CC BY
30
Рисунок 14. Таблица скоростей звука в различных средах.
Итак, наличие удобной и информативной электронной справочной системы - одно из обязательных характеристик профессионально созданного приложения [2]. Своевременная оперативная подсказка, которая восполнит пробелы в знаниях обучающихся, будет способствовать систематизации знаний и формированию полных и прочных знаний по предмету.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузюк, И. Г., Туч, В. В., Борисенко, И. Г. Использование электронных учебных пособий в глобальном образовательном пространстве. - 2014.
2. Субботин, М.М. Новая информационная технология: Создание и обработка гипертекстов. - М., 1992.
3. Христочевский, С.А. Базовые элементы электронных учебников и мультимедийных энциклопедий [Текст] / С.А. Христочевский // Системы и средства информатики. - Вып. 9. - М.: Наука, 1999. - С. 202 - 213.
4. Эпштейн, В.Л. Введение в гипертекст и гипертекстовые системы [Электронный ресурс] / В.Л. Эпштейн. - Режим доступа: http://www.ipu.rssi.ru/ publ/epstn.htm
5. Явич, М.П. Электронный учебник, его преимущества и недостатки // Современные научные исследования и инновации. URL: http://web.snauka.ru/issues/2012/10/16884
А. А. Илюхин, А. А. Егорова
ОДИН ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В КУРСЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Аннотация. В работе предложен единый подход изложения различных типов интегралов: Римана, Стилтьеса и Лебега в рамках раздела «Интегральное исчисление». Предложено начинать изложение с наиболее общего определения интеграла Лебега, а затем давать частные случаи интеграла Стилтьеса и Римана.
Ключевые слова: интеграл Лебега, интеграл Стилтьеса, интеграл Римана, интегральные суммы, мера множества.
A. A. Ilyukhin, A. A. Egorova
ONE APPROACH TO THE STUDY OF INTEGRAL CALCULUS IN THE COURSE
"MATHEMATICAL ANALYSIS"
Abstract. The paper proposes a unified approach to the presentation of different types of integrals: Riemann, Stieltjes and Lebesgue in the section "Integral calculus". It is proposed to start the exposition with the most General definition of Lebesgue integral and then give special cases of stielties and Riemann integral.
Key words: Lebesgue integral, Stieltjes integral, Riemann integral, integral sums, set measure.
Изучая математику, а именно математический анализ, мы нередко сталкиваемся с вычислением интегралов. И для возможности и быстроты их вычисления создается множество способов определения выра-
жения для интегралов. К тому же существуют такие понятия как, интеграл Римана[1], интеграл Лебега[2], интеграл Стилтьеса[3] и др. В данной работе рассмотрим и сравним перечисленные три интеграла и определим возможность их изучения в рамках единого подхода.
Цель работы: Сравнить между собой интегралы Римана, Лебега и Стилтьеса и сделать выводы о наличии
общего в изложении раздела «Интегрирование функций».
Задачи:
1. Провести изучение тематической литературы с различными подходами;
2. Раскрыть понятие «интеграл»;
3. Изложить первичные знания об интегралах Римана, Стилтьеса и Лебега и выявить общее в их определении;
4. Сформулировать общий подход к определению интеграла
В курсе математического анализа после изучения неопределенного интеграла переходят к изучению определенного интеграла. И уже в это время сталкиваются с понятием «интеграл Римана». Приведем определение интеграла Римана.
Определение: Пусть на отрезке .с, Ь] задана функция Г(\). Сделаем (Т)-разбиение .а, с] : а = хр < < ■■■ < < < ■■■ < с = а.
Обозначим ¿х^ = х^ — х. Выберем Составим интегральную сумму Римана для Г(\) на от-
резке лЪ] по данному (Т)-разбиению:
Обозначим/ = гг.и Дх ¿(параметр разбиения).
