CC BY
21ИЗБРАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ В ЗАДАЧАХ (НАСЫЩЕННЫЙ ПАР И ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА) ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ И СТУДЕНТОВ МЛАДШИХ КУРСОВ
Аннотация
Работа является продолжением статьи «Методические рекомендации к решению задач по физике», в которой рассматривался алгоритмический подход к решению задач по темам насыщенный пар и влажность воздуха. В статье, в процессе решения задач, проиллюстрированы основные теоретические положения, приведенные в методических рекомендациях. Работа адресована учащимся 10-х, 11-х классов, студентам младших курсов и педагогам для организации учебного процесса.
Ключевые слова
насыщенный пар, идеальный газ, влажность воздуха, относительная влажность, газовые законы
АВТОРЫ
Грибов Александр Фёдорович,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва a lexandr-gribov@li st .ги
Краснов Игорь Константинович,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва igorkrsnv@yandex.ru
Введение
Решение качественных и расчетных задач, связанных с темами насыщенный пар и влажность воздуха традиционно вызывает трудности у учащихся. Алгоритмический подход заключается в том, что первоначально из условий определяется физическое явление, описанное в задаче. Далее устанавливаются закономерности между величинами, характеризующими рассматриваемое явление (процесс) и записываются соответствующие математические формулы. И, наконец, осуществляется анализ полученных соотношений, и определяются искомые величины.
Методология и результаты исследования
Общие рекомендации к решению задач
При решении задач целесообразно придерживаться следующего плана.
1. Внимательно прочитать условие задачи.
2. Вспомнить законы (закономерности и факты), описывающие указанные процессы.
3. Представить указанные закономерности в виде математических соотношений.
4. Провести необходимые вычисления и записать ответ.
Приведем теперь основные факты и закономерности, которые необходимо помнить при решении задач на данную тему.
Напомним, что пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью называется насыщенным паром. Пар, не достигший состояния динамического равновесия со своей жидкостью, называется ненасыщенным. Насыщенный пар обладает рядом свойств.
1. Насыщенный пар имеет при данной температуре наибольшее количество молекул в единице объема, а, следовательно, и наибольшую плотность и оказывает наибольшее давление.
2. Состояние насыщенного пара можно приближенно описывать состоянием идеального газа (подтверждено экспериментом). В частности, имеем соотношение между давлением и плотностью насыщенного пара
Рн
Рн = —ИТ, д
где Рн,рн - давление и плотность насыщенного пара; R - универсальная газовая постоянная; Т - температура, р - молярная масса.
Возможна и другая формула для определения рассматриваемых соотношений:
Рн = пКТ,
где п - концентрация (п = N/V) - число молекул в единице объема; К - постоянная Больцмана.
3. Газовые законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля можно применять только к ненасыщенному пару, а насыщенный пар им не подчиняется.
4. При изотермическом уменьшении объема насыщенного пара его давление не возрастает, а остается постоянным из-за перехода части пара в жидкость.
5. При изохорном повышении температуры насыщенного пара его давление растет не пропорционально абсолютной температуре, а быстрее, потому что при этом увеличивается не только скорость молекул, но и их концентрация из-за испарения жидкости в том же сосуде, где находится насыщенный пар.
6. Если насыщенный пар изохорно охлаждать или изотермически сжимать, то он конденсируется.
7. Если насыщенный пар изохорно нагревать или изотермически расширять, то он переходит в ненасыщенный.
8. Если ненасыщенный пар изохорно охлаждать или изотермически сжимать, то ненасыщенный пар переходит в ненасыщенный.
9. Если ненасыщенный пар нагревать или расширять, то он так и будет ненасыщенным.
Решение задач на тему насыщенный пар и влажность воздуха
Задача 1. Найти среднее расстояние между молекулами насыщенного пара при t = 30°С. Давление насыщенного пара при этой температуре равно Рни = 4.2 • 104Па.
Дано: t = 30°С,Рнп = 4.2 • 104Па,йср =?
Решение. Поскольку Р = пкТ, концентрация молекул пара равна п = Р/кТ . Объем, приходящийся на одну молекулу, составляет Ум = 1/п = кТ/Р. Следовательно, расстояние между молекулами й = \fkffp = 3.2 • 10-13 М.
