполяции тестовой выборки данных названными методами. Интерполируемые данные обозначены точками, цветом показаны их значения. Результат бикубической интерполяции наиболее сглажен по сравнению с остальными. Результат линейной интерполяции отличается острыми «выступами», однако в целом идентичен бикубической интерполяции. Тестирование методов интерполяции показало, что точность этих двух алгоритмов во всех случаях практически одинакова [8]. Поэтому в предлагаемой далее схеме оптимизации картопостроепий и выбора алгоритма интерполяции для сокращения времени вычисле-
Результат работы различных алгоритмов интерполяции
Result of application of various interpolation algorithms
/ \
А В
С D
iS
1Л
ВЛ 0
I Qi
Классические способы интерполяции, реализованные в комплексе MATLAB: А — бикубический; В — линейный; С — соседних значений.
Способы оптимизационной интерполяции: D — по критериям наименьших квадратов; Е — максимальной стати стической представительности.
1 - интерполируемые значения
The classic interpolation methods implemented using the MATLAB package: A — bicubic; B — linear; С — nearest neighbor.
Methods of optimal interpolation: D — by the criteria of least-squares; E — maximum statistical representativeness. 1 — interpolated values
I» 0.5 1.0 i.S J.0 ?.5 3.0
66 "Iei'IL ■ .. 0
мий используется только метод линейной интерполяции как наиболее легко реализуемый. Алгоритм соседних значений при интерполяции задает значение, равное ближайшему интерполируемому числу без учета соседних. Метод соседних значений практически во всех случаях дает наибольшую ошибку интерполяции, и по этой причине он также не использован в схеме оптимизации картопостроепий.
Алгоритмы оптимизационной интерполяции, реализованные на основе принципа умного осреднения, в ряде случаев показали себя более эффективными по сравнению с известными методами интерполяции. Рост относительной точности был особенно заметен в случае интерполяции изменчивых (высокочастотных) данных, характеризуемых наличием множества локальных трендов при малом числе интерполируемых значений [8].
Оптимизация в алгоритмах умного осреднения основана на принципе проб и ошибок. Результат интерполяции (прогнозное значение) определяется путем многочисленных попыток осреднения интерполируемых значений в изменяющемся окне на основе выбранного критерия. В процессе оптимизации меняются размеры окна, его форма и положение («живое» окно). Для каждого прогнозного значения
Критерии выбора оптимальных окон интерполяции
Criteria for choosing optimal interpolation window
подбирается свое оптимальное окно осреднения на основе критерия наименьшего средпеквадратиче-ского отклонения или максимальной статистической представительности (рис. 2). Если размеры окна не позволяют завершить интерполяцию за один просчет (область «пустых» значений слишком велика), то цикл оптимизации повторяется с использованием как исходных интерполируемых значений, так и вновь полученных прогнозных.
На рис. 2 проиллюстрированы критерии выбора оптимальных окон интерполяции.
A. Критерий наименьшего средпеквадратиче-ского отклонения значений в окне (см. рис. 2, А):
а= {Е?=1 -у/04 - А^2 / п] Ш1П,
где А — среднее значение параметра в окне; п — размерность окна; Д — значения параметров в окне.
B. Критерий максимальной статистической представительности (см. рис. 2, В) в окне:
а = - ц)} шах,
где .Л/„— общее число значений; Л^, — число действительных значений; р — стабилизирующий фактор (М = 0-3).
Рис. 2.
Fig. 2.
ГЕОЛОГ! 1Я
неаэти и газа
А — наименьшее среднеквадратическое отклонение значений 8 окне; В — максимальная представительность; А* — значение определяемого s результате интерполяции параметра в окне; А, — среднее значение параметра в окне; 1 — исходные (действительные) интерполируемые значения; 2 — «пустые» значения
А — the least mean square deviation of the values within a window, В — the maximum representativeness; A' — the value of the parameter defined by interpolation in the window; A. — the average value of I he parameter in the window; 1 — the initial (real) interpolated values; 2 — the "empty" values
Рис. 3. Методика выбора оптимального алгоритма картопостроения
Fig. 3. Methodology of choice of an optimum mapping
с-N
Вместо среднего значения параметра А в оптимальном окне для определения значений «пустых» прогнозируемых параметров А* (результата интерполяции) можно использовать действительное интерполируемое значение, максимально близкое к среднему. Таким образом можно уменьшить сглаживающий эффект, появляющийся при осреднении действительных интерполируемых значений, попавших в окно. Дополнительно получаем еще две модификации алгоритма умного осреднения по каждому из названных критериев — с выбором среднего или модального значений при определении результата интерполяции.
Тестирование методов интерполяции показало, что точность алгоритмов интерполяции умного осреднения в некоторых случаях может существенно отличаться [8]. Поэтому все четыре модификации алгоритма интерполяции на основе принципа умного осреднения задействованы в схеме оптимизации картопостроепий (рис. 3).
