О системах независимых соотношений совместности приращений деформаций в случае течения на ребре призмы Кулона-Треска Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).

УДК 539.374

195

О СИСТЕМАХ НЕЗАВИСИМЫХ СООТНОШЕНИЙ СОВМЕСТНОСТИ ПРИРАЩЕНИЙ ДЕФОРМАЦИЙ В СЛУЧАЕ ТЕЧЕНИЯ НА РЕБРЕ ПРИЗМЫ КУЛОНА-ТРЕСКА

© 2007 Ю.Н.Радаев1

Рассматриваются уравнения совместности для приращений малых деформаций в триортогональной изостатической системе координат, а также дополнительные соотношения, связывающие физические компоненты тензора несовместности. Существенных уравнений совместности шесть. Доказано, что для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, имеется лишь три независимых уравнения совместности. Явно указываются и рассматриваются системы независимых уравнений совместности. Определены условия, достаточные для того, чтобы при выполнении трех независимых уравнений совместности удовлетворялись три оставшихся уравнения совместности.

1. Предварительные сведения и вводные замечания

При исследовании кинематики пространственного пластического течения, если речь идет о состояниях, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, исключительный интерес представляют уравнения совместности главных приращений полных деформаций, сформулированные в триортогональной изостатической криволинейной координатной сетке, вместе с кинематическими ограничениями, следующими из обобщенного ассоциированного закона течения. Этот круг вопросов детально был рассмотрен в монографии [1].

Условие текучести Треска или условие максимального касательного напряжения имеет следующий вид:

тах{|о1 - 021, |о1 - Оз|, |о2 - 0з|) = 2к, (1.1)

где 01, 02, 03 — собственные значения тензора напряжений (главные нормальные напряжения); к — предел текучести при чистом сдвиге. В пространстве главных напряжений поверхность текучести, определяемая уравнением (1.1), представляет собой правильную шестигранную призму (призма Кулона—Треска), ось которой равнонаклонена к декартовым осям этого пространства. Кривая текучести (сечение призмы Кулона—Треска девиаторной плоскостью 01 + 02 + 03 = 0) представляет собой правильный шестиугольник с центром в начале координат и стороной, равной У2Т3(2к).

1 Радаев Юрий Николаевич (radayev@ssu.samara.ru), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул.Акад. Павлова, 1.

В пространстве главных напряжений ребра призмы Кулона—Треска определяются уравнениями

01 ± 2k = 02 = 03, Oi = 02 ± 2k = 03, 01 = 02 = 03 ± 2k.

Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы Кулона—Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений так, чтобы выполнялось равенство

01 = 02 = 03 ± 2к.

Последнее условие означает, что два главных напряжения равны по величине, а главное напряжение 03 является либо наименьшим, либо наибольшим главным нормальным напряжением.

Обозначим через о тензор напряжений. Пусть l, m, n — ортонормированный базис из собственных векторов тензора напряжений. Спектральное разложение тензора напряжений имеет следующий вид:

о = 01l ® l + 02m ® m + 03n ® n. (1.2)

На ребре призмы Кулона—Треска 01 = 02 = 03 ± 2к тензор напряжений пред-

ставляется в форме

о = (03 ± 2k)I + 2kn ® n. (1.3)

Следовательно, уравнение равновесия V ■ о = 0 после подстановки в него разложе-

ния (1.3) приобретает следующий вид:

grad03 + 2kdiv(n ® n) = 0 (n ■ n = 1). (1.4)

Уравнение (1.4) принадлежит к гиперболическому типу. Его характеристическое уравнение имеет три различных вещественных корня. Нормали к характеристическим поверхностям образуют конус с углом полураствора п/4 и осью, ориентированной вдоль вектора n. Ясно, что характеристические поверхности являются также и поверхностями максимального касательного напряжения (поверхностями скольжения). Характеристическими являются не только поверхности скольжения, но и интегральные поверхности векторного поля n (т.е. поверхности, составленные из интегральных кривых поля n).

Известно, что никаких решений уравнения (1.4) при одновременном выполнении условий n X rot n ф 0 и n ■ rot n ф 0 получить нельзя. Поэтому наибольший интерес представляет тот случай, когда n ■ rot n = 0 и rot n ф 0 всюду в пластической зоне. Условие n ■ rotn = 0 допускает замечательную геометрическую интерпретацию, пользуясь которой можно существенно развить исследование пространственных уравнений математической теории пластичности.

Поле напряжений в некоторой области трехмерного пространства назовем расслоенным (или слоистым), если существует семейство поверхностей S, заполняющее эту область, такое, что векторное поле единичных нормалей к поверхностям семейства S совпадает с полем n собственных векторов тензора напряжений.

Для того чтобы векторное поле n было расслоенным в некоторой области трехмерного пространства, необходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области выполнялось следующее соотношение:

n ■ rot n = 0. (1.5)

Сформулированное утверждение известно как теорема Якоби.

Ассоциированный закон течения является фундаментальным принципом математической теории пластичности и устанавливает, что в пространстве напряжений вектор, представляющий тензор приращений пластических деформаций йгр, ортогонален регулярной поверхности текучести /(о) = 0 в данном напряженном состоянии о:

йгр = д/ йк. (1.6)

до

Величина йк, называемая неопределенным множителем, положительна при активном пластическом нагружении, признаком которого является выполнение условий / = 0, й/ = 0.

Ассоциированный закон течения (1.6) для изотропного тела устанавливает соосность тензоров йгр и о. В главных осях тензора напряжений ассоциированный закон течения изотропного тела (1.6) имеет следующий вид:

йє- = -— йк, (1.7)

1 до!

у =д/

д0 У

где здесь и в дальнейшем йєУ — собственные значения тензора приращений пластических деформаций йгр, которые, вообще говоря, отличаются от приращений собственных значений єр тензора пластических деформаций гр. С учетом этого замечания спектральное разложение тензора йгр представляется как

йгр = 1 ® 1йєр + т ® тйєр + п ® пйєр.

Обобщение ассоциированного закона на случай поверхности текучести с угловой точкой предложено Койтером ("^Т. Коіїег, 1953 г.). Это обобщение основано на следующем принципе суперпозиции: особые точки поверхности текучести представляются как пересечение конечного числа р гладких поверхностей текучести /у(о) = 0. Обобщенный ассоциированный закон течения имеет следующий вид:

йгр = Vі йк,,,

да у

^ (1.8) > 0 (— = 0, й— = 0),

= 0 (— = 0, й/у < 0 или /у < 0).

Обобщенный ассоциированный закон течения устанавливает соосность тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, причем в случае течения на грани призмы Кулона—Треска имеет место ”3/3-соосность” тензо-

ра напряжений а и тензора приращений пластических деформаций йгр, а в случае, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Кулона—Треска, — ” 1/3-соосность”. В терминологии и обозначениях, систематически используемых в дальнейшем изложении, условие ”1/3-соосности” означает, что в случае течения на ребре призмы Кулона—Треска оі = 02 = оз ± 2к обобщенный ассоциированный закон течения указывает только на то обстоятельство, что вектор п является собственным вектором как для тензора а, так и для тензора йгр, и ничего не говорит об ориентациях в плоскости, ортогональной вектору п, других собственных векторов этих тензоров.

В случае течения на ребре призмы Кулона—Треска, помимо условия ” 1/3-соосности” тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, обобщенный ассоциированный закон течения накладывает единственное дополнительное кинематическое соотношение, выражающее несжимаемость пластического течения

№ (йгр) = 0.

