CC BY
141
УДК 629.191
DOI: 10.17586/0021-3454-2016-59-4-268-274
МЕТОД УТОЧНЕНИЯ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ ДЛЯ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПУСКОВ РАКЕТ-НОСИТЕЛЕЙ
В. Н. Арсеньев, А. Б. Кузнецов, А. А. Ядренкин
Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: [email protected]
Рассматривается задача уточнения модели атмосферы, используемой в настоящее время для баллистического обеспечения пусков ракет-носителей. Вертикальные профили термодинамических параметров атмосферы и ветра представлены в виде канонических разложений с известными математическими ожиданиями, среднеквадратическими отклонениями и координатными функциями в узловых точках высоты. Предложенный метод позволяет приблизить модельные характеристики разброса параметров атмосферы к заданным.
Ключевые слова: ракета-носитель, отделяющаяся часть, прогнозирование движения, модель атмосферы, баллистическое обеспечение
Введение. Космическая деятельность Российской Федерации, направленная на исследование космического пространства, невозможна без применения космических аппаратов (КА). Основными средствами выведения КА на заданные орбиты являются ракеты-носители (РН), к ним предъявляются жесткие требования по точности выведения. В полете от РН отделяются отработавшие ступени, головной обтекатель и некоторые другие элементы конструкции, которые падают на Землю [1]. В настоящее время сильно ужесточились требования к районам падения (РП) отделяющихся частей (ОЧ) [2]. Поэтому в процессе подготовки РН к пуску определяются прогнозные оценки разброса начальных параметров движения ОЧ, а также области рассеивания точек их падения на поверхности Земли [3]. Точность прогнозирования зависит от внутренних и внешних возмущений, оказывающих влияние на движение РН и ОЧ, и в особенности — от способов и точности задания случайных составляющих физических параметров атмосферы в математических моделях движения [4]. С этой целью используется метод статистического моделирования возмущенного движения РН на активном участке траектории, и ОЧ после их отделения от РН — на пассивных участках. Для некоторых типов легких отделяющихся частей доля атмосферного рассеивания может составлять более 90 % от общего рассеивания [5]. Добиться повышения точности баллистических расчетов можно путем уточнения модельных значений характеристик разброса параметров атмосферы*. Этот вопрос, в частности, рассматривался в работах [3—9].
Постановка задачи. Канонические или неканонические разложения случайных процессов удобно использовать [10—12] при модельном исследовании влияния случайных отклонений параметров атмосферы от стандартных значений на точность выведения КА на заданную орбиту, рассеивание начальных параметров движения и точек падения ОЧ.
В ряде используемых моделей возмущенной атмосферы вертикальные профили возмущений и некоторых ее параметров до высоты Н задаются в виде [4]:
ка _
um = тиг + Ъщ Z ^ij & j, i = 1' kH , (1)
j=1
* ГОСТ 4401-81. Атмосфера стандартная. Параметры. М.: Изд-во стандартов, 1981. 180 с.
где йш- — модельное значение случайного отклонения й^ параметра атмосферы от расчетной величины на высоте Н^; тй , ай — математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение возмущения и на высоте Н1; кн — число узловых значений высоты; а, ,
■ —1, ка — независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону #(0,1); ц^ — известные координатные функции; с помощью „Л" обозначаются случайные величины.
Значения тй , ай и координатные функции щ, / -1, кн , ■ — 1, ка , могут быть заданы
таблично, значения функций давления и ветра приведены, например, в работах [4, 6, 7].
Параметры тй , ай зависят от географического расположения РП, они определяются
на основе обработки многолетних данных аэрологического и ракетного зондирования атмосферы на близлежащих к району запуска метеостанциях [13, 14]. В отсутствие таких метеостанций эти параметры могут быть рассчитаны на основе глобальных сезонных моделей атмосферы по координатам районов падения. Параметры локальной сезонной модели на соответствующих высотах уточняются по оперативным данным зондирования атмосферы в районах падения в момент пуска РН [9]. В качестве параметра ай. в таких случаях берутся
характеристики точности применяемых методов зондирования [4].
Совокупность уравнений (1), описывающих вертикальный профиль возмущения и, можно представить в векторно-матричной форме [8]:
и м
тй + °й
где
и м
Ц11 Ц21
й м1 йм2 ... ймк,
н
т.
тй 1 тй2
т
йкн
— \ай 1 ай2
(2) у ^ •
йкн \ '
Ц12
Л22
цкн 1 цкн 2
Ц1ка ц2ка
Цкнка
а —
а1 а2 - а ка
Поскольку случайные величины а■ (] — 1, ка) — независимые и имеют нормальное
распределение #(0,1), то математическое ожидание вектора а является нулевым вектором, а корреляционная матрица К а — I к — единичным [15]. Тогда математическое ожидание вектора им совпадает с заданным значением тй , т.е. Мй — М [11 м] — тй + ойпМ [а] — тй, а его корреляционная матрица
\Т~
К =М
(им - тй )(им - тй )
°й ПКа ПТ®й — °й ППТ *й .
