Интегральный метод Эйлера с возмущениями и принцип усреднения для дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №5(39).

УДК 517.928.1

79

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ И ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© 2005 О.П. Филатов1

Для односторонне липшицевых дифференциальных включений с медленными переменными дается обоснование разностной интегральной схемы Эйлера с возмущениями. В качестве следствия из этой теоремы получается принцип усреднения для дифференциальных включений.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения

где F : D ^ Ку(Кт) — отображение в множество непустых и выпуклых компактов пространства Кт, D = К X Кт, ^ > 0 — малый параметр. Задача рассматривается на отрезке времени I^ = [0,1/ц].

Решения этой и других задач понимаются в смысле Каратеодори. Таким образом, рассматриваются абсолютно непрерывные функции, которые почти всюду удовлетворяют соответствующим дифференциальным включениям.

На отрезке I^ введем сетку П^ = (г : г = уД, у = 0,1,..., и) с шагом Д > 0 и обозначение для частичного отрезка Iу = [гу, гу+і]. Задаче (1) сопоставим интегральную схему Эйлера с возмущениями

где ] = 0,- 1, ^Ап = 1, у^) = у] е Кш.

Здесь у^(-) — решение задачи (2). Измеримое по г отображение О : D ^ ^ Ку(Кш) играет роль возмущений в интегральном методе Эйлера, при этом на модуль множества |О(г, у)| = яир^о^у ||#|| далее будут наложены некоторые естественные ограничения.

1 Филатов Олег Павлович ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

х є ^(г, х), х(0) = Х0,

(1)

у є ^(г, уу) + ^С(г, уу), у(0) = х0, г є Іу,

(2)

Отображение О, в частности, моделирует погрешность выбора средней скорости на отрезке времени Iу, если рассматривать интегральную схему (2) на сетке П :

Для дифференциальных включений классический метод Эйлера в классе односторонне липшицевых правых частей обоснован в [1]. Основная цель данной работы заключается в том, чтобы распространить интегральный метод Эйлера на дифференциальные включения вида (1) в классе односторонне липшицевых правых частей в ситуации, когда шаг сетки А = А^ при ^ ^ 0, и установить связь метода с задачами усреднения дифференциальных включений.

Дело в том, что при реализации разностной схемы (3) на каждом частичном отрезке 1у, у = 0,1,..., п -1, требуется вычислять среднюю скорость движения. Обычно при доказательстве теорем усреднения для дифференциальных включений с медленными переменными [2] или с медленными и быстрыми [3] применяют операцию усреднения на каждом частичном отрезке достаточно большой длины при условии, что среднее по времени г при фиксированном значении фазовой переменной х существует.

Эти соображения позволяют в качестве следствия из интегрального метода Эйлера получить теорему усреднения для дифференциальных включений с медленными переменными [2, 4, 5], которая является одним из вариантов принципа усреднения.

В данной статье для простоты изложения усредненное дифференциальное включение считается автономным

при условии существования равномерного по ^ е В(хо, г) предела при некотором г, которое уточним ниже. Предел рассматривается в метрике Хаусдор-фа Н(Л, С) = тах{ех(А, С), ех(С, А)}, где полуотклонение множества А с Кш от множества С с Кш определяется соотношением

Уу+1 = Уу + ^А(/у + gj), уо = хо, У = 0,1,..., п - 1,

(3)

где

е И'Fо(?),

Ш) = Х0.

(4)

Здесь выпуклый компакт

(5)

ех(А, С) = М{г > 0 : А с С + В(0, г)}.

Здесь сумма множеств алгебраическая: С + В = {х : х = с + Ь, с е С, Ь е В}. Евклидово расстояние между множествами А, В с Кш будем обозначать р(А, В) = тЩа - Ь|| : а е А, Ь е В}.

Для обозначения опорной функции множества A с Rm используем символы

c(A, у) = sup<a, у),

аеА

где у е Rm. Свойства опорных функций, которые используются в данной статье, можно найти, например, в [6].

