Метод усреднения в дискретных задачах управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 3

В. А. Плотников, Л. И. Плотникова

МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ

В ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

Математические модели реальных управляемых процессов и движения систем в условиях неопределенности приводят обычно к дифференциальным включениям с малыми параметрами. Для их исследования широко используются асимптотические методы. Интерес к дискретным системам связан с широким применением на практике цифровых вычислительных машин в управлении различными объектами. Построение и обоснование алгоритмов численно-асимптотического решения для непрерывных систем проводилось в работах [1-8]. В статье осуществляется построение аналогичных алгоритмов для дискретных систем.

Рассмотрим алгоритм численно-асимптотического решения задач оптимального управления дискретными системами в полулинейных метрических пространствах.

Пусть У - полулинейное метрическое пространство [9], т. е. в нем определены бинарная операция 4- , для которой У является абелевой полугруппой, и операция умножения на положительное число, кроме того,

1 • х = х] Xх + цх = (\ + /х)я; Х(х 4- у) = Хх + Ху; (Хц)х = Х(/л)х,

где Л,//> 0, ж, у Е У; расстояние 6(х,у) инвариантно относительно сдвигов и обладает свойством однородности, т. е. 6(х + + г) = б(х,у); ё(Хх,Ху) = Х6(х,у).

Важным частным случаем полулинейного метрического пространства является пространство сопу(Яп) - пространство, состоящее из всех непустых компактных и выпуклых подмножеств из Яп с метрикой Хаусдорфа.

Операции + и умножения на положительное число определяются следующим образом:

А В — -[с = о> Ь\о> Е А, Ь Е В}•, ХА = \с = Ао|о Е А}■.

Рассмотрим дискретное уравнение стандартного вида

ж{+1 -Х{ +е^’(г,ж<), Х0=х°, (1)

где Х{ Е У, е > 0 - малый параметр, % Е / = {0,1, ...,7У}; N = Е(Ь/е), 2£(з) - целая часть 5, Ь - заданная постоянная, ^:/хУ -> У.

Пусть существует такая функция ^°(г,ж), что

- р+п-1 .. р+п-1

Нт(- £ ры>- £ *%.*)) =0. (2)

п—*оо 71 ' ^ 71 '

г-Р г=р

Тогда уравнению (1) поставим в соответствие уравнение

Уi+l = г/» + (г, г/г), Уо = Х°, (3)

и назовем его частично усредненным.

Рассмотрим вопрос о близости решений систем (1) и (3) на асимптотически большом промежутке времени I.

© В. А. Плотников, Л. И. Плотникова, 2005

Теорема 1. Пусть в области {г € I, х е В С У} выполнены следующие условия:

1) отображения -Р(г, ж), Е°(1,х) равномерно ограничены постоянной М и удовлетворяют условию Липшица по х с постоянной А;

2) равномерно относительно х,р существует предел (2);

3) решения уравнения (3) с начальным условием у о = х° (Е И С И определены при г ^ 0 и вместе с р-окрестностью принадлежат области Б.

Тогда для любых г} > 0 и Ь > 0 существует такое е°(т],Ь) > 0, что для 0 < € ^ б°, г € / справедливо неравенство

Р^иУгХ.'П, (4)

где Хг^уг - решения уравнений (1), (3) соответственно, удовлетворяющие условию х0=у0е

Доказательство. Запишем уравнения (1), (3) в виде

п

Хп+1 = Х0 + е £ , (5)

г=0

Уп+1 = УО + е ]Г Уг)- (6)

г=0

Из (5), (6) имеем

п п

<5(а:п+1,Уп+1) =^(е£-Р’(*,а:<), е£-Р°(*,2/<)) <

1=0 1=0

71 7Ъ 71 71

^ е £ «№ »0) + е<5(£ Яг,»,), £ ^(г, у«)) ^ £ «(х,, у<) + г, (7)

г=0 г=0 г=0 г=0

где г = е<5(Х; Р(ъуд, £ ^(ьг/.))-

г=0 г=0

Оценим величину г на промежутке I. Разделим промежуток I на части точками гк = кк, к = 0,7П, гт_1 < Ье-1 ^ гт, где Л(е) - целое число и

Нт Ме) = сю, Ит еМг) = 0. (8)

<-->0 4 у <г-Ю 4 7 7

Пусть кН < п ^ (к + 1)Л, тогда

п п Л—1 /0*+1)/1-1 0+1)Л-1 \

* = еЛ(Х)П*'»»0,Е^(<,»0)<е£«[ Е РЫ, Е **(<>»<) +

г=0 г=0 .7=0 у г—Ь] i=hj )

/ п тъ \ Л—1 / 0'+1)/1—1 У+1)Л—1 \

+£* 5] *•(*,»,), е ^°(<.») кеЕМ £ Ё +

\г=АЛ i=kh ) 1=0 у i=hj+l i=hj+1 )

А-1 /(Я-1)Л-1 0+1)Л-1 \

+ е£(Ч £ £ *’0(*>гЫ) +

j=0 у i=hj г=Л.7 )

