CC BY
21
УДК 378:51
Секованов Валерий Сергеевич
доктор педагогических наук, профессорКостромской государственный университет
Матыцина Татьяна Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент Средняя общеобразовательная школа № 37, г. Кострома
Пигузов Алексей Александрович
кандидат педагогических наук, доцент Костромской государственный университет sekovanovvs@yandex.ru, tatunja@ya.ru, piguzov@ksu.edu.ru
ВЫПОЛНЕНИЕ МНОГОЭТАПНОГО МАТЕМАТИКО-ИНФОРМАЦИОННОГО ЗАДАНИЯ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИНЕРГЕТИКИ» КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ
КРЕАТИВНОСТИ СТУДЕНТОВ ВУЗА
Исследование выполнено при поддержке гранта Российского научного фонда, проект №16-18-10304
В данной работе рассматривается многоэтапное математико-информационное задание «Математические основы синергетики», нацеленное на развитие креативности студентов вузов. Приводятся примеры простейших динамических систем, аттракторов. Дается определение хаоса по Девани. Приводятся примеры аттракторов и фрактальных моделей. Отмечены катастрофы складки, сборки и математические модели, созданные с помощью катастроф. Рассматриваются дискретные и непрерывные динамические системы и с их помощью строятся математические модели и нейронные сети. Указана модель Хопфилда и рассматриваются многослойные нейронные сети. Дается определение топологического пространства. Приводятся примеры топологических пространств. Рассматриваются топологическая и фрактальная размерности, на базе которых определяется понятие фрактал.
Ключевые слова: креативность, многоэтапное математико-информационное задание, нейронные сети, топологическое пространство, аттрактор, топологическая и фрактальная размерности, нелинейное отображение, катастрофа, синергетика.
Синергетика - новое, бурно развивающееся научное направление, имеющее приложения в различных областях - от психологии до нанотехнологий. Математические основы синергетики достаточно сложны, поскольку базируются на последних достижениях математики. Мы считаем, что математические основы синергетики эффективно изучать в рамках выполнения многоэтапного математического задания (ММИЗ), нацеленного на развитие креативности обучаемых и формирование их профессиональных компетенций. Следуя за Г.Г. Малинецким [3], мы считаем наиболее важными компонентами математических основ синергетики следующие математические дисциплины: «Фрактальная геометрия», «Теория хаоса», «Теория катастроф», «Дискретные динамические системы», «Непрерывные динамические системы», «Топологические пространства», «Нейронные сети».
Общеизвестно, что креативность, являясь важнейшим качеством личности, нацеленной на созидание нового, необходимо развивать. Процесс этот длительный и тернистый. Креативность в самом общем смысле характеризует способность личности к творчеству. Способность к творчеству мы и будем развивать в рамках выполнения ММИЗ «Математические основы синергетики».
Впервые многоэтапные математические задания рассматривались М. Клякля [2]. В.С. Секо-ванов продолжил исследования М. Клякля и ввел понятие «Многоэтапное математико-информационное задание» [9], при разработке которого предусмотрено использование, как математических ме-
тодов, так и информационно-коммуникационных технологий (ИКТ).
Мы понимаем многоэтапные математико-ин-формационные задания как лабораторию, в рамках которой происходит творческая математическая и творческая информационная деятельность, нацеленные на развитие креативных качеств обучаемых. Предложенный подход к изучению аттракторов нелинейных отображений, тесно связанный с фрактальной геометрией и теорией хаоса, дает возможность обучаемым убедиться в глубоких интеграционных связях математики и информатики.
В качестве компонент математических основ синергетики мы рассматривали фракталы, хаос, катастрофы, динамические системы, топологические пространства, нейронные сети, нейронауку, фрактальные размерности, топологическую размерность, аттрактор.
Выполнение математико-информационного задания предусмотрено в течение пяти этапов. Схема-план данного задания представлена на рисунке 1.
На первом этапе дается понятие синергетики, как научного направления, идущего от основателя синергетики Германа Хакена, вкладывающего в данное понятие два смысла: теория возникновения новых свойств у целого, состоящего из взаимодействующих объектов; подход, требующий для своей разработки сотрудничества специалистов из разных областей. На данном этапе даются основные понятия синергетики - фрактал, динамическая система, хаос, аттрактор.
Под фракталом понимается множество Мин-ковского, размерность которого строго больше то-
© Секованов В.С., Матыцина Т.Н., Пигузов А.А., 2018
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ ]4 2
155
Определение фрактала с помощью топологической и фрактальной размерностей
Что такое синергетика?