Мы будем предполагать, что изостатические траектории образуют триортого-нальную координатную систему. Поля напряжений, допускающие введение три-ортогональных изостатических координат, заведомо являются расслоенными, но возможность выбора изостат в качестве взаимно ортогональных координатных линий позволяет продвинуться несколько дальше в анализе общих трехмерных уравнений математической теории пластичности. В монографии [1] читатель может найти дальнейшие интересующие его в этой связи детали. Мы отметим лишь, что положение векторов l и m в плоскости, ортогональной вектору n, определяется, исходя из предположения о существовании триортогональных изостатических координат. Если n — слоистое векторное поле и поверхности уровня скалярного поля ю(х1, Х2, Х3) задают слои поля n, то необходимое и достаточное условие того, чтобы семейство поверхностей уровня могло быть дополнено до трижды ортогональной системы поверхностей, выражается уравнением Кэли—Дарбу (A. Cayley, G. Darboux)2:

Х[ш] =

С11 С22 C33 2С12 2С23 2c31

д22® д33® 2^12® 2^23 ю 2^21 ю

1 1 1 0 0 0

31ю 0 0 З2 Ю 0 33Ю

0 З2Ю 0 д1 ю д3Ю 0

0 0 д3 ю 0 З2Ю д1ю

= 0,

(1.9)

где

cij = 2 [(д*®)(4*ю) - 2(4 ®)(djk®)]

к=1

есть симметричный тензор второго ранга относительно преобразований декартовой системы координат х\, Х2, Хз. Известно также, что если однопараметрическое семейство поверхностей дополняется до трижды ортогональной системы, то такое дополнение однозначно. Это, в свою очередь, означает, что ориентации векторов 1 и т в плоскости, ортогональной вектору п, также будут однозначно указываться требованием дополняемости семейства слоев векторного поля п до трижды ортогональной системы.

Вопрос об условиях, при которых заданное однопараметрическое семейство поверхностей может быть включено в триортогональную систему, является одним из основных для дифференциальной геометрии и известен как проблема Кэли. В 1872 г. Кэли получил уравнение (1.9) в качестве ответа на этот вопрос.

2. Тензор несовместности и его физические компоненты в триортогональной координатной системе

Уравнения совместности деформаций представляют собой фундаментальные соотношения механики деформируемого твердого тела, пригодны при любой определяющей зависимости и в инвариантной форме для приращений тензора малых деформаций представляются тензорным уравнением (см. [2, с. 223])

V X 0*Р) = 0, (2.1)

2См., например: Математическая энциклопедия. Т. 3 / под ред. акад. И.М. Виноградова. — М.: Сов. энциклопедия, 1982. — С. 159.

где тензор второго ранга йР есть транспонированный ротор приращения тензора полных деформаций:

йР = (V X йг)т.

Заметим, что для тензора йР (в силу симметрии тензора йг) оказывается справедливой также следующая формула:

йР = -(йг) X V.

В этой записи пространственный оператор Гамильтона V действует на объект, расположенный перед ним3.

Для удобства обозначим через йБ тензор второго ранга, определяемый соотношением

йБ = V X (йг) X V. (2.2)

В этом уравнении безразличен порядок выполнения операции векторного умножения. Тензор йБ называется тензором несовместности4.

Тензор несовместности йБ симметричен:

= (йБ)1 (2.3)

и может быть вычислен также по формуле

-йБ = ((V ■ V)trйг - V ■ (V ■ йг))І + V ® (V ■ йг)+

+(V ® (V ■ йг))т - (V ■ V)йг - V ® Vtrйг. (2.4)

Поскольку (V X йг)т = -(йг X V), йР = (V X йг)т = -(йг) X V, тензор -^ в точности равен тензору V X йР. Следовательно, условия совместности деформаций в приращениях представляются тензорным уравнением

= 0. (2.5)

Условия совместности деформаций (2.5) являются необходимыми и (в случае поверхностно односвязной области в пространстве) достаточными для возможности представления поля йг в данной Коши форме

2йг = (V ® йи) + (V ® йи)т (2.6)

через однозначное поле приращений перемещений йи5.

3Что несколько затрудняет восприятие формул.

4Дифференциальный оператор Ink... = Vx(Vx... )T широко используется в теории дислокаций. Уравнение совместности для приращений тензора полных деформаций с использованием этого оператора записывается просто как Inkde = 0. Ясно, что

Ink de = -dS.

5 Доказательства необходимости и (при указанном выше ограничении) достаточности условий совместности приращений малых деформаций (2.5) для существования однозначного поля du в представлении Коши (2.6) даются в большинстве руководств по механике сплошных сред, механике деформируемого твердого тела и теории упругости: Лейбензон, Л.С. Курс теории упругости / Л.С.Лейбензон. — М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1947. — С. 34—39; [3. C. 54, 55, 57—62]; Партон, В.З. Методы математической теории упругости / В.З.Партон, П.И.Перлин. — М.: Наука, 1981. - С. 212-215.

Подробное изложение вопросов, относящихся к уравнениям совместности конечных деформаций, имеется в книге: Годунов, С.К. Элементы механики сплошной среды / С.К.Годунов. — М.: Наука, 1978. — С. 143—163. В частности, там приводится доказательство их необходимости и достаточности для существования поля перемещений.

Физические компоненты йБ<,■/> тензора в произвольной триортогональной криволинейной системе координат вычисляются по формулам ([4, с. 662-664])

йБ <

д ( 1

д( УІ22йє<з2>) д( -у^з?йе<зз>)

д!2

йе<12> д У^33

+ УЁП д!1 +

йе<23> д л^22 йе<22> д У^33)

+"д^Г + '■ТТ д!2 /'

1

д

1

д( У^22йе<22>) д( -у^33йе<23>)

йе<з2> д -у^зз ■8ЇЇ д!2

л[§22 л/§33 д!^ ^3? йє<із> д -у^22 йе<зз> д л[&22 1

д!3 /

д!з

д!2

УЁГ д!1 1 д ■Йз

Ё11 ^[§22 л[§зЯ д!1

д( -уЙї1йє<21>) д(.л/&22йе<22>)

д -у8зз

лІ^плЩьз д!1

йе<

дл[&2

д!2

йе<

д!1

дл[§п

йе<

дуЩ-п

л/822 л/8зз д!з ^^22 -^ЇГ д!2 -\/822л/8гї д!1

дЧ1

д( -у8ззйє<зз>) д(^[gn йє<з1>)

д!1

д!з

1

д л[§Ї2

йБ

лТЁйлЩ'я дЧ1 1

йє<

дл[§зз

йє<

дл/8й

йє<

д^зз

Л^її -у8зз д!2 лЩззл[8п д!з л/^ззл/^П д!1

д

1

д( У8ззйє<зз>) д( -у81Тйе<з1>)

1

д

д!з

д!1

йе<ц> ^У^зз] ■^П д!1 /'

д!з

йе<

дл/8зз

л/&2 д!2

■\fg2a 'У^зз д!з І л[§пл[§зз

д( -у8ззйе<2з>) д( У81Тйе<21>)

д!1

д!з

йе<з1> д У^зз

йе<1з> д -у/^п

ЛЙІ д!2 д!2

д!1

д( Л^її'йе<2з> ) д(л/8зз йе<зз> )

1

-у^л-у^її д!1

йе<

дл[§зз

д!з

йе<2з>

д!2

д -у(?22

йе<

д'У8зз

л[§п ^[§ззз д!1 л[§22л[§ззз д!з УІ22 -у8зз д!2

1

д-уЙзз

822 -у8"! Л^зз д!ї

д( -у81Тйе<21>) д(УЙ!2йе<22>)

д 'У8зз

л^з^л^її д!ї

йе<

длЩїа

д!2

йе<12>

д!1

дл[8п

йе<

л[§22л[§ззз д!з л[§22^[§п д!2 УІїї "У8? д!1

д УІїї

822 л/8п л/8зв д!з

д( -у81Тйе<з1>) д(^[§її йе<зї>)

д!2

д!1

д л^її

Л^зз л^її д!з

йе<

дл[§п

йе<

дл[§ї2

л/Ёп -уЙз д!з л/822л/8зз д!з

причем компоненты Л1 <22>, <зз> получаются циклической перестановкой индексов в

выражении для Ж<ц>, а компоненты Л1 <23>, ^5<31> — в выражении для Л1 <12>; &<;;> — физические компоненты тензора приращений деформаций. Ясно, что ни ^5<;_,■>, ни А<;;> не являются действительными приращениями.