(3)
Если кн — ка (число узловых значений высоты равно числу независимых случайных величин) и строки (столбцы) матрицы п составляют ортонормированную систему векторов [16], то матрица пп является единичной. В этом случае корреляционная матрица Кй , по-
22
лученная по модели (2), совпадает с заданной ай, т.е. Кй =ай . Однако в некоторых используемых при проведении баллистических расчетов моделях атмосферы (например, представленных в [4—7]) задается кн > ка и условие Кй =ай не выполняется, поскольку ранг матрицы Кй не может превышать ка. В частности, в работе [4] модели вертикальных профилей
Т
давления и составляющих скорости ветра для каждого месяца задаются разложением, содержащим 19 узловых значений высоты и 7 независимых случайных величин, в модели [6] кн = 36, а ка = 12 .
Повысить точность модели вертикального профиля возмущения и при кн > ка можно следующим образом.
Расчет параметров уточненной модели. Пусть «и — диагональная матрица, элементы которой равны соответствующим диагональным элементам матрицы Ки , тогда
Ким =°им Ки «им , (4)
где Яи — нормированная корреляционная матрица (ее диагональные элементы равны единице) [15].
Введем в рассмотрение матрицу
Ки =«и«и , (5)
обладающую следующими положительными свойствами:
1) соответствующая ей нормированная корреляционная матрица совпадает с Яи, что говорит о сохранении существующих корреляционных связей между значениями возмущений й1, г = 1, кн , на различных высотах;
2) диагональные элементы Ки равны диагональным элементам матрицы ои .
Таким образом, уточнить модель (2) вертикального профиля возмущения и можно путем приближения полученной на ее основе матрицы Ким (4) к матрице Ки (5).
Поскольку
Ким - Ки = «ипКа^«и - «иКи«и = «и (пКа^ - ) «и , то в качестве показателя близости используется функционал
1«и
-1 = * {(К им - К и )2 } = tг |[« и ( а ПТ - Ли ) <
= * {«и (пКаЧТ- ) «2 ККаПТ - Ли ) «и }, (6)
где -г {•} — функция определения следа матрицы.
В выражении (6) координатная матрица п не подлежит изменению, поэтому варьируемой переменной является корреляционная матрица К а вектора случайных величин а у,
у = 1, ка . Значение К а этой матрицы, обеспечивающее минимум (6), определяется из необ-
^ ' = о. Из этого условия можно по-
ходимого условия минимума J по матрице Ка :
Ж
К а=К а
Т 2 Т 2 Т 2 2
лучить уравнение п «и пК а П «и П - П «и Ли« и П = 0, решение которого имеет вид
К а
(Т 2 \ 1 Т 2 2 / Т 2 \ 1
п «ип) п «иЛи«ип (п «ип) . (7)
Тогда уточненная модель вертикального профиля возмущения и может быть представлена следующим образом:
а
и
ум
ти + Ои П«
(8)
где а — вектор случайных величин, распределенный по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей (7).
Очевидно, что модель (8), так же как (2), обеспечивает равенство математического ожи-
дания вектора иум заданному значению ти, т.е. М
и
ум
= ти + оипМ а = ти . При этом
К и корреляционной матрицы вектора и, полученная по модели (8)
К,
«и ПКап Ои,
(9)
ближе к матрице (5), чем Ки (4), полученная на основе модели (2).
Если в качестве меры близости использовать, например, относительную погрешность:
5и =100
К и
К,
К и
о) и 5и =100
К и - К и
/||КЛ (%),
(10)
то для исходных данных, приведенных в [4—7], выполняется неравенство 5и > 5и .