2. Условия и леммы

Введем класс LЬ с Ll°c локально интегрируемых функций X : R+ ^ R+, для каждой из которых найдутся числа T = T(X) > 0 и l = l(X) > 0 такие, что

Jt+A

X(s) ds ^ lA, t е R+, A ^ T.

Кроме того, введем класс K непрерывных строго монотонных функций ф : R+ ^ R+, ф(0) = 0.

Для отображения

F : D ^ Kv(Rm), (t, х) ^ F(t, x) (6)

будем использовать следующие условия:

1) отображение F(•, х) является измеримым для любого x е Rm, при этом существует функция ух е L^ такая, что модуль множества F(t, х) удовлетворяет оценке линейного роста:

|F(t,х)| = sup WfW < Yi(t)(1 + Ух||), (t, х) е D;

f еF(t,x)

2) существуют функции Y2 е L^, о е K такие, что

h (F(t, х), F(t, у)) ^ Y2(t)o(Wх - у||), (t, х) е D;

3) для некоторой функции Y3 е Lb и произвольных х, у е Rm, v е F(t, х) найдется вектор w е F(t, у) такой, что

2

<х - у, v - w) ^ Y3(t)Wх - у|| .

Последнее условие обобщает условие Липшица по основным переменным х отображения (6) и называется односторонним условием Липшица [1].

Далее для функции Yi из условия i е{1,2,3} соответствующие постоянные, определяемые включением Yi е L^ будем обозначать li = l(Yi) и Ti =

= T (Yi).

Будем использовать также следующие обозначения:

M(х0, ц, t) = (WxoW + [лГi(t)) exp (мГКО), Гi(t) = f Yi(s) ds,

J0

M0 = (W x0 W + li)exp(li), где функция Yi —из условия 1.

На основании леммы Гронуолла—Беллмана нетрудно доказать следующую лемму.

Лемма 1. Пусть отображение F из задачи (1) удовлетворяет условию 1, и существует решение х^(-) этой задачи на отрезке /^. Тогда имеет место неравенство

НхДОН ^ М(хо, и, г), г е /^.

Если и ^ 1/Гх, то М(хо, И, г) ^ Мо для любого г е /^.

Для того чтобы сформулировать аналог леммы 1 для задачи (2), предположим, что модуль множества |С(г, у)| для любых (г, у) е D удовлетворяет оценке |С(г, у)| ^ Уо(г), где уо е ЬЬ, при этом постоянную 1о = 1(уо) будем обозначать через е > о, постоянная То = Т(уо).

Отсюда следует, что для функции уо при любых а, г ^ о имеет место оценка

Обозначим

И(хо, и, г, е) = (ухоУ + + ^Г 1(г)) ехр (^Г 1(г)),

Ио = Ще) = (У хо У + е + 11) ехр(11).

Лемма 2. Пусть отображение F из задачи (2) удовлетворяет условию 1, |0(г, у)| ^ Уо(г), уо е Ь^, е = 1(уо). Тогда для любого решения у^(■) этой задачи выполняется неравенство

Лемма 3. Пусть отображение F из задачи (2) удовлетворяет условию 1 и параметр и ^ т1п(1/(пТ1), 1/То}. Тогда для любого решения у^(-) задачи выполняется неравенство

Доказательство. Из леммы 2 получим ||у^(г)У ^ Ио, г е /^. Поскольку п = = 1 /(цД), то для любого г е /] из условия 1 следует

Г г1+Д

Уу^(г) - ууУ ^ И У1(г)(1 + Ио) йг + ийд„е ^ ко(п, е).

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть выполняется условие 1, и для данного со > о при г ^ Т*(со) справедливо неравенство

Уу^(г)У ^ N (хо, и, г, е), г е /^.

Если и ^ т1п(1/То, 1/Т1}, то N(хо, и, г, е) ^ Ио для любого г е /И. Для целого п обозначим

ко = ко(п, е) = ((1 + Ио)11 + е) п-1.

Уу^(г) -ууУ ^ ко(п,е), г е /у, ; = о, 1,...,п - 1.

