Метод улучшения сходимости Коши и его применение к вычислению энергии вакуума Текст научной статьи по специальности «Физика»

3. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика М., 1984.

4. А11оЛШ D. Planetary wave type oscillations in the ionospheric F-region //Adv. Space. Res. 2000. V. 26. № 8. P. 1276-1287.

И. В. Карпов — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта. Ф. С. Бессараб — канд. физ. мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта. С. Б. Лебле — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.

МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ КОШИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЭНЕРГИИ ВАКУУМА

Обсуждается развитие идеи Коши об аналитическом продолжении гамма-функции Эйлера на случай функциональных рядов. Рассматривается применение теории к проблеме вычисления энергии вакуумных флуктуаций массивного скалярного поля, взаимодействующего с другим статическим полем. Обсуждается принципиальная возможность изменения энергии вакуума за счет перестройки спектра вакуумных колебаний.

Development of Cauchy idea on analytical continuation of Euler gamma function to the case of functional series is considered. Application to the problem of vacuum energy calculation for massive scalar field in presence of other static field is considered. Fundamental possibility of vacuum energy correction due to vacuum spectrum alteration is discussed.

Устранение ультрафиолетовых расходимостей — одна из самых сложных проблем квантовой теории поля. На данный момент наиболее фундаментальным подходом к решению этой проблемы является теория перенормировок. Теория перенормировок основана на фундаментальном допущении о возможности устранения всех расходимостей посредством переопределения таких констант, как масса, заряд поля и т. д. Существует несколько способов выполнить такую перенормировку. В данной работе для перенормировки энергии вакуума [1; 2] используется техника размерной регуляризации [3]. Также рассматривается развитие идеи Коши об аналитическом продолжении гамма-функции Эйлера [4, с. 25], суть которой сводится к следующему. Коши заметил, что несмотря то, что интегральное представление гамма-функции

Об авторах

УДК 530.145

37

С. В. Ялунин

Введение

имеет неинтегрируемую сингулярность в точке t=0 (при

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 37 — 42.

38

Ке(г)<0), можно построить его аналитическое продолжение, «ослабляя»

»1 ,

эту сингулярность. Для этого он использовал интегралы вида I Ь2 п йЬ

*0

(где neZ+), аналитическое продолжение которых известно.

Целью данной работы является развитие идеи Коши на случай функциональных рядов вида Б=^^мп2 и применение полученной методики для вычисления энергии вакуума скалярного поля. В статье используется система единиц в которой Й=с=1.

Энергия вакуумных флуктуаций

Пусть функциональный ряд

да

£ аП (где ап > 0^ (1)

п=1

определяющий в области своей сходимости некоторую голоморфную функцию, допускает аналитическое продолжение на более широкую область. Обозначим аналитическое продолжение такого ряда через м(г). Сформулируем лемму об аналитическом продолжении.

Лемма. Пусть функциональный ряд (1) сходится при Ке(г)<-5-1 (э>0), причем функции ап2 комплексной переменной г удовлетворяют при больших п условию

N

ап

= £ (г)пэ2-к + О(пЭ2^-1), (3)

к=0

где Ск(г) - голоморфные в С функции. Тогда формула

N да Г N 1

а(г) = £ с5-к (г)$(к - эг) + £ I ап -£ с5-к (г)п52- \ (4)

к=0 п=1 [ к=0 ]

определяет аналитическое продолжение ряда (1) в полуплоскость Re(z)<s-1N, за исключением тех точек, в которых функции с - к(г)^(к - эг) имеют полюса.

Лемма доказывается с помощью теоремы Вейерштрасса [5, с. 106] и теоремы единственности [5, с. 104].

По методу размерной регуляризации для вычисления энергии вакуумных флуктуаций требуется построить аналитическое продолжения ряда У2£мп2 в точку 2=1. Для этого можно воспользоваться формулой (4). При этом наличие аналитической зависимости шп от п не является необходимым, как это требуется, например, при применении формулы Абе-ля-Плана [6, с. 244]. Достаточно знать асимптотическое поведение этой аналитической зависимости при больших п. Стоит заметить, что при вычислении аналитического продолжения ряда в точку 2=1 может возникнуть сложность, связанная с полюсом дзета-функции. Обозначим через сэ - к коэффициенты в асимптотическом разложении

N

ап =£Сэ-кпЭ-к + О(п8-1У-1) (э > 0) (5)

к=0

при больших п. Рассматривая мп2 при больших п, несложно показать, что функция с-1(г) в разложении (3) выражается через коэффициенты ск по формуле

с_іИ ї"*1 ГК,, • (6)

к=1 (к +1)! ¿1 =1 ,=1

причем вклад дают только коэффициенты с номерами к>-1. Очевидно, что в случае, когда б целое число и С-#0, произведение С-1(2)^(5 - 52+1), в формуле (4) имеет полюс в точке 2=1. Как вычислить энергию вакуумных флуктуаций в этом случае, мы опишем позже на примере массивного поля, а пока будем считать, что с-1=0. В этом случае полюс отсутствует.

