Проекционные операторы для планетарных волн Россби и Пуанкаре в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

32

Соответственно в одном измерении будет получено значение HcW, в другом — Hcl. В реальном эксперименте, как ожидается, должно наблюдаться расщепление нижнего критического поля. Следовательно, по величине этого расщепления можно сделать выводы о характеристиках самой ДС и, в частности, определить величину HcW.

Список литературы

1. Воловик Г. Е, Горьков Л. П. // ЖЭТФ. 88. 1412 (1985).

2. Житомирский М. Е. // ЖЭТФ. 97. 1346 (1990).

3. Минеев В. П., Самохин К. В. // Введение в теорию необычной сверхпроводимости I МФТИ. М., 1998.

4. Овчинников С. Г. II УФН. 173. 27 (2003).

5. Зельцер А. С., Радиевский А. В., Филиппов А. Э. // ЖЭТФ. 112. 1351 (1997).

6. Filippov A. E., Radievsky A. V., Zeltser A. S. // Phys. Rev. B 54. 3504 (1996).

Об авторах

П. Ф. Бессараб — студ. физ. факультета СПбГУ.

А. В. Радиевский — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, [email protected]

УДК 550.338

И. В. Карпов, Ф. С. Бессараб, С. Б. Лебле

ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН РОССБИ И ПУАНКАРЕ В АТМОСФЕРЕ

Рассмотрено применение метода проекционных операторов к задаче идентификации планетарных волн Россби и Пуанкаре в атмосфере. Предложена процедура построения проекционных операторов для коротких и длинных волн Россби, а также для распространяющихся в противоположных направлениях волн Пуанкаре. Тестовые расчеты показывают, что дифференциальные операторы, построенные по предложенной процедуре, решают задачу идентификации планетарных волн на основе анализа наблюдений только одной станции.

The application of a method of projective operators to a problem of identification of planetary Rossby and Poincare waves in an atmosphere is considered in the paper. Procedure of construction of projective operators for short and long Rossby waves, and also for Poincare waves propagating in opposite directions is offered. Test calculations were shown, that by the differential operators constructed on offered procedure, solve a problem of identification of planetary waves from observations only one station.

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 32 — 37.

1. Введение

Современные методы идентификации волновых возмущений основываются на гармоническом анализе наблюдений. Успешность его применения определяется экспериментальными данными, полученными в длительных (по сравнению с периодом волны) наблюдениях атмосферы на большом числе станций. Сложившаяся сейчас система наблюдений в атмосфере — как наземная, так и спутниковая — неравномерно покрывает поверхность Земли и не позволяет решить задачу идентификации волн. Продвижение в ее решении предполагает применение новых методов анализа наблюдений, в частности метода проекционных операторов. В его основе лежит предположение, что пространственно-временная структура атмосферы определяется суперпозицией волн различных типов. Для всех волн известны дисперсионные и поляризационные соотношения (связь компонент вектора волнового поля).

Идея использования поляризационных соотношений для классификации волн возникла в радиофизике [1]. В теории электромагнитного поля поляризация традиционно включается в анализ волновых явлений. В теории акустико-гравитационных волн поляризационные соотношения, с применением операторов проектирования, были введены в работе [2]. В качестве объекта изучения выступает четырехмерный вектор состояния (компоненты скорости, давление и температура). В таких предположениях можно построить операторы проектирования суперпозиционного состояния Ф на линейный базис, соответствующий известному типу волн:

Ф = Ё Фі = ХР ф. (1)

1 1

Здесь Рі и Фі — оператор проектирования и волновой вектор, соответствующий і-му типу волны. Действие этого оператора на суперпо-зиционное состояние Ф, которое, по сути, является результатом наблюдений, определяет амплитуды и фазы Фі волн известного типа.

2. Операторы проектирования для планетарных волн Россби и Пуанкаре

Система линеаризованных уравнений для волн Россби и Пуанкаре в приближении ^-плоскости имеет следующий вид [3]:

и, -/-V + с2 п = 0,

V + / - и + с2-Пу = 0, (2)

п + +их-в^ = 0.