Ответ: й = 3.2• 10-13 М.
Задача 2. В сосуд объема V = 10-2М3, наполненный сухим воздухом при давлении Р0 = 105Па и температуре 0Т, вводят т = 3 г воды. Сосуд нагревают до 100°С. Каково давление влажного воздуха в сосуде при этой температуре?
Дано: т = 3 г (3- 10-3 КГ ), V = 10-2М3, Р0 = 105Па,Г0 = 273 К,Р =?
Решение. Давление влажного воздуха равно сумме парциальных давлений воздуха и пара: Р = Рв + Рп. Предположим, что вся вода испарилась. Давление паров определим из уравнения
тРГ 0.003 • 8.31 • 373 Р°"= 0.018-10-2 = 5.2 • 104Па.
Давление пара меньше, чем давление насыщенного пара (Рн п. = 1.013 • 105 Па),
поэтому наше предположение о том, что вся вода испарилась справедливо. Давление
воздуха при нагревании увеличивается по закону Шарля:
Ро 105
Рв = —Т =-373 = 1.37 • 105 Па.
в Тп 273
Таким образом Ответ: Р = 1.89 • 105 Па.
р = рв + рп = 1.89 • 105 Па.
Задача 3. В цилиндрическом сосуде под поршнем с площадью основания 5 = 8 см2 налита вода при температуре t = 18°. Основание поршня касается поверхности воды. Какая масса воды т испарится, если поршень поднять на высоту Л = 5 см над водой. Дано: 5 = 8 см2, t = 18°, Л = 5 см,ш =?
Решение. Между поверхностью воды и основанием поршня в замкнутом пространстве объемом V = 5 • Л образуется насыщенный пар при температуре t = 18°. По таблице находим его плотность рнас = 15.45 г/м3.
Теперь, зная плотность пара, найдем массу по формуле т = рнасУ или т = рнасЛ5. Выразим все единицы в системе СИ:
8 см2 = 8 • 10-4м2,5 см = 0.05 м, 15.4 г/м3 = 0.0154 кг/м3. Проведем вычисления: т = 0.0154 • 0.05 • 8 • 10-4 = 0.2 • 10-7кг. Ответ: т = 0.2 • 10-7кг.
Задача 4. Закрытый сосуд объема V = 0.5 м3 содержащий воду массы т = 0.5 кг нагрели до температуры Т = 420 К. На какую величину ДК следует изменить объем сосуда, чтобы в нем содержался только насыщенный пар?
Давление насыщенного пара при температуре Т = 420 К равно Р0 = 0.47 МПа. Молярная масса воды д = 0.018 кг/моль.
Дано: V = 0.5 м3,ш = 0.5 кг, Г = 420 К, Р0 = 0.47 МПа,д = 0.018 кг/моль, ДК =? Решение. Насыщенный пар массы т при давлении Р, согласно уравнению состояния, должен занимать К' = РГ/дР.
Следовательно, ДК = К' - V = ^^ - V = -0.29 м3 (знак минус показывает, что
объем должен быть уменьшен). Ответ: ДК = -0.29 м3.
Задача 5. График изменения давления пара в закрытом сосуде при повышении его температуры имеет форму, показанную на рисунке.
Какое заключение можно сделать относительно процессов испарения внутри сосуда?
Решение. В сосуде находилось некоторое количество жидкости. Точке излома соответствует полное испарение жидкости.
Задача 6. В откачанном герметически закрытом сосуде объемом 10 л находится открытая коробочка, содержащая 10 г воды. Сосуд прогревается до 100°С. Какая масса воды испарится?
Дано: тв = 10 г, У = 10л, Т = 100°, тп =?
Решение. Сделаем предположение, что не вся вода испариться. Тогда пар в сосуде
будет насыщенным. Запишем уравнение Менделеева-Клайперона для пара в сосуде:
тп
ру = —ЯТ
Давление насыщенного пара при 100° равно 105Па. Из уравнения находим т = РУ^/ЯТ = 6г. Этот результат подтверждает сделанное предположение. Если бы в результате расчетов оказалось, что полученная масса пара превышает массу воды в колбочке, то следовало бы сделать вывод, что вся вода испарилась.
Ответ: т = 6г.
