Метод решения задачи выбора центров хранения и обработки информации Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

2. Имитационная модель для решения задачи синтеза физической структуры АСУ нового поколения / Н.С. Акиншин [и др.] // Оборонная техника. 1997. № 3-4. С. 99-103.

3. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

V.N. Izotov

SELECTING THE CENTER HRANANIYA AND INFORMATION PROCESSING IN COMPUTER NETWORK FOR THE CRITERION REQUEST RATE

The issues of choice of the number and placement center storage and processing of information in a computer network by the criterion of maximum intensity of the receipt of requests for information services are considered.

Key words: information processing, communication network, the base data.

Получено 07.03.12

УДК 004.04

В.Н. Изотов, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-02-19 (Россия, Тула, ТулГУ)

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ЦЕНТРОВ ХРАНЕНИЯ И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

Рассматривается метод решения задачи выбора центров хранения и обработки информации в компьютерной сети по критерию максимума интенсивности поступления запросов на информационное обслуживание.

Ключевые слова: центр хранения информации, компьютерные сети, целочисленного программирования с булевыми переменными.

Задача оптимизации размещения центров хранения и обработки информации (ЦХИ) в компьютерной сети (КС) по критерию максимума интенсивности поступления запросов на информационное обслуживание может быть сведена к задаче о р-центрах [1].

Существует несколько подходов к решению задачи о р-центрах, один из которых заключается в сведении её к задаче о покрытии неориен-

тированного графа. Для этого необходимо матрицу «длин» дуг графа

Т

с помощью алгоритма Флойда, преобразовать в матрицу кратчайших путей

графа D=

d„

Далее, используя матрицу кратчайших путей, построить

матрицу A= au по следующим правилам aj=1 , если dij < Tmax и a^j=0 в про-

тивном случае, где Ттах есть максимально допустимое время задержки передачи сообщения в сети.

* Г

Введя дополнительно величины q и обратные значениям «весов» qi соответствующих вершин этого графа, перейдем к задаче о покрытии, которая может быть сформулирована в виде задачи целочисленного программирования следующим образом.

Требуется минимизировать целевую функцию

N

Q=1 (1)

i=1

при ограничениях

Xаг]хг > 1, j=1, ..., N; (2)

i=1

Xi = {0;1}, i=1, ..., N, (3)

*

где qi = 1/ qt, qt > 0, - значения «весов» соответствующих вершин графа,

aij

I если dij < Tmax

0, в противном случае d] - кратчайшие пути между соответствующими вершинами графа.

Задача (1) - (3) относится к классу задач целочисленного программирования с булевыми переменными и может быть решена общими методами целочисленного программирования. Большую группу таких методов составляют алгоритмы неявного перебора, основанные на идеях метода ветвей и границ. Заменим условие целочисленности условием

0 < xt < 1, i= 1, ..., N, (4)

это позволит использовать для вычисления нижней границы решения симплексный метод или метод множителей Лагранжа, но эти методы являются достаточно трудоемкими. Специфические особенности задачи (1) - (3) позволяют использовать для оценки нижней границы решения двойственную задачу [2]. По отношению к основной задаче двойственная задача имеет следующий вид. Найти

N

Z = max X vj (5)

j=1

при ограничениях

N *

X aijwij < qt, i=1, N; (6)

j=1

vj - wij < 0, i=1, ..., N, j=1, ..., N, (7)

где Vj и wij - переменные двойственной задачи.

Из теории двойственности известно, что оптимальные решения основной и двойственной задачи совпадают, т.е. Q=Z. Следовательно, при-

n

ближенное решение двойственной задачи может быть использовано для оценки нижней границы при применении метода ветвей и границ. Время решения с помощью приближенного алгоритма значительно меньше, чем при точном решении с помощью симплекс-метода. Использование двойственной задачи, таким образом, позволяет значительно упростить оценку нижней границы без существенного уменьшения ее точности.

