CC BY
152
аттракторы» // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. -2013. - Т. 19. - № 5. - С. 155-157.
6. Секованов В.С. Что такое фрактальная геометрия? - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 272 с.
7. СековановВ.С., БабенкоА.С., СелезневаЕ.М., Смирнова А.О. Выполнение многоэтапного мате-матико-информационного задания «Дискретные динамические системы», как средство формирования креативности студентов // Вестник Костромского государственного университета имени
Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинети-ка. - 2016. - Т. 22. - № 2. - С. 213-218.
8. Секованов В.С., Фатеев А.С., Белоусова Н.В. Развитие гибкости мышления студентов при разработке алгоритмов построения дерева Фейгенбаума в различных средах // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика. - 2016. - Т. 22. -№1. - С. 143-147.
УДК 51
Смирнова Елена Сафаровна
кандидат педагогических наук Костромской государственный университет [email protected]
МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ФРАКТАЛ»
В статье представлены методические приемы обучения фрактальной геометрии. Наиболее подробно описана суть поэтапного знакомства студентов математических направлений подготовки с понятием фрактального множества. Особое внимание уделяется развитию исследовательских компетенций студентов.
Ключевые слова: фрактальное множество, фрактальная геометрия, кривая Коха, размерность фрактала, исследовательская компетенция, методы исследования.
Внаши дни математики уже не отрицают существование понятия «фрактал», не считают этот объект просто красивым изображением, а рассматривают фрактальные множества с точки зрения математики, выделяя при этом их уникальные математические свойства.
В.С. Секованов определяет: «Фрактальная геометрия - молодое быстроразвивающееся математическое направление, связанное не только с выдвижением новых математических идей, но и бурным развитием компьютерной графики, художественного компьютерного творчества» [9].
Н.Х. Розов считает возможным и необходимым включение в школьный курс математики таких современных математических понятий, как фрактал и хаос [7].
Мы считаем, что ознакомление студентов математических направлений подготовки с элементами фрактальной геометрии будет оказывать положительное влияние на их математические способности, на формирование умений работы с ИКТ, а также на развитие их исследовательских компетенций, что является актуальной задачей подготовки бакалавров в связи с требованиями ФГОС ВПО и необходимым условием становления будущего работника-профессионала.
Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования определяет одну из областей профессиональной деятельности бакалавров по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» - научно-исследовательскую и требует готовить бакалавра к решению разнообразного класса исследовательских задач. В связи с этим ведущим
направлением в подготовке студентов является вовлечение их в исследовательскую деятельность и развитие их исследовательских компетенций. При таком подходе студент должен сам уметь творчески познавать науку, которая вызывает у него интерес и подвигает его к дальнейшим исследованиям. В качестве такой науки, по нашему мнению, может выступать фрактальная геометрия - новое направление современной математики, мало представленное в учебной литературе, богатое необычными идеями и широким набором нерешенных проблем для исследовательской деятельности.
Теория фрактальных множеств в настоящее время не входит в содержание стандартов высшего образования и рассматривается исключительно в рамках дисциплин по выбору и кружковых занятий. Однако, по нашему мнению, студент-математик, обучающийся в высшем учебном заведении должен иметь представление о современном состоянии науки. О чем свидетельствуют также слова ректора МГУ им. М.В. Ломоносова, академика В.А. Садов-ничего [6] на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ (28 октября 2010 года): «Многие годы на стыке математики и физики происходит интенсивное исследование хаотических процессов, они важны в понимании природных процессов на всех уровнях, от микромира до макромира». В одной из тем своего доклада «Современные горизонты математики и ее приложений» В.А. Садовничий обращается также к фрактальной геометрии, определяя ее как сравнительно молодую ветвь современного математического анализа, геометрии и топологии. Автор доклада описывает фракталы, как «такие области притяжения (или их границы),
© Смирнова Е.С., 2016
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ № 4
243
которые устроены достаточно сложно и выглядят весьма причудливо»; указывает особенность самоподобия фрактальных множеств: «...обнаруживается ещё один поразительный эффект самоподобия: каждый фрагмент границы, сколь угодно малый, подобен изначальной границе»; описывает методы изучения фракталов, уделяя при этом внимание компьютерным программам; указывает на области применения фрактальных множеств: «эти методы могут оказаться полезными при изучении сложных современных моделей тех или иных экономических процессов. Другая возможная область знаний, где естественно появляются фракталы, это моделирование биологических и социальных процессов» [6]. Опираясь на вышесказанное и обращаясь к бакалаврам в области прикладной математики и информатики, отметим, что профессионалы такого уровня должны быть готовы к решению всевозможных прикладных задач и изучению различных моделей с помощью математических методов, в том числе и методов, которые использует в своем арсенале фрактальная геометрия. Таким образом, делаем вывод о целесообразности изучения теории фрактальных множеств студентами математических направлений подготовки.
