Метод сечений в аналитических расчетах пневматических шин Текст научной статьи по специальности «Физика»

Исходя из условия изменения количества движения рабочей жидкости, определяем силу гидродинамического давления

а

Рдин = 0г (VI - У2) сое-.

2

Общая сила, действующая на запорно-регулирующий элемент со стороны жидкости, определяется

р = р + р

А ж А ст А дин*

Выражая V: = , V2 = О-, где = 6 , Ар = р! - р2, получим

1? Ар

Рж = nD(dj + d2) Ap (cos — + 1) + C4^ + M 2 Др ).

2 Fi и\р P

Суммарная сила, действующая на запорно-регулирующий элемент, воспринимается упругой силой этого элемента

Рж = C(ho + h),

где h0 - начальное натяжение запорно-регулирующего элемента;

C - его жесткость.

IV. Выводы и заключение

Представленные аналитические исследования позволяют судить об эксплуатационных свойствах и конструктивной реализации регуляторов давления нового типа, в которых регулирующий элемент объединяет герметизацию и упругое регулирующее перемещение.

Список литературы

1. Сыркин В. В., Саввантиди Т. И. Гидравлические регуляторы с управляющими элементами из эластомеров // Привод и управление. 2001. № 4. С. 14-17.

2. Ситников Б. Т., Матвеев М. Б. Расчет и исследование предохранительных переливных клапанов. М.: Машиностроение, 1972. 128 с.

3. Никитин Г. А., Комаров А. А. Распределительные и регулирующие устройства гидросистем. М.: Машиностроение, 1965. 181 с.

УДК 621

МЕТОД СЕЧЕНИЙ В АНАЛИТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ШИН

В. Н. Тарасов, И. В. Бояркина

Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-61-69

Аннотация - Аналитические методы расчета в теории пневматической шины более предпочтительны по сравнению с экспериментальными методами. Метод сечения оболочки пневмошины позволяет получить уравнения интенсивностей внутренних сил в элементах каркаса и бортовых кольцах. Получены аналитические зависимости интенсивности распределенных сил в точках экватора шины, на боковинах (полюсах) и бортовых кольцах пневмошины. В качестве секущих поверхностей наряду с плоскостями впервые используются цилиндрические поверхности в сочетании с секущими плоскостями. Получено уравнение грузоподъемности шины с использованием метода сечения, с помощью которого контактное тело отсекается от каркаса шины по периметру контакта поверхностью, нормальной к опорной плоскости. Установлено, что уравнение Лапласа для решения данного класса задач пневмошин содержит две неизвестные величины, что требует составления дополнительных уравнений. Разработанные расчетные схемы сечений пневмошины и новые уравнения позволят ускорить процесс совершенствования конструкции пневмошины при проектировании.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, площадь контакта, грузоподъемность, метод сечений, интенсивность распределенных сил.

I. Введение

Пневматические колеса получили широкое применение в качестве движителей и несущих элементов наземных транспортных средств. Пневматическое колесо состоит из пневмошины, выполненной в виде тора, смонтированного на металлическом ободе. Внутренняя герметичная полость шины заполнена сжатым воздухом. Конструкции и технологии изготовления пневмошин характеризуют уровень развития современной техники. Однако теория пневмошин не в полной мере отражает пневматическую и физическую сущность пневмошины и нуждается в дальнейшем развитии.

Связь факторов внешней среды с процессами внутри шины устанавливается в механике при помощи метода сечений. Теория пневмошин основана в работах В.Л. Бидермана [1] в 60-е годы прошлого столетия, в которой методы сечений не получили должного применения при расчетах пневмошин. Положительным началом в теории пневмошин является использование уравнения Лапласа, в котором используются не традиционные сосредоточенные силы, а интенсивности распределенных сил на единицу длины сечения шины.

В работах В.Л. Бидермана [1], Б.Л. Бухина [2], В.И. Кнороза [3] недостаточно внимания уделяется исследованию взаимодействия площади контакта шины с опорной поверхностью, с точки зрения ее влияния на грузоподъемность, износ шин, сопротивление качению, устойчивость движения и другие параметры.

