CC BY
51
Сравнив интеграл Римана с интегралом Стилтьеса, перейдем к сравнению интеграла Лебега с интегралом Римана.
Если обобщить интеграл Римана на более широкий класс функций, то получится интеграл Лебе-га.Таким образом, функции, которые определены на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемы по Риману, интегрируемы и по Лебегу. Заметим, что в этом случае интегралы будут равны. Но также существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. А если функции заданы на произвольных множествах (интеграл Фреше), то интеграл Лебега также может иметь смысл.
Суть построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этот интервал. При вычислении интеграла Лебега точки x 6 X объединяют по признаку их близости по оси Ox. Значения f (x) при этом могут сильно отличаться. Для непрерывных и почти непрерывных функций при близких хь х2 значения yi и у2 тоже достаточно близки. Это обеспечивает существование LI! П1_,;5;;(ТЗ и интегрируемость по Риману. По достаточно «сильной» разрывности f( х) значения yi и
у2 могут очень отличаться, хотя и близко к х2. Это приводит к тому, что выбор других с(: сильно меняет SR(T) и Э l.m_,; 5?, [Tj . В этом причина того, что интеграл Римана не берет более-менее существенно разрывные функции.
В интеграле Лебега значения x объединяются во множестве ek как раз по близости значений y . Это позволяет мало менять SR(T) при малых изменениях yk* . В результате (L) - интегрируемых функций значительно больше, чем (R) - интегрируемы те и только те, что почти всюду непрерывны, а (L) - интегрируемы все измеримые.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что интегралы Римана и Лебега можно посчитать по интегралу Стилтьеса. Замечание заключается лишь в том, что необходимо обращать внимание на функцию, находящуюся под знаком интеграла.
Многие традиционные элементарные задачи сводятся к нахождению интегралов разной сложности, поэтому вводится большое количество различных интегралов, облегчающих решение задач. Интеграл Стилтьеса используется не только в курсе дифференциального и интегрального исчисления, но и в физике, экономике и биологии.
Вывод. При дефиците времени для изложения темы интегрального исчисления будущим специалистам, работающим в условиях различного смысла интегрирования функции возможно излагать только теорию Стил-тьеса вместе с изложением перехода к интегралам Римана и Лебега.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боровков, И. Н., Илюхин, А.А. Основы математического анализа - Таганрог: Изд. ТГПИ, 1998.- 161 с.
2. Калинский, Е. Н., Илюхин, А.А. Элементы теории функций действительной переменной - Таганрог: изд. ТГПИ, 2003. - 68 с.
3. Фихтенгольц, Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления. В 3-х томах, Т 3.- М.:Наука, 201. - 656 с.
Н.Н. Кабиров, И.В. Яковенко
МЕТОД ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Аннотация. В статье рассматривается вопрос применения метода визуализации в процессе изучения дифференцируемости функции на уроках математики. Указаны основные способы введения понятия производной в школьном курсе, геометрическое представление ее. Продемонстрирован переход визуализации производной функции одной переменной к визуализации частных производных функции нескольких переменных.
Ключевые слова: функция, дифференцируемая функция, метод визуализации, методика преподавания математики, математический анализ.
N.N. Kabirov, I.V. Yakovenko
METHOD OF VISUALIZATION IN THE STUDY OF THE THEORY OF DIFFERENTIABLE FUNCTIONS IN MATH CLASS
Abstract. The article deals with the application of the visualization method in the process of studying the differentiability of the function in the lessons of mathematics. The main ways of introduction of the concept of derivative in a school course, its geometrical representation are specified. Transition of visualization of derivative function of one variable to visualization of partial derivatives of function of several variables is demonstrated.
Key words: function, differentiable function, visualization method, mathematics teaching method, mathematical analysis.
В процессе обучения необходимым и порой неотъемлемым составляющим является принцип наглядности. Так, Ян Коменский первым указал на важность наглядности при обучении. И.Г.Песталоцци считал, что именно наглядность развивает у детей наблюдательность и умение проводить сравнение и анализ предметов. К.Д. Ушинский характеризовал наглядность как «инструмент», фактор, с помощью которого можно избежать перегрузок и возникновению усталости в обучении.