Теорема 1. Пусть частоты вакуумных колебаний {ап- иєМ} удовлетворяют асимптотике (5) при больших п, в которой с-1=0. Тогда энергия вакуумных флуктуаций, задаваемая расходящимся рядом УУ^Юп2, вычисляется по формуле

1 N 1 да Г N 1

Е = 2ІС5-к^(к-в) + 2ІіапС5-кп5-к [, где N ИФ2 . (7)

2 к=0 2 п=1 [ к=0 ]

Если 5 - целое число, под слагаемым к=5+1 в первой сумме нужно понимать предел

- (25)-1Нт , (8)

2 >1 2 - 1

где с-і(2) задается формулой (6).

Доказательство основано на применении формулы (4).

Теперь вернемся к случаю, когда с-1 не равно нулю. В этом случае помимо всего прочего присутствует еще логарифмическая расходимость. Такая расходимость возникает, например, при вычислении энергии вакуума свободного массивного скалярного поля на отрезке [0,я]. Рассмотрим эту ситуацию на несколько более общем примере скалярного поля ф=ф(/>х) в двумерном пространстве-времени Их[0,й]. Будем полагать, что скалярное поле ф удовлетворяет граничными условиям Дирихле на концах отрезка [0,я] и взаимодействует с внешним статическим полем У=У(х,а). Условие статичности приводит к тому, что поле ф можно искать в виде єхр(-ію>пї)^п(х), где ^п(х) удовлетворяет граничной задаче:

- ц"п+ (т2 + V )у„ = а2^п , Уп|х=0а = ^

где т — масса скалярного поля, а шп — частоты вакуумных колебаний. Будем считать, что V — ограниченная функция, удовлетворяющая двум условиям.

Условие I. Среднее значение поля V на [0,а] равно нулю, т. е.

а

| Vdx = 0 .

0

Такое условие приводит к тому, что логарифмическая расходимость контролируется только массой поля. Это можно легко понять из асимптотического поведения юп при больших п, которое может быть получено на основе квазиклассического приближения

пп т2 (пп^ 1 -3,

ап = —+—[ — ] + 0(п3). (9)

а 2 V а )

39

40

Множитель перед п-1 не зависит от поля V.

Условие II. При устремлении а к бесконечности поле V быстро стремится к нулю.

Это условие является естественным, если считать, что поле V порождается «непроницаемыми стенками», расположенными при х=0, а, и в случае отсутствия стенок также отсутствует. Из формулы (9) следует, что соответствующий функциональный ряд У2£мп2 сходится только при Ие(2)<-1. В случае свободного поля спектр легко вычисляется

(10)

и регуляризовать ряд можно по формуле Абеля-Плана. В нашем случае применение формулы Абеля-Плана невозможно, поскольку для этого необходимо знать аналитическую зависимость частоты шп от п, которая при произвольных V неизвестна. Прямое применение формулы (7) также невозможно, поскольку, как было показано выше, при логарифмической расходимости мы имеем полюс в точке 2=1.

Теорема 2. Пусть скалярное поле ф массы т удовлетворяет на концах отрезка [0,а] граничным условиям Дирихле, а также взаимодействует с внешним полем V(x,a), подчиняющимся условиям I и II. Тогда энергия вакуумных флуктуаций поля ф вычисляется по формуле

_ п т2а (0 . 0, та^ 1 -Л I пп т2 (пп V11

Е =------+-----\2у -1 + 21п— \+—)]ап-----------------------1 — I }, (11)

24а 8п { ' 2п) 2 п=1 ( п а 2 ^ а ) ]

где т - масса скалярного поля, а у^0,5772 - постоянная Эйлера.

Доказательство. Общий рецепт борьбы с логарифмической расходимостью сводится к вычитанию из аналитического продолжения функционального ряда У^мп2 его асимптотики при больших значениях а. С физической точки зрения эта процедура означает удаление энергии вакуума при а=о>, которая, как сейчас принято считать, является ненаблюдаемой. При больших а суммирование можно заменить интегрированием. При больших а внешнее статическое поле V стремится к нулю (условие II), поэтому соответствующий интеграл зависит только от массы т

_ ад

, 1 ^ \ а г йк / 2 . ,2У/2

Е(2)=^ X ап ~ 1(2)=2 ] +к ' .