I
Фрактальные множества
I
Понятие динамической системы
I
Этап 2 ■
: Э ле:и ёнты: té ó рш х катастроф;:;:
с- ■ ■ •■'■'■'■'■'■'■'■'■'■•■•■' ■ ■
I ~
Этап 4
Нейронные сети
Этап 3
Дискретные и непрерывные динамические системы
Примеры фрактальных моделей
I
Понятие катастрофы Примеры катастроф
Понятие хаоса
I
Странные аттракторы
I
Катастрофа складки
Катастрофа сборки
Понятие о нейро-науке и нейронных сетях
Нейронная сеть Хопфилда. Смысл хаоса
Разработка математических моделей с помощью динамических систем
Многослойные нейронные сети
Примеры дискретных
и непрерывных динамических систем, исследование аттракторов данных систем с использованием математических методов и ИКТ
Аттракторы преобразования пекаря и Лоренца, размерность
Другие типы катастроф. Примеры
математических моделей, созданных с помощью катастроф
Примеры математических моделей, созданных с помощью дискретных и непрерывных динамических систем
Рис. 1. Схема-план многоэтапного математико-информационного задания «Математические основы синергетики»
пологической размерности. Приводятся примеры фракталов - множество Кантора, кривая Коха и др.
Определяются и даются примеры динамических систем: дискретной, порожденной логистической функциейДа, x) = ax(1 - x), x 6 [0; 1], a 6 [0; 4]; непрерывной, порожденной дифференциальным уравнением: dx
— = rx(k — x) — mx, где r, k, m - определенные
коэффициенты.
Исследуя динамику развития популяций альтернативными методами, в процессе выполнения этого этапа обучаемые развивают гибкость мышления - одного из важнейших креативных качеств.
На втором этапе дается понятие катастрофы. Согласно академику В.И. Арнольду катастрофами
называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.
Приводится определение катастрофы складки,
х3
задаваемой потенциалом У(а, х) = — + ах и указаны примеры катастроф-складок. На этом же этапе дается определение катастрофы сборки, зада-
4 2
X4 X2
ваемое потенциалом У(а,Ь,х) = — + а— + Ьх
4 2
и приводятся примеры катастроф-сборок. Отмечаются катастрофа «Ласточкин хвост» и катастрофа «бабочка».
Приводятся примеры математических моделей построенных с помощью катастроф (качалка, тюремные бунты и др.). При разработке математи-
Вестник КГУ Л 2018
156
Рис. 2. Три итерации двоичного преобразования пекаря
ческих моделей с помощью катастроф обучаемые преодолевают стереотипы мышления, развивают оригинальность мышления и интуицию, что позитивно влияет на развитие их креативности.
На третьем этапе сначала дается определение динамической системы. Затем рассматриваются дискретные и непрерывные динамические системы. В качестве примера дискретной динамической системы приводится, система, порожденная преобразованием пекаря.
Классическое определение преобразования пекаря, имеет вид:
/ 2х modi \
/Х\
© =
У i
--, 0 <= х < — 22
i у i
На рисунке 2 приведены три итерации преобразования пекаря.
Отметим сначала, что для преобразования пекаря используется двоичная система счислений, с помощью которой вычисляются периодические точки преобразования пекаря, устанавливается существенная зависимость от начальных условий, транзитивность и всюду плотность периодических точек, что указывает на хаотичность преобразования пекаря по Девани. Далее определяется модернизированное 2-ичное преобразование пекаря и исследуются его свойства. Изучение данного преобразования влияет на преодоление стереотипов мышления студентов, поскольку они от линейных преобразований переходят к нелинейным, замечают существенное различие таких отображений. Поскольку мы живем в «нелинейном мире», то при изучении преобразования пекаря студенты выполняют нестандартные задания, с использованием математических методов и информационных и коммуникационных технологий.
Опишем кратко схему построения итераций 2-ичного преобразования пекаря: определяются число итераций преобразования пекаря; описывается новый класс, который позволяет хранить координаты каждой точки и цвет прямоугольников, получаемых при данном преобразовании; для хранения и последующего вывода получаемых прямоугольников, служит специальная переменная, которая представляет собой список; описывается
процедура, которая непосредственно выводит на экран, переданный ей во входном параметре прямоугольник определенного цвета; значение координаты х точек квадрата, всегда преобразуется в новое значение по формуле: х = 2 х х mod 1.
При 2-ичном преобразовании пекаря, исследуемый единичный квадрат на нулевой итерации делится на две равных части по оси Ох. Таким образом, имеем 2-прямоугольника, которые помечаем разным цветом. Полученные прямоугольники преобразовываются в новые, по формулам преобразования пекаря; объявляется функция, которая возвращает значение типа цвета в зависимости от входного целочисленного параметра. Данная функция используется на нулевой итерации данного преобразования, для того чтобы назначить каждому прямоугольнику свой цвет. Описаны переменные, которые служат для временного хранения получившихся прямоугольников и их координат; далее идет непосредственно код программы, в котором сначала устанавливаются заголовок окна и его размер соответствующими процедурами; происходит вывод на экран монитора изображение аттрактора 2-ичного преобразования пекаря.