Использование наглядных средств в изучении различных понятий является очень эффективным. Поэтому все чаще наглядность рассматривают как одно из полноценных средств использования визуального мышления учащихся в процессе формирования его математического образования. Существуют различные приемы и методы представлений учебного материала, одним из которых является метод визуализации.
Визуализация — это «процесс представления данных в виде изображения с целью максимального удобства их понимания; придание зримой формы любому мыслимому объекту, субъекту, процессу и т.д.»
Одной из тем в школьном курсе математики, вызывающих ряд проблем в освоении и требующих наглядной интерпретации, является тема «Производная». Как показывают различные контрольные измерения, именно отсутствие или неполная наглядная иллюстрация этого понятия являются причинами неусвоения понятия, а повышение уровня наглядности может привести к более высоким результатам успеваемости учащихся.
Так, например, в ЕГЭ есть два задания на производную и анализ функции. Для решения этих заданий необходимо понимать производную с алгебраической, геометрической и физической точки зрения. Задание 7 может содержать в себе не только привычные графики функций и производных, но и первообразную. 12 задание проверяет умение вычислять производную, находить максимальное и минимальное значение функции, а так же точки минимума и максимума. В результате исследования открытых источников по методическим анализам ЕГЭ было выявлено, что задание 7 решают от 25% до 37,7%, задание 12 от 50% до 70% из общего числа обучающихся.
Отметим, что графическое представление понятия производной тесно связано с понятийной составляющей вопроса поведения функции и ее производной. Следовательно, важно не просто отрабатывать навыки решения указанных задач, а изначально формировать понимание понятия производной функции, обращая внимание и на алгоритмическое содержание, и на геометрический смысл. Наиболее полное представление о производной и ее практическом применении возможно сформировать на наглядных представлениях об изменений функции, скорости и о касательной к гладкой линии.
Основываясь на анализе результатов ЕГЭ можно сделать вывод о том, что учащиеся средних заведений, а, следовательно, и абитуриенты вузов не в полном объеме усваивают такое понятие как «производная».
Существует три основных подхода к формированию понятия производной функции.
Первый подход - через определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Этот подход требует объяснения понятия предела функции в точке [2].
Второй подход - через физический смысл производной. При рассмотрении любой функции отмечаем, что изменение аргумента функция тоже меняется. Эти изменения можно наглядно продемонстрировать: например, на одинаковых участках по аргументу (за одинаковые промежутки времени) функция изменяется неодинаково (поезд проходит разные расстояния). Тогда отношение приобретает вполне конкретный
смысл. Это есть средняя скорость изменения функции. Когда же устремляем <1* к нулю, т.е. переходим к очень маленькому промежутку времени (мгновению), получаем мгновенную скорость изменения функции. После этого переходим к определению.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
Стоит обязательно добавить, что производная есть скорость изменения функции в точке.
Третий подход - через геометрический смысл производной. Изобразим график функции. Рассматриваем одинаковые отрезки по аргументу, по графику определяем соответствующие им изменения функции. Обращаем внимание на то, что эти изменения могут отличаться на разных промежутках. Далее указываем на то, что отношение определяет «крутизну» графика, то есть скорость возрастания (убывания) функции на промежутке. Переходя к пределу этого отношения, получаем скорость изменения функции в точке.
Исходя из возможных подходов введения понятия производной в рамках школьного курса, замечаем, что при любом из них целесообразно проводить неразрывную линию «определение - визуализация» при обучении производной.
Пусть дана функция fix). определенная на некотором промежутке Л' и непрерывная в точке х0 еХ (те- lim fix) существует и равен / (х0)).
Если вблизи точки x функцию f (x) можно представить в виде:
f(x) = g(x) + a(x)(x-x0), где g(x) - некоторая функция, удовлетворяющая условию g(xn) = fix, ,), а(х) бесконечно малая функция в точке х = х0 (т.е. |im _ 0),
то будем говорить, что g(x) является приближением функции f (x) с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с (х — х0) •
у'
y=f(xj+k (*-*,)
^^ У=М
т I __1 — 1 / 1 1
/ О х„ X Х~
Рис. 1. Наглядное представление производной функции в точке.