В работе A.E. Belkin и др. [4] механика пневматических шин разделяется на внешнюю и внутреннюю. Внешняя механика имеет отношение к динамике и характеристикам автомобиля, а внутренняя - к процессам внутри шины.

С момента появления ЭВМ большое число исследователей используют метод конечных элементов для исследования внутренних процессов в шине.

S.V. Sheshenin в работе [5] отмечает, что модели, учитывающие большие деформации шины, вязкоупругие свойства резины являются довольно сложными. Поэтому матрица результирующих систем линейных уравнений оказывается плохо обусловленной.

В работе M.A. Salaani [6] исследует проблемы площади контакта шины с опорной поверхностью с использованием кубических функций Эрмита и закона Гука. Модель распределения нормальных и касательных сил сцепления дает достоверные результаты.

J. Wallaschek в работе [7] отмечает, что моделирование шин достигло достаточно высокого уровня, позволяющего учитывать скорости деформации упругих элементов, силы трения протектора с дорогой и многие другие факторы.

P.E. Sterlzig в работе [8] рассматривает пневмошину как объект, подвергающийся большим деформациям в заданных жестких ограничениях. Рассматривается работа нитей и лент, образующих несущий каркас шины. Применяется сложный аппарат моделирования процессов, учитывающих предискажения для обеспечения приближения специальных функций ограничения вариаций, сохраняя естественные кинематические функции.

Выполненный обзор показывает, что произошло естественное усложнение методов исследования. Недостаточно используется метод сечений, позволяющий установить связь внешних факторов шин с внутренними процессами в элементах шины.

II. Постановка задачи

Разработаны расчетные схемы сечений каркаса шины и получены уравнения для определения грузоподъемности шины, а также уравнения интенсивностей внутренних сил в наиболее опасных точках и элементах каркаса: в точках экватора шины, в бортовых кольцах и др. Полученные результаты основаны на уравнениях равновесия, использующих линейные интенсивности распределенных сил по периметрам сечений.

III. Теория

В работе В.Н. Тарасова [9] впервые предложено использовать метод сечений для исследования параметров пневмошины. Выполнено отсечение контактного тела от каркаса шины по периметру контакта замкнутой секущей поверхностью, нормальной к опорной плоскости.

В результате применения метода сечений пневмоколесо рассматривается как механизм, в котором отсеченное контактное тело взаимодействует с каркасом, при этом сжатый воздух внутри шины является главным физическим фактором, определяющим грузоподъемность и работоспособность пневмоколеса.

Благодаря методу сечений в теории пневмошин внутренние силы переходят в разряд внешних сил, которые обеспечивают равновесие каркаса без отсеченного контактного тела и равновесие свободного отсеченного контактного тела. Шина рассматривается как тонкостенная оболочка, нагруженная внутренним давлением. Из условия равновесия определяется интенсивность сил в стенках каркаса.

Для расчета тонкостенных оболочек в технике используют уравнение Лапласа в работах В.Л. Бидермана [1], С.П. Тимошенко [10]

Т T

Tm + T = Pw ' (!)

Pm Pt

где Тт, Тг - соответственно интенсивность распределенных меридиональных и окружных сил на единицу длины сечения шины (рис. 1); рт, р( - радиусы оболочки, касательные к меридиональному и окружному направлениям; - давление воздуха в шине.

Рис. 1. Расчетная схема к уравнению Лапласа для бесконечно малого элемента каркаса шины

Уравнение (1) содержит две неизвестные величины Tm и Tt . В этих случаях к уравнению Лапласа необходимо записывать дополнительное уравнение равновесия.

В.Н. Тарасов, И.В. Бояркина в работе [11] предложили метод сечения каркаса шины цилиндрической поверхностью радиусом ro по главным параллелям пневмошины. Одновременно каркас шины рассекается вертикальной плоскостью a-a по экватору шины (рис. 2).