Задача 7. При изотермическом сжатии 9 г водяного пара при температуре Т=373 К
его объем уменьшился в 3 раза, а давление возросло вдвое. Найти начальный объем пара.
Дано: т = 9 г, Т = 373К, У =?
Решение. Из условия задачи можно заключить, что в процессе сжатия масса пара меняется, так как если бы она была постоянна, то в соответствии с законом Бойля-Мариотта при уменьшении объема в 3 раза давление увеличилось бы так же в 3 раза. Таким образом, в какой-то момент пар становится насыщенным и при дальнейшем сжатии давление остается постоянным и вдвое больше начального. Запишем закон Бойля-Мариотта для начального состояния пара и состояния пара в тот момент, когда он стал насыщенным Р1У1 = Р2У2 и уравнение Менделеева-Клайперона для второго состояния (в момент, когда пар стал насыщенным)
т
ру =—ЯТ2 д 2
Учитывая, что согласно условию задачи Р2 = 2 Р1 и давление насыщенного пара при температуре 375 К (100°) равно Р2 = 105Па, находим, что
тЯТ
V = 2 У2 = 2-= 30л
1 2 ^
Ответ:У1 = 30л
Задача 8. Паровой котел частично заполнен водой, а частично смесью воздуха и насыщенного пара при температуре t1 = 100°. Начальное давление в котле Р = 3Р0 = 3 • 105Па. Найти давление в котле в случае, когда температуру в нем понижали до значения t2 = 10°. Давлением насыщенного пара при 10° пренебречь.
Дано: t1 = 100°, Р = 3 • 105Па ,t2 = 10°, Р' =?
Решение. Давление насыщенного пара при температуре t = 100° равно Рн = 105Па, тогда давление воздуха Рв равно Рв = Р - Рн = 2 • 105Па. Используя условие неизменности объема воды (объемомом, получившимся при конденсации охлаждающего пара пренебрегаем, так как он мал), имеем
Ъ 7-1
Тогда Р' = ^ = 1.5 • 105Па.
Ответ: Р' = 1.5 • 105Па.
Задача 9. В цилиндрическом сосуде под поршнем при температуре T находится насыщенный пар. Определить массу конденсировавшегося при изотермическом вдвигании поршня пара, если при этом совершается работа А.
Дано: Т, А, д,Дш =?
Решение. Так как насыщенный пар конденсируется, то при его сжатии давление постоянно. Работа по сжатию
А = РД/ = Р5Д/ = PSK = Р(К — К0),
где V и К0 - конечный и начальный объемы пара. К пару можно применить уравнение газового состояния
ш0 m
РК0 =—°РГ,РК = — РГ.
Тогда
ш — ш0
А = Р(К — К0) = -°РГ.
д
Отсюда масса конденсировавшего пара равна Дш = Лд/РГ.
Ответ: Дш = Ди/РГ.
Задача 10. Давление водяного пара Р при 14° равно 1 кПа. Является ли этот пар насыщенным?
Дано: t = 14°, Р = 1кПа, пар насыщенный?
Решение. Из таблицы находим, что давление насыщенного пара при 14° равно Рн = 1.6 кПа, то есть больше давления, данного в условии задачи. Отсюда заключаем,
что пар не является насыщенным. При этом относительная влажность
р
^ = — • 100% = 62.5% меньше 100%. Если бы в условии задачи вместо давления
1 кПа была бы величина, превышающая 1.6 кПа, например 3.2 кПа, то мы бы имели ^ = 200%, то есть перенасыщенный пар. Такое состояние пара неустойчиво: при переходе в устойчивое состояние часть его конденсируется. Создать перенасыщенный пар можно, например, за счет быстрого сжатия ненасыщенного или насыщенного пара.
Задача 11. Найти относительную влажность при 18°, если при 10° образуется
роса.
Дано: ^ = 18°, *;2 = 10°, ^ =?
Решение. Согласно определению, относительная влажность при 18°
^ = —• 100% , где плотность насыщенного пара при 18 ° согласно табличным
Рн
данным равна рн(18) =15.4 г/м3, а р - плотность пара при 18°. Поскольку с понижением температуры плотность паров не изменяется (до тех пор, пока не начался процесс конденсации) находим р = рн(10) = 9.4 г/м3 (согласно табличным данным плотность насыщенного пара при 10° равна 9.4 г/м3 ). Подставляя полученные значения
9 4
р и рн, получим ^ = — • 100% « 64%.