для любого ^ из некоторого множества К с Кш. Тогда, если Д ^ Т*, то

1 Ггу+1

к

Д

I

^Іі

F (г, ?) йг, ад)

^ (2п - 1)со, § є і = 0, - 1. (8)

Доказательство. В силу аддитивности интеграла от многозначного отображения имеем

1 Г^1 11 Гг1 \ (1 Г^1 \

— I = Л.1 (— I F(г, I;) I + Лг — ,

г]+1 ^о \г] и о ) 1Д л г]

где ^1 = гj/г+1, ^2 = Д/гу+1. Отсюда, переходя к опорным функциям, получим

КГ

1 Ггj+l . Д

F (г, £) йг, у| +

+Х.2С

Г

і F (г, §) йг, у

Лі

(9)

для любого вектора у є 51. По условию леммы

сі '

у Л ^0, Ю у| = с (^о®, ¥) + ф(г> ¥).

где |ф(г, ^, у)| ^ Со, если г ^ Т*. Воспользуемся этим равенством при г = гj и г = г;-+1 в (9). После простых преобразований получим

1 Ггj+l

і г

АЛ

F (5, §) йя, у

= с ^о®, у) +

ф(гу+1, у) - ^1ф(гу, у)

^2

Отсюда

1 Ггу+1

I F(s, §)^5,у

^Іі

<

- с ^о®, у) (п - 1)Д + пД

Хі|ф(гу,^у)| + |ф(гу+ь^у)|

Д

с0 = (2п - 1)с0, у є 51,

что эквивалентно (8). Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть для отображения F выполняются условия 1, 2 и существует среднее (5) равномерно по ^ е В(хо, г). Тогда выполняются неравенства

^о©| < 11(1 + УШ, Н (Fо(x), Fо(y)) < ?20(Ух - уУ) (10)

для любых ^, х, у е В(хо, г), где постоянные ?1, ?2 определяются функциями уь у2 из условий 1 и 2 соответственно.

Доказательство. Возьмем произвольное к > о. Тогда при достаточно большом Т > о выполняется неравенство

F(s,S)rfsW>^. (11)

с

с

2

Отсюда, с учетом условия 1, следует

1 ГТ 1 ст

< 11(1 + нш + К.

В результате, в силу призвольности к > 0, получим первое неравенство

Для доказательства второго неравенства перейдем к опорным функциям. Из (11), свойств опорных функций и условия 2 следует

В силу произвольности к > 0 получим второе неравенство в (10). Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть для отображения F выполняются условия 1, 3 и существует среднее Fo, определяемое (5), равномерно по ^ е В(хо, г). Тогда для отображения Fo(•) выполняется условие односторонней липшицевости в шаре В(хо, г) с постоянной 1з = 1з(уз).

Доказательство.

По условию равномерной сходимости для целого к > 0 имеем

при Т ^ Т*(1/к) и любом ^ е В(хо, г). Заметим, что условие 1 гарантирует существование интегралов.

Возьмем произвольные х, у е В(хо, г) и любой вектор V е Fo(x), тогда существует вектор

в (10).

|с ^о(х), у) - с (^о(у), У) | ^

ds + 2к =

Отсюда

к (Fo(x), Fo(у)) = йир |с (Fo(х), у) - с (Fo(у), у) | ^ ^(Нх - уН) + 2к.

Проинтегрируем это неравенство на отрезке [0, Т] при Т ^ Тэ = Т(уэ) и разделим левую и правую части на Т. Так как уэ є Ь^, то в результате получим

1 ГТ

(х-у,ук-м?^) ^\\х-у\\2- Уз(0^ ^ Ь\\х-у\\2.

Т Ло

где

1 ГТ 1 ГТ

^ = тХ ії(1)с11ет X Г(‘>У)Л-

Векторы ук и wkl представим в виде

V = V + ф£, V є F(x), ||ф£у ^ 1/к,

wkl = wk + у, є F(у), УуУ < 1/к.