Заметим также, что приведенные выше формулы для физических компонент ^5<_,■/> тензора несовместности ^8 справедливы в любой триортогональной координатной системе, хотя в дальнейшем нас будет интересовать лишь изостатическая координатная сетка.

1

+

+

1

+

+

+

+

+

+

1

+

+

+

+

1

+

+

+

1

+

В декартовой системе координат компоненты тензора несовместности й8 вычисляются по следующим формулам:

1р = епг1еткрдпдкйе гт,

где еш\ — кососимметричные символы, или

- й5 33 = ^ 3x2,

д2йе

- 11 = я 2

дх3

д2йе

- 22 = 2

дх1

д2йе22 д2йе12

— 2-

дх\

д2йе33

дх2

32йе1]

дх2

-2

-2

3х13х2

. д2й£23

дх2дх3 ’

д2й£31

дх3дх1 ’

д2йеп „

- аБ 23 = - т—^— + т— -

дх2дх3

д2й£22 , -

- аБ 31 = --— -----+ -—

дх3дх1

д2йе33

д_

дх1

_д

дх2

д

й512 дх1дх2 дх3

дйе23 дйе31

+ -т— +

дх1 д<*23

дх2 дй£31

дйе^ дх3 /’ дйе12'

дх1 дх2 дх3

дйе23 дйе31 дйе12 \

дх1 дх2 дх3

Это известные формулы Сен-Венана, широко применяемые в механике деформируемого твердого тела. Их часто называют условиями сплошности. Сами уравнения были опубликованы в 1864 г. Сен-Венаном в издании одной книги Навье.

Компоненты тензора несовместности й8 в декартовой системе координат могут быть найдены также в виде

-d.su = (дудуйекк - дудкйе]к)5Й + дДйей + д:дкйек(-

-дудуйец - дДаеи.

+

+

+

3. Независимые системы соотношений совместности

Обычно считается, что независимых уравнений совместности должно быть шесть (т.к. тензор -й8 = V X 0Р симметричен). На самом деле ситуация несколько сложнее6. Действительно, оказывается, что тензор й8 удовлетворяет, как это следует из его определения (2.2), уравнению7

V ■ (й8) = 0. (3.1)

Следовательно, независимых условий должно быть всего три.

6 Хотя условия совместности деформаций были известны уже Сен-Венану, в настоящее время нет полной ясности в вопросе о числе независимых условий совместности. В большинстве руководств по механике сплошных сред четко говорится о шести независимых уравнениях (см., например: Седов, Л.И. Механика сплошной среды. Т. I / Л.И.Седов. — М.: Наука, 1976. — С. 91).

^Приводимое ниже уравнение в тензорном анализе традиционно называется тождеством Бианки (Ь. ЫапеЫ) (см. по этому поводу Схоутен, А.Я. Тензорный анализ для физиков / А.Я. Схоутен. - М.: Наука, 1965. - С. 146, 147).

Используя приведенные выше выражения для компонент тензора йБ в декартовой системе координат, прямым подсчетом можно показать, что векторное уравнение (3.1) эквивалентно трем скалярным:

д1(йБ 11) + дї(йБ 12) + дз(йБ зО = 0,

д1(йБ 12) + дтійБ 22) + дз(йБ тз) = 0,

д1(йБ з1) + дт(йБ тз) + дз(йБ зз) = 0.

На первый взгляд может показаться, что три независимых условия в декартовой системе координат могут составить либо три уравнения йБ 11 = 0, йБ 22 = 0, йБзз = 0, либо три уравнения йБїз = 0, йБз1 = 0, йБ 12 = 0. Однако ни три условия первой группы, ни три условия второй группы по отдельности использовать нельзя (см., например, [5]). Известно [6], что если три условия первой группы удовлетворяются внутри некоторой поверхностно односвязной области, а вторая тройка условий — на границе этой области, то все три условия второй группы будут удовлетворяться внутри области. Аналогичное утверждение будет справедливо, если поменять группы условий местами.

Ясно, что главные оси тензора йБ ориентированы, вообще говоря, не так, как главные оси тензора напряжений. Поэтому преобразование уравнения (3.1) к главным осям напряжений следует проводить по схеме, изложенной в [1].

В триортогональной изостатической координатной сетке уравнение (3.1) приобретает форму

й1йБ <11> + К2з(йБ <11> - йБ <22>) + Кз2(йБ <11> - йБ <зз>)+

+ (2к1з + Кз1 + й2)йБ <12> + (2К12 + К21 + йз)йБ <1з> = °, йтйБ <22> + кз1(йБ <22> - йБ <зз>) + К1з(йБ <22> - йБ <11>)+

+(2кїз + Кз2 + й1)йБ <21> + (2К21 + К12 + йз)йБ <2з> = 0, йзйБ<зз> + К1ї(йБ<зз> - йБ<ц>) + К21(йБ<зз> - йБ<22>)+

+(2кз2 + Кїз + й1)йБ <з1> + (2кз1 + К1з + йї)йБ <з2> = 0,

где йБ <у> есть по-прежнему физические компоненты тензора йБ в триортогональной изостатической системе координат (здесь еще необходимо учесть симметрию тензора несовместности йБ: йБ<у> = йБ<^>). В данных выше уравнениях К;у есть кривизна проекции изостаты с номером і, причем проектирование осуществляется параллельно направлению } на локальную координатную плоскость, ортогональную этому направлению.

Если имеется некоторая кривая на поверхности, параметризованная натуральным параметром s, 1 — единичный вектор, направленный по касательной к кривой в сторону возрастающих значений параметра s, 1* — единичный вектор, расположенный в касательной плоскости ортогонально вектору 1, п — единичный вектор, направленный по нормали к поверхности так, чтобы векторы 1, 1*, п образовывали правую тройку, то мы определяем

йг йг

К = -її'п- К< = *•1

(3.2)

соответственно как нормальную кривизну (кривизна проекции рассматриваемой кривой на плоскость, определяемую векторами 1, п) и геодезическую кривизну (кривизна проекции рассматриваемой кривой на касательную плоскость, определяемую векторами 1, 1*) кривой на поверхности. В данном выше определении следует особо обратить внимание на знаки. Заметим, что если — геодезическая

кривизна изостатической траектории с номером і на поверхности, ортогональной главному направлению с номером ], то

Уу = -Ку.

Можно показать, что справедливы формулы

1 ■ [(т ■ У)т] = -К2з, 1 ■ [(п ■ У)п] = -Кз2,

т ■ [(1 ■ У)1] = -К1з, т ■ [(п ■ У)п] = -Кз1, (3.3)

п ■ [(1 ■ У)1] = -К12, п ■ [(т ■ У)т] = -К21.

4. Уравнения совместности в триортогональной

изостатической сетке (случай ”3/3-соосности”

« __ «.»

тензора напряжений а и тензора приращений пластических деформаций йгр)

Разложим приращение полной деформации на упругую и пластическую составляющие

йг = йгЕ + йгр. (4.1)

Согласно соотношениям ассоциированного закона течения, приращение пластических деформаций есть тензор, соосный тензору напряжений, что оказывается, вообще говоря, неверным для приращения тензора упругих деформаций. Ясно поэтому, что преобразование уравнений совместности деформаций к главным осям напряжений проще всего осуществляется в том случае, когда упругими деформациями можно пренебречь, и триэдр 1, т, п будет также и триэдром, указывающим главные направления тензора йг:

йг = 1 ф 1йе1 + т ф тйе2 + п ф пйе3.