Заметим, что приближение функции у(х) функцией g(х) имеет смысл, если g(х) - достаточно простая функция, например линейная, т.е.
£(х) = кх + Ь, х е X.
Из условия g(xn) = / (хп) следует, что линейная функция £(х) должна иметь следующий вид:
g(x) = /(х0) + к(х - х0), х 6 X. т.е. ъ = /(х0) -кх0 ■
Функции, допускающие приближение линейной функцией, получили специальное название - дифференцируемые функции [1].
Как было описано в [1], график дифференцируемой в точке х0 функции в достаточно малом прямоугольнике
К= (х;у):х0-е<х<х0 +е,у0 -3<у<у0+д «похож» на отрезок прямой (являющейся касательной к графику функции в данной точке). Если же функция не является дифференцируемой в точке х0, то в любом сколь угодно малом прямоугольнике
К= (х;у):х0-£<х<х0 + £,у0-3<у<у0 + 3
график функции не будет иметь «сходства» с отрезком прямой (график не имеет касательной в точке). И этот факт можно проиллюстрировать на примере различных функций:
Рис. 2. График функции у = х4 . Рис. 3. График функции у = •
По рисункам делаем важное утверждение: с уменьшением сторон прямоугольника с центром в точке (0; 0) график дифференцируемой функции в окрестности точки (0; 0) становится похожим на отрезок прямой (рис. 2), в отличие от графика недифференцируемой функции (рис. 3).
Аналогичным образом метод визуализации можно применить и к понятию дифференцируемой функции нескольких переменных
Пусть дана функция у (х, у), определенная в прямоугольной окрестности
К= х;у :х0-£<х<х0+£,у0-д<у<у0+д точки М0(х0,у0) и непрерывная в этой точке (т.е. ]ПТ1 Дх у) существует и равен /(х0,у0))- Выберем из
У^-Уо
окрестности точки М0 произвольную точку М (х, у) и введем обозначения:
х - х0 = Ах: я у - у0 - Ау . ^т Г V_^ х ГАх-»0 „ I-
Условия ] 0 равносильны \ . Тогда выражение -/д^2 + ду2 является расстоянием между точка-
ми М и
М .
Если вблизи точки (х0,у0) функцию у(х,у) можно представить в виде:
У(х, у) = Я(х, у)+ о(^Ах2 + Ау2):
где g(x,y) - некоторая функция, удовлетворяющая условию о-(х0 , уа) = /'(х0, уа),
Ах2 + Ау2) - бесконечно малая функция более высокого порядка малости по сравнению с 2 + Ау2 , то будем говорить, что g (х, у) является приближением функции /(х, у) с точностью до бесконечно малой
более высокого порядка малости по сравнению с ^Ах2 + Ау2 . Таким образом, слагаемое Ах2 + Ау2) при
(х, у) -»(х0, у0) стремится к нулю быстрее, чем ^Ах2 + Ау2 .
Рассмотрим точки А х; у; /(х, у) и в х; у; g(х, у) , имеющие одинаковые координаты х, у
(х Ф х0, у ф у ). Эти точки лежат на графиках функций / и g соответственно (рис. 4). Тогда расстояние между этими точками АВ = \/(х, у) — g(х, у)| стремится к нулю быстрее в сравнении с ^Ах2 + Ау2 . Последнее означает, что графики функций у и g «тесно прилегают» друг к другу вблизи точки
М0 ^ уо .
Заметим, что приближение функции / (х, у) функцией g (х, у) имеет смысл, если g (х; у) - достаточно простая функция, например, линейная функция относительно двух переменных, т.е.
g(x,y)=Ax + By + D
Из условия g(x0,y0) = /(х0,у0) следует, что линейная функция g(x,y) должна иметь следующий
вид:
g{x, у) = А(х - х0) + В (у - у0) Напомним, что функции, допускающие приближение линейной функцией, получили специальное название - дифференцируемые функции.
Если для функции/, определенной в некоторой окрестности точки М , возможно представление
f (x, y) = g(x, y) + o(J~Ax2 + Ay2) о
f (x, y) = A( x-x0) + B(y -y0) + o(J Ax2 + Ay2) где lim Ax + Ay2 ^ = 0, то f называется дифференцируемой в точке (x0, y0) (рис. 4).