Отсюда

<х - у, V - ^к> ^ 1э ух - у||2 + <X - у, у - фк>. (12)

Поскольку F(у) — компактное множество, то из последовательности векторов wk є F(у), к = 1,2,..., выберем сходящуюся подпоследовательность к вектору w є F(у) и сохраним за ней прежнее обозначение. Остается сделать предельный переход при к в неравенстве (12), в результате получим

требуемое соотношение

(х - у, V - w> ^ ?эУX - у|2.

Лемма доказана.

Таким образом, можно констатировать, что свойства 1-3 переносятся на усредненное отображение Fo, при этом соответствующая функция у,- из условия і заменяется на постоянную I,, і = 1,2, Э.

3. Основной результат

Обозначим Хц(г), Уц(г) интегральные воронки на отрезке [о, г] для задач

(1), (2) соответственно. Расстояние между ними Н^Хц(г), Кц(г)^ будем определять по Хаусдорфу, рассматривая воронки как множества из пространства С ([о, г], Кт) непрерывных функций ф : [о, г] ^ К™. Кроме того, введем обозначение Ь(г, П, е) = О (Ко(п, е)) у2(г) + Уо(г), где Ко(-, ■) определена в лемме 3, и функцию

®ц,е(г) = Ц г Ь(т, п, е)ехр|ц ^ уз(^) d.sj dт. (13)

Заметим, что если ц ^ Цо = тш{1/(пТх, 1/То, 1/Т2, 1/Тз}, то

Шц,е(г) ^ (о(ко)?2 + е)ехр(1з), Ко = Ко(п, е). (14)

Теорема 1. Пусть выполняются условия 1-3, малый параметр ц е е (о, Цо], и для измеримого отображения 0(■,у), у е Кт выполняется неравенство \й(г,у)| ^ Уо(г), где уо е ьъх, е = 1(уо). Тогда имеет место оценка

Н (Хц(г), Уц(г^ ^ (о(ко)?2 + е) ехр(1з), г е 1ц. (15)

При этом для любого к > о, если е ^ ехр(-1з)к/2, а целое п удовлетворяет неравенству о(ко(п, е))?2ехр(?з) ^ к/2, то Н^Хц(г), Кц(г)) ^ к, г е 1ц.

Доказательство. Пусть хц(г) — произвольное решение задачи (1). Зафиксируем целое п и ц е (о, цо]. Здесь, напомним, шаг сетки Д, целое п и малый параметр ц связаны равенством цДп = 1.

Построение требуемого решения уц(г) задачи (2) проведем методом, который использовался при доказательстве леммы 4.2 из [1] при обосновании классического метода Эйлера.

Сначала заметим, что на основании леммы 3 и условия 2

к (цF(г, у), цFе(г, уу)) ^ цЬ(г, п, е), г е Iу, (16)

где Fе (г, у у) = F (г, у у) + С(г, у у), Щ(г, у у) ^ уо(г), у = о, 1,...,п - 1.

Допустим, что решение уц(г) задачи (2) на отрезке [о, гу] построено. Тогда определен вектор уу = уц(гу). Продолжим это решение на отрезок 1у следующим образом. Зафиксируем произвольные г е 1у и у е Кт и определим множество

А(г, у, ц) = цF е(г, у у) п Е(г, у, ц),

где

Е(г, у, ц) = ^ е Кт : <хц(г) - у, .хц(г) - w) ^

^ цНхц(г) - уН (Нхц(г) - уНуз(г) + Ь(г, п, е))}.

Множество А(г, у, ц) отлично от пустого при любых у е Кт, г е К. Действительно, согласно условию 3 найдется вектор w е цF(г, у), для которого

<хц(г) - у, хц(г) - w) ^ цуз(г)Нхц(г) - уН2.

Для найденного w возьмем такой вектор V е цF е(г, у у), чтобы

р (^, цFе(г,уу)) = - vН ^ к (цF(г,у), цFе(г,уу)) ^ цЬ(г, п, е).

Здесь мы воспользовались соотношением (16). Следовательно, с учетом неравенства Коши получим

< хц(г) - у, хц (г) - V) ^ < хц(г) - у, хц (г) - w) + <хц(г) - у, w - V) ^

^ цуз(г)||хц (г) - уН2 + цЬ(г, п, е)Н хц (г) - уН.