Мы поэтому рассмотрим именно этот наиболее простой случай, не опираясь при этом на приведенные ранее общие формулы для физических компонент тензора йБ, а производя непосредственный расчет дифференциальных операторов, фигурирующих в (2.2).

Инвариантное представление уравнений совместности для главных приращений деформаций (приращениями упругих деформаций будем пренебрегать) имеет вид:

V X (V X (1 ф 1йе1 + т ф тйе2 + п ф пйе3))Т = 0. (4.2)

Замечая, что8

V X (1 ф 1йе1) = [^йе1) X 1] ф 1+

+ < 1_(Г^п ф 1 - Г31т ф 1) Г12п ф т + 1_Г13т ф п! йе1,

( уЯгг у§22 л/я33 )

8Для триортогональной криволинейной сетки мы определяем Г-символы как коэффициенты в разложениях частных производных от единичных локальных базисных векторов ка:

дка

— = Г к

д|Р =ГаркТ’

где

Тем самым мы, следуя [7], отступаем от обычного для тензорного анализа определения символов Кристоффеля.

а также — два аналогичных выражения

V x (ш 0 mde2) = [(Vde2) x ш] 0 m+

+ I —1— (-Г-2п 0 ш + Г3210 ш) + —1— Г2ып 0 l-------------1— Г2310 nl de2

[ лЩ22 лЩп лЩзь I

V x (n 0 nde3) = [(Vde3) x n] 0 n+

_ 1 /_ 1 . \ 1 „1 . 1

матрицу тензора

+ і —_____(г33ш 0 n - г|310 n)----------—= Г3ыш 0 l + —____г321 0 m f de3,

Vg3^ Vgll Vg2^

dP = (V x (l ® lde1 + m ® mde2 + n ® nde3))T в главных осях напряжений можно получить в виде

, dei - d&3 d&2 - dei

0 d3 dei +-------1---- —d2dei +--------1----

de3 — de2 12 de2 —i3dei

—d3de2 +--------1— 0 dide2 +------1—

de3 — d e^ de1 — de3

d2de3 +---------1— —d1de3 +-------1— 0

K31 K32

(4.3)

Тензор V x dP в главных осях тензора напряжений представляется матрицей (мы опускаем детали вывода), элементы которой приводятся ниже:

(V x dP)<n> = d2dP<3l> - d3dP<2l> + K3ldP<3l> - K2ldP<2l> +

+ K32 dP<23> - K23 dP<32>,

(V x dP)<l2> = d2dP<32> + K3l(dP<32> + dP<23>) + K23dP<3l>>

(V x dP)<l3> = -d3dp<23> - K21 (dP<23> + dP<32>) - K32dP<2l>>

(V x dP)<2l> = -dldP<3l> - K32(dP<31 > + dP<l3>) - Kl3dP<32>>

(V x dP)<22> = d3dP<l2> - dldP<32> + Kl2dP<l2> - K32dP<32> +

+Kl3dP<3l> - K3ldP<l3>,

(V x dP)<23> = d3dP<із> + Kl2(dP<із> + dP<з->) + K31 dP<l2>,

(V x dP)<3l> = dldP<2l> + K23(dP<21 > + dP<l2>) + K12dP<23>>

(V x dP)<32> = -d2dP<l2> - Kl3(dP<l2> + dP<2l>) - K21dP<l3>>

(V x dP)<33> = dldP<23> - d2dP<l3> + K23dP<23> - Kl3dP<l3> +

+ K21 dP<l2> - Kl2dP<2l>-

Подставляя элементы матрицы (4.3) в матрицу тензора V xdP, находим физические компоненты этого тензора в форме:

(V x dP)<n> = d2d2de3 + d3d3de2 + d2 [K3l(de3 - de2)] - d3 [K2l(de3 - de2)] +

+K3ld2de3 + K2ld3de2 + K32dlde2 + K23dlde3 + (k2- - K2l)(de3 - de2)+

+ K32K23(de2 - dei) - K32K23(dei - de3),

(V x dP)<i2> — —d2dide3 + d2 [K32(de- — de3)] — кз-dide3 + K3idide2 + K23d2de3 +

+ K3iK32(de- — de3) + K3-K23(de2 — dei) + K23K3i(de3 — de2),

(V X dP)<13> = —d3d1de2 — d3 [K23(de2 — de1)] — K21d1 de2 + K21d1de3 + K32d3de2 —

— K23K21(de2 — de1) — K32K21 (de1 — de3) — K21K32(de3 — de2),

(V x dP)<21> — —d1d2de3 — d1 [K31(de3 — de2)] — K32d2de3 + K13d1de3 + K32d2de1 —

— K31K32(de3 — de2) — K13 K32 (de2 — de1) — K13K32(de1 — de3)>

(V x dP)<22> — d1d1de3 + d3d3de1 + d3 [K12(de1 — de3)] — d1 [K32(de1 — de3)] +

+K12d3de1 + K32d1de3 + K13d2de3 + K31d2de1 + K22(de1 — de3)—

— K^de! — de3) + K13K31(de3 — de2) — K31K13(de2 — de1),

(V x dP)<23> — —d3d2de1 + d3 [K13(de2 — de1)] — K12d2de1 + K12d2de3 + K31d3de1 +

+ K12K31(de3 — de2) + K12K13(de2 — de1) + K31K12(de1 — de3),

(V X dP)<31> — —d1d3de2 + d1 [K21(de3 — de2)] — K23d3de2 + K23d3de1 + K12d1de2 +

+ K23K21(de3 — de2) + K23K12(de1 — de3) + K23K12(de2 — de1),

(V X dP)<32> — —d2d3de1 — d2 [K12(de1 — de3)] — K13d3de1 + K13d3de2 + K21d2de1 —

— K12K13(de1 — de3) — K21K13(de3 — de2) — K13K21 (de2 — de1)>

(V x dP)<33> — d1d1de2 + d2d2de1 + d1 [K23(de2 — de1)] — d2 [K13(de2 — de1)] +

+ K23d1de2 + K13d2de1 + K21d3de1 + K12d3de2 + K^(de2 — de1)—

—K?3(de2 — de1) + K12 K21(de1 — 2de3 + de2).

Нетрудно видеть, что приведенные выше девять компонент тензора —dS — V x dP можно получить по следующей схеме: выражения для компонент с индексами 22 и 33 получаются циклической перестановкой индексов в выражении для компоненты 11; выражения для компонент с индексами 23 и 31 получаются циклической перестановкой индексов в выражении для компоненты 12. Тем самым объясняется также и выбор нумерации кривизн: он исключительно удобен при записи уравнений совместности деформаций.

Равенство нулю всех приведенных только что физических компонент тензора

V x dP и дает условия совместности приращений деформаций в триортогональ-ной изостатической системе координат при условии, что главные оси тензора de ориентированы так же, как и триэдр l, m, n, т.е.

de — l ® lde1 + m ® mde2 + n ® nde3.

Следует отметить, что полученные с помощью вычисленных только что физических компонент тензора VxdP выражения для dS<21>, dS<31>, dS<32> отличаются по форме соответственно от dS<12>, dS<13>, dS<23>. Тем не менее в силу симметрии тензора dS должны быть справедливы равенства dS<21> — dS<12>, dS<31> — dS<13>, dS <32> — dS <23>.