При кн = ка любая невырожденная матрица п обеспечивает выполнение условия К и = К и ( 5и = 0). Действительно, подстановка матрицы К а, полученной по фор муле (7), в правую часть (9) дает
К иум = «и п ( °2 п) пг О 2 Ки О 2 п (пг О 2 п ) ПТ «и =
О и пп Ч
(пТ )-1 пТ О2 Ки «2 пп-1«-2 (пТ )-1 пТ
Ои Ки Ои
Особенности синтеза возмущений на основе уточненной модели. Моделирование возмущений термодинамических параметров атмосферы и ветровых возмущений на основе модели (8) может быть выполнено в соответствии с алгоритмом, приведенным в [4], поскольку он обеспечивает получение вертикальных профилей термодинамических параметров атмосферы, согласованных по уравнениям состояния и вертикального равновесия. Этот алгоритм содержит этап синтеза системы независимых случайных величин — случайного вектора а, распределенного по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной корреляционной матрицей. Для получения реализаций случайного вектора а используется
2 Т 2
известное представление К й = 8й ©а 8 а, где 8й и Ой — ортогональная и диагональная матрицы, состоящие соответственно из собственных векторов и собственных значений матрицы
2
К а [16]. Собственные значения матрицы К а (диагональные элементы Б а) являются положительными в силу положительной определенности матрицы. Далее с помощью датчика случайных чисел генерируется реализация а случайного вектора а, распределенного по закону N (0,1ка), на основе которой получается
а = 8 «а О«а,
вектор а, распределен по закону N(0, Кй). По формуле (8) определяется вектор случайных
возмущений вертикального профиля рассматриваемого параметра атмосферы. Этот процесс повторяется необходимое число раз.
Пример. На основе исходных данных, приведенных в работах [4, 5], построены используемая в настоящее время (2) и уточненная (8) модели возмущений вертикального профиля
зональной составляющей скорости ветра. Корреляционная матрица вектора а, входящего в уточненную модель, имеет вид
К а
1,20 -0,01 0,04 -0,01 0,06 0,02 0,09
-0,01 1,23 0,02 -0,00 -0,03 -0,04 -0,05
0,04 0,02 1,22 -0,00 0,04 0,01 0,03
-0,01 -0,00 -0,00 1,15 0,01 0,02 -0,01
0,06 - 0,03 0,04 0,01 1,19 0,05 0,08
0,02 -0,04 0,01 0,02 0,05 1,15 0,02
0,09 -0,05 0,03 -0,01 0,08 0,02 1,18
Видно, что между собой элементы вектора а слабо коррелируются, а их дисперсии, стоящие на главной диагонали, отличаются от единицы. Матрица перехода от случайного
вектора а, имеющего единичную корреляционную матрицу, к случайному вектору а с корреляционной матрицей К а имеет вид
^ а ®а
-0,57 0, 21 -0,50 0,22 -0,10 0,61 -0,38
0,35 0,83 -0,08 0,57 0,18 -0,07 0,23
-0,36 0,67 0,47 -0,63 -0,07 0,11 0,02
-0,00 -0,09 0,58 0,47 -0,74 0,21 0,02
-0,60 0,04 0,24 0,35 0,19 -0,65 -0,44
-0,27 -0,25 0,46 0,24 0,67 0,45 0,31
0, 62 -0,04 -0,30 0,04 -0,24 -0,24 0,76
По формулам (3), (5), (9) и (10) определены оценки Ки и Ки корреляционной матрицы Ки и их относительные погрешности 5и = 16,9 и 5и = 1,5 % .
Аналогичные оценки и погрешности получены при использовании моделей (2) и (8) для описания возмущений вертикального профиля меридиональной составляющей скорости ветра. В этом случае корреляционная матрица случайного вектора а
К а
1,20 -0,01 0,04 -0,01 0,06 0,01 0,08
-0,01 1,22 0,01 0,00 -0,02 -0,04 -0,05
0,04 0,01 1,22 -0,01 0,04 -0,00 0,03
-0,01 0,00 -0,01 1,15 0,01 0,01 -0,01
0,06 -0,02 0,04 0,01 1,20 0,03 0,09
0,01 -0,04 -0,00 0,01 0,03 1,14 0,01
0,08 -0,05 0,03 -0,01 0,09 0,01 1,17
5и = 17,1 и 5и = 1,6%.
"м "ум
Отсюда видно, что уточненная модель (8) позволяет существенно уменьшить методическую погрешность при описании случайных возмущений вертикальных профилей термодинамических параметров атмосферы и составляющих скорости ветра. Ее применение при проведении баллистических расчетов повышает точность прогнозирования траекторий движения РН и ОЧ.
Предложенный метод описания случайных функций может быть полезен не только при моделировании атмосферных возмущений, но и при коррекции моделей других случайных процессов.
список литературы
1. Сихарулидзе Е. Г. Баллистика летательных аппаратов. М.: Наука, 1982. 352 с.
2. Арсеньев В. Н., Казаков Р. Р., Фадеев А. С. Обеспечение падения отработавших частей ракеты-носителя в заданные районы при пусках с новых стартовых площадок // Труды МАИ: электронный журнал. 2012. № 58. 11 с.
3. Школьный Е. П., Майборода Л. А. Атмосфера и управление движением летательных аппаратов. Л.: Гидрометеоиздат, 1973. 308 с.