Таким образом, множество А(г, у, ц) ф 0. Поэтому имеет смысл задача

у е А(г, у, ц), у(гу) = уу, г е 1у.

Здесь множество А(г, у, ц) е ^(Кш), функция А(-, у, ц) измерима, а отображение А(г, ■, ц) полунепрерывно сверху, поскольку имеет замкнутый график.

Учитывая, что для правой части задачи автоматически выполняется и условие 1 линейного роста по у, то остается воспользоваться теоремой 5.2 из [7] о существовании решения указанной задачи на отрезке 1у.

Таким образом, решение задачи (2) определено для любого г е 1ц. Обозначим Иц(г) = Н хц (г) - уц(г)Н. Поскольку

ицц(г) = <хц(г) - уц (г), хц (г) - уц (г)),

то почти всюду по г е 1ц выполняется соотношение

иц(г) ^ цуз(г)мц(г) + цЬ(г, п, е).

Учтем, что Иц(о) = о. Поэтому любое (абсолютно непрерывное) решение последнего неравенства на отрезке 1ц не превосходит решения задачи

со = цуз(г)ш + цЬ(г, п, е), о(о) = о,

которое имеет вид (13). Таким образом,

Н хц (г) - уц (г)Н ^ Оц,е(г), г е 1ц. (17)

Обратно, пусть уц(■) — решение задачи (2). Тогда, учитывая условие 2 и лемму 3, получим

р (уц (г), цF (г, уц (г)) ^ к ^ (г, у у) + цЩ(г), цF (г, уц(г))) ^

^ к (цF (г, уу), цF (г, уц (г))) + цЩ(г, уу)| ^ цу2(г)о(ко) + цуо(г) = цЬ(г, п, е)

при любом г е 1у, у = о, 1,...,п - 1. По теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных включений от исходных данных в классе односторонне липшицевых правых частей [1] на отрезке 1ц существует решение хц(г) задачи (1), для которого выполняется оценка (17). Из нее и (14) получаются неравенство (15) и оценка

Н (Хц(г), Уц (г)) < к , г е 1ц

при указанных в теореме е и п. Теорема доказана.

В следующем разделе приводятся два следствия. Первое — дискретный аналог теоремы 1.

Во втором утверждении формулируется принцип усреднения для дифференциальных включений с медленными переменными. Его доказательство основано на теореме 1 при дополнительном условии существования среднего (5).

4. Следствия

Непосредственно из теоремы 1 получим следующее утверждение. Следствие 1. Пусть выполняются условия 1-3 и малый параметр ц е е (о, цо]. Кроме того, Н^уН ^ е, у = о, 1,...,т - 1, для некоторого е > о. Тогда для интегральных воронок Хц(г) и Уц(г) задач (1) и (3) соответственно выполняется неравенство (15) при г е Пц.

В следующем утверждении постоянная Мо из леммы 1, а Ец(г) — интегральная воронка задачи (4) на отрезке [о, г].

Следствие 2. Пусть выполняются условия 1-3 и существует среднее

(5) равномерно по ^ е В(хо, г), где г > Мо. Тогда для любого к е (о, г - Мо) существует такое цк > о, что если ц е (о, цк], то

Н (Хц(г), Ец (г)) < к , г е 1ц.

Доказательство. Для усредненной задачи (4) рассмотрим разностную схему

гу+1 = zу + цДvу, го = хо, у = 0,1,..., п - 1, (18)

где

1 Ггу+1

V] е ^(гу) = - J ^о(гу) йг.

В силу леммы 4 для заданного со > 0 существует такое Т* > 0, что если шаг сетки Д ^ Т*, то выполняются неравенства (8) при любом гу е В(хо, г), где ограничение г > Мо вытекает из леммы 1. В таком случае разностную схему (18) можно записать в виде

гу+1 = гу + цД(/у + у го = хо, у = 0,1,..., п - 1, (19)

где VУ = /у + яу,

1 ггу+1

/уе дJ ^(г,гу)А, |М < (2» - 1)с0.