X^Xo
У~>Уо
g(x y) f ( x, y)
х
Рис. 5. Наглядное представление дифференцируемой функции /(х,у). Линейная функция двух переменных будет задавать плоскость, которая будет называться касательной плоскостью к графику функции у (х, у) . На основании вышесказанного можно сделать вывод, что график
дифференцируемой в точке (х0, у0) функции в достаточно малой окрестности «похож» на плоскость (которая является касательной плоскостью к графику функции в данной точке), т.е. поверхность является «гладкой». Если же функция не является дифференцируемой в точке (х , у0), то в любом сколь угодно малой
окрестности график функции не будет иметь «сходства» с плоскостью (график не имеет касательной плоскости в точке). И этот факт можно проиллюстрировать на примере следующих функций. Рассмотрим функции
/{х,у) = ът{х + у) (1)
и
1
xsin —,у Ф 0;
У
(2)
<Р(х,У) =
' 0, у = 0,
первая из которых дифференцируема в точке (0,0), а вторая недифференцируема в этой точке. С помощью программы Maple можно построить графики этих функций в следующих окрестностях точки (0,0)
1. Кх= (х; у) : -1 < х < 1, -1 < у < 1 (рис. 6, рис. 7);
2. Кг= (х;у) :-0.5 < х < 0.5,-0.5 <у < 0.5 (рис. 8, рис. 9)
3. Кг = (х;у):- 0.1 < х < 0.1, -0.1 < у < 0.1 (рис. 10, рис. 11).
Рис. 6. График функции (1).
Рис. 7. График функции (2).
Рис. 8. График функции (1).
Рис. 9. График функции (2).
Рис. 10. График функции (1).
Рис. 11. График функции (2).
Из рисунков видно, что с уменьшением окрестности с центром в точке (0;0;0) график дифференцируемой функции в окрестности точки (0;0;0) становится похожим на плоскость (рис. 10), в отличие от графика недифференцируемой функции (рис. 11).
ЛИТЕРАТУРА
Кабиров, Н.Н. Визуализация понятия дифференцируемости функции одной переменной // Современные проблемы науки и пути их решения / Сб. научных статей. Выпуск 28. Ч. 3. - Уфа: НИЦ Омега Сайнс, 2016. - С. 3-6.
Яковенко, И.В. Инновационные и информационно-коммуникационные технологии в процессе обучения математическому анализу в вузе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института, 2018. - № 2. - С. 245-250.
А.М. Кокарева, И.В. Яковенко МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Аннотация. Статья посвящена методике решения уравнений с параметрами. Рассмотрены основные виды уравнений с параметрами, представлены этапы их анализа и решения на примере наиболее часто встречающихся в школьном курсе математики заданий.
Ключевые слова: уравнения с параметрами, методика решения, методика преподавания математики.
A.M. Kokareva, I.V. Yakovenko METHODS OF SOLVING EQUATIONS WITH PARAMETERS IN MATH CLASS
Abstract. The article is devoted to the method of solving equations with parameters. The main types of equations with parameters are considered, the stages of their analysis and solution are presented on the example of the most common tasks in the school course of mathematics.
Key words: equations with parameters, methods of solution, methods of teaching mathematics.
Уравнения с параметрами являются одними из самых трудных заданий школьного курса математики. Они требуют от учащихся серьезных знаний и навыков.
По данной теме можно найти различные методические рекомендации, раработки, однако в школьных учебниках структурированной информации по ней достаточно мало. Несмотря на это, в ЕГЭ по математике включено задание с параметрами и это вызывает сложности у большинства выпускников.
Рассмотрим подробнее уравнения с параметрами и основные методы их решения.
Параметром называется «независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи». Задача, условие которой содержит или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия «параметр», называется задачей с параметрами. [4,84]
Пример задания с параметром, которое содержится в ЕГЭ.
Задание 18. Найдите все значения я, при каждом из которых уравнение
64хб - (Зх + of + 4х2 - Зх = а
имеет больше одного корня.
Согласно статистическим данным, это задание относится к редко выполняемым заданиям (рис. 1).