Рис. 2. Равновесие рассеченных элементов шины: а) равновесие 1/4 части тора; б) равновесие 3/4 части тора

На рис. 2, а показано равновесие отсеченной одной четверти тора шины и на рис. 2, б равновесие каркаса без отсеченного элемента шины. Наиболее важными для прочности каркаса шины являются точка 1 на экваторе шины и точка 2 на боковинах (полюсах) шины, которые определяют геометрию сечения шины на рис. 2, б.

На рис. 2, б имеем систему параллельных сил относительно оси Оу, находящихся в равновесии и систему радиальных сходящихся сил к оси Оу, которая также находится в равновесии. Поэтому указанные системы сил не могут вращать рассматриваемое тело и находятся в равновесии. Условные векторы Тт1, Тт2 представляют собой интенсивности удельных сил на единицу длины периметра сечения (Н/м).

Для этих сил можно составить уравнения равновесия в виде равенств активных сил давления воздуха и сил реакций каркаса для соответствующих длин периметров сечения 2пЯ , 2пго.

Для рис. 2 уравнения равновесия имеют вид

ZFKy = 0; -Tmi ■ 2nR + pwn(R2 - rO)= 0 ; Tm2 ' 2пГо - Pw ' 2nro 0,5b =

(2) (3)

где Я - радиус внутренней поверхности тора для экватора шины; го - средний радиус боковин внутренней поверхности тора; Ь - ширина внутренней поверхности профиля шины.

Из уравнений (2), (3) получены выражения для определения интенсивности удельных меридиональных сил Тт1 и Тт2 в периметрах сечения шины, которые имеют вид

Тт1 = Ръ(Я2 г0) , (Н/м); 2Я

Тт2= Ръ 0,5Ь, (Н/м).

(4)

(5)

Формулы (4), (5) в теории пневмошины позволяют определять величины меридиональных удельных сил в точках 1 и 2 на экваторе и полюсах пневмошины.

На рис. 3 показана расчетная схема для определения радиальной интенсивности распределенных сил ТтХ.

Рис. 3. Равновесие рассеченных элементов шины плоскостью а-а

Уравнение равновесия для рис. 3 имеет следующий вид

ТпХ • 2пЯ = п(я2 - (0,5^)2)ръ.

Откуда

Ръ (я2 - (0,5Л)2)р„

Тт1 ~ '

2Я

(6)

(7)

Формула (7) не совпадает с формулой (4). Поэтому правильной является формула (7), которая дает больший абсолютный результат и рекомендуется для определения интенсивности Тт1.

В работе [1] известна формула (4), однако в данной работе впервые получена более точная формула (7). На рис. 4 показано сечение для аналитического определения интенсивности радиальных распределенных сил в каркасе для точек полюса на боковине шины.

Рис. 4. Равновесие элементов шины, отсеченных цилиндрической секущей поверхностью радиусом го

Уравнения равновесия интенсивностей сил реакции каркаса и давления воздуха в шине имеет вид

Откуда

2Тт2 ■ 2пго - 2пг0Ьръ =

Тт2 = 0,5ЬРъ

(8)

(9)

Уравнение (9) совпадает с уравнением (2), которое отсутствует в технической литературе и является новым результатом в теории пневмошины.

На рис. 5 представлена расчетная схема для записи аналитического уравнения сил в бортовых кольцах. Секущая цилиндрическая поверхность радиуса гВ.К отсекает посадочный обод от шины. Радиус кольца гВ.К больше радиуса диска посадочного обода.

Рис. 5. Равновесие элементов шины, отсеченных от цилиндрической секущей поверхностью радиусом гВкК

Уравнение равновесия распределенных интенсивностей ТВ.К и сил давления воздуха записываются в следующем виде:

Откуда находим

2ТВ.К ' 2пГВ.К = 2пГВ.КЬВ.Кръ .

ТВ.К = 0,5ЬВ.КРъ .

Рассмотрим возможности использования уравнения Лапласа (1) для расчета пневмошины. Для точки 1 на экваторе шины (см. рис. 2, б) уравнение Лапласа имеет вид

Тт1 Тл

—— + = Ръ ,

0,5Н Я

где Н - высота профиля шины.