Однако в наши дни в науке не существует строгого определения понятия «фрактал». Б. Мандельброт, определяя это понятие, пишет, что «фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности» [5]. Это определение, по нашему мнению, достаточно сложно для восприятия, и нуждается в детальной и глубокой проработке таких вопросов, как «топологическая размерность» и «размерность Хаусдорфа-Безиковича».
С. Божокин и Д. Паршин описывают фракталы, как «геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия» [3].
Е. Федер, определяя термин «фрактал» ссылается на более узкое определение этого понятия, предложенное Б. Мандельбротом: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [11].
А.А. Бабкин в своем диссертационном исследовании формулирует следующее определение: «Фрактал - это математическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах» [2].
По нашему мнению, очень сложно выбрать одну исключительную позицию при определении этого понятия, так как фрактальное множество может быть самоподобным, а может и нет; может иметь дробную фрактальную размерность или наоборот, выраженную целым числом (кривая Вар ден Вардена); может быть природным объектом,
а может и специально сконструированным с помощью компьютерного алгоритма. Таким образом, для нашего исследования, в рамках разработки методики обучения элементам фрактальной геометрии студентов-бакалавров третьего курса выберем следующее рабочее определение: фракталом называется математический объект, полученный в ходе итерационного процесса, обладающий некоторой формой самоподобия. Слово «некоторой» в нашем исследовании несет то значение, что существуют случаи, при которых фрактальное множество может быть не самоподобно в целом, но все-таки некая форма самоподобия имеет место. Так, например, Р.М. Кроновер пишет о границе множества Мандельброта, «когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде» (см. рис. 1) [4].
Укажем также методический подход введения математического понятия фрактал в вузовский курс математики. Его суть в следующем: от интуитивного представления о фрактале постепенно переходим к математическому. Первый шаг - это первое знакомство с фракталом на примере кривой Коха. Обращается внимание студентов на тот факт, что сколь угодно малый фрагмент ее границы подобен исходной кривой. Далее к определению фрактала привлекаются итерационные процессы, с которыми студенты знакомятся в курсе математического анализа при решении уравнений методом Ньютона, при изучении операторов сжатия и др. Фрактал понимается, как математический объект, получаемый в ходе итерационного процесса и обладающий некоторой формой самоподобия. Далее происходит уточнение понятия самоподобия множества, и следующим шагом на пути к фракталу естественно становится его определение: фракталом называется самоподобное множество, размерность самоподобия которого дробна. В качестве примеров фракталов приводятся множество Кантора, ковры Серпинского, кривая Коха и др. На заключительной стадии знакомства будущих бакалавров с фракталом дается более «тонкое» определение: фракталом называется самоподобное мно-
Рис. 1. Множество Мандельброта для функции f(z) = z2 + c
244
Вестник КГУ _J 2016
жество, размерность самоподобия которого строго больше его топологической размерности. Понятие топологической размерности дается описательно: топологическая размерность пустого множества равна (-1), конечного множества - (0), отрезка - (1), квадрата - (2), множества Кантора - (0), кривой Коха - (1). В дальнейшем, например, в магистратуре предполагается уточнение понятия фрактала с помощью изучения размерностей Минковского, Хаусдорфа и топологической размерности.
Самой распространенной классификацией фракталов является классификация по способу построения, а именно, фракталы подразделяются на геометрические, алгебраические и стохастические.
Геометрические фракталы получаются в процессе простых геометрических построений. Принцип построения один и тот же: берется некоторая геометрическая фигура и некоторый набор правил, который применяется к каждой части этой фигуры таким образом, что получается новая фигура. Затем процесс повторяют, и к каждой части полученной фигуры снова применяют тот же набор правил и так далее. Каждый последующей процесс преобразования фигуры называется итерацией. Среди геометрических фракталов можно отметить такие классические фрактальные множества как кривая Коха (рис. 2), ковер Серпинского, множество Кантора и др.