п —ад

Интеграл 1(2) сходится лишь при Ие(г)<-1, но результат интегрирования выражается через гамма-функции, которые легко продолжаются на всю комплексную плоскость за исключением отдельных точек, в которых гамма-функции имеют полюса. В частности, в точке 2=1 интеграл 1(2) имеет полюс

1(2) *— — (2 — 1Г1 — — \ 1 + 21п . (12)

4 л 8 п { 2)

Вернемся теперь к теореме 1 и формуле (7). Учитывая разложение (5) и формулу (6), находим

/ \ z—2

, ч zm I п

c-l( z) =“17

Тогда

2—1С—1( 2)? (5—52+1) я=1=—та (2—1)-1+та \ г+ь п—1 )+^—1). (13)

В выражениях (12) и (13) полюса совпадают. Первый полюс возникает в интеграле, описывающем энергию вакуума при больших а, а второй — в аналитическом продолжении функционального ряда У^мп2. Перенормировку можно выполнить вычитая из нашего аналитического продолжения разложения (12) с последующим предельным переходом в точку 2=1. Такой предел существует, поскольку при вычитании полюса сокращаются. С физической точки зрения это соответствует вычитанию энергии вакуума при а=о>. ■

Из теоремы 2 и формулы (11) можно сделать следующий вывод.

Следствие. Наличие поля V приводит к перестройке нижней части спектра {ап} по сравнению со спектром {йп} свободного поля (10), которое может спровоцировать увеличение (если Оп>&п) или уменьшение энергии вакуума (если Оп<&п).

Заключение

41

В данной работе рассмотрено развитие идеи Коши об аналитическом продолжении. В частности, доказаны утверждения, позволяющие вычислять аналитические продолжения функциональных рядов и выполнять регуляризацию расходящихся рядов, возникающих в теории эффекта Казимира. Особенность рассматриваемого подхода в том, что для этого не нужно знать аналитическую зависимость частот вакуумных колебаний wn от n, как это требуется для применения формулы Абеля-Плана. Достаточно знать поведение этой аналитической зависимости при больших п. Кроме этого рассмотрено применение теории к модели массивного скалярного поля, взаимодействующего с внешним статическим полем. Показано, что энергия вакуумных флуктуаций может изменяться за счет перестройки нижней части спектра вакуумных колебаний. Добавим также, что теорема 2 легко обобщается на случай нескольких пространственных переменных.

Список литературы

1. BordagM., Mohideen U, Mostepanenko V.M. Phys. Rept. 353 (2001). P. 1—205.

2. Lamoreaux S. K., Am. J. Phys. 67 (10) (1999). P. 850—861.

3. Leibbrandt G. Rev. Mod. Phys. Vol. 47. No. 4. P. 849 — 876.

4. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. М., 1963. Ч. 2.

5. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М., 1969.

6. Евграфов М. А. Аналитические функции. М., 1991.

Об авторе

С. В. Ялунин — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, e-mail: yalunin@bk.ru.

42

УДК 551.511

А. А. Зайцев, А. И. Руденко ОСОБЕННОСТИ ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН РОССБИ ОТ БЕРЕГА

В рамках квазистатического приближения и бета-плоскости рассмотрены особенности отражения волн Россби от западного побережья океана. Показано, что сумма углов падения и отражения равна 90°.

In the frame of the quasi-static approach and beta-plane the features of a reflection of the Rossby waves from a western bank of an ocean are considered. It is shown that the sum of the angles of incidence and reflection it is equal 90°.

1. Введение

Вращение Земли ведет к ряду гидрофизических явлений: возникновению геострофических течений, синоптических вихрей в атмосфере, океанах и морях, инерционных волн, краевых волн Кельвина, распространяющихся вдоль берегов океанов, морей и островов, волн Россби. Причиной появления волн Россби является зависимость локальной угловой скорости вращения Земли от широты местности. Их длина значительна: она меняется от нескольких сотен до несколько тысяч километров. По данным наблюдений, распространенность волн Россби в атмосфере и океане велика. Благодаря своим пространственным масштабам и распространенности они переносят значительную энергию на большие расстояния и поэтому существенно влияют на общую циркуляцию океана и атмосферы, а также на погоду на планете. Специфическая зависимость их скорости от длины волны приводит к тому, что отражение от берега не подчиняется закону равенства углов падения и отражения. Решение задачи об отражении волн Россби от берега океана приведено в [1], однако анализ проводился в рамках усложненной модели сферической Земли, поэтому он оказался громоздким и его результаты недостаточно полные. Кроме того, требуется выполнить более тщательный анализ условий отражения. В теории волн Россби имеется другая, значительно более простая модель, использующая приближения бета-плоскости и квазистатики. Нам представляется полезным рассмотреть вопрос об отражении волн Россби именно в рамках этой модели. Это и есть цель данной работы. Особое внимание уделено анализу условий отражения волн Россби от берега.

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 42- 46.