Таким образом, физические компоненты тензора несовместности dS в случае, когда матрица тензора de в базисе l, m, n диагональна

de1 0 0

0 de2 0

0 0 de3

вычисляются по формулам

dS <11> — —d2d2de3 — d3d3de2 + (k^1 — K^^(de3 — de2) +

+d3 (K21 (de3 — de2)) — d2 (K31 (de3 — de2>) — —K23K32 (de2 + de3 — 2de1) — K31d2de3—

—K21d3de2 — K32d1de2 — K23d1de3,

(4.4)

йБ <12> = й?2й?і^£з + й2 [Кз2 (йєз - ^Єі)] + Кзій (йєз - йє2) -

-К23^2^Є3 + Кзі (йЄз - йЄі) (Кз2 - К2з) ,

(4.5)

где компоненты йБ <22>, йБ <зз> получаются циклической перестановкой индексов в (4.4), а компоненты йБ<2з>, йБ<31> получаются циклической перестановкой индексов в (4.5).

Для конкретных типов нагружений уравнения совместности V X йР = 0 упрощаются. Так, при нагружении вдоль грани призмы Треска

имеем йєз = 0, йєі + йє2 = 0, следовательно, матрица (4.3) приобретает вид

Вихрь тензора йР, т.е. тензор V X йР, при этом в главных осях напряжений имеет компоненты

(V X йР)<11> = -йзйзйє1 + й2(Кзійє1) - йз(К21йє1) - Кз2й1йє1 - к21йзйє1 +

+(к^ - зКз2К2з - К21)йЄі,

(V х йр)<12> = й2(кз2йє1) - Кзій1йє1 + Кзі(кз2 - К2з)йє1>

(V х йР)<із> = йзйійєі + 2йз(к2зйєі) + К2ійійєі - Кз2^зйєі +

+ 2К2і(К2з - Кз2)йЄі,

(V х йР)<2і> = -йі(кзійєі) - Кз2^2йєі + кз2(кіз - Кзі)йєі,

(V х йР)<22> = ізізіє1 + йз(к12йє1) - й1(кз2йє1) + к12йзйє1 + кзій2йє1 +

+(кі2 - к^2 + 2кзікіз)йєі,

(V х йР)<2з> = -йз^2йєі - 2йз(кізйєі) - К12^2^єі + Кзійзйєі +

+ 2к12(кзі - Кіз)йє1,

(V х йР)<зі> = і1ізіє1 + й1(к21йє1) + 2к2зйзйє1 - к12й1йє1 +

+ к2з(к21 - К12)йєЬ (V х йР)<з2> = -й2йзйє1 - й2(к12йє1) - 2кізйзйє1 + к21й2йє1 +

+ Кіз(К21 - Кі2)йЄі,

(V х йР)<зз> = й2й2йє1 - й1й1йє1 - 2й1(к2зйє1) + 2й2(кізйє1) - к2зй1йє1 +

+кізй2йє1 + к21йзйє1 - к12йзйє1 + 2(кіз - к2з)йє1.

5. Уравнения совместности в триортогональной изостатической сетке (случай ” 1/з-соосности”

« __ «

тензора напряжений а и тензора приращений пластических деформаций йгр)

Применимость полученных выше выражений (4.4), (4.5) для физических компонент тензора несовместности йБ ограничена условием ”з/з-соосности” тензора напряжений а и тензора приращений пластических деформаций йгр, что позволяет использовать их лишь в случае течения на грани призмы Кулона—Треска.

|о1 - о2| = 2к, |о2 - оз| < 2к, |оз - о1| < 2к

0

ізіє1 + 2к21йє1 Кзійєі

йзйє1 + 2к12йє1 0

Кз2^Єі

-й2йє1 - 2кізйє1 +й1йє2 - 2к2зйє1

0

Ассоциированный закон течения устанавливает соосность тензора напряжений а и тензора приращений пластических деформаций йгр. При использовании критерия текучести Треска следует различать течение на грани (в этом случае уникальный триэдр 1, т, п будет однозначно указывать также и главные оси тензора приращений пластических деформаций йгр) и течение на ребре, когда равны два главных напряжения Оі = 02. В случае течения на ребре равенство двух главных напряжений Оі = 02 означает, что любое направление, расположенное в плоскости, ортогональной вектору п, является главным. Поэтому при соответствии напряженного состояния ребру призмы Кулона—Треска есть известная доля произвола при выборе собственных векторов 1 и т (они определены с точностью до поворотов в плоскости, ортогональной вектору п). Следовательно, векторы 1 и т уже могут и не быть собственными векторами тензора приращений пластических деформаций йгр. Следовательно, возможно существование триортогональной сетки линий главных напряжений с локальным триэдром 1, т, п, таким, что векторы 1 и т не являются собственными для тензора йгр, но тогда формулы (4.4), (4.5) подлежат модификации с целью учета недиагональности матрицы тензора йг = йгр (мы пренебрегаем упругой составляющей полной деформации) в базисе 1, т, п:

йє<11> йє<12> 0

йє<і2> йє<22> 0

0 0 йєз

Подобного рода модификация без труда осуществляется с помощью полученных выше (на с. 200) формул для физических компонент тензора несовместности9.

Сначала несколько упростим запись формул для физических компонент тензора несовместности (см. с. 200)

йБ <іі> = 2к2зКз2йє<іі> +

+ [*31 - 4 - Кз2К2з + (й?2Кзі) - (йзК2і) + Кзі^2 - Кз2^і - 2К2ійз - йзйз]йє<22> +

+ [КИ - *31 - Кз2К2з + (йзК21) - (й2Кзі) + К21йз - К2зй1 - 2кзій2 - й2й2]йє<зз> +

+ [кзікз2 + К2зКзі + 2кз2кіз + (й2Кз2) + 2кз2й2]йє<12> +

+ [К2іК2з + Кз2К21 + 2К2зКі2 + (йзК2з) + 2К2зйз]йє<із> +

+ [4КзіК21 + К2іК2з + 2(^2 К21) + (й^Кзі) + (йзКзі) +

+ зК21^2 + 2Кзійз + Кзі^2 + ^2^з + йз^2]йє<2з>,

йБ <22> = 2КзіКізйє<22> +

+ [к22 - к22 - КізКзі + (йзКі2) - (йіКз2) + Кі2йз - Кізй2 - 2кз2йі - йійі]йє<зз>+

+ [к22 - к22 - КізКзі + (йіКз2) - (йзКі2) + Кз2йі - Кзій2 - 2кі2^з - йзйз]йє<іі>+

+ [Кі2Кіз + Кзі Кі2 + 2КізК21 + (йзКіз) + 2Кізйз]йє<2з> +

+ [кз2кзі + КізКз2 + 2кзі К2з + (йіКзі) + 2кзійі]йє<і2> +

+ [4к12кз2 + Кз2Кзі + 2(йзКз2) + (йзК12) + (й1К12) +

+зкз2^з + 2кі2^і + Кі2^з + йзйі + йійз]йє<із>,

<зз> = 2кі2 К21 йє<зз> +

+ [к2з - к2з - К21К12 + (йіК2з) - (й2Кіз) + К2зйі - К2ійз - 2кіз^2 - й2й2]йє<іі> +

+ [к2з - к2з - К21К12 + (й2Кіз) - (йіК2з) + Кіз^2 - К^з - 2К2зйі - йійі]йє<22> +

+ [К2зК21 + Кі2К2з + 2К2іКз2 + (йіК2і) + 2К2ійі]йє<із> +

+ [КізКі2 + К21 Кіз + 2Кі2Кзі + (^2Кі2) + 2Кі2^2]йє<2з> +

+ [4к2з Кіз + КізК12 + 2(йіКіз) + (й1 К2з) + (й2К2з) +

+ зКізйі + 2К2з^2 + К2зйі + ІіІ2 + й2йі]йє<і2>,

9 Она не требуется в плоском и осесимметричном случаях.