Уравнение Лапласа (12) содержит две неизвестные величины. Для точки 2 шины (см. рис. 2, б) уравнение Лапласа имеет вид

Т т2 + = р

0,5Ь х

В точке 2 каркас шины имеет только одну кривизну, тогда из уравнения (13) найдем

Тт2 = 0,5ЬВ.КРъ .

Полученная формула (14) совпадает с решением (11).

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Уравнение Лапласа для пневмошин позволяет решать ограниченный класс задач для объектов с одной кривизной стенки. К таким объектам относятся, например, тонкостенные цилиндрические трубы, для которых уравнение Лапласа имеет вид

Тт + Т = Р^, г ж

(15)

где г - радиус сечения трубы.

Тогда интенсивность для стенки трубы равна Тт = грщ. Если на один погонный метр стенки трубы действует сила (Т -1), то напряжение в стенке трубы имеет вид

а =

Тт _ ГРъ

5

(16)

где 5 - толщина стенки трубы.

Формула (15) совпадает с известной формулой определения прочности тонкостенной трубы. На рис. 6 показаны расчетные схемы для аналитического определения грузоподъемности пневматической шины.

На рис. 6, а показана общая схема нагружения и деформации шины; на рис. 6, б выполнено отсечение контактного тела от каркаса шины по периметру контакта замкнутой поверхностью, нормальной к опорной плоскости; на рис. 6, в - показано равновесие отсеченного контактного тела.

Для равновесия оболочки без отсеченного контакта, согласно третьему закону Ньютона, к ней приложена подъемная сила, равная произведению давления воздуха в шине рк на действительную контурную площадь

контакта Лкд, сила Q на оси колеса и вертикальная сила ДQ каркаса.

Рис. 6. Расчетная схема определения грузоподъемности пневмоколеса: а) общая схема нагружения и деформации; б) равновесие оболочки шины без отсеченного контакта;

в) равновесие отсеченного контактного тела

Для нерассеченной шины на рис. 6, а справедливо уравнение равновесия

I ггк = 0; - е + N = 0. (17)

Из уравнения (17), определяют

е = N = СкАкд,

где ак - средние удельные давления в контурной площади контакта шины.

Равновесие контактного тела на рис. 6, в обеспечивается подъемной силой колеса РъАкд, действующей вниз на контактное тело по третьему закону Ньютона, опорной реакцией N и вертикальной силой каркаса ДО.

В замкнутой поверхности, отсекающей контакт от оболочки шины, возникают нормальные напряжения а и элементарные моменты Мк , которые не имеют равнодействующей, так как взаимно уравновешены по условию симметрии. Касательные вертикальные удельные силы имеют равнодействующую вертикальную силу каркаса

де=|Тйк , (18)

где - площадь вертикальной поверхности, отсекающей контактное тело от оболочки шины; т - касательные напряжения в секущей поверхности.

Уравнение равновесия отсеченного контактного тела на рис. 6, в имеет вид

I ^ = 0; N -Де - РъАкд = 0. (19)

Откуда, учитывая (17) получим

е=РъАкд+де, (20)

где е - грузоподъемность колеса, вертикальная сила на оси колеса, нормальная к опорной поверхности; РЪАкд - подъемная сила пневмошины, равная произведению давления воздуха в шине Ръ и действительной

контурной площади контакта Акд ; ДО - вертикальная сила каркаса шины.

Результаты исследований Определение вертикальной силы ДО по формуле (18) является сложной задачей, поэтому в данной статье силу Де определим из уравнения (20) по формуле

ДО = 0 - РъАкд. (21)

Для решения уравнения (21), введено новое понятие - теоретическая контурная площадь контакта шины, определяемая по формуле Паскаля

Ак = 0/Ръ , (22)

где е - грузоподъемность, нормальная сила на оси; Ръ - давление воздуха в шине. Используя формулы (22) и (21) можно получить формулу вертикальной силы каркаса

до = (Ак - Акд )Ръ. (23)

Из формулы (23) следует, что сила ДО является неоднозначной величиной.