В (2) координаты х, у определяют зональное (на восток) и меридиональное (на юг) направления, £ — время, и и V связаны с меридиональной (и) и зональной (и) компонентами скорости: V - Н0 = V, иН0 = и;

33

34

П — геопотенциальная высота, Н0 — высота однородной атмосферы, с2 = £■ Н, Н = Н0 • (1 -р-у), / = 2■Псо8(в), в = 1/К■ 8т(в), К — радиус Земли, П — угловая скорость вращения Земли, в — коширота, на которой определена ^-плоскость. Уравнения (2) описывают динамику газа в канале шириной Ь с непроницаемыми стенками. Решение (2) представимо в виде:

У = £Уп •©„ ;

п

и = Хуп -Фп +Упу-фп; \ = ^Уп • у)-ехр(в-у/2), 1п =П-п/I; (3)

пу ^п .

Используя систему (3) и Фурье-преобразование по переменной х, в котором 0 = |ехр(і - к -х) -в - йк, переходим к системе уравнений:

И + і - к - ф — в 'в = 0;

ф, — і - в + і - к - с2 - и — 0; ,ч

р 2 (4) ві + /-(1 — Q)-с + в-с -Q-р = 0;

О = (12 +в2/4)/(в2 — /2/с2).

Дисперсионные соотношения для волн Россби и Пуанкаре имеют вид: ^1 =— в-/-к/(к2 +12 + /2/с2) ; о///2 < 1; ( )

^2,3 =±с -((//с)2 + к2 +12 +в2/4)1/2; Ст2,з// > 1. 5

Здесь о1 — частотні волны Россби, а о2,3 — правой и левой волн Пуанкаре; к и I — компоненты волнового вектора в зональном и меридиональном направлениях.

3

Связь компонент вектора Ф = '^іФі для рассматриваемых волн (по-

1

ляризационные соотношения) определяется следующим образом:

/-Оі + к-в-с2 р ( л

Фі =—„------г-,— и = аі и ;

в-а + к - і

н 1 Фі =

~2 .2 „2 і

р о і — к - с р 1 р

■-и = ьі и ;

1

-И. (б)

I ■ (Р ■ а + к ■ /)

Для баротропных волн Россби и Пуанкаре в атмосфере общий вид проекционных операторов получен в [2] и имеет вид:

' а Д 71 ''

Р = а ■ а1 И в (а) 71 ■ (а) . (7)

ь (а) Д ■ Ь[ (а) ■ Ь[ (а)у

Матричные элементы операторов Р{ можно рассчитать, используя соотношения:

п

п

а

А1 — ^2 • Й3 — Ъ3 • Й2; А 2 — Ъ3 • Й1 — Ь-± • Й3; А3 — Ь-± • Й2 — Ь2 • Й1;

«, — А.; н —ХА,; А — ; в2 — ; вз — (8)

“ I “ “ “

„ (й2 — й3) . „ (й3 — й1) . „ (й1 — й2)

71 —---н----; 72 —------------------------н-; 73 —-н-•

[Р, ]2 — Р, и Х Р — I, (9)

,

где I — единичный оператор.

3. Особенности применения проекционных операторов для планетарных волн в верхней атмосфере

Проекционные операторы для анализа волновой структуры атмосферы имеют особенности, определяемые как самой средой, так и характером экспериментальных данных. В большинстве случаев идентификация волн осуществляется в результате анализа временных рядов наблюдений. Поэтому операторы проектирования (6 — 8) следует модифицировать, определив их действие только на зависящие от времени функции (ряд наблюдений). С этой целью необходимо определить зависимость к — к(—) и использовать ее для нахождения матричных элементов. Решения (5) относительно к определяют «длинные» (к < ктах ) и «короткие» (к > ктах) волны Россби, соответствующие одной частоте.

Параметр ктах —^(//с)2 +12 — волновое число, для волны Россби с

максимально допустимой частотой —тах — в • / / 2ктах .

Период волны Россби, имеющей меридиональную структуру I — п / Ь, Ь — п • Я / 2, на средних широтах превышает 4 суток, а соответствующие длины волн составляют 10 тыс. км. Наблюдения в верхней атмосфере регистрируют возмущения с периодами, превышающими минимальный период волн Россби [4], а пространственные размеры позволяют реализовываться «длинным» и «коротким» волнам Россби. Следовательно, необходимо рассматривать два набора операторов для «длинных» и «коротких» волн.

Зависимость к(—) с точностью до членов (———)3 имеет вид (11,12):

— тах

к • — к • —

к — 2 • _тах—тах —тах «короткие» волны Россби; (11)

— 2 • — тах

1 — 1 — 3

к — — • ктах----1— ктах —3— «длинные» волны Россби. (12)

2 — тах 8 —

тах

Коэффициенты я1(ст), Ъ1(а) в (7) для «коротких» волн имеют виц:

„1М = с. {г + С ■ ^ -1) • 1 >'); И(„) = £. (Iі + (13)

у і и у■ і

35

В (13) приняты обозначения у = в ■£; Ц = <Утр ; і = 4-1.