Ответ: ф « 64%.
Задача 12. Вечером температура воздуха была ^ = 15°, относительная влажность ^ = 80%. Ночью температура воздуха понизилась до г;2 = 8°. Была ли роса? При температуре 15° плотность насыщенного водяного пара рн1 = 12.8 г/м3, а при 8° -
Рн2 = 8.3 г/м3 .
Дано: ^ = 15°, *;2 = 8°,^ = 80%>,рн1 = 12.8 — ,рн2 = 8.3 — ,была ли роса?
м3 м3
Решение. Насыщенный пар - это пар, имеющий максимальную плотность при данной температуре. Поэтому, чтобы узнать, была ли роса, найдем плотность р1 водяного пара при температуре ^ и сравним ее с плотностью рн2 насыщенного водяного пара при температуре г;2. Если р1 < рн2 пар конденсироваться не будет (не будет росы). Если же р1 > рн2, то роса будет, причем из каждого 1 м3 влажного воздуха конденсируется масса пара численно равная разности р1-рн2. Так как относительная влажность ^ = р1/рн1, то р1 = ^рн1 = 0.9 • 12.8 « 10.2 г/м3 . Сравнивая это значение с рн2 = 8.3 г/м3 , делаем вывод: роса была, причем из каждого 1 м3 воздуха сконденсировалось 1.9 г пара.
Ответ: роса была.
Задача 13. Чему равна абсолютная и относительная влажность воздуха, заполняющего баллон емкостью V = 700 л при температуре t = 24°, если до полного насыщения пара понадобилось испарить в этот объем воду массой т = 6.2 г ? Давление насыщенных водяных паров при этой температуре равна Рн = 3 кПа, молярная масса воды д = 18 • 10-3кг/моль.
Дано: К = 700 лД = 24°, т = 6.2 г,Рн = 3 кПа,д = 18 • 10-3кг/моль,р =?,^ =?
Решение. Массу воды, которую необходимо испарить в баллоне для полного насыщения пара, можно представить как разность между массой пара ш1, который был первоначально в баллоне, и массой пара ш2, который будет в баллоне после испарения воды: т = ш2 - ш1. Из уравнения Менделеева-Клайперона, записанного для пара до и после испарения воды
РК = —РГ,РнК = —яг
находим
Следовательно, первоначальное давление пара и его масса
ш дРК дРНК
Р = ^Н--77 ^Г, Ш1 = ^777" = --ш
н дК 1 РГ РГ
Используя определения абсолютной р и относительной ^ влажности, получим
= г/мз , ^ = .Р • 100% = Л - ^П • 100% ^ 60%
V РТ К Рн V М^Н^/
Ответ: р « 13 г/м3, ^ « 60%.
Заключение
В работе приведены примеры решения задач по теме «Насыщенный пар и влажность воздуха». Предложен план предварительного анализа таких задач, в котором так же представлены основные положения (факты) теории, знание которых позволяет успешно решить широкий круг задач по данной теме.
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М. Сборник задач по физике. М.: Вербрум,2003. — 264 с.
2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика. Молекулярная физика. Термодинамика. 10 кл. Профильный уровень : учеб. для общеобразовательных учреждений - М. : Дрофа, 2010 - 349 с.
3. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика - Ростов н/Д: Феникс, 2006 - 848 с.
4. Грибов А.Ф., Краснов И.К. Методические рекомендации к решению задач по физике // Modern European Researches.- Salzburg, 2021. - T. 1. №3.- P. 86-92
Alexander F. Gribov,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow alexandr-gribov@list. ru Igor K. Krasnov,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow igorkrsnv@yandex. ru
Selected sections of physics in problems (saturated steam and air humidity) for applicants and undergraduate students
Abstract. The work is a continuation of the article "Methodological recommendations for solving problems in physics", which considered an algorithmic approach to solving problems on the topics of saturated steam and air humidity. In the article, in the process of solving problems, the main theoretical provisions given in the methodological recommendations are illustrated. The work is addressed to students of the 10th, 11th grades, junior students and teachers to organize the educational process. Keywords: saturated steam, ideal gas, air humidity, relative humidity, gas laws.