При рассмотрении непрерывной динамической системы рассматривается аттрактор Лоренца, полученный в результате численного решения системы трех нелинейных уравнений (см. рис. 3).
Система Лоренца - знаменитая система, исследованная американским ученым Э. Лоренцом в 1963 г., обнаружившим новый тип траекторий, притягивающихся в фазовом пространстве к некоторому образованию, не имеющему аналогов на плоскости, поскольку данное образование обладает признаками хаоса и имеет фрактальную структуру.
Отметим, что при изучении непрерывной динамической системы на примере аттрактора Лоренца наблюдается существенная зависимость от начальных условий («Эффект бабочки») и выявляются признаки его хаотичности. Отмечается также, что с помощью аттрактора Лоренца построена математическая модель, указывающая невозможность предсказания погоды на длительное время и разрабатывается алгоритм построения данного аттрактора.
Рис. 3. Аттрактор Лоренца
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ № 2
157
При изучении аттрактора Лоренца обучаемые преодолевают стереотип мышления, связанный с возможностью предсказания погоды на любой промежуток времени, развивают критичность мышления и интуицию при разработке алгоритма построения аттрактора и изучении его математических свойств (ограниченность, хаотичность, фрактальная размерность и др.).
На четвертом этапе рассматриваются понятия «Нейронаука» и «Нейронные сети». Как указывает А.Б. Барский [1], построение нейронных сетей -это попытка создания искусственной нервной системы, в состав которой входит и человеческий мозг. Сами нейроны - это десятки миллиардов элементарных объектов, которые за нас с Вами «думают», и исследователю в этой области необходимо понять, каким образом происходит этот процесс «думания», как человеческий мозг обучается обрабатывать информацию, и делать соответствующие выводы. Г.Г. Малинецкий [3] отмечает, что компьютерное моделирование играет важную роль в междисциплинарном подходе, называемом нейронаукой. Нейронная модель Хопфилда, по-видимому, является сейчас наиболее популярной математической моделью в нейронауке.
Если представить себе память человека, то это как некий «черный ящик» к которому существует как входной образ, так и - выходной образ. Причем пространства входных и выходных образов могут быть как одинаковыми, так и различаться.
Основные особенности памяти человека, которые интересно использовать в модели: ассоциативность, устойчивость по отношению к шуму, распределенный характер хранения информации, высокая надежность, быстрый доступ к информации, универсальность и адаптивность, дискретная модель.
Недостатки модели Хопфилда: «ложная память» (существование «призраков», «фантомов», «ложных образов»); нейронная сеть распознает образы, если для распознания нет никаких оснований.
Однако модифицированная модель Хопфилда призвана устранить эти недостатки с помощью усложнения модели нейрона.
При выполнении четвертого этапа магистры развивают свой творческий потенциал, получают новые знания и преодолевают стереотипы мышления, Что позитивно влияет на развитие их креативности.
На пятом этапе рассматриваются топологические пространства. Дается определение топологического пространства, приводятся примеры топологических пространств. Отмечается промежуточное определение фрактала. Строятся математические модели с помощью топологии.
Пусть (X, р) - метрическое пространство. Множество А с (X, р) будем называть открытым, если каждая его точка входит в множество А с X вместе с некоторой своей е-окрестностью. Справедливы следующее предположение: пересечение конечно-
го числа открытых множеств открыто; объединение любой совокупности открытых множеств открыто (обучаемым предлагается доказать данное предложение самостоятельно).
Согласно данному предположению открытые множества удовлетворяют требованиям определения топологического пространства. Будем считать, также, что 0 является открытым множеством. Следовательно, каждое метрическое пространство является пространством топологическим. Далее дается определение топологической размерности и строится понятие «фрактал» методом приближений.
Первое приближение - определяет фрактал через размерность самоподобия и топологическую размерность. Однако класс самоподобных множеств сильно ограничен и приходится делать второе приближение определения фрактала, через размерность Минковского, поскольку понятие размерность Минковского значительно «шире» понятия размерность самоподобия, а для самоподобных множеств размерность самоподобия и размерность Минковского совпадают. Однако и размерность Минковского имеет явные недостатки (например, размерность Минковского счетного множества может быть отлична от нуля). Поэтому делается самое общее на сегодняшний день третье приближение через размерность Хаусдорфа и топологическую размерность. Однако размерность Хаусдорфа вычислять чрезвычайно сложно. Поэтому мы ее не рассматриваем, а ограничиваемся размерностью Минковского, учитывая тот факт, что для широкого класса множеств размерность Минковского и размерность Хаусдорфа совпадают.