йБ <12> = -Кз1й?1йе<22> + [К31(К23 - К32) - (^2Кз2) - Кз2й?2]йе<11> +

+ [Кз1(Кз2 - К23) + (^2Кз2) + Кзй + (К32 - К2з)^2 + й2^1]йе<зз> +

+ [к23К32 + 2К31К13 + 2к21 к12 - к^ - К^1 + (й3К12) - (й2К31) + К21й3 +

+К12^з + йзйз]йе<12>+

+ [К21(К31 + К13) - 2К31К12 + К21^2 - Кз1^з - 2(^2 К12) - 2К12й2 - й2^з]йе<1з> +

+ [К21(К23 + К32) - (йзКз2) + (К23 - Кз2)йз - 2К21й1 - йзй?1]й£<23>,

йБ <13> = -К2зйзйе<11> + [К2з(К12 - К21) - (й^О - К21^1]йе<зз> +

+ [К2з(К21 - К12) + (^1К21) + К2зйз + (К21 - 1С12)й1 + й?1й!з]й£<22> +

+ [к12к21 + 2к23к32 + 2К13К31 - к23 - ^ + (й2К31) - (й1К23) + К13й2 +

+ К31^2 + й2^2]йе<1з> +

+ [К13(К23 + К32) - 2К23К31 + К13^1 - К23^2 - 2(^1 К31) - 2кз1^1 - й1^2]йе<23> +

+ [К1з(К12 + К21) - (йзК21) + (К12 - К21)й?2 - 2К1зйз - й?2й!з]й£<12>,

йБ <23> = -К12^2йе<зз> + [К12(К31 - К13) - (йзК1з) - К1зйз]йе<22> +

+ [к12(к13 - к31) + (й3К13) + к12й2 + (к13 - к31)й3 + й3й2]йе<11> +

+ [К31К13 + 2К12К21 + 2К32К23 - К22 - К22 + (^К2з) - (^12) + Кз2^1 +

+ К23^1 + й1^1]йе<23> +

+ [К32(К12 + К21) - 2К12К23 + К31^3 - К12^1 - 2(йзК2з) - 2К2зйз - йз^1]йе<12> +

+ [К32(К31 + К13) - (й1К1з) + (К31 - К1з)^1 - 2кз2^2 - й1й2]йе<1з>.

Затем положим в них йе<1з> = 0, йе<2з> = 0. В результате приходим к уравнениям

йБ <11> = 2К23К32^е<11> +

+ [к21 - к21 - к32к23 + (й2К31) - (й3К21) + к31й2 - к32й1 - 2к21йз - й?зйз]й£<22> +

+ [К21 - 4 - К32К23 + (йзК21) - (^2К31) + К21^з - К23^1 - 2Кз1^2 - й2^2]йе<зз> +

+ [К31К32 + К23К31 + 2К32 К13 + (^2К32) + 2Кз2й2]йе<12>,

(5.1)

йБ <22> = 2К31К13^е<22> +

К К

+ [К32К31 + К13К32 + 2К31К23 + (^1К31) + 2кз1й1]йе<12>,

+ [к22 - к22 - К13К31 + (йзК12) - (й1Кз2) + К12йз - К13^2 - 2кз2^1 - й1^1]йе<зз>+

+ [к22 - к22 - К13К31 + (й1Кз2) - (йзК12) + К32^1 - К31^2 - 2к12йз - йзйз]йе<11>+

йБ <зз> = 2к12 К21 йв<зз> +

+ [к23 - к23 - К21 к12 + (й1К23) - (й2К13) + к23й1 - к21й3 - 2к1зй2 - й2й2]йе<11> +

+ [к2з - к2з - К21К12 + (й2К1з) - (й1К2з) + К13^2 - К12йз - 2К23^1 - ^1]^е<22>+

+ [4К23К13 + К13К12 + 2(^1 К13) + (^1К2з) + (^2К2з) +

+ 3К13^1 + 2К23^2 + К23^1 + ^1^2 + й2^1]й£<12>,

йБ <12> = -К31 й?1йе<22> + [К31(К23 - К32) - (й?2Кз2) - К32й?2]й£<11> +

+ [К31(К32 - К23) + (^2К32) + Кзй + (К32 - К23У2 + й2й?1]йе<зз> +

+ [к23к32 + 2к31к13 + 2к21 к12 - - К^1 + (й3К12) - (й2К31) + к21й3 +

+К12д?з + йзйз]йе<12>,

йБ <13> = -К2зйзйе<11> + [К2з(К12 - К21) - (^1^1) - К21^1]йе<зз> +

+ [К2з(К21 - К12) + (^1К21) + К23йз + (К21 - Кп)^ + й?1й!з]й£<22> +

+ [к13(к12 + к21) - (й3к21) + (к12 - к21)й2 - 2к1зйз - й?2й3]й£<12>,

йБ <23> = -к12й2йе<33> + [к12(к31 - к13) - (й3К13) - к13й3]йе<22> +

+ [к12(к13 - к31) + (й3К13) + к12й2 + (к13 - к31)й3 + й3й2]йе<11> +

+ [К32(К12 + К21) - 2К12К23 + Кз1^з - К12^1 - 2(йзК2з) - 2К2зйз - йзй1]йе<12>.

Приведенные выражения должны использоваться, когда пластическое течение происходит на ребре призмы Кулона—Треска. Компоненты йБ<22>, йБ<зз> нельзя

получить циклической перестановкой индексов в уравнении (5.1). То же самое относится к компонентам dS<23>, dS<31> и уравнению (5.2). Вывод этих уравнений следует осуществлять, как это было сделано, исходя непосредственно из приведенных на с. 200 формул для физических компонент тензора несовместности.

6. Независимые системы соотношений

совместности, их аналитическая классификация и характеристики (течение на ребре призмы Кулона—Треска)

В качестве примера применения уравнений для компонент тензора несовместности (5.1), (5.2) укажем возможные независимые системы уравнений совместности, выясним их аналитическую классификацию и найдем характеристики пространственных кинематических уравнений в случае течения на ребре призмы Кулона—Треска 01 — 02 — 03 ± 2k. Для этого выпишем главные части уравнений совместности деформаций

dS <ц> — — d2d2de3 — d3d3de<22> + ... — 0, dS <22> — —d1d1de3 — d3d3de<11> + ... — 0,

dS <33> — —d2d2de<n> — dd de<22> + (dd + d2d0de<12> + ... — 0,

dS <12> — d2d1de3 + d3d3de<12> + ... — 0, dS <23> — d3d2de<n> — d3d1 de<12> + ... — 0, dS <13> — d1d3de<22> — d2d3 de<12> + ... — 0.

Пользуясь соотношением несжимаемости

de<n> + de<22> + de3 — 0,

устраним из полученной системы уравнений de3. В результате приходим к системе

dS <ц> — d2 d2de<22> — d3d3de<22> + d2d2de<n> + ... — 0,

dS <22> — d1 d1de<22> + d1d1de<11> — d3d3de<11> + ... — 0, (6.1)

dS <33> — —d2d2de<n> — d1d1 de<22> + (d1d2 + d2d1)de<12> + ... — 0,

dS <12> — —d2 d1de<11> — d2d1de<22> + d3d3de<12> + ... — 0,

dS <23> — d3d2 de<n> — d3d1de<12> + ... — 0, (6.2)

dS <13> — d1d3 de<22> — d2d3de<12> + ... — 0.

Только три из этих уравнений независимы, причем a priori неизвестно какие. Однако соображения симметрии позволяют быстро обнаружить нужные уравнения. Мы рассмотрим две системы из трех уравнений совместности. Отдельное исследование затем необходимо для установления выполнимости трех оставшихся уравнений совместности. Такое исследование, как мы увидим ниже, требует привлечения ряда тонких результатов теории дифференциальных уравнений в частных производных.

6.1. Первая система условий

В качестве трех независимых уравнений совместности примем йБ <12> = 0, йБ<іі> = 0, йБ<22> = 0, т.е. выбираются такие уравнения, чтобы индексы у компонент тензора несовместности йБ не включали номер з. Эти уравнения следует рассматривать как систему уравнений в частных производных относительно

^<11^ й^<22> йе<12>.