4. Елисейкин С. А., Подрезов В. А., Ширшов Н. В. Разработка локальных моделей возмущенной атмосферы для баллистического обеспечения запусков космических аппаратов: Науч.-техн. отчет. М.: ФГУП „ЦЭНКИ", 2010. 65 с.
5. Гуров Д. А., Елисейкин С. А., Иванов П. В., Подрезов В. А. Оценка эллипсов рассеивания отделяющихся частей ракеты-носителя „Союз-У" с учетом местных метеоусловий и оперативной информации: Информационно-технический отчет. М., 2011. 42 с.
6. ОСТ 92-5165-92. Методика задания горизонтальной скорости ветра и термодинамических параметров атмосферы в районе полигона Байконур в диапазоне высот 0-120 километров. 1992.
7. ОСТ 92-9704-95. Методика задания горизонтальной скорости ветра и термодинамических параметров атмосферы в диапазоне высот 0-120 километров в районе космодрома Плесецк. 1995.
8. Арсеньев В. Н., Булекбаев Д. А., Кулешов Ю. В., Маков А. Б., Фадеев А. С. Метод диагностики параметров атмосферы для определения эллипсов рассеивания отделяющихся частей ракет-носителей // Тр. II Всерос. науч. конф. „Проблемы военно-прикладной геофизики и контроля состояния природной среды". СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2012. Т. 1. С. 22—28.
9. Арсеньев В. Н., Булекбаев Д. А. Метод уточнения модельных значений параметров атмосферы для прогнозирования районов падения отделяющихся частей ракет-носителей // Изв. вузов. Приборостроение. 2014. Т. 57, № 1. С. 5—11.
10. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, 1962. 884 с.
11. Арсеньев В. Н. Метод последовательного построения модели выходного сигнала системы // Изв. вузов. Приборостроение. 1990. № 5. С. 3—7.
12. Чернецкий В. И. Анализ точности нелинейных систем управления. М.: Машиностроение, 1968. 246 с.
13. Архив первичных данных ежедневного радиозондирования атмосферы по наблюдениям станций Земли за период 1964—2002 гг. ВНИИГМИ-МЦД, 2003. 101 с.
14. Архив данных ракетного зондирования атмосферы по отечественным станциям за период 1964—1993 гг. Центральная аэрологическая обсерватория, 2003. 67 с.
15. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Изд. центр „Академия", 2003. 576 с.
16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.
Сведения об авторах
Владимир Николаевич Арсеньев — д-р техн. наук профессор; ВКА им. А.Ф. Можайского, кафедра бортовых информационных и измерительных комплексов; E-mail: [email protected]
Александр Борисович Кузнецов — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А.Ф. Можайского, кафедра автоматизированных систем подготовки и пуска ракет космического назначения; E-mail: [email protected] Андрей Александрович Ядренкин — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А.Ф. Можайского, кафедра бортовых информационных и измерительных комплексов; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
бортовых информационных и 25.01.15 г.
измерительных комплексов ВКА
Ссылка для цитирования: Арсеньев В. Н., Кузнецов А. Б., Ядренкин А. А. Метод уточнения модели атмосферы для баллистического обеспечения пусков ракет-носителей // Изв. вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59, № 4. С. 268—274.
METHOD OF ATMOSPHERIC MODEL REFINEMENT FOR BALLISTIC SUPPORT OF ROCKET-CARRIER LAUNCHES
V. N. Arseniev, A. B. Kuznetsov, A. A. Yadrenkin
A. F. Mozhaisky Military Space Academy, 197198, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
The problem of refinement of atmospheric model used for ballistic support of rocket-carrier launch is considered. The vertical profiles of thermodynamic parameters of the atmosphere and wind velocity are presented in the form of canonical decompositions with known mean values, mean square deviations, and coordinate functions in node points along the vertical coordinate. The proposed approach allows approximating the specified characteristics of atmospheric parameters dispersion with the model ones.
Keywords: rocket-carrier, separating part, movement forecasting, model of the atmosphere, ballistic support
Data on authors
Vladimir N. Arseniev — Dr. Sci., Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy, Depart-
ment of On-board Information and Measuring Complexes; E-mail: [email protected]
Alexandr B. Kuznetsov — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy,
Department of Automated Systems of Space Rocket Preparation and Launch; E-mail: [email protected] Andrey A. Yadrenkin — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy,
Department of On-board Information and Measuring Complexes; E-mail: [email protected]
For citation: Arseniev V. N., Kuznetsov A. B., Yadrenkin A. A. A method of atmospheric model refinement for ballistic support of rocket-carrier launches // Izv. vuzov. Priborostroenie. 2016. Vol. 59, N 4. P. 268—274 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2016-59-4-268-274
