Применение целочисленного квадратичного программирования в задаче проектирования систем мониторинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

7.Каган М.Ю., Кугель К.И. Неоднородные зарядовые состояния и фазовые расслоения в манганитах // УФН. Т.171. №6. С.577-596.

O. Gerasimova

ELECTRICAL CONDUCTIVITY AND TERMODEPOLYARIZATSIONNYE THE PHENOMENA IN VARISTOR TO CERAMICS ON THE BASIS OF ZNO AND AZO.

The results of experimental studies and temperature dependences of the thermal electromotive force in zinc-oxide ceramics for high-va-Ristori. The mechanisms termodepolyarizatsionnyh phenomena and their connection with the basic electrical characteristics of varistors.

Key words: varistors, varistor ceramics, semiconductor crystals, uroven Fermi.

Получено 07.03.12

УДК 004.7

Ф.А. Данилкин, д-р техн. наук, проф., fdanilkin@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

А.В. Новиков, канд.техн. наук, (4872) 33-24-45, novikov82@gmail.com

(Россия, Тула, ТулГУ),

Ю.В. Седельников, нач. сектора

(Россия, Тула, ТРО МОО «Академия информатизации образования»), А.А. Сычугов, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-24-45, xru2003@list.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЗАДАЧЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ МОНИТОРИНГА

Рассматривается задача оптимального проектирование систем мониторинга по стоимостному критерию. Дана формулировка задачи проектирования в виде задачи целочисленного квадратичного программирования. Для уменьшения сложности задачи предложено применение двойственных задач.

Ключевые слова: система, мониторинг, передача данных, целочисленное квадратичное программирование, двойственная задача линейного программирования.

Современные требования к обеспечению безопасности жизнедеятельности населения региона диктуют необходимость непрерывного мониторинга состояния потенциально опасных объектов, находящихся на территории субъекта федерации. Мониторинг может осуществляться как локально (силами диспетчерской службы организации, в ведении которой находится потенциально опасный объект), так и глобально, в масштабах региона или страны в целом.

Одним из главных критериев качества реализации глобальной системы мониторинга является ее стоимость при условии обеспечении всех необходимых технических требований. При этом построение глобальной системы мониторинга сопряжено с рядом трудностей, связанных со сложной иерархией системы, включения в нее большого количества технических элементов, разнородностью каналов передачи данных между узлами системы. В связи с этим возможно множество различных вариантов реализации системы, выбор наