МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ (НАСЫЩЕННЫЙ ПАР И ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА) ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ И СТУДЕНТОВ МЛАДШИХ КУРСОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ (НАСЫЩЕННЫЙ ПАР И ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА) ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ И СТУДЕНТОВ МЛАДШИХ КУРСОВ

Аннотация

В статье рассматривается алгоритмический подход к решению задач по темам насыщенный пар и влажность воздуха. Статья адресована учащимся 10-х, 11-х классов, студентам младших курсов и педагогам для организации учебного процесса.

Ключевые слова

насыщенный пар, идеальный газ, влажность воздуха, относительная влажность, газовые законы

АВТОРЫ

Грибов Александр Фёдорович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва a lexandr-gribov@li st .ги

Краснов Игорь Константинович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва igorkrsnv@yandex.ru

Введение

Решение качественных и расчетных задач, связанных с темами насыщенный пар и влажность воздуха традиционно вызывает трудности у учащихся. Алгоритмический подход заключается в том, что первоначально из условий определяется физическое явление (процесс), описанное в задаче. Далее устанавливаются закономерности между величинами, характеризующими рассматриваемое явление (процесс) и записываются соответствующие математические формулы. И, наконец, осуществляется анализ полученных соотношений, и определяются искомые величины.

Основные определения и понятия

Насыщенный пар. Количество жидкости в открытом сосуде вследствие испарения непрерывно уменьшается. Но если сосуд плотно закрыт, то этого не происходит. В закрытом сосуде, в конце концов, устанавливается равновесное состояние: число молекул, покидающих поверхность жидкости, становится равным числу молекул пара, возвращающихся за тоже время в жидкость. Такое равновесие называется динамическим или подвижным.

Определение. Пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, называется насыщенным паром. Пар, не достигший состояния динамического равновесия со своей жидкостью, называется ненасыщенным. Из определения следует, что в данном объеме при данной температуре не может находиться большее количество пара. Поэтому имеет место следующий

Факт 1: насыщенный пар имеет при данной температуре наибольшее количество молекул в единице объема, а, следовательно, и наибольшую плотность и оказывает наибольшее давление.

Факт 2: состояние насыщенного пара можно приближенно описывать состоянием идеального газа (подтверждено экспериментом). В частности, имеем соотношение между давлением и плотностью насыщенного пара

Рн

Рн = —RT,(1) д

где Рн,рн - давление и плотность насыщенного пара; R - универсальная газовая постоянная; T - температура, р - молярная масса.

Возможна и другая формула для определения рассматриваемых соотношений:

Рн = пКТ, (2)

где n - концентрация (п = N/V) - число молекул в единице объема; K - постоянная Больцмана.

Выясним, от каких параметров зависит концентрация молекул насыщенного пара. Для этого рассмотрим выражения для скоростей испарения и конденсации. Скорость испарения G определяется по формуле

G = BTaexp(-^0),(3)

где B - постоянная, зависящая от химического состава вещества; uo - энергия испарения, которая равна работе, которую нужно совершить, чтобы преодолеть силы межмолекулярного притяжения и удалить молекулу на такое расстояние от поверхности, где молекулярные силы уже не проявляются; а~1 /2; K - постоянная Больцмана; T - температура.

Скорость конденсации g определяется по формуле

д=^п,(4)

где в - некоторый коэффициент; n - концентрация молекул пара. При динамическом равновесии скорость конденсации равна скорости испарения. Приравнивая правые части равенств (3) и (4), получим выражение для концентрации молекул насыщенного пара

nH=ATaexp(-^0).(5)

Плотность насыщенного пара получим, умножив концентрацию на массу молекулы

рн = т0пн = Ат0Та ехр (6)

Давление насыщенного пара получим по формуле

Рн = пКТ = АКТа+1 ехр (-, (7)

где А = В/р.

Следует отметить, что выражение (7) является приближенным, так как при его выводе не в полной мере учитывались силы межмолекулярного притяжения. Тем не менее, выражение (7) в основном правильно передает свойства насыщенного пара, что подтверждается экспериментальными данными. График зависимости плотности насыщенного пара от температуры изображен на рис. 1.

Рис. 1. Рис. 2.

Из графика видно, что с ростом температуры плотность насыщенного пара резко возрастает. График зависимости давления насыщенного пара от температуры приведен на рис. 2. Для сравнения здесь же вычерчен график зависимости давления идеального газа от температуры (при постоянном объеме). Давление идеального газа растет линейно с ростом температуры, давление насыщенного пара возрастает значительно быстрее. На основании формул (6), (7) и экспериментальных данных составлены таблицы зависимостей плотности и давления насыщенного пара от температуры: рн = рн(Т); Рн = РН(Т). Из изложенного следует, что для определения зависимости давления насыщенного пара от температуры следует использовать формулы Менделеева-Клайперона и зависимости рн = рн(Т); и Рн = РН(Т), заданные в виде таблиц. При этом необходимо помнить, что использовать объединенный

„ ру „ „

газовый закон (— = const), а также законы Бойля-Мариотта, Гей-Люсака и Шарля при изучении насыщенного газа нельзя.

Рассмотрим поведение насыщенного газ при изменении объема при постоянной температуре. Для этого изучим изотермы реального газа, которые получены в результате процессов сжатия-расширениянекоторого газа, находящегося в цилиндре под поршнем рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3. Рис. 4.

Проанализируем одиночную изотерму. Вначале, когда объем достаточно велик (V > У1) газ находится в состоянии ненасыщенного пара и давление пара с уменьшением объема растет в соответствии с законом Бойля-Мариотта. При дальнейшем уменьшении объема, начиная со значения давление в цилиндре под поршнем перестанет меняться. Газ переходит в состояние насыщенного пара и часть его конденсируется в жидкость. В точке У2 весь пар превращается в жидкость и участок при V < У2 соответствует жидкому состоянию вещества.

Состояние, соответствующее точке К, в которую обращается горизонтальный участок изотермы при температуре Т=Тк, называют критическим состоянием (критическая точка). Давление и объем в этом состоянии называют критическими. В крити-

ческом состоянии жидкость имеет максимальный объем, а насыщенный пар - максимальное давление. Если сжимать газ, поддерживая температуру выше критической (изотерма 7з), то уменьшение объема приведет к возрастанию давления в соответствии с уравнениями состояния идеального газа. В этом случае образование жидкости в сосуде не будет. Если соединить левые и правые концы горизонтальных участков гладкой кривой, то получим зависимость давления от температуры, на которой отражены все возможные состояния газа (рис. 5.). В заключении следует отметить, что газ и пар одно и то же состояние вещества, так как все газы могут быть превращены в жидкость.

Рассмотрим график, отражающий зависимость давления насыщенного пара от температуры, представленный на рис. 6. При нагревании в закрытом сосуде жидкости с паром часть жидкости превращается в пар. При этом давление насыщенного пара растет не только вследствие температуры, но и вследствие увеличения концентрации молекул - участок АВ. Когда вся жидкость испариться, пар при дальнейшем нагревании перестает быть насыщенным, и его давление при постоянном объеме будет возрастать прямо пропорционально в соответствии с законом Шарля.

Рис. 5. Рис. 6.

Влажность воздуха. Атмосферный воздух представляет собой смесь различных газов и водяного пара. Каждый из газов вносит свой вклад в суммарное давление, производимое воздухом на находящиеся в нем тела. Давление, которое производил бы водяной пар, если бы все остальные газы отсутствовали, называют парциальным давлением (или упругостью) водяного пара.

Состояние водяного пара в воздухе характеризуется абсолютной и относительной влажностью.

Абсолютная влажность. Абсолютной влажностью воздуха называют массу водяного пара, содержащегося в одном кубическом метре воздуха при данной температуре. Другими словами, абсолютная влажность - это плотность водяных паров при данной температуре. Единица измерения абсолютной влажности в системе СИ - кг/м3. Эту величину из за ее малости часто выражают во внесистемных единицах в граммах на кубический сантиметр - г/см3. Абсолютная влажность, таким образом, показывает, сколько водяного пара в граммах содержится в одном кубическом метре воздуха. Абсолютная влажность и парциальное давление водяного пара связаны уравнением Менделеева - Клайперона

Р

тЯТ

Относительная влажность. Знание упругости (парциального давления) водяного пара или абсолютной влажности ничего не говорит о том, насколько водяной пар

в данных условиях далек от насыщения. А именно от этого зависит интенсивность испарения воды или конденсации пара. Вот почему вводят величину, показывающую насколько водяной пар при данной температуре близок к насыщению - относительную влажность.

Относительной влажностью воздуха ф называют выраженное в процентах отношение парциального давления р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной температуре к давлению рн насыщенного пара при той же температуре

Р

(р=—100% Рн

Воспользовавшись уравнением Менделеева - Клайперона, можно для относительной влажности получить еще одну формулу

р

(р=—100%, Рн

где р - абсолютная влажность, а рн - плотность насыщенного пара при данной температуре. Составлены таблицы, в которых приведена плотность насыщенных водяных паров рн при разных температурах. Влажность воздуха не может быть больше 100%. Температуру, при которой водяной пар становится насыщенным, называют точкой росы. Поэтому если водяной пар охлаждать до температуры ниже точки росы, то выпадает роса.

Найдем зависимость давления насыщенного пара от температуры без использования скорости конденсации. Для этого рассмотрим уравнение Клайперона -Клаузиуса

йР ц

йТ Т(У1 -

где Р - давление насыщенного пара; Т - его температура; д - теплота испарения; VI, Уг - удельные объемы пара и жидкости. В первом приближении можно считать, что величина д не зависит от температуры, а удельным объемом жидкости по сравнению с удельным объемом пара можно пренебречь. Кроме того, можно считать, что к пару

применимо уравнение состояния Клайперона РУ = -ИТ (индекс 1 у V опущен). В принятом приближении уравнение Клайперона - Клаузиуса перейдет в

йР ц

йТ ТУ ЯТ2

или

Р

Интегрируя его, получим

йР ^ц йТ

аа

1пР = +

Постоянную интегрирования С можно найти, если известно давление насыщенного пара Ро при какой-либо температуре То. При этой температуре

uq

lnP0 = -^t + C, 0 RTo '

откуда

С = lnP0 + ■ . 0 RTo

Исключая постоянную C, получим искомую зависимость

P = P0exp(f)(l-;i).(8)

Необходимо отметить, что вблизи критической температуры оба допущения дают большую погрешность. Для воды при нормальном атмосферном давлении температура кипения T=373 K, теплота парообразования q=539 кал/(г.К). Подставляя в (10) R=1,9858 кал/(кмоль), у=18, получим

1 dP 18•539 Р d? = 1986^732 = °'0352 К-К

Отсюда следует, что при нагревании на один градус давление насыщенного водяного пара возрастает на 27 мм рт.ст. Более точную формулу для давления насыщенного пара можно получить, если учесть зависимость удельной теплоты парообразования от температуры. Приведем ее без вывода

uq

lnP = - + lnT + const. (9) HI

Логарифм T есть медленно меняющаяся функция температуры. Если ее заменить постоянной, то (9) перейдет в (8). Сравнение полученных формул давления насыщенного пара от температуры показали приемлемое совпадение при температурах меньше критической.

Резюмируя вышеизложенное, приведем следующие факты, которые необходимо помнить для успешного решения задач.

1. Если известна температура, то с помощью таблиц можно найти давление и плотность насыщенного пара.

2. Если известна температура и плотность (давление) насыщенного пара, то с помощью уравнения Менделеева - Клайперона можно найти давление (плотность).

3. Газовые законы Бойля - Мариотта, Гей - Люссака, Шарля, а так же другие формулы справедливые для идеального газа, можно применять только к ненасыщенному пару, а насыщенный пар им не подчиняется.

4. При изотермическом уменьшении объема насыщенного пара его давление не возрастает, а остается постоянным. При этом часть пара переходит в жидкость. При изотермическом расширении насыщенный пап переходит в ненасыщенный.

5. При изохорном повышении температуры насыщенного пара его давление растет не пропорционально температуре, а быстрее. Начиная с некоторой температуры, насыщенный пар при дальнейшем нагревании переходит в ненасыщенный, который подчиняется закону Шарля.

6. Если воздух, в котором есть насыщенный пар нагреть, то пар перестает быть насыщенным, хотя плотность водяного пара в нем не изменится. При этом относительная влажность воздуха уменьшится.

7. В закрытом сосуде при нагревании абсолютная влажность не изменяется, так как масса пара в единице объема остается прежней, а относительная влажность уменьшается, так как плотность насыщенного пара с ростом температуры увеличивается.

8. При охлаждении водяного пара в закрытом сосуде абсолютная влажность не будет изменяться до тех пор, пока не будет достигнута точка росы. Относительная влажность воздуха будет расти, так как будет уменьшаться плотность насыщенного пара. Как только температура опустится до точки росы относительная влажность ф станет равна 100% и будет оставаться равной 100% при дальнейшем охлаждении уже насыщенного пара, который при таком охлаждении будет все время конденсироваться, пока весь не перейдет в жидкое состояние.

Заключение

В работе приведены основные факты и закономерности, необходимые ля успешного решения задач по теме «Насыщенный пар и влажность воздуха». Рассмотрены изотермы реального газа, приведены зависимости давления насыщенного пара от объема и температуры. Представлен перечень основных положений (фактов) теории, знание которых позволяет успешно решить широкий круг задач по данной теме.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Физматлит,2006. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 544 с.

2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика. Молекулярная физика. Термодинамика. 10 кл. Профильный уровень: учеб. для общеобразовательных учреждений - М. : Дрофа, 2010 - 349 с.

3. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики: Учебник в 2 т. Т1. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика - М.: Физматлит, 2003 - 576 с.

Alexander F. Gribov,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow alexandr-gribov@list. ru Igor K. Krasnov,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow igorkrsnv@yandex. ru

Methodical recommendations for solving problems in physics (saturated steam and humidity) for applicants and junior students

Abstract. The article discusses an algorithmic approach to solving problems on the topics of saturated steam and air humidity. The article is addressed to students of the 10th, 11th grades, junior students and teachers for the organization of the educational process.

Keywords: saturated steam, ideal gas, air humidity, relative humidity, gas laws.