Если Э = 1Я т.с.Уг > С 3 5 > С: Л-СП < £ — 5ДСП -1В < е. то число -называется интегра-
лом Римана дляГ(.\) на отрезке [а, Ь]. Интеграл Римана имеет вид:
Множество функций, интегрируемых по Риману на [ a; Ь ], обозначается Ri [а;Ь]. Повторив определение интеграла Римана, перейдем к изучению интегралов Лебега и Стилтьеса. Из теоремы Лебега следует, что не разрывные функции можно интегрировать по Риману. Поэтому необходима иная формулировка интеграла. Её и ввел Лебег. Определение интеграла Лебега схоже с определением интеграла Римана. Отличие лишь в том, что на измеримом множестве задается измеримая ограниченная функция. То есть эти отличия, в первую очередь, связаны со свойствами гладкой по-динтегральной функцией Дх) и топологией множества, по которому ведется интегрирование.
Определение интеграла Лебега: Пусть на измеримом множестве X задана измеримая ограниченная функция Г(\). причем А < /(х.: < В. Сделаем (Т)-разбиение[Д 5']: = у0 <у± < 111 < уп =3.
Обозначим множества:^ = Х(.уь < /(х) < = 0.1.,,,,«— 1 и пусть т.е^] - мера множества
ек-
Множества^ измеримы, попарно не пересекаются, и = X, Г те-^ = тХ. Выберем;."-* ^ [у*; У^ Составим интегральную сумму Лебега: -'»¿(Г.! = Е уЦте^. Обозначим^ (Г) = «тахДук. гдсДэц = -у^..
Если Э 11т-. -р, _, „ 5. (7] = /. .то число^ называется интегралом Лебега от функции Г(\) по множеству
X.
Интеграл Лебега также обозначают:^ = где с1\=т.в^]
Излагая первичные знания об интеграле Лебега, рассмотрим несколько теорем. Теорема 1. Каждая ограниченная измеримая на X функция, интегрируема по Лебегу на X . Эта теорема определяет пределы свойств функций, которые интегрируются по Лебегу. Замечание: В определении интеграла Лебега есть некоторый произвол, связанный с выбором чисел A и B . На самом деле неоднозначности здесь не возникает.
Теорема 2. Если А<А1<Дх)<В1<В, то значение интеграла Лебега не зависит от выбора А,В или
АьВь
Теорема 3 (А. Лебег). Пусть функции/^ (х) ограничены и измеримы на множествеХ, г;, '-а,1 — г.- —ограничена и измерима наХ, функции последовательности равномерно ограничены
Если неравенство выполняется почти всюду на множестве X, то теорема также справедлива в этом случае. А также если сходимость по мере шире, чем сходимость почти всюду, то и в этих случаях возможен предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Теперь перейдем к интегралу Стилтьеса. Обобщение определенного интеграла Римана есть интеграл Стилтьеса. Определяется данный интеграл следующим образом:
Пусть в промежутке . ■'■■ ■'. заданы две ограниченные функции/(х) и g(x). Разделим точками
промежуток [а,Ь] на части и предположим, что = .'■..-'. . Выбрав в каждой из частей ..>.-;■,*:■+;](! = С. 1.....п — 1) по каждой точке вычислим значение
) функции /¿Ос; и умножим его на соответствующее промежутку приращение функ-
ции
Составим сумму этих произведений:
Данная сумма является интегральной суммы Стилтьеса. Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении = ' '. - '. к нулю называется интегралом Стилтьеса функции/(х) по функции g(x) и обозначается
Е:
либо (5) | f(x)dд(x) .
Заметим, что предел Г,- ffa^)dgfx) = [!тд_, р ^ = [ I тд: /(£;] * Лд (л ¡.: не должен зависеть от разбиения множества . - '.'. и выбора точек :
Поясним, что число / является интегралом Стилтьеса, если выполняется условие, что для любого числа: - ! существует такое число - - , что только промежуток [а,Ь] разбит на части так, что .', так же выполняется неравенство
как бы ни выбирать точки г в соответствующих промежутках.
При существовании интеграла (3) говорят также, что функция/(х) в промежутке [а,Ь] интегрируема по функции g(x). Свойства интеграла Стилтьеса
В случаях 2-4 из существования интегралов в правой части вытекает существование интегралов в левой части. Только в этом случае равенства будут верны и свойства будут выполняться. Но не исключено, что в левой части один из интегралов не существует, тогда равенство интегралов неверно.
Замечание к пятому свойству. Из существования одного интеграла /с следует существование двух интегралов /а /0.5 и _!.., /с1 но из существования обоих интегралов не вытекает существование одного.