Л-1 /(Я-1)Ь-1 и+!)'»-! \ П

+ еЕ<Ч Е р°^Узь), X) ^ 1 + е Е (9)

^■=0 у г=/1^+1 1=2Н5+1 у г=кН

Оценим слагаемые в (9)

(0+1)л-1 0*+1)л-1 \ 0+1)л-1

Е Е Р^Узь) Е 6(р(*м)>р(ЬУ}1>)) <

»=/и+1 »=/и'+1 ) »=/у'+1

0+1)Л-1 (Я-1)Л-1 »-1

^ £ £ ||^Ы|И£2аМЛ2/2- (Ю)

1=Л^Ч-1 г—Нз+1 г=Н]

Аналогично получим

(0+1)л-1 0+1) л-1 \

Е £ Р°(ЬУЦг)\^е2Ш112/2. (11)

%—Нз %=кз )

Очевидно, что

п

е £ д(Г(г, укн), -Р°(г, Ы) < 2еМк. (12)

г=&/1

В силу условия 2) теоремы можно указать такую монотонно убывающую функцию /(Л,) -* 0 при к -» оо, что для всех ж € -О имеем

Л—1 /(Я-1)л-1 0+1)л-1 \

еЕ<5( Е Е Р°^Уз^) < теН/(Н) < Lf{h). (13)

.7=0 У {=% )

Итак, из (9)-(13) получим

^ ^ еШ{ХЬ + 2) + Ь/(Л). (14)

Учитывая (8), выберем е° так, чтобы при е € (0,б°] было справедливо неравенство

ехь[еНМ(\Ь + 2) + Х/(Л)] < /7. (15)

Из неравенств (7), (14), (15) следуют утверждения теоремы (4).

Замечание 1. Если Е°(г,х) = Е°(х), то из теоремы 1 получаем обоснование схемы полного усреднения дискретных систем в полулинейных метрических пространствах.

Замечание 2. ЕслиУ = сопг>(Яп), ^(г,Жг) = Д*Ф(£о-И'Д,Жг), Ф *. # хсотгг;(Яп) -* со7г^(Дп), ж* = ж(£о +^Д), то уравнение (1) соответствует ломаной Эйлера для дифференциального уравнения с производной Хукухары [10]:

ОнХ{1) = еФ(*,-ВД, -ВД = «о, (16)

где Х{1) - многозначная траектория, Б^Х^) - производная многозначного отображения, в смысле Хукухары.

Следовательно, теорема 1 в данном случае является дискретным аналогом первой теоремы Н. Н. Боголюбова [11] для дифференциального уравнения с производной

Хукухары [5].

Если рассматривать дифференциальное уравнение объекта в условиях неопределенности

X = £/(*, ж, £(*)), х{г0)е30, (17)

где х € Яп, / : Л1 х Ип х (? 4 Лп, £(£) 6 С помеха, б € сотр(11п), 5о € ссти(Яп) -множество возможных начальных состояний, то дифференциальное уравнение с производной Хукухары (16) при Ф(£,Х) = \х € Х,у е С} обладает следующим

свойством [12]:

хЦ)

т. е. решение уравнения (16) дает оценку сверху множества решений (17) при любой реализации неопределенности.

Замечание 3. Если У = К*1, то теорема 1 является дискретным аналогом теоремы Н. Н. Боголюбова для системы дифференциальных уравнений

X = £/(*,ж), ж(0) = Ж0.

Рассмотрим задачу оптимального управления дискретной системой

я»+1 = + е[/(М») + -А(яг»)¥>(*»»ч)]> *о - Х°, (18)

с терминальным критерием

1(и) = Ф(х*), (19)

в которой х\ е Яп, /(1,х),<р(1,и) - вектор-функции; А(х) —п х т - матрица; щ £17 -вектор управления; С/ 6 сотр(Яр); г = 0,1, N = Е(Ь/е).

Поставим в соответствие задаче (18), (19) следующую автономную задачу:

Ук+1 = Ук + е[1°(Ук) + МУк)Ук], Уо = Х°,

1°(ь) = Ф (ум),

здесь

р+п-1

/°(ж) = Шп - ^ /(*»,

п—>оо п

*=р р+п-1

^ еУ = Нт — У <р(г,£/)-

п—>оо 71

г=р

Сходимость в (22) понимается в смысле метрики Хаусдорфа.

При усреднении дифференциальных уравнений системе

х = еГ^,х), ж(0) = х°, £ € [0, Ье~г]

ставится в соответствие усредненная система

^=Р°(У), т = е*, 2/(0) = я0, те[0,ц. (24)

При численном интегрировании системы (23) необходимо интегрировать неавтономную систему на асимптотически большом промежутке времени. При численном интегрировании усредненной системы (24) интегрируется автономная система на конечном промежутке, что требует меньшего объема вычислений.

(20)

(21)

(22)

(23)

Системы (18) и (20) определяются на одном и том же множестве, и поэтому нельзя

утверждать, что решение системы (20) требует меньшего объема вычислений по срав-

нению с затратами на решение системы (18).

