Научная статья на тему 'Методика формирования приемов интегрирования в курсе математики аграрного университета'

Методика формирования приемов интегрирования в курсе математики аграрного университета Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

CC BY
238
19
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

In this article pedagogikal aspects in the studying of Mathematics in the Institute of Veterinary Medicie was considered.

Текст научной работы на тему «Методика формирования приемов интегрирования в курсе математики аграрного университета»

ПЕДАГОГИКА И МЕТОДИКА ПГЕПОДАВАНИЯ

Вестник Омского университета, 2003. №2. С. 125-127.

Л7ТП.- .Q7Q

© Омский государственный университет 1 ^ '

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ПРИЕМОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ АГРАРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

И.В. Сечкина

Институт ветеринарной медицины ОмГАУ, кафедра физики, математики и информатики

644007, Омск, ул. Октябрьская, 92

Получена 7 февраля 2002 <?.

In this article pedagogikal aspects in the studying of Mathematics in the Institute of Veterinary Medicie was considered.

Главная роль в нашем исследовании отводится уровневой дифференциации обучения. Поэтому основной задачей мы считаем методическую разработку важнейших тем курса математики в аграрном вузе, которая приспособлена для организации разноуровневого обучения. В данной статье приводится краткое описание методической разработки по теме «Интегральное исчисление» для специальности «Зоотехния», где на изучение темы выделяется, согласно авторской рабочей программе курса «Математика», 2 лекции и 4 практических занятия.

Этапы формирования приемов интегрирования представлены в таблице [1, с. 101].

Задания на самостоятельную работу студентов по технике интегрирования составляются с учетом уровневой дифференцации обучаемых:

• к первому уровню по технике интегрирования относятся задачи непосредственного интегрирования по таблице, методом разложения функции на слагаемые и тождественного преобразования подинтегральных выражений;

• ко второму уровню относятся задачи на интегрирование рациональных функций, интегрирование по частям и заменой переменной (в основном линейные подстановки);

• к третьему уровню относятся задачи на интегрирование иррациональных выражений различного типа, в том числе функций с радикалами и тригонометрических функций.

Приложения интегрального исчисления также распределяются по трем уровням дифференциации студентов по следующим правилам:

• к первому уровню относим задачи вычисления площадей плоских фигур в прямоугольных координатах, вычисления объемов тел, об-

разованных вращением плоской фигуры вокруг оси координат, вычисления биомассы популяции;

• ко второму уровню относим задачи на вычисление площадей в полярных координатах, вычисление длины дуги и поверхности тела вращения;

• к третьему типу относим задачи физического содержания (статические моменты и центр тяжести дуги плоской кривой и плоской фигуры, теоремы Гульдина) и задачи с несобственными интегралами.

Банк упражнений по теме «Интегральное исчисление» разбивается на три взаимосвязанные части А, В и С, где:

• часть А - упражнения, выполняемые в основном преподавателем на лекциях с эпизодическим привлечением студентов к их выполнению;

• часть В - упражнения, предназначенные для совместной работы в аудитории в режиме интерактивного общения;

• часть С - задания на внеаудиторную самостоятельную работу студентов по данной теме.

Прием «интегрирование» (возьмем случай раздела «Неопределенный интеграл») имеет следующие уровни сформированности:

а) непонимание состава приема, когда, к примеру, студент пишет:

то есть путает интегрирование с дифференцированием;

б) использование приема с помощью извне, например, найти

126

И.В. Сечкина.

только после подсказки преподавателя студент

=--х + arctan х + С.

пишет верное решение: 3

/(х + ,:>)2 [ х2 + 0 + 4 Согласно педагогической технологии О.Б. Епи--(]/х = / -(1/х = шевой [2], мы выставляем оценки следующим образом: «неудовлетворительно» для случая «а»;

/4 х'2 «удовлетворительно» для случая «б»; «хорошо»

(х + 4 + — )йх — — + 4.т + 41п \х\ + с, дДЯ СЛучая «в»; «отлично» для случая «г».

Этапы формирования приемов интегрирования

1 Актуализация опорных Диагностика сформированности Практическое занятие - 14.

знаний и способов приемов интегрирования. Пропедевтика приемов

деятельности. Постановка целей. интегрирования.

2 Восприятие. Введение нового приема и Лекция - 8.

Осмысление. его отработка. Применение Практическое занятие - 15.

Первичное заполнение. известных приемов интегрирования. Изучение, осмысление и превичное закрепление.

3 Запоминание нового Применение приемов интегрирования Лекиця -9.

материала. в стандартных ситуациях. Практическое занятие - 16.

Применение нового Оперативный контроль и коррекция Вторичное закрепление.

в стандартных ситуациях. усвоения приемов интегрирования. Первичное применение.

4 Первичное обобщение Обобщение приемов интегрирования. Практическое занятие - 17.

применение знаний и их перенос в новые ситуации. Комплексное применение

в нестандартных ситуациях. Текущий контроль и коррекция. приемов. Первичное обобщение.

5 Обобщение и систематизация Закрепление обощенных Типовой расчет.

знаний и приемов учебной приемов интегрирования. Обобщение и систематизация

деятельности. приемов в СРС.

6 Контроль, оценка Рефлексия учебной деятельности Защита типового расчета,

и коррекция усвоения. по теме «Интегральное исчисление». коррекция.

в) самостоятельное использование приема в стандартной ситуации, к примеру студент без подсказки решает задачу: найти

J cos 2xdx; он пишет верное решение:

У cos 2xdx = - 2 cos 2xdx =

2 J

If 1

= — / cos 2xd(2x) = — sin 2x + C.