Если Ак = Акд , то ДО = 0 - это означает, что нагрузка 0 на оси колеса воспринимается сжатым воздухом в шине.

Если Ак > Акд - это означает, что каркас воспринимает часть вертикальной силы ДО, приложенной к оси колеса.

Если Ак < Акд , то ДО < 0 - в этом случае вертикальная сила каркаса ДО имеет отрицательное значение, подъемная сила колеса оказывается избыточной, т.е. не только воспринимает силу 0, но и создает дополнительную вертикальную силу натяжения при взаимодействии контактного тела и каркаса оболочки.

Для определения вертикальной силы каркаса AQ необходимо определить действительную контурную площадь контакта Акд экспериментальным или аналитическим методом. Рассмотрим аналитическое решение этой задачи.

Установлено, что элементы шины на входе в контакт радиально прогибаются задолго до прихода в опорную поверхность (см. рис. 6, а). В момент прихода элементов протектора в контакт, шина имеет радиальный

начальный прогиб Хо , который связан с нормальным прогибом шины X выражением

к = Хо/ X, (24)

где к - коэффициент начального прогиба шины.

Для грузовых пневмошин, используя рис. 6, а, угол aj контакта шины можно определить по формуле из работы [12]

0,5D , --1

aj = arccos-o-xD-' ^25)

—--к

X

Длина площади контакта шины (см. рис. 6,а) определяется по формуле

ак = 2(0,5D - кХ) sin ab (26)

где ак - длина площади контакта; кХ = Хо - начальный прогиб шины.

В формулах (24)-(26) коэффициент к является кинематической характеристикой шины. Если к = 0, то оболочка шины будет обладать идеальной эластичностью, в результате которой элементы протектора входят в контакт без предварительного прогиба Хо = 0 и площадь контакта имеет максимальную

длину ак = актах . Такая воображаемая шина имеет большее сопротивление качению по сравнению с шиной, у которой коэффициент к < 1.

Если условно задать к = 1, то получим шину, у которой Хо = X и длина контакта шины ак = 0. В этом предельном случае шина не имеет площади контакта, т.к. ак = 0, нагрузка Q на оси колеса воспринимается каркасом шины. Такая шина имеет минимальное сопротивление перекатыванию.

Это означает, что по данному показателю радиальные шины превосходят диагональные шины, так как имеют жесткий брекерный цилиндрический пояс под протектором шины.

Для диагональной шины 12.00-20 по результатам исследования коэффициент к имеет значение к = 0,2 + 0,4,

для радиальных шин к > 0,5 .

Действительная площадь контакта шины определяется по формуле

%Ь2

Акд = (ак - ьк )Ък - (27)

где ак, Ьк - длина и ширина площади контакта шины.

Площадь контакта шины по формуле (27) рассматривается как площадь простого овала.

IV. Обсуждение результатов Применение метода сечений к пневматической шине дает новый импульс развитию теории пневмошин. Контурная площадь контакта шины, подъемная сила каркаса шины, вертикальная нагрузка каркаса шины являются важными составляющими теории пневмошины.

Получены новые уравнения для определения нагрузок в элементах шины, которые являются результатом разработанных расчетных схем сечений пневмошины цилиндрическими поверхностями с использованием интенсивности распределенных сил в сечениях пневмошины при составлении уравнений.

Каждому уравнению и формулам, предложенным в статье, предшествует новая расчетная схема сечения шин плоскостями или цилиндрическими поверхностями, в которых используются интенсивности распределенных сил по периметрам сечений. Предложены формулы для площади контакта шины с опорной поверхностью, которые полезны не только для расчета грузоподъемности, но и позволяют установить влияние формы площади контакта шины на сопротивление перекатыванию и износ шины.

Выводы и заключение

1. Применение метода сечений для пневматической шины позволяет углубить теоретические знания о внутренних процессах в пневматических шинах.