Рассмотрим следующую систему:

*к+1 =4+ £«[/°(гЛ) + А(гк)ук], г0 = х°, (25)

где 00{с) -целое число,

VI = Ч + ——кш < (к + 1)а;. (26)

(л)

Решение полученной автономной задачи оптимального управления (21), (25) требует значительно меньшего объема вычислений, чем решение исходной задачи (18), (19).

Для обоснования данного алгоритма рассмотрим сначала ^-периодический случай, т. е. предположим: существует целое число о; > 0 такое, что /(г, ж) = f(i + о;,ж), <р(г,и) = <р(г + ш,и).

Тогда

/0(я?) = ^/(«,*)| 6 V0 = ^^¥з(г,1/).

СО —" 00 .—7

г=1 г=1

Заметим, что в данном случае множество V0 Е сотр(Яп) не является выпуклым, но V = сопьУ0.

Установим следующее соответствие между управлениями щ уравнения (18) и управлениями уь уравнения (20):

(Л+1)и>—1

Ё Ф,щ)=иук, 0. (27)

1=кш

Теорема 2. Пусть в области (?{г ^ 0, х е Б С Я71, и Е 11} выполнены такие условия:

1) функции /(г,ж), А(ж), <р^,и) равномерно ограничены и удовлетворяют условию Липшица:

||/(г,х)|| ^ М, ||/(г,х) -/(г,у)|| ^ А||ж-у||, |И(ж)|| < М,

||Л(ж) - А{у)|| < Х\\х - 2/Ц, 1И*,«)|1 < М, |(¥)(*,«) - <р$,г)|| ^ Л||« - *||;

2) существует целое число ш > 0 такое, что /(г, ж) = /(г + о;, ж), ^р{г,и) = +

и,и);

3) решенья {г*, к = 0,1,...} уравнения (25) с начальным условием го = х° € Б С 2? <?лл любого управления ук определены для к ^ 0 и вместе с р-окрестностью принадлежат области Б.

Тогда для любого Ь > 0 существуют такие С > 0 и £о(Ь) > 0, что для 0 < е ^ £о, 0 ^ г £?(Ье-1) справедливы утверждения:

1) для любого управления ук системы (25) существует, в соответствии с (27), управление щ системы (18) такое, что справедлива оценка

||®< “2/гII ^ Се, (28)

гдеу{, ж* - решения систем (25), (26) и (18), соответствующие управлениям ук ищ, хо = уоЕ Б!;

2) для любого управления щ системы (18) существует, в соответствии с (27), управление Уь системы (25) такое, что справедлива оценка (28).

Справедливость теоремы 2 непосредственно следует из теоремы 1 при учете соответствия (27).

Теорема 3. Пусть в области Q выполнены условия теоремы 2 и, кроме того,

|Ф(ж) -Ф(у)| < л*||яг — у||.

Тогда оптимальное решение задачи (21), (25) является асимптотически оптимальным решением исходной задачи (18), (19), т. е. для любых г) > О, L > 0 существует такое 0, что при е € (0,£°] справедливы оценки

\J°*-r\^V, (29)

где {J*,J0*} - оптимальные решения исходной и усредненной задач; J -значение критерия исходной задачи при управлении {щ}, соответствующем оптимальному управлению усредненной задачи.

Доказательство теоремы проводится аналогично непрерывному случаю [4]. Таким образом, получено обоснование следующего алгоритма численно-асимптотического решения задачи (18), (19):

1) с помощью метода усреднения задаче (18), (19) ставим в соответствие задачу (21), (25), (26);

2) численными методами решаем упрощенную задачу (21), (25), (26).

На основании теоремы 3 следует, что полученное решение является асимптотически оптимальным решением исходной задачи.

Аналогичным образом рассматривается управляемая дискретная система в полулинейном метрическом пространстве У :

xi+1 = Xi +e[F(i,Xi) + ¥>(*,«<)], Х0 = Ж°,

где Xi € У, F : I х У -> У, ip : I xU -* У, £/ € comp(Rm).

Summary

Plotnikov V. A., Plotnikova L. I. Method averaging in discrete control problems.

The solution of the problem of discrete programmed controller construction for a non-linear controllable system of differential equations.

Литература

1. Моисеев H. H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. 400 с.

2. Первозванский А. А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. 344 с.

3. Плотников В. А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам оптимального управления // Дифф. уравнения. 1978. № 8. С. 1427-1433.

4. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. 188 с.

5. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы. Одесса: Астро-Принт, 1999. 356 с.

6. Черноусько Ф. Л.} Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.

7. Филатов О. П., Хапаев М. М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 160 с.

8. Плотников В. А., Плотникова Л. ИЯровой А. Т. Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления//НелшШш коливання. 2004. № 2. С. 241-254.

9. Рубинов А. М. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к эконо-мико-математическим задачам. Л.: Наука, 1980. 166 с.

10. De Blasi F. S., Iervolino F. Euler method for differential equations with set-valued solutions// Boll. U.M.I. 1971. Vol. 4, N 4. P. 941-949.

11. Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

12. Толстоногое А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.

Статья поступила в редакцию 13 октября 2005 г.