Единственное отличие определения интеграла Стилтьеса от определения интеграла Римана состоит в том, что" ■ умножается не на приращение - '■ независимой переменной, а на приращение - '■ второй функции. Поэтому, можно смело утверждать, что интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве функции g(x) взята сама независимая переменная х: g(x)=x.
Интеграл Стилтьеса применяется в теории вероятности, механике и других науках. Наглядным представлением этого интеграла является площадь трапеции с нелинейным масштабом по горизонтальной оси.
Сравнив интеграл Римана с интегралом Стилтьеса, перейдем к сравнению интеграла Лебега с интегралом Римана.
Если обобщить интеграл Римана на более широкий класс функций, то получится интеграл Лебе-га.Таким образом, функции, которые определены на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемы по Риману, интегрируемы и по Лебегу. Заметим, что в этом случае интегралы будут равны. Но также существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. А если функции заданы на произвольных множествах (интеграл Фреше), то интеграл Лебега также может иметь смысл.
Суть построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этот интервал. При вычислении интеграла Лебега точки x 6 X объединяют по признаку их близости по оси Ox. Значения f (x) при этом могут сильно отличаться. Для непрерывных и почти непрерывных функций при близких хь х2 значения yi и у2 тоже достаточно близки. Это обеспечивает существование И!п1_,; 5д(Т] и интегрируемость по Риману. По достаточно «сильной» разрывности f( х) значения yi и
у2 могут очень отличаться, хотя и близко к х2. Это приводит к тому, что выбор других с(: сильно меняет SR(T) и Э l.m_,; 5?, [Tj . В этом причина того, что интеграл Римана не берет более-менее существенно разрывные функции.
В интеграле Лебега значения x объединяются во множестве ek как раз по близости значений y . Это позволяет мало менять SR(T) при малых изменениях yk* . В результате (L) - интегрируемых функций значительно больше, чем (R) - интегрируемы те и только те, что почти всюду непрерывны, а (L) - интегрируемы все измеримые.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что интегралы Римана и Лебега можно посчитать по интегралу Стилтьеса. Замечание заключается лишь в том, что необходимо обращать внимание на функцию, находящуюся под знаком интеграла.
Многие традиционные элементарные задачи сводятся к нахождению интегралов разной сложности, поэтому вводится большое количество различных интегралов, облегчающих решение задач. Интеграл Стилтьеса используется не только в курсе дифференциального и интегрального исчисления, но и в физике, экономике и биологии.
Вывод. При дефиците времени для изложения темы интегрального исчисления будущим специалистам, работающим в условиях различного смысла интегрирования функции возможно излагать только теорию Стил-тьеса вместе с изложением перехода к интегралам Римана и Лебега.
ЛИТЕРАТУРА
1. Боровков, И. Н., Илюхин, А.А. Основы математического анализа - Таганрог: Изд. ТГПИ, 1998.- 161 с.
2. Калинский, Е. Н., Илюхин, А.А. Элементы теории функций действительной переменной - Таганрог: изд. ТГПИ, 2003. - 68 с.
3. Фихтенгольц, Г. М. Курс интегрального и дифференциального исчисления. В 3-х томах, Т 3.- М.:Наука, 201. - 656 с.
Н.Н. Кабиров, И.В. Яковенко
МЕТОД ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Аннотация. В статье рассматривается вопрос применения метода визуализации в процессе изучения дифференцируемости функции на уроках математики. Указаны основные способы введения понятия производной в школьном курсе, геометрическое представление ее. Продемонстрирован переход визуализации производной функции одной переменной к визуализации частных производных функции нескольких переменных.
Ключевые слова: функция, дифференцируемая функция, метод визуализации, методика преподавания математики, математический анализ.
N.N. Kabirov, I.V. Yakovenko
METHOD OF VISUALIZATION IN THE STUDY OF THE THEORY OF DIFFERENTIABLE FUNCTIONS IN MATH CLASS
Abstract. The article deals with the application of the visualization method in the process of studying the differentiability of the function in the lessons of mathematics. The main ways of introduction of the concept of derivative in a school course, its geometrical representation are specified. Transition of visualization of derivative function of one variable to visualization of partial derivatives of function of several variables is demonstrated.