Методика выбора оптимального алгоритма картопостроения
В рамках выбора оптимального алгоритма картопостроения авторы статьи используют тот же принцип проб и ошибок, что и в алгоритмах умного осреднения. Последовательно выполняется пять видов интерполяции данных (см. рис. 3): линейная интерполяция, интерполяция умного осреднения по критериям минимальных отклонений (в двух модификациях) и максимальной представительности (в двух модификациях). Поскольку точность интерполяции зависит от степени сглаженности исходных данных [8], все пять результатов интерполяции сглаживаются в скользящих окнах размером 3><3, 5*5 и 7*7. Таким образом, для каждого вида интерполяции получаем четыре реализации — одна без фильтрации и три с различной степенью сглаженности. Теперь остается лишь выбрать лучший вариант.
Ятя выбора оптимального варианта картопостроения используем принцип валидации, который заключается в последовательном исключении скважин из проводимых расчетов, описанных выше. Полученные в результате многочисленных интерполяций прогнозные значения в местах расположения исключенных скважин сравниваем с действительными скважинны-ми значениями, принимаемыми за эталон. Заметим, что при этом скважинные параметры, в отличие от прогнозных, осреднению не подвергаются.
Итак, для каждого из 20 вариантов интерполяции (5x4) по каждой скважине мы получаем прогнозные значения, вычисляем коэффициенты корреляции и среднюю относительную ошибку. Коэффициент корреляции как интегральный показатель отслеживает достоверность прогноза тенденций (трендов) изменения значений, определяемых распределением наиболее крупных величин. Средняя относительная ошибка (не путать со среднеквадратической, имеющей функциональную связь с коэффициентом корреляции) показывает точность прогноза отдельных значений, независимо от их величины:
£ = "¿Гх 100 %>
где Л/скв — эталонное скважинное значение интерполируемого параметра; А/* — прогнозное значение, соответствующее /\/„в; А/ск„ — общее число скважин.
Таким образом обеспечивается надежная комплексная оценка достоверности прогноза интерполируемых значений. Имея такую оценку по каждому варианту интерполяции, можно выбрать лучший.
Оценка точности картопостроепий потребует от интерпретатора определенного терпения. Так, для сотни скважин с использованием вычислительной аппаратуры средней производительности процесс займет порядка 4-5 часов машинного времени. При
68 I |gc )й» ! I 0
этом в результате можно получить вывод о невозможности проведения корректных каргопострое-ний. Но даже такой отрицательный результат важен, поскольку он дает гарантию от грубых ошибок при выработке проектных решений по доразведке и разработке месторождения.
Заметим, что дополнительный анализ только одного алгоритма стохастической геостатистики (без учета их большого разнообразия) даже при ограниченном числе заданных реализаций (около 10-20) и вариантов суммирования (порядка 5) потребовал бы еще около 20 часов машинного времени.
Оценка корректности и точности картопостроений
На рис. 4 представлены наилучшие результаты линейной интерполяции и интерполяции умного осреднения значений эффективной мощности (Нн,) коллектора, полученные поданным бурения 71 скважины на одном из месторождений Восточной Сибири. Результат линейной интерполяции (окно сглаживания 5 х 5) вполне удовлетворителен — коэффициент корреляции (Кк) прогнозных и скважинных значений равен 0,781 (условный предел — не менее 0,7), средняя относительная ошибка прогнозных параметров (64%) хотя и превышает условный предел (не более 50 %), но с учетом большого разброса величин Я1ф (от 20 до 2 м) допустима. Результат интерполяции умного осреднения по критерию максимальной представительности (окно сглаживания 7*7) выглядит заметно лучше — коэффициент корреляции прогнозных и скважинных значений равен 0,810, средняя относительная ошибка прогнозных параметров — 42 %.
Приняв лучший результат линейной интерполяции за эталон (Кх= 0,781), оценим сравнительную эффективность интерполяции умного осреднения (Кк= 0,81) для имеющихся данных по 71 скважине:
71 (0,81/0,781) = 73,6.
Таким образом, эффект от применения оптимальной в данной ситуации интерполяции умного осреднения приблизительно сравним с эффектом от дополнительного включения в процесс линейной интерполяции еще трех скважин.
Впоследствии для удобства использования в большинстве специализированных программ оптимальный вариант картопосгроения переводится из матричной формы в сеточтгую и «вписывается» в контуры лицензионного участка и границы распространения целевого пласта, как правило установленные по данным сейсморазведки.
При визуальном сравнении карт Я1ф (см. рис. 4, В, С) можно наблюдать отличия в пространственном распределении картируемого параметра. Вариант интерполяции умного осреднения с геологической
Рис. 4. Исходные скважинные данные и результаты интерполяции значений Н^*
Fig. 4. Initial well data and interpolation results of Hef*
Г А — V H >
В D 1 ■ » |t 19 1» m
С 1 • л
А — исходные скважинные данные; В — результат линейной интерполяции (окно сглаживания 5x5); С — результат интерполяции умного осреднения по критерию максимальной представительности (окно сглаживания 7x7); D — цветовая шкала значений эффективной мощности. * Данные указаны по 71 скважине, Восточная Сибирь А — the Initial well data ; В — the result of linear interpolation (smoothing window 5x5); С — the result of smart averaging interpolation by the criterion of maximum representativeness (smoothing window7x7); D — the color scale for effective thickness values.*Data on 71 wells, Eastern Siberia
V, У
точки зрения выглядит более логично. Очевидно, что в данном случае удалось реализовать оптимальный вариант поиска глобальных и локальных трендов [5].
Разумеется, внешне похожее распределение параметра Н^ легко можно получить и с помощью так называемой сплайповой интерполяции, однако, ввиду математической неустойчивости метода и высокой вероятности появления «артефактов», достоверность таких результатов всегда сомнительна. При сплайповой интерполяции могут появляться величины больше максимального и меньше минимального интерполируемых значений, а также локальные экстремумы, не заверенные действительными данными. Геологическая интерпретация таких значений прогнозного параметра некорректна.
Важный сопугствующий вывод заключается в том, что картопосгроения параметра можно считать падежными и пригодными для целей проектирования. Основные локальные тренды воспроизводятся в процессе интерполяции верно, различия прогноз-
- Л м
нештмигаэа u yj7
пых и скважипных значений имеют случайный характер (рис. 5).
Основные тенденции изменения величины параметра в процессе интерполяции воспроизводятся достаточно верно. Коэффициент корреляции прогнозных и скважипных значений для результатов линейной интерполяции и интерполяции умного осреднения после их сглаживания равен 0,781 и 0,810 соответственно. Исходные данные пригодны для картопостроения и последующей геологической интерпретации.
Рассмотрим ситуацию, когда картопостроения некорректны. Имея оценку точности интерполяции, полученную ранее методом валидации по каждой скважине, было бы заманчиво сделать следующий шаг — построить карту ошибок прогноза Я„,, по площади с последующим постепенным приведением ошибки к нулевым значениям в доверительной области вблизи скважин.
На рис. 6А показано сравнение относительных ошибок линейной интерполяции и интерполяции умного осреднения для ранее полученных прогноз-пых данных (см. рис. 5). Величины ошибок имеют между собой видимую корреляцию, что объясняется их общей зависимостью от исходных условий интерполяции — нахождение в ближней области кучно расположенных значений или редких значений в даль-
ней периферийной области. Вместе с тем отметим, что распределение величин ошибок имеет случайный хаотический вид, что свидетельствует об отсутствии систематических ошибок и значимых локальных трендов в поле значений.
В этом случае анализ возможности построить карту ошибок прогноза Д,ф в соответствии с методикой выбора оптимального алгоритма картопостроения (см. рис. 3) дал отрицательный результат ввиду полного отсутствия корреляции прогнозных и эталонных значений ошибки (см. рис. 6, В). Лучший вариант картопостроения, полученный в результате анализа величин ошибок оптимальной интерполяции умного осреднения, по величинам относительных и абсолютных значений относительной ошибки имеет следующие характеристики:
1. Относительные ошибки. Окно сглаживания 7*7, линейная интерполяция. Коэффициент корреляции прогнозных и эталонных значений равен -0,141, средняя относительная ошибка — 153 % (см. рис. 6, В).
2. Абсолютная величина относительных ошибок. Окно сглаживания 7><7, линейная интерполяция. Коэффициент корреляции прогнозных и эталонных значений равен 0,201, средняя относительная ошибка прогноза значений — 200 %.
Полученный результат подтвердил давно известную истину: массивы хаотических значений
Рис. 5.
Fig. 5.
Сравнение прогнозных и скважинных значений эффективной мощности Н^,
Comparison of predicted and measured (in wells) values of effective thickness
0 Номер
i i \ > i и ii u i) в а и и p s и » > n » и и < о • и и » п » u u a p a 'i скважины
Поданным: 1 — бурения, 2 — интерполяции умною осреднения, 3 — линейной интерполяции
Based on: 1 — drilling data, 2 — results of smart averaging interpolation, 3 — results of linear interpolation
70 ,L iii ()
Рис. 6. Сравнение относительных ошибок интерполяции Н^, полученных на основе метода валидации Fig. 6. Comparison of relative errors of the H.., interpolation, obtained on the basis of the validation procedure
Относительная ошибка интерполяции Н)ф, %
Относительная ошибка интерполяции Н^, %:
А — для вариантов линейной интерполяции (1) и интерполяции умного осреднения (2) после процедуры сглаживания (см. рис. 5); В — для эталонных (результат интерполяции умного осреднения после процедуры сглаживания) (1) и прогнозных (2) значений относительной ошибки Interpolation relative error %:
А — for linear interpolation (1) and smart averaging interpolation (2) after the smoothing procedure (see Fig. 5); B — for the reference (1) values (resulted from smart averaging interpolation after the smoothing procedure) and predicted (2) values of the relative error
Номер скважины
Номер скважины
ГЕОЛОГ! 1Я Л
неаэтиигдэА
(ситуация, когда пространственные тренды отсутствуют) нельзя интерполировать. При этом зависимость величины ошибки от исходных условий интерполяции существует. По всей видимости, эта зависимость смогла бы проявиться при более равномерном распределении скважин на исследуемой площади. Заметим, что попытка анализа абсолютных величин относительных ошибок также оказалась безуспешной.
К сожалению, на практике возможны ситуации, когда отсутствие кондиционных скважинных данных делает невозможным прогноз трендов (как главного, так и локальных) и выполненные картопостроепия оказываются некорректными (отсутствует корреляция истинных и прогнозных значений, а величина ошибки прогнозных значений велика). Определить корректность построений и оценить надежность корректных построений позволяет описанная выше методика.
Заключение
Наиболее полная и достоверная промыслово-гео-логическая характеристика разреза базируется на материалах бурения, однако неравномерное распределение скважин по площади может осложнить процесс построения достоверной геологической модели месторождения. К сожалению, далеко не во всех случаях удается использовать материалы сейсморазведки, более или менее равномерно покрывающие исследуемую территорию.
Решение задач структурных построений в большинстве случаев основывается на привлечении сейсмической информации, поэтому в данном случае
Литература / References
целесообразность использования методики оптимизации картопостроепий маловероятна.
Представленная методика наилучшим образом учитывает специфику проблем разработки и изучения фильтрационно-емкостных свойств целевых продуктивных интервалов по данным бурения. Методика предназначена для картирования аномалий сложной формы, выделение которых может быть затруднено даже в условиях хорошей разбуренности территории (неоднозначно решаемая интерпретационная задача).
В тех случаях, когда в пределах изучаемой территории накоплен богатый положительный методический опыт картирования характеристик среды или значительную роль играют опыт и интуиция интерпретатора, технология оптимизации картопостроепий может обеспечить получение сравнительного варианта построений с количественной оценкой его достоверности. В отдельных случаях может возникнуть необходимость подтверждения корректности картопостроепий.
Выводы и рекомендации
На основе метода валидации и метода проб и ошибок разработана методика оптимизации и оценки надежности картопостроепий по данным бурения. Созданы соответст вующие программные средства.
Методика наилучшим образом учитывает специфику задач промысловой геологии и предназначена для картирования аномалий сложной формы, выделение которых затруднено даже в условиях хорошей разбуренности территории.
1. Ковалевский Е.В. Геологическое моделирование на основе геостатистики. - EAGE, 2011. - 117 с.
Kovalevskiy E.V. Geological modeling on the base of geostatistisc. EAGE; 2011. 117 p.
2. Крылов Д.Н. Использование технологии оптимизационного осреднения при решении задач интерпретации числовых характеристик геологической среды // Технологии сейсморазведки. - 2016. - № 4. - С. 13-20.
Krytov D.N. Use of optimization averaging technology for geological environment numerical characteristics interpretation. Tekhnologii seysmorazvedki. 2016;(4):13-20.
3. Briggs I.C. Machine Contouring using minimum curvature. Geophysics. 1974;39(l):39-48.
4. Chiles J.P., DelfinerP. Geostatistics modeling spatial uncertainty. Wiley series in probability and statistics. New York: John Wiley & Sons, Inc.; 1999. 734 p.
5. Franke Ft. Scattered data interpolation: test of some methods. Mathematics of computations. 1982;38:181-200.
6. Horowitz F.G., Hornby P., Bone D., Craig M. Fast multidimensional interpolations. In: R.V. Ramani, ed. 26th Proceed, of Appl. Computers Oper. Res. in the Mineral Indus! (APCOM26), Littleton, Colorado, USA: Soc. Mining Metall. & Explor. 1996. pp. 53-56.
7. KrilovD. Magic of smart averaging. First break. 2009;27(9):55-64.
8. Krilov D., Vaniarho Ya., Basaev D. Smart averaging interpolation algorithm comparative test. Geophysical Prospecting. 2016;64(3):642-656.
9. Matheron G. Splines and Kriging — Their Formal Equivalence. In: D.F. Merriam, ed. Down-to-Earth Statistics — Solutions looking for geological problems. Syracuse: Syracuse University Geology Contributions; 1980. pp. 77-95.
72 lECIL ■ . t 0