Введем следующие обозначения: Sk - множество индексов переменных, включенных в исследуемую ветвь дерева вариантов, Gsk - множество

индексов переменных, не включенных во множество Sk, Nsk - множество

индексов элементов, которые не покрыты. При построении дерева вариантов используется фронтальная схема ветвления. Нижняя граница решения для ветви дерева возможных вариантов вычисляется с помощью выражения

= Q0Sk + , (8)

где

Q0St = I <А

Qsk = тт I

'^Зк

при ограничениях для /, ре Gsk.

Рассмотрим алгоритм приближенного решения задачи (5) - (7) для /е Gsk ,.ре Nsk. Определим

а= I аР-е NSk

iеGSk

и упорядочим элементы так, что ар1<aj2< ... <ар< ... <а-г, г<N.

Тогда для нахождения приближенного решения задачи может быть использовано следующее выражение:

= 1 — ,

-р еNsk

где

* Р-1

у,- = тш [ д*~! уиа1и ]

Рр ^ -ГР

р I=0

-р е NSI ={-р|р = и.К }, - о, ук - 0.

Так как величина < Qsk, то для оценки нижней границы вместо (8) может быть использовано выражение

^ = + 21к.

Полученный в результате решения задачи (1) - (3) оптимальный план покрытия соответствует оптимальному для заданных условий плану

302

размещения ЦХИ в узлах рассматриваемой сети.

Для построения графика зависимости времени решения задачи о покрытии от размерности и плотности заполнения матрицы исходных данных был проведён эксперимент для значения h = 0,2 (таблица). Зависимость приведена на рисунке.

Экспериментальные значения для h = 0,2

Размерность Среднее время решения задачи (с)

h = 0,2 h = 0,4 h = 0,6 h = 0,8

20 х 20 0,05 0,05 0,04 0,02

40 х 40 1,12 0,88 0,64 0,27

60 х 60 6,20 4,80 2,89 1,30

80 х 80 48,36 16,31 11,89 3,78

100х100 188,20 85,92 26,04 9,94

Ь=0,2 Ь=0,4 Ь=0,6 11=0,8

Эмпирическая зависимость времени решения задачи о покрытии от размерности и плотности заполнения матрицы исходных данных

Анализ полученных результатов показывает, что время решения задач растет не только при увеличении размерности исходного графа, но и при уменьшении степени его связности, а также при уменьшении величины «критического» расстояния. Это объясняется тем, что уменьшение количества дуг, соединяющих вершины графа, вызывает «удлинение» кратчайших путей, что, в свою очередь, приводит к уменьшению плотности единиц h получаемой матрицы покрытий, а, следовательно, к увеличению времени решения задач. Очевидно, что к уменьшению величины h приводит и уменьшение величины «критического» расстояния.

Полученные в ходе проведенных вычислительных экспериментов результаты подтверждают высокую эффективность алгоритма. Существенное снижение вычислительной сложности алгоритма решения данной

задачи и повышение его быстродействия достигается:

путем применения метода, заключающегося в последовательном решении задачи о кратчайших путях между всеми парами вершин графа, отображающего рассматриваемую компьютерную сеть, и за тем - задачи о покрытии, к которой может быть сведена задача о нахождении р-центра на данном графе;

за счет применения метода ветвей и границ и более точного способа оценки нижней границы с помощью приближенного решения двойственной задачи, позволяющего значительно упростить оценку нижней границы без существенного уменьшения ее точности.

Список литературы

1. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

2. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука, 1987. 248 с.

V.N. Izotov

METHOD OF THE DECISION OF THE PROBLEM OF THE CHOICE OF THE CENTERS OF STORAGE AND INFORMATION PROCESSING

The method of the decision of a problem of a choice of the centers of storage and obra-botki information in a computer network by criterion of a maximum of intensity on-stuplenija inquiries about information service is considered.

Key words: center storage, networks, integer-programming lennogo with Boolean variables.

Получено 07.03.12