Найдем характеристики построенной системы. Составляя характеристический определитель, приходим к характеристическому уравнению (М<р — физические компоненты единичного вектора нормали к характеристике относительно орто-нормированного базиса собственных векторов тензора напряжений 1, т, п)

= О (6.3)

-^<2>^<1> -^<2>^<1> ^2з>

м2 м2 - м2 о

<2> <2> 1 у<3> и

М2 - м2 м2 0

^<1> 1 у<3> ^<1> и

или

м<3>(м21> + м<2> - м<3>) = 0.

Учитывая условие нормировки

= 1

^<1> + ^<2> + ^<3> = преобразуем характеристическое уравнение к виду

м<з>(1 - 2^>) = 0,

откуда сразу же становится ясно, что оно имеет три различных вещественных корня

1

м<з> = 0, м<з> = ±—=,

У2

причем кратность нулевого корня равна четырем, т.е. система дифференциальных уравнений в частных производных

йБ <12> = 0, йБ <ц> = 0, йБ <22> = 0 (6.4)

гиперболична, а ее характеристики идентичны характеристикам поля напряжений10.

Выясним зависимы ли остальные уравнения совместности для приращений деформаций

йБ <зз> = 0, йБ <1з> = 0, йБ <23 > = 0 (6.5)

от трех уравнений совместности (6.4). Для этого рассмотрим тождество Бианки для тензора несовместности йБ. В изостатической координатной сетке оно представляется в форме (3.2). Учитывая (6.4), уравнения (3.2) приводим к виду

(2К12 + К21 + йз)йБ <1з> - Кз2йБ <зз> = 0,

(2К21 + К12 + йз)йБ <2з> - К31 йБ <зз> = 0, (6 6)

йзйБ <зз> + (к12 + К21)йБ <33> + (2к32 + к23 + й1)йБ <13> +

+(2кз1 + К13 + й2)йБ <2з> = 0.

10Указанная система дифференциальных уравнений в частных производных, как нетрудно заметить, не является ^-гиперболической (или строго гиперболической относительно переменной ^3), т.к. ее характеристическое уравнение имеет кратный корень. Поэтому проблема корректности постановки задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных (6.4) с начальными данными на слое ^3 — const векторного поля n нуждается в дополнительном исследовании. Заметим, что многие важные уравнения математической физики имеют характеристическую форму с кратными корнями. Можно даже сказать, что условие строгой гиперболичности очень редко выполняется для линейных систем первого порядка.

Отсюда видно, что эта система линейных уравнений в частных производных относительно трех компонент йБ <зз>, йБ <1з>, йБ <2з> тензора несовместности йБ нормальна по изостатической переменной ^з, ибо приводится к нормальной форме Коши по этой переменной

дйБ <1з>

<^3 ddS <2з> <^3 ddS <зз> д^3

(6.7)

Следовательно, задача Коши для системы уравнений (6.6) с начальными данными на слое ^3 = const векторного поля n поставлена корректно. В частности, поставлена корректно задача Коши с нулевыми начальными данными на слое ^3 = const

dS <зз> = О, dS <із> = О, dS <2з> = О (^3 = const). (6.8)

Такая задача Коши имеет единственное нулевое решение. В случае, когда коэффициенты линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных (6.6) являются аналитическими функциями изостатических координат ^1, ^2, ^3 и слой ^3 — const векторного поля n есть аналитическая поверхность, единственность аналитического решения рассматриваемой задачи Коши прямо следует из теоремы Коши—Ковалевской (см., например, [8, с. 30-37]), поскольку как мы покажем далее слой ^3 — const не является характеристической поверхностью для системы (6.6).

Единственность нулевого решения системы линейных дифференциальных уравнений (6.6) (если по-прежнему считать коэффициенты этой системы аналитическими функциями изостатических координат ^1, ^2, ^3) с нулевыми начальными данными на слое ^3 — const в классе непрерывно дифференцируемых функций гарантируется теоремой Хольмгрена (E. Holmgren, 1901)11, поскольку слой ^3 — const не является характеристической поверхностью для системы (6.6). Действительно, составляя характеристическое уравнение, имеем (N<j> — физические компоненты вектора нормали к плоскому характеристическому элементу относительно базиса

11См., например: Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С.Мизохата. — М.: Мир, 1977. — С. 259—261; Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л.Берс, Ф. Джон, М.Шехтер. — М.: Мир, 1966. — С. 58—63; Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р.Курант. — М.: Мир, 1964. — С. 239—241; Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г.Петровский. — М.: Физматгиз, 1961. — С. 49—54. Теорема Хольмгрена имеет весьма общий характер и применяется к линейным системам дифференциальных уравнений в частных производных любого аналитического типа (гиперболического, эллиптического, параболического). В условной части теоремы Хольмгрена можно не требовать аналитичности поверхности, на которой выставляются начальные данные. Аналогичная теорема справедлива и для линейной системы уравнений первого порядка с неаналитическими коэффициентами при условии ее строгой гиперболичности: все корни характеристического уравнения должны быть вещественными и различными. Теорема Хольмгрена указывает также и форму области, где решение задачи Коши единственным образом определяется начальными данными: это ’’линзообразная” область, ограниченная начальной поверхностью и частью пространства, заполненного семейством аналитических поверхностей, представляющим собой аналитическую деформацию начального слоя при фиксированном его крае, причем на всех поверхностях этого семейства характеристический определитель должен быть отделен от нуля одной и той же для всех поверхностей семейства постоянной. Насколько далеко удается продвинуться этим методом от начального слоя, зависит от геометрии характеристических поверхностей.

1, m, n)

N<3> 0 0

0 N<3> 0 — 0,

N<1> N<2> N<3>

т.е. находится корень N<3> — 0 кратности 3, а сама характеристическая форма вырождается, что говорит о параболическом вырождении системы уравнений (6.6)

и о том, что нормали к характеристикам располагаются в плоскости, ортогональ-

ной вектору n12. Поэтому всюду в области достижимости слоя ^3 — const будут выполняться три оставшихся условия совместности (6.5), если они выполняются на слое.

Итак, если три уравнения совместности

dS <12> — 0, dS <ц> — 0, dS <22 > — 0

выполнены, то три оставшихся

dS <33> — 0, dS <13> — 0, dS <23> — 0

также выполняются, если они выполняются на каком-либо слое ^3 — const векторного поля n, причем гарантировать выполнение трех оставшихся условий совместности можно в области достижимости слоя ^3 — const или в более широком смысле в той области пространства, где начальные данные (6.8) однозначно определяют решение системы уравнений (6.7)13. Поскольку характеристические поверхности системы уравнений в частных производных (6.7) составляются из векторных линий поля n, то область достижимости слоя ^3 — const будет, по-видимому, ограничена векторными линиями поля n, выпущенными из точек контура, являющегося краем слоя ^3 — const. Ясно, что в приведенных формулировках слой ^3 — const может быть заменен любой поверхностью, не являющейся характеристической для параболически вырожденной системы дифференциальных уравнений в частных производных (6.6).

Укажем еще на одно интересное обстоятельство. Если часть границы тела свободна от контактных усилий, то в качестве граничного условия здесь можно принять условие касания вектора n. Следовательно, указанная часть границы тела будет характеристической поверхностью для системы уравнений в частных производных (6.6). Если дополнить ее произвольной нехарактеристической поверхностью так, чтобы образовалась ’’линзообразная” пространственная область, то три условия совместности

dS <33> — 0, dS <13> — 0, dS <23> — 0 (6.9)

будут выполнены всюду в образованной области, если они выполняются на дополняющей поверхности и если три других условия совместности выполняются всюду в указанной области.

