CC BY
92
УДК 528.236 А.П. Макаров
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ПРОЕКЦИИ ГАУССА - КРЮГЕРА ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
Предложена методика исследования точности формул путем построения остатка ряда с помощью бесконечно малых величин одного порядка малости. Выполнен анализ алгоритмов по точности для вычисления прямоугольных координат x, y проекции Гаусса - Крюгера для увеличенных по долготе меридианных зон.
Ключевые слова: проекция Гаусса - Крюгера, прямоугольные координаты, точность.
В практике геодезических работ возникает необходимость в применении проекции Гаусса - Крюгера для увеличенных по долготе меридианных зон. Решение проблемы выполняется преимущественно путем сохранения дополнительных членов в рядах для определяемых величин. Так, для вычисления плоских прямоугольных координат хи^по заданной геодезической широте В и разности долгот I = L — Lc применяются разложения [1, с. 117]:
х = X — a2l2 — a4l4 - a¿l6 - аг1г - а10110--------(1)
у = a^l-a3l3 - a5ls - а717 - аэ1ч--------(2)
где X- длина дуги меридиана от экватора до параллели с широтой B;
Lo - долгота осевого меридиана.
Равенства (1) и (2) представляют степенные ряды, коэффициенты в которых являются функциями широты В. Принимая разность долгот I от осевого меридиана за малую величину первого порядка, в работах [1; 2] сохранены величины по восьмой порядок включительно, а в [3; 4] - по десятый порядок. Однако относительно области их применения с миллиметровой погрешностью в [3; 4] приводятся противоречивые сведения: от i = 6" до i = 9 .
Для оценки погрешностей таких формул наиболее целесообразно использовать принцип остаточных членов. Основная сложность для проведения таких исследований заключается в отсутствии точных выражений общих членов. В связи с этим невозможно решить вопросы об области и скорости сходимости этих рядов, о соответствии отрезков рядов определяемых величинам, точности полученных результатов.
Не случайно, что такому анализу уделяется очень мало внимания, а заключение по точности формул даются на основе результатов решения отдельных примеров. Для оценки погрешностей можно воспользоваться формулой Тейлора [5]. Однако в этом случае по неизвестным координатам промежуточной точки остаточного члена в форме Лагранжа результаты получаются с завышенной погрешностью. Более достоверные результаты определяются при малых значениях Í, когда абсолютная величина каждого последующего члена ряда меньше предыдущего не менее чем в десять раз. Такой ряд условно можно считать сходящимся, а остаток частичной суммы находить по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Так как знаменатель прогрессии \q\ < ОД, эта сумма приближенно будет равна величине первого отбрасываемого члена ряда.
Сложность реализации метода заключается в чрезвычайной громоздкости выражений коэффициентов в рядах (1) и (2) с увеличением их порядкового номера. По своей структуре эти коэффициенты являются многочленами, представленными по степеням малой величины r¡ = е' cos 5, содержащей эсцентриситет е. В связи с этим имеется возможность построить остаточный член с помощью величин одного порядка малости, используя закономерности между I иг}.
На эллипсоиде Красовского второй эксцентриситет равен е' & 0,032 рад.й: 4"40'. Этой величине можно поставить в соответствие разность долгот не только при I — 4"40', но и до I = 6 ^ ОД ра,д. Поэтому I = 6"и r¡ = е' cos В можно принять за малые величины первого
© Макаров А.П., 2014
порядка малости. Тогда величинами десятого порядка малости будут: I Л тгЛ 17й, 17 С сохранением этих величин коэффициенты в формуле (1) имеют вид [3]
1
соэ" ■ N1соз'
л. = т^л: ::-г5 ■ - - :" - - ВВС:1-- - --5 "1 - ¿ЕС:1"" - ■ ;
л- = -.Vг :сз" г.'; _ "1
720 1
а* = ■
■^03 20
т собёВ ■ (1385 - 3111£: - 543£4 - - 10899^ - 32802г2г]г - 9219£4т;г +
аю =
збгевоо
Л"::;:-:5' ЕСЕИ - СС^СТ:/:1 - ^И^:::" - - г:;:' - :т - ■ ,
(3)
где N =
1+4'
: - радиус кривизны первого вертикала; £ = ЬдВ.
При построении рабочих формул [4] членом «щ^10 в (1) пренебрегают даже при разности долгот 1 = 9°. Оценим величину, вносимую этим членом в значении х. Для этого необходимо исследовать на наибольшее и наименьшее значения [5] функцию
10
ад
(п^ + пэ Г3 + тг5(:5 - п7Г' - п^9) I
ю
(4)
3623300
в области изменения аргумента 0= < Б < 90°, где с ъ 6400000 м; д, = 5052-1;п3 = 206276; тг5 = 101166; п7 = 4916; п9 = 1. Такие значения функция хю может принимать в конечных точках отрезка или критических точках, принадлежащих этой области. Но, как следует из (4), хт = 0 при В = 0 "и В = 90". Следовательно, такие значения она будет принимать только в точках, в которых значения производственной функции равны нулю. Выполним эти преобразования для обобщенной функции широты
г (В) = со (п1£- + тгэ£э - гс5(:5 - п7Г7 - та^9). (5)
Дифференцируя (5) по переменной В и учитывая производные
(созьв)д' = -Псо5кВ; (1тУБ = т1т1(1 - £2), (6)
из условия г' (В) = 0 получаем уравнение для определения критических точек
(9 - к)п- ((7 - к)п7 + 9п9)£в + ((5 - - 7п7)г6 - ((3 - к)щ + 5п5)г -((1- к)^- Зпэ)£г = О
Подставляя в (7) к — 10 и значение п^ из (4), получим
- 14757£Е - 540242С* - 1949762Г4 - 1073517Г - 50521 = 0
(7)
Решая это уравнение численным методом [5], находим корни:
В1 = 13°; В2 = 38'; В3 = 61". Вычисляем значение функции (4) в этих точках:
лг1в(13") = 12500Рм; х10(38") = 4920^10м. х10(б1°) = 640210м.
Отсюда следует, что наибольшее значение принимает на широте В — 13 , что при I — бсоставит = 0,002- мм и х10 = 0Д1 мм при I — 9°.
Таким образом, если в (1) пренебречь членами, начиная с то координата х будет
определяться с точностью сотых долей миллиметра при 12-градусных зонах и с миллиметровой точностью при 1 = 9'.
При выводе формулы для х [4] в коэффициенте были отброшены величины с V', что образовало погрешность
г-
*з0?г) к ¿т^- ■ (3633£ — 10934£э - 3073Г5)^. (8)
Как и в случае (4), эта функция д;8 = 0 при В = 0"иВ = 90". Критические точки функции (8) находим из решения уравнения (7) при к = 0; п^ = 3633; тг3 — —10934; гг5 — 3073; п7 = щ = 0.
В результате получаем В1 = 14°; В2 = 41°; В3 = 66".
Наибольшее значение = 1750£8м. функция принимает на широте В1 = 14". В этом случае при I = 6" д:3 = 0,025мм, а при 1= 9* х3 = 0,65мм. Следовательно, при двенадцатиградусных зонах абсцисса х будет определяться с точностью десятых долей миллиметра, а при удалении от осевого меридиана на I = 9; - с миллиметровой погрешностью.
Если в сохранить слагаемые с т}2, величина ^вОг) составит [3]
41 _
■4г0эг о
наибольшее значение которой — 34? 5м. достигается на широте 12 30'. В связи с
этим точность формулы х повышается, так как при I = 6 х(т] ) = 0,00049 мм, а при I = 9
Х8(//4) = 0,012 ММ.
Оценим теперь степень влияния на величину х слагаемых с в коэффициенте ав
х: - = — ::: 5 ■ Е = : - :Е;:; Л
г*
144
По той же методике определяем критические точки функции В1 = 15 40г;
Вг = 47°30'. На широте Б — 15°40' наибольшее значение *й074) = ЗО^м., что при 1 — 6' составляет = 0,04мм., а при I = 9" = 0,45мм.
Итак, по результатам выполненных исследований получаем: если в (1) отбросить и10, а в коэффициентах аЁ и а6 пренебречь соответственно слагаемыми с и с ц*. то абсцисса х при 1 = 9° будет определяться с погрешностью Дд: = 1,2 мм., а при I — 6' с Дж < 0,1 мм.
С этой же точностью вычисляются значения х по формуле, рекомендованной в Госстандарте РФ [6].
Точность формулы для х повысится, если в (1) пренебречь а10, а остальные коэффициенты вычислять по выражениям (3). При этих условиях погрешность Дл < 0,003 мм при I = 6 и Дх < 1,2 мм при 1 = 9'.
Выполним теперь анализ разложения (2), сохранив в нем величины по девятый порядок [3]:
ал = N cos Б
а,
а-
а-,
-Л/cos3 В ■ (1 - t2 - г}2) 6
1
N cos 5 В ■ (5 - ISt2 -14 - 14tf - 5St V - ^V* ~ 621V -
а с =
120 1
5040
l
362880
N cos7 5 ■ (61 - 479t2 - 179£4 - tb - 331 rj2 - 3298tV - 1771 t*rf----);
.
(9)
Если в равенстве (2) отбросить член а9/а остальные коэффициенты вычислять по выражениям (9), получим формулу, на основе которой построен алгоритм в [6].
Погрешность этой формулы оценивается не только членом но и отброшенными величинами с 174 и с в членах а7 и аг соответственно [3], т е Ду = а^- а7(т}+')17 - а-(_у6')15
где a7(i74) =r^ Ncos7 В -(715i;4 - 8655tV + 6080t4iy+); аБ076)=^ЛГтsbВ ■ -24fcV)
Для исследования на экстремум образуем обобщенную функцию
Л (5) = coskB ■ (па -Ь n2t2 - n4t4 ~n6te
Дифференцируя ее по переменной В и приравняв нулю, получаем уравнение для вычисления стационарных точек
(8 - fc)n3ts - ((6 - fc)n6 - Sris)t6 - ((4 - ic)n4 + 6nsy + ((2 - k)n2 - 4n4)t2 -(2пг-nQk) = 0 (10)
Установим наибольшую величину, которую может принимать член у9 = на отрезке [0\.90°].
Для определения критических точек функции уэ = a9/s в уравнении (10) полагаем к = 9; п0 = 13S5;n2 = — 19028; п4 = 13270; тг& = —1636; п8 = 1. В результате решения получаем = 28" ; В2 = 54". Вычисляем значения функции в этих точках
уэ(28") = 150001v у9(54°) = 29001*м. в конечных точках уэ(90") = 0; уэ(0°) = 24300Z9m. Отсюда следует, что наибольшее значение у5 принимает на широте В = 0°, что при 1 = 6' составляет у9 = 0,037мм, anpni = 9" у5 = 1,4 мм. Аналогично исследуем у7 = Для этого решаем уравнение (10) при к = 11; пс = 71 Б;п2 = —8655;тс4 = 6080;п6 = пв = 0.
Корнями этого уравнения являются широты Вг = 23°, В2 = 55", в которых у7(28°) = 18 ■ I7м.; у7(55") = 1,1 ■ [7м. Однако наибольшее значение получается при В = О"; у7(0°) = 41 ■ I7н, что при I = 6" составляет у7(0°) = 0,0057мм, а при 1=9° у7 (О") = 0,097мм.
Точно также для функции у5 = получаем, что ее наибольшее значение при
В = 0" равно _у5 (0°) = Q,Q65iBM., при I = б~~ образует у5 = 0,00032мм., а при 1=9', у5 = 0,0062мм. В критической точке В = 33° у5(33") = 0,014i5M.
Итак общая погрешность Ду при разности долгот 1 = 6' составляет Ду = 0,043мм,, т.е. ордината у определяется с точностью десятых долей миллиметра. При разности долгот I = 9° А у = 1,5 мм.,, поэтому у будет установлена не с миллиметровой точностью, а с миллиметровой погрешностью.
На основании изложенного видим, что задача исследования точности формул приводит к громоздким и сложным преобразованиям. Во многих случаях гораздо проще вывести формулу, чем оценить ее точность. Кроме того, приведенные формулы из (1) и (2) не являются оптимальными и представляют громоздкие выражения для вычислений и исследований. В еще более сложном виде они приведены с Госстандарте РФ [6] и требуют дальнейших упрощений без понижения точности результатов.
Список литературы
1. Христов, В.К. Координаты Гаусса - Крюгера на эллипсоиде вращения / В.К. Христов. - М. : Геодез-издат, 1957. - 264 с.
2. Морозов, В.П. Курс сфероидической геодезии / В.П. Морозов. - М. : Недра, 1979. - 296 с.
3. Карелин, Ю.П. Формулы для вычисления координат Гаусса - Крюгера по геодезическим координатам / Ю.П. Карелин // Науч. тр. Ом. с.-х. института. - Омск, 1972. - т. 90. - С. 14-15.
4. Герасимов, А.П. Уравнивание государственной геодезической сети / А.П. Герасимов. - М. : Картгео-центр-Геодезиздат, 1996. - 216 с.
5. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон.- М. : Наука, 1966. - 664 с.
6. ГОСТ Р 51794-2008. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек.- М. : Изд-во стандартов, 2008. - 16 с.
SUMMARY
A.P. Makarov
Technique of research of accuracy of formulas for calculation rectangular coordinates of the projection of Gauss - Krueger on geodetic coordinates
The technique of research of accuracy of formulas by creation of the rest of a row by means of infinitesimal sizes of one order of a malost is offered. The analysis of algorithms on accuracy for calculation of rectangular coordinates x, by y of a projection of Gauss - Krueger for the meridian zones increased on longitude is made.
Keywords: Gauss - Kruegers projection, rectangular coordinates, accuracy.