36

В операторах для волн Пуанкаре в качестве малого параметра разложения выбран / /а<1. Предельные амплитудные значения малых параметров х = а// ~0,2 для волн Россби и у = f /а ~ 0,4 для волн Пуанкаре обеспечивают хорошую сходимость степенных рядов. Выражения для коэффициентов я2,3(ст) и Ь2,3(а) имеют вид:

1 т 1 т г / ч 1 2 1 с

«ад=с--с-(г-1) '^т^ч ; Ма>=4^ '7• 77(7+1)•у ; (14)

1 1 1 2 1 С

а3(а) = -с+8С -(г+1)7г ^т^Т) у2; Ма) = +' '7'717+)'у • (15)

Матричные элементы в (7) удобно представить в виде степенных рядов по малым параметрам х = а / f и у = f /а .

Р1 =1 Д1-и-хи; #3 = £4^ • (16)

На этом этапе можно тестировать операторы (16), полагая, что Ф является волной рассматриваемых типов с амплитудой, равной единице. Применение оператора (16) для волн Россби или Пуанкаре дает амплитуду соответствующей ему волны. Амплитуды других волн, входящих в суперпозицию, должны обращаться в ноль. Тест показывает (рис.), что построенный оператор для «коротких» волн Россби надежно выделяет свою волну из суперпозиции.

1 —|-0.8 — 0.6 — 0.4 — 0.2 —

0

-0.2 — -0.4 — -0.6

0.08 0.12 относительная частота

Рис. Нормированные амплитуды «коротких» волн Россби в зависимости от частоты (x=o/f); после применения оператора проектирования к волновому полю, содержащему волну Россби (сплошная линия) и волны Пуанкаре (пунктирная и штриховая линии)

Таким образом, предлагаемая методика позволяет построить проекционные операторы для волн Россби и Пуанкаре и решить задачу идентификации этих волн в исходном волновом поле.

Список литературы

1. Новиков А. А. О применении метода связанных волн к анализу нерезонансных взаимодействий // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. № 2. С. 321—328.

2. Leble S. B. Nonlinear waves in waveguides with stratification. Springer-Verlag, Berlin, 1991.

0

3. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика М., 1984.

4. Altadill D. Planetary wave type oscillations in the ionospheric F-region //Adv. Space. Res. 2000. V. 26. № 8. P. 1276—1287.

И. В. Карпов — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта. Ф. С. Бессараб — канд. физ. мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта. С. Б. Лебле — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.

МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ КОШИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЭНЕРГИИ ВАКУУМА

Обсуждается развитие идеи Коши об аналитическом продолжении гамма-функции Эйлера на случай функциональных рядов. Рассматривается применение теории к проблеме вычисления энергии вакуумных флуктуаций массивного скалярного поля, взаимодействующего с другим статическим полем. Обсуждается принципиальная возможность изменения энергии вакуума за счет перестройки спектра вакуумных колебаний.

Development of Cauchy idea on analytical continuation of Euler gamma function to the case of functional series is considered. Application to the problem of vacuum energy calculation for massive scalar field in presence of other static field is considered. Fundamental possibility of vacuum energy correction due to vacuum spectrum alteration is discussed.

Устранение ультрафиолетовых расходимостей — одна из самых сложных проблем квантовой теории поля. На данный момент наиболее фундаментальным подходом к решению этой проблемы является теория перенормировок. Теория перенормировок основана на фундаментальном допущении о возможности устранения всех расходимостей посредством переопределения таких констант, как масса, заряд поля и т. д. Существует несколько способов выполнить такую перенормировку. В данной работе для перенормировки энергии вакуума [1; 2] используется техника размерной регуляризации [3]. Также рассматривается развитие идеи Коши об аналитическом продолжении гамма-функции Эйлера [4, с. 25], суть которой сводится к следующему. Коши заметил, что несмотря то, что интегральное представление гамма-функции

Об авторах

УДК 530.145

37

С. В. Ялунин

Введение

имеет неинтегрируемую сингулярность в точке t=0 (при

Вестник РГУ им. И. Канта. 200S. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 37 — 42.