Вторая группа фракталов - алгебраические. Построить их возможно на основе алгебраических формул. К примеру, множество Жюлиа для функции комплексного переменного Дг), обозначаемое J(/),
определяется как /(/) = 5{^: /*л)(¿) ,
где д - граница области притяжения бесконечно-
сти, а f(n)(z) = f(f{n-1)(z)),n = 1, 2,.... Множество Жюлиа функции f есть граница множества точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании fz). Заполняющее множество Жюлиа (рис. 3) состоит из точек, орбиты которых пойманы, в отличие от границы этого множества, являющейся настоящим множеством Жюлиа [4; 9].
Представленные выше фракталы были детерминированными. Однако, по мнению В.С. Секова-нова, в природе широко распространены случайные объекты и процессы: «Случайность присуща всем природным явлениям и является неотъемлемой частью реального мира» [9]. Третья группа фрактальных множеств - стохастические или рандомизированные фракталы. А.А. Бабкин определяет: «Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими» [2]. Принцип их построения может быть основан на случайном выборе порождающего правила в случае построения фрактального множества с помощью L-систем.
Основой фрактальной геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших [3].
Одной из основных характеристик фрактальных множеств также является размерность. Существует несколько способов нахождения размерности фракталов. Выбор того или иного способа зависит от вида множества, от особенностей его построения. Отличительной особенностью фракталов является дробное значение фрактальной размерности, но бывают и исключения. Наиболее полно теория фрактальных размерностей, по нашему мнению, представлена в [12].
Еще одной отличительной характеристикой фрактальных множеств является то, что они могут быть построены исключительно с помощью компьютерных средств. Это обстоятельство не давало возможности развития идеям фрактальной геометрии в XIX веке, когда в трудах ученых появились первые фрактальные объекты, такие как множество Кантора.
Обучение фрактальной геометрии мы проводим в ходе изучения дисциплин математического и профессионального циклов. Знакомство с основными понятиями теории фрактальных множеств осуществляется в рамках дисциплины по выбору «Метод итераций» бакалавриата по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» [1; 8; 10]. Метод итераций рассматривается как основной метод построения фракталов, а само по-
An-1),
Рис. 2. Кривая Коха
Рис. 3. Заполняющее множество Жюлиа для функции fz) = z2+ 0,4 + 0,2/
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ № 4
245
нятие итерации - ключевое понятие теории фрактальных множеств. Помимо этого, метод итераций рассматривается нами, как универсальный метод решения разнообразного класса задач от нахождения корней уравнений в элементарной математике, вычисления приближенных значений корней уравнений с заданной степенью точности в теории численных методов до основополагающего значения метода итераций в теории фрактальных множеств.
Библиографический список
1. Бабенко А.С. Реализация принципа фундирования при изучении непрерывных динамических систем // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2014. -Т. 20. - № 3. - C. 222-225.
2. Бабкин А.А. Изучение элементов фрактальной геометрии как средство интеграции знаний по математике и информатике в учебном процессе педколледжа: дис. ... канд. пед. наук. - Ярославль, 2007. - 167 с.
3. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 128 с.
4. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.
5. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия при-
роды. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.
6. О математике и ее преподавании в школе // Ассоциация преподавателей математики. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://math. teacher.msu.ru/sezd2010/plenary/sadovnichiy (дата обращения 12.10.2016).
7. Розов Н.Х. Проблема размещения новых понятий и объектов в школьном курсе математики // Современный урок математики: теория и практика. Материалы всерос. науч.-практ. конф. - Нижний Новгород, 2005. - С. 56-64.
8. Секованов В.С. Концепция обучения фрактальной геометрии в КГУ им. Н.А. Некрасова // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 5. - С. 153-154.
9. Секованов В.С. Элементы теории фрактальных множеств. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2005. - 164 с.
10. Смирнова Е.С. Развитие исследовательских компетенций студентов в процессе изучения фрактальной геометрии // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. -2013. - № 2. - С. 150-153.
11. ФедерЕ. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 254 с.
12. Falconer K. Fractal geometry. - University of St. Andrews, UK, 2003. - 335 р.
Вестник КГУ i 2016
246