Определение. Множество В будем называть фракталом, если размерность самоподобия множества В строго больше его топологической размерности (см.[6]).
Определение. Пусть п(О) наименьшее число шаров радиуса 8, покрывающих множество О. Размерностью множества О по Минковскому называется конечный предел
<ИтмС = Нт 1од1^па(С) =
ЬпЛ^ 1пп8(С)
= Нт-=— = Нт--——
<5-0 , 1 <5-0 -1п5
5
Определение. Множество В будем называть фракталом, если размерность Минковского множества В строго больше его топологической размерности.
Для педагога важно подвести обучаемого именно к такой ситуации, когда приходится отказываться от общепринятых положений, которые устаревают в результате современного развития науки. В нашем случае, изучая фрактальные размерности, обучаемые знакомятся с важными понятиями, такими как фрактальная размерность, топологическая размерность, что дает им возможность преодолевать стереотип мышления, когда они узнают,
158
Вестник КГУ 2018
что размерность некоторых множеств принимает дробные значения. Например, сильно «разряженное» множество Кантора (имеет дробную фрактальную размерность 1од3 2 ) уже не является точкой (фрактальная размерность которой равна нулю), но уже и не отрезок (фрактальная размерность которого равна единице).
При выполнении многоэтапного математико-информационного задания «Математические основы синергетики», обучаемые часто решают нестандартные задачи фрактальной геометрии, развивая оригинальность и гибкость мышления, которые являются важнейшими креативными качествами.
Библиографический список
1. Барский А.Б. Нейронные сети: распознавание, управление, принятие решений. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 176 с.
2. КлякляМ. Формирование творческой математической деятельности учащихся в классах с углубленным изучением математики в школах Польши: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2003. - 285 с.
3. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. - М.: КомКнига, 2005. - 312 с.
4. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем / под ред. А.Н. Шарковского. - М.: Мир, 1993. - 176 с.
5. Секованов В.С., Миронкин Д.П. Изучение преобразования пекаря как средство формирования креативности студентов и школьников с использованием дистанционного обучения // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - Т. 19. - № 1. - С. 190-195.
6. Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств. - М.: Книжный дом «ЛИБРО-КОМ», 2013. - 248 с.
7. Секованов В.С. Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физико-математических специальностей университетов: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. -М., 2007. - 39 с.
8. Секованов В.С. Концепция обучения фрактальной геометрии в КГУ им. Н.А. Некрасова //
Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - Т. 19. - № 5. -С. 153-154.
9. Секованов В. С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. -Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2006. - 279 с.
References
1. Barskij A.B. Nejronnye seti: raspoznavanie, upravlenie, prinyatie reshenij. - M.: Finansy i statistika, 2007. - 176 s.
2. Klyaklya M. Formirovanie tvorcheskoj matematicheskoj deyatel'nosti uchashchihsya v klassah s uglublennym izucheniem matematiki v shkolahPol'shi: dis. ... d-ra ped. nauk. - M., 2003. -285 s.
3. Malineckij G.G. Matematicheskie osnovy sinergetiki. Haos, struktury, vychislitel'nyj ehksperiment. - M.: KomKniga, 2005. - 312 s.
4. Pajtgen H.-O., Rihter P.H. Krasota fraktalov. Obrazy kompleksnyh dinamicheskih sistem / pod red. A.N. SHarkovskogo. - M.: Mir, 1993. - 176 s.
5. Sekovanov V.S., Mironkin D.P. Izuchenie preobrazovaniya pekarya kak sredstvo formirovaniya kreativnosti studentov i shkol'nikov s ispol'zovaniem distancionnogo obucheniya // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. -2013. - T. 19. - № 1. - S. 190-195.
6. Sekovanov V.S. EHlementy teorii fraktal'nyh mnozhestv. - M.: Knizhnyj dom «LIBROKOM», 2013. - 248 s.
7. Sekovanov VS. Obuchenie fraktal'noj geometrii kak sredstvo formirovaniya kreativnosti studentov fiziko-matematicheskih special'nostej universitetov: avtoref. dis. ... d-ra ped. nauk. - M., 2007. - 39 s.
8. Sekovanov VS. Koncepciya obucheniya fraktal'noj geometrii v KGU im. N.A. Nekrasova // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. - 2013. - T. 19. - № 5. - S. 153-154.
9. Sekovanov VS. Metodicheskaya sistema formirovaniya kreativnosti studenta universiteta v processe obucheniya fraktal'noj geometrii. - Kostroma: KGU im. N.A. Nekrasova, 2006. - 279 s.
Педагогика. Психология. Социокинетика J №2
159