2. Отсечение контактного тела от каркаса шины позволило уточнить понятие грузоподъемность шины, которая зависит от контурной площади контакта, геометрических размеров, давления воздуха и нормы слойности шины.

3. Разработанные расчетные схемы сечений пневмошины и новые уравнения позволят ускорить процесс совершенствования конструкции пневмошины.

Список литературы

1. Автомобильные шины (конструкция, расчет, испытания, эксплуатация / под ред. В. Л. Бидермана. М.: Госхимиздат, 1963. 384 с.

2. Бухин Б. Л. Введение в механику пневматических шин. М.: Химия, 1988. 224 с.

3. Кнороз В. И. [и др.]. Работа автомобильной шины. М.: Транспорт, 1976. 238 с.

4. Belkin A. E., Bukhin B. L., Muknih O. N., Narskaya N. L. Some models and methods of pneumatic tire mechanics. Vehicle System Dynamics // International Jornal of Vehicle Mechanics and Mobility. 1997. Vol. 27, Issue sup 001. Р. 250-571.

5. Sheshenin S. V. Three-dimensional modeling of tires // Mechanics of Solids. 2007. Vol. 42, Issue 3. Р. 338-345.

6. Salaani M. A. Analytical of tyre forces as a function of normal pressure distributions // Int. J. of Heavy Vehicle Systems. 2009. Vol. 16, № 1/2. Р.154-188.

7. Wallaschek J., Wies В. Tyre tread-blosk friction: modeling, simulation and experimental validation. Vehicle System Dynamics // Int. J. of Vehicle Mehanics and Mobility. 2013. Vol. 51, Issue 7. Р. 1017-1026.

8. Sterlzig P. E. Homogenization of many- body structures subject to large deformations // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variation. 2012. 18. Р. 91-123.

9. Тарасов В. Н. Грузоподъемность шины с жидким балластом // Тракторы и сельхозмашины. 1965. № 8. С. 10-12.

10. Тимошенко С. П. Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки / пер. с англ. В. И. Контовта; под ред. Г. С. Шапиро. 2-е изд. стер. М.: Наука, 1966. 636 с.

11. Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Дегтярь В. В. Метод расчета грузоподъемности пневмоколеса и прочности каркаса автошины транспортного средства // Строительные и дорожные машины. 2015. № 5. С. 47-52.

12. Тарасов В. Н. Теоретический радиус качения эластичного колеса // Автомобильная промышленность. 1965. № 1. С. 5-6.

УДК 621.785

ДИНАМИКА ПОДОВОЙ ПЛАТФОРМЫ ПЕЧИ ДЛЯ ОБЖИГА ВЕРМИКУЛИТА С ВИБРАЦИОННОЙ ПОДАЧЕЙ СЫРЬЯ

А. С. Худченко, А. И. Нижегородов

Иркутский национальный исследовательский технический университет, г. Иркутск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-69-75

Аннотация - В статье приведены результаты исследований динамики и управления колебаниями подовой платформой электрической печи для термообработки сыпучих материалов с нелинейной гидравлической пружиной в виде упругой оболочки. Вибропривод платформы и ее колебательная система позволяют изменять частоту возбуждения системы, ее жесткость, за счет начального давления и поджатия оболочки, а также собственную частоту подовой платформы в широком диапазоне.

За счет расстройки частоты возбуждения и собственной частоты возможно управление размахом реализуемых несимметричных колебаний платформы печи и, тем самым, возможность настройки движения платформы на требуемые значения виброскорости и виброускорения, при которых достигается необходимая скорость движения сыпучего материала при его подаче на обжиг или термоактивацию в печь.

За счет возможности управления режимом движения в печах с подвижной подовой платформой можно перерабатывать различные виды сырьевых ресурсов (сыпучих минералов), существенно различающихся по своим физическим свойствам.

Ключевые слова: электрическая печь, вибропривод подовой платформы, колебательная система, несимметричные колебания, гидравлическая пружина, скорость потока термообрабатываемой среды.