CC BY
22
С.Г. Иванов
УДК. 539.3
МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА ИЗ ОРТОГОНАЛЬНО АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИТА
С.Г. Иванов (Пермь)
Abstract
Due to the material anisotropy of orthogonally reinforced composite material, thermoelastic boundary value problem for axisymmeirical solid is not axisymmetrical. A method of solving such a problems using a series of, two-dimensional finite element solutions has been elaborated.
Примером осесимметричных конструкций из ортогонально армированных в трех взаимно перпендикулярных направлениях композитов являются вкладыши сопловых блоков ракетного двигателя [1], тормозные диски авиационных тормозов [2]. Эти конструкции изготовлены из углерод-углеродного композита с одинаковым количеством армирующих волокон в направлениях армирования х, у, г. Хотя нестационарное поле температуры, под действием которого находятся рассматриваемые конструкции, и приложенные механические нагрузки осесимметричны, решение задачи термоупругости не является осесимметричным в силу ортотропии самого материала.
В данной работе рассматривается конечноэлементная процедура решения задачи термоупругости для осесимметричных тел на двумерной сетке осесимметричных кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения. Зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций в декартовой системе координат определяется тензором модулей упругости, который имеет три независимые упругие постоянные (например, модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона V и модуль сдвига С ), и коэффициентом линейного температурного расширения (КЛТР) а. В матричном виде эта зависимость запишется следующим образом:
а = 0-(е -ет) , (1)
где а--|ох,ау,с2,туг, ч;и,тху| , е = |ех,еу,ег,ууг, ук, уху } ;
б т= {а-Т,а-Т, а Т, 0 , 0 , О}Т; (2)
Содержащиеся в матрице О упругие модули определяются через технические упругие постоянные:
А . Е-(1-у) д =___К-у__
(1 + у)-(1-2У) (1 + У)-(1-2У) ■
Матрица О имеет вид
Методика численно! о решения задачи термоупругости
А Л Л 0 0 0
Л А Л 0 0 0
Л Л А 0 0 0
0 0 0 G 0 0
0 0 0 0 G 0
0 0 0 0 0 G
В цилиндрических координатах соотношения между физическими компонентами тензоров напряжений и деформаций могут быть получены из (1) поворотом системы координат на угол ф относительно оси г с использованием формул преобразования компонент ортотрошюго тензора модулей упругости [3] :
!фи+Вф}(е-бт) , (3)
где а = |ст1.,ст(р)стг,х(рг, т„, тГф } Т; е = {ег,е^е,,у^, уга, угф ) , (4)
ет определяется из (2), а матрица упругих постоянных представлена в виде двух слагаемых, одно из которых ( 1)„ ) не зависит от угла ф :
А - Д Л -i- Ä Л О О О Л + А А - А Л О О О
Л Л А 0 0 0
0 0 0 G 0 0
0 0 0 0 G 0
0 0 0 0 0 G + А
соз(4ф) - со$(4ф) 0 0 0 - 2 sin(4tp)
- сов(4ф) соз(4ф) 0 0 0 2яп(4ф)
Л ■ 0 0 0 0 0 0
¿А 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
- 2 sin(4<p) 2 sin(4tp) 0 0 0 - соз(4ф)
Здесь А -- — (А - Л - 2G) . Как легко видно, А = 0 для изотропного композита.
Следуя [4], будем разыскивать компоненты вектора перемещений |иг,иф,и2) в виде рядов по окружной координате q>, учитывая осевую симметрию термосиловой нагрузки и симметрию рассматриваемого материала в отношении осей х и у : Ur = Ur0 +ZUrn COs(4lKp), иф ~ 21ифп 4 sirt(4nip),
n=l n—1
С Г Иванов
иг0+Еигп"СО8(4пф) •
(5)
п=1
Для кольцевого конечного элемента с треугольным поперечным сечением и узлами с номерами к вектор «„ =|иГ11,и(р,1,и2П| , п = 0, 1,2,..
выражается через вектор узловых переменных 8п и соответствующую матрицу формы, линейно зависящую от координат г, г
Деформации для центра тяжести поперечного сечения конечного элемента определяются следующим образом:
е(гс в„б0 + IX-в П = 1
Диагональная матрица Ъа имеет вид
СОБ^ф) 0 0 0 0 0
0 соз(4(р) 0 0 0 2
2П = 0 0 соб(4ф) 0 0 0
0 0 0 вт(4ф) 0 0
0 0 0 0 сок(4ф) 0
0 0 0 0 0 81п(4ф)
(6)
Матрица В„ = [Вш,Вп-,Впк], соответствующие матрицы записываются как
В
пц 6гс8
С„ ' Згс О О
2Б 4 п • 25 О
О
Ьч -Згс
Ь„ • Зг. - 4п ■ 2Б
О
Ьч-3гс - 4п • 28 сч-3гс
сч ■ Згс - 2Б О
(Ч = У,к)
Здесь Б - площадь поперечного сечения треугольного конечного элемента, с; = гк - г-, Ь, = г■ - гк ; выражения для с^, ск, Ь,, Ьк получаются циклической перестановкой индексов.
Систему уравнений для нахождения узловых переменных получим, применяя принцип возможных перемещений для кольцевого конечного элемента. Она выглядит следующим образом:
коо '5 о +к01 6 1 = гот +го +8(ь кю • 5 о + кп •6 1 + к12 •6 2 = *"|т + 8];
к21 - 3, +к22 - 5 2 +к23 - 8 3 =%2;
(?) (8) (9)
Чы -5,_1 + к„ - 6 , + ки+1 -5,+1 ,
(10)
Отметим, что в отличие от случая неосесимметричной деформации изотропного тела вращения [4], системы уравнений для различных гармоник оказываются связан-
Методика численного решения задачи термоупругости
ными. Вектор Г0 в правой части уравнений (7) обусловлен приложенной осесиммет-ричной нагрузкой от механического давления, вектора ,. . ■ , - реакциями соседних конечных элементов, вектора С0Т и Г1Т-осесимметричной температурной нагрузкой:
Гот = гс8 В0Г • В0 - ет ; Г1Т = гсв А В?" • ^ ет (11)
Матрицы в уравнениях (7) - (10) представляются следующим образом:
к„ =гс8 В,1 В0 В, ; (12)
к01=гс8|В^11-В1; к10=2к0т1; (13)
ki.w-r.Sf В^-Ь-В,,,; к1+и = к;+,; 1=1,2,,.. (14)
В приведенных выше выражениях (13) и (14) присутствуют матрицы I; и 12, полученные как результат интегрирования по окружной координате следующих матричных произведений:
1 -1 0 0 0 -2
-1 1 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2л
12 dф
1 -1 0 0 0 -2
-1 1 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2 -2 0 0 0 -1
1=1,2,
Проводя обычную для МКЭ процедуру построения глобальных систем уравнений, используя уравнения для конечного элемента (7) - (10), получим следующую цепочку систем уравнений:
К00 • Л о + К01 А; - Гот + Р0; К10-Л0+Кп-Л, + К,2-А2 !<>,. К21 ■ А, + К22 • А2 +К23 • А3 - 0;
(15)
(16) (П)
С.Г. Иванов
К^.-Л,-, +Км-д, ■(■ К| |+1 • А1+1 = 0 . (18)
В системах уравнений (15) - (18) глобальные матрицы жесткости К,ш построены из соответствующих матриц жесткости конечных элементов к.,„, глобальный вектор Р(! в правой части уравнений (15) обусловлен приложенной осесимметричной нагрузкой от механического давления, вектора КП и Г'|т в (15) и (16) - осесимметричной температурной нагрузкой
Цепочку систем уравнений (15) - (18) предлагается решать с помощью последовательных приближений. Ограничиваясь гармониками с номером 1, для первого приближения будем иметь:
Коо-Ао' =*о-1 +1'о; (19)
К11.Д<|,,=Р1Т-К10-А(0"; (20,
К22 • а"' г,-к21 • А']), (2!)
К|1.А(1,)=-К,1_ГЛЯ)1. (22)
Последующие приближения вычисляются из решения следующих систем уравнений (т=1,2, 3 . . .):
KOO-A^'^Fot+FO-^-AW; (23)
Кп ■ АГ" = FlT - К10 . Д(;1+,) - К)2 ■ А,"1'; (24)
К„ • А'ш+,) - -к21 ■ А(,ш+1) - К2, ■ А!,'"\ (25)
V Л (il)"f" 1) ,, д (П1+Н
Кц-А, =-Ки.,-А,_1 (26)
Данная работа выполнена при поддержке грантом № 96-10-1.1-20 по фундаментальным исследованиям в области транспортных наук и грантом по фундаментальным исследованиям в области авиационной и ракетно-космической техники Министерства общего и профессионального образования РФ.
Библиографический список
1. Ташкинов A.A., Иванов С.Г. и др. Термоупругий анализ поведения элементов конструкций из углерод-углеродных композитов с упрочненным поверхностным слоем //Вестник ПГТУ. Механика. Пермь: Перм. гос. техн. ун-т - 1995. №.2. С.66-74
2. Иванов С.Г., Ташкинов A.A., Удинцев П.Г., Чунаев BIO Анализ термомеханического и трибологического поведения углерод-углеродного композита для тормозных систем /V Вестник ПГТУ. Технологическая механика. Пермь: Перм гос. техн. ун-т-1996. №2. С. 161-164.
3. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир. - 1982. - 334 с Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / Под ред. В.И, Мяченкова - М.: Машиностроение, 1989. - 520 с.