12Поэтому поверхности, составленные из векторных линий поля n, будут характеристическими для системы дифференциальных уравнений в частных производных (6.6). Такие же поверхности являются характеристическими и для уравнений равновесия в случае состояний на ребре призмы Треска

grado3 + 2kdiv(n ® n) — 0 (n • n — 1).

13Этот важный результат проливает свет на отмеченную выше проблему о том, какие именно три уравнения составляют независимую систему условий совместности малых деформаций.

Дальнейшие уточнения выполнимости условий (6.9) возможны только при более детальном анализе системы уравнений в частных производных

dS <13> 0

d3 dS <23> — 0

dS <33> , —d1

0

0

0 0 0

—(2к12 + К21) 0

dS <13>

dS <23> dS <33>

0

-(2К21 + К12)

+

К32

К31

—(2к32 + К23) -(2к31 + К13) -(к21 + К12)

6.2. Вторая система условий

dS <13> dS <23> dS <33>

Поменяем ролями выделенные группы уравнений совместности: будем считать выполненными уравнения совместности

йБ <зз> = 0, йБ <1з> = 0, йБ <2з> = 0

и выясним, при каких условиях будут выполнены три оставшихся уравнения совместности

йБ <12> = 0, йБ <ц> = 0, йБ <22> = 0.

Главная часть выполненных согласно предположению уравнений совместности имеет вид

йБ<зз> = -й2й2йе<ц> - йййе<22> + (й1й2 + й2й1)йе<12> + ... = 0,

йБ<23> = йзй2йе<11> - йзй1йе<12> + ... = 0, (6.10)

йБ <1з> = й1 йзйе<22> - й2йзйе<12> + ... = 0.

Поэтому характеристический определитель есть

N2 1 <2>

—N2,

<1>

2N<1> N<2> 0 " N<1> N<3> —N<2> N<3>

N<2> N<3> 0 —N<1>N<3>

(6.11)

Видно, что соответствующая характеристическая форма полностью вырождается, т.к. указанный определитель равен нулю при любых ориентациях N<1>, N<2>, N<3>. Любая поверхность оказывается характеристической для системы дифференциальных уравнений в частных производных (6.10). В частности, характеристическими будут поверхности ^3 — const. Как следует из уравнения dS <33> — 0, начальные значения de<n>, de<22>, de<12>, d3de<n>, d3de<22> не могут быть произвольно заданы на поверхности ^3 — const. Поэтому постановка задачи Коши с начальными данными на слое ^3 — const будет некорректной.

Выясним условия, при которых будут выполняться три оставшихся уравнения совместности. Остальные компоненты тензора несовместности dS<ц>, dS <22>, dS <12> должны удовлетворять тождествам Бианки

d1dS <11> + К23(dS <11> — dS <22>) + К32dS <11> + (2к13 + К31 + d2)dS <12> — 0,

dldS <22> — K13(dS <11> — dS <22>) + K31dS <22> + (2К23 + К32 + d1)dS <12> — 0,

K12dS <11> + K21dS <22> — 0.

(6.12)

Последнее из тождеств позволяет исключить компоненту йБ<22> (или йБ<ц>). В результате относительно двух компонент йБ<ц>, йБ<12> (или йБ<22>, йБ<12>) получим линейную систему двух уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Тем самым удается понизить размерность исследуемой системы

+

уравнений. По существу, здесь на каждом слое ^3 = const мы можем рассматривать линейную систему двух уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными ^-, относительно двух компонент dS<ii>, dS<і2>. Характеристиче-

ское уравнение этой системы

K21 N<1> + K12 N<2> = О (6.13)

указывает на то, что система тождеств Бианки (6.12) будет гиперболической (и даже ^-- и ^-гиперболической) при условии

Kl2K2l < О

и эллиптической (и даже сильно эллиптической) при условии

Kl2K2l > О.

Поскольку координатные изостатические линии получаются как линии пересечения поверхностей триортогональной системы, то изостаты с номерами l и 2 есть линии кривизны на поверхности ^3 = const. Следовательно, к-2, K21 являются главными кривизнами поверхности ^3 = const, представляющей собой слой векторного поля n, а произведение главных кривизн к-2, K21 есть Гауссова кривизна поверхности ^3 = const

K(3) = K12K21.

Поэтому первое из приведенных выше неравенств выполняется в гиперболических точках этой поверхности, а второе — в эллиптических.

Ясно, что линейная система дифференциальных уравнений в частных производных (6.12) всегда имеет нулевое решение, и нам остается установить, когда нулевое решение будет единственным.

Рассмотрим сначала, как этот вопрос решается в случае сильной эллиптичности системы (6.12) (речь идет о выполнении неравенства K12K21 > О на заданном слое ^3 = const) и аналитичности ее коэффициентов. Тогда с помощью теоремы единственности Хольмгрена можно заключить, что если dS<ii>, dS<i2> (или dS <22>, dS <i2>) равны нулю на некотором замкнутом контуре, расположенном на слое ^3 = const, то

dS <i2> = О, dS <ii> = О, dS <22 > = О (6.14)

всюду на слое в пределах внутренности этого контура. Из этого утверждения также следует, что если dS<ii>, dS<i2> (или dS<22>, dS<i2>) равны нулю на поверхности векторной трубки поля n, то равенства (6.14) выполняются внутри области пространства, ограниченной поверхностью трубки и замыкающими ее слоями векторного поля n.

Если на слое ^3 = const система дифференциальных уравнений в частных производных (6.12) гиперболична, ее коэффициенты по крайней мере один раз непрерывно дифференцируемы и если dS<ii>, dS<12> (или dS<22>, dS<12>) равны нулю на некотором отрезке координатной изостатической траектории, расположенной на слое, то в силу единственности решения задачи Коши для двумерных гиперболических систем14 равенства (6.14) выполняются всюду в области определенности указанного отрезка, т.е. в той части слоя, которая ограничена дугой изостати-ческой траектории и характеристическими кривыми, выпущенными из конечных точек дуги.

14См.: Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными /

И.Г. Петровский. — М.: Физматгиз, 1961. — С. 92—99.

Литература

[1] Радаев, Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев. - 2-е изд. - Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2006. - 340 с.

[2] Блох, В.И. Теория упругости / В.И. Блох. - Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1964. - 484 с.

[3] Папкович, П.Ф. Теория упругости / П.Ф. Папкович. - М.; Л.: Оборонгиз, 1939. - 640 с.

[4] Malvern, L. Introduction to the Mechanics of Continuous Medium. Englewood Cliffs / L. Malvern. - N. J.: Prentice - Hall, 1969. - 714 pp.

[5] Washizu, K. A note on the conditions of compatibility / K.Washizu // J. Math. Phys. - 1958. - V. 36. - P. 306-312.

[6] Moriguti, S. Fundamental theory of dislocations of elastic bodies / S.Moriguti // Oyo Sugaku Rikigaku. - 1947. - V. 1. - P. 87-90.

[7] Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. - М.: Гостехтеоретиздат, 1955. - 492 с.

[8] Положий, Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н.Положий. - М.: Высш. шк., 1964. - 560 с.

Поступила в редакцию 2/III/2007; в окончательном варианте — 2/Л/2007.

ON SYSTEMS OF INDEPENDENT STRAINS COMPATIBILITY EQUATIONS FOR PLASTIC FLOW CORRESPONDING TO AN EDGE OF THE COULOMB-TRESCA PRISM

© 2007 Y.N. Radayev15

The strains compatibility equations formulated by the triorthogonal isostatic co-ordinate net are considered. The six of these equations are essential. Only three of them are independent. They are explicitly given for stress states corresponding to an edge of the Tresca prism. Conditions sufficient for the other strains compatibility equations to be satisfied are obtained.

Paper received 2/1/7/2007.

Paper accepted 2/777/2007.

15Radayev Yuri Nickolaevich (radayevSssu.samara.ru), Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.