С другой стороны, схема (19) является разностной интегральной схемой Эйлера с возмущениями для задачи (1), так как в данном случае множество Щ(г, гу) = {яу}, если г у ^ г < гу+1, то есть является одноэлементным при любом г. Пусть гц(г) — интегральная воронка для задачи (18) (а также для задачи (19)) на отрезке [0, г], цк = шш{цо, 1/(пТ*)}. Тогда для задач (4) и (18) на основании следствия 1 и лемм 5, 6 получим оценку

Н (Нц(г), 2ц(г)) ^ о (ко(п, 0)) 12 ехр(/з), г е Пц.

Для задач (1) и (19) следствие 1 при е = (2п - 1)со приводит к неравенству

Н ^ц(г), Хц(г)) ^ (о (ко(п, е)) 12 + е) ехр(/з)

для любого г е Пц. Отсюда и из неравенства треугольника следует

Н (Нц(г), Хц(г)) ^ О (ко(п, 0)) 12 ехр(1з) + (О (ко(п, е)) 12 + е) ехр(1з) (20)

для любого г е Пц. В данном случае

Ко(п, е) = Ко (п, (2п - 1)со) = Ко, 1 (п) + Ко,2(Со),

где

Ко,1(п) = 1Щ-1 + п-1(Нхо Н + /х) ехр(1х)1х, ко,2(со, п) = Со(2 - 1/n)(exp(lх)h + 1).

Пусть задано к е (0, г - Мо). Выберем число 5 > 0 так, чтобы

О(5)?2ехр(?з) ^ К/12, 5 ^ к/з.

Затем выберем целое п из условия Код(п) ^ 5/2. При фиксированном п за счет со добиваемся выполнения соотношений

К0,2(С0, п) ^ 5/2 (2п - 1)со ехр(/з) ^ К/6.

При указанных значениях со, 5 и п правая часть (20), как нетрудно проверить, не превосходит к/з, поэтому

Н (Нц(г), Хц(г)) < к/з, г е Пц.

Если г е 1у, то на основании неравенства треугольника получим

Н (Нц (г), Хц(г)) < Н (Нц(г), Нц (г у)) + Н (Ец(гу), Хц(гу)) + +Н (Хц(гу), Хц(г)) ^ ко(п, 0) + к/з + ко(п, е) ^ к.

Таким образом, для заданного к > 0 существует цк > 0 такое, что если ц е (0, цк], то для любого г е 1ц выполняется неравенство

Н (Нц(г), Хц (г)) < к .

Следствие доказано.

Литература

[1] DonchevT., FarhiE. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions // SIAM J. Control OPTIM. 1998. V. 36. No. 2. 780-796 p.

[2] Плотников В.А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. Одесса: Изд-во Одесского госуниверситета, 1976. 120 с.

[3] Филатов О.П., ХапаевМ.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во Московского университета, 1998. 160 с.

[4] Плотников В.А., Плотников А.В., ВитюкА.Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы. Одесса: АстроПринт, 1999. 356 с.

[5] Соколовская Е.В. Обобщение принципа усреднения Крылова—Боголюбова на случай дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2004. Второй специальный выпуск. С. 36-51.

[6] БлагодатскихВ.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 239 с.

[7] DeimlingK. Multivalued differential equations. Walter de Gruyter, Berlin; New-York, 1992. 260 p.

Поступила в редакцию 24/V/2005; в окончательном варианте — 5/IX/2005.

THE INTEGRAL EULER METHOD WITH PERTURBATIONS AND THE AVERAGING PRINCIPLE FOR DIFFERENTIAL INCLUSIONS

© 2005 O.P. Filatov2

The accuracy of the approximation of the solution sets by means of the Euler integral discretization scheme with pertubations for one-sided Lipschitz differential inclusions with slow variables is estimated. The averaging theorem for the differential inclusions is derived from the main theorem.

Paper received 24/V/2005. Paper accepted 5/IX/2005.

2Filatov Oleg Pavlovich, Dept. of Partial Differential Equations, Samara State University, Samara, 443011, Russia.