г) самостоятельное использование приема в нестандартной ситуации, к примеру, найти

х

-dx;

J ж2 + 1

студент выполняет искусственное преобразование

4 /4

TÍTT = -1) + la;2 + 1 =

х +1

(.т2 + 1)(.Т2-1)+2=т2_1+ 1

х'2 + 1 " X2 + 1

и затем пишет верное решение:

/ JTTdx = I{x2-í + ^TT)dx =

Тема «Интегральное исчисление» сопровождается разнообразными формами контроля аудиторной и внеаудиторной работы студентов: контрольные и самостоятельные работы, типовой расчет, коллоквиум, лабораторная работа. В заключение приведем некоторые вопросы тестирования на ЭВМ по теме «Вычисление определенных интегралов и их приложения».

1) Вычислить с1х.

Ответы: а) 0; б) ^ ; в) |; г)-§.

2) Найти длину дуги кривой 2у = х2 —2 между точками пересечения с осью ОХ.

Ответы: а) \/б +1п(\/2 + \/3); б) е3; в) г) 2\/3 + 1п(1 - у/2).

3) Вычислить несобственный интеграл

Ответы: а) 3(\/3-1);б) е; в) \; г) 0,5.

4) Найти площадь, ограниченную линиями у = х2 и у = 2-х2 .

Ответы: а) §; б) 24; в) 0,25; г)

5) Определить прирост численности популяции плесневых грибков через два часа после начала отсчета времени, если скороть прироста равна

= — е~2*'), t - время в часах.

Ответы: а) #(е-^);б) 1(е4_е-4);в) 1);г)

Кроме таблицы основных неопределенных интегралов [5, с. 7] можно использовать следующие

Методика формирования приемов интегрирования в курсе математики.

127

формулы:

f'x

f(x [ f'xdx

dx = In \f(x)\ + с;

+ с;

J Я*) fix) J f(x)f(x)dx=±f2(x) + c; f f'x

f(x)fs(x)dx =

dx = 2 у/ f(x) + с 1

s + 1

fs+1(x) + c.

Очень важно привести студентам примеры элементарных функций, не интегрируемых в конечном виде в классе элементарных функций:

sin.T ех 1 _ 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 1 п 1

X X 1п X

Определение функции, интегрируемой (по Ри-ману) на отрезке [а; Ь], мы приводим по классической схеме, используя понятия 'разбиения отрезка [а; Ь] как системы отрезков [жо;ж1], [ж^жгЬ ..., [хп-1', 1п], где а = х0 < хх < х2 < ... < ж„_1 < х„ = Ь и точки .то, XI, ...х„ называются узлами разбиения, величина г„ = тахк\хк=1 — Хк - рангом разбиения. Если ранг гп разбиения Пп стремится к нулю, то последовательность разбиений {-Оп} называется основной. Функция у = /(ж) называется интегрируемой на [а; Ь], если для всякой основной последовательности разбиений {-Оп} и при любом выборе точек - £к < Хк+1 существует один и тот же предел последовательности интегральных сумм

п-1

0~П = f(£k)£^Xk = Хк+1 - Хк. к=О

Этот предел I и называется определенным интегралом функции у = f(x) на [а; Ь] и обозначается символом JЬ /(х)с1х, то есть I—ИтГ11^о ап = 1а Ях)ёх.

После указанного определения в случае а < Ь надо расширить понятие интеграла на случай а = Ь и на случай а > Ь с помощью формул:

/>а />Ь />а

/ f(x)dx = Он / f(x)dx = — f(x)dx.

^ а ^ а ^ Ь

Изучая вопросы «Интеграл с переменным верхним пределом» и «Формула Ньютона-Лейбница», уместно сделать замечание о возможности определения интеграла как приращения первообразной:

Такой подход обычно связывается с именем Ньютона (интеграл Ньютона), но на классе {/(ж)} непрерывных функций на [а; Ь] включается в ее область определения, интегралы Римана и Ньютона совпадают.

Наконец, на практике, когда первообразная Р(х) функции f(x) неэлементарна или ее значения трудно вычислить, имеет смысл сразу использовать формулы приближенного вычисления определенных интегралов. Поэтому в типовые расчеты включаются задания на вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и по формуле Симпсона, связанные с конкретными моделями производственных процессов в агропромышленном комплексе.

Общая методика формирования приемов учебной деятельности изложена в [2], коррекция типичных ошибок обучаемых - [3; 6], проблема организации самостоятельной работы студентов -в [4].

[1] Сечкина И. В. Проектирование и реализация системы самостоятельной работы студентов по математике в аграрном вузе: Дис. ... канд. пед. наук. Омск, 2002. 214 с.

[2] Епишева О. Б. Методическая система обучения приемов учебной деятельности учащихся: основные технологические процедуры: Книга для учителя. Тобольск, 1999. 176 с.

[3] Далингер В.А. Методика обучения учащихся элементам математического анализа. Омск, 1997. 149 с.

[4] Далингер В.А. Самостоятельная деятельность учащихся и ее активизация при обучении математике. Омск, 1993. 156 с.

[5] Сечкина И. В. Интегральное исчисление: Уч. пос. Омск, 2002. 56 с.

[6] Далингер В.А. Начала математического анализа. Типичные ошибки, их причины и пути предупреждения: Уч. пос. Омск, 2002. 158 с.

f(x)dx = F(x)\ba=F(b)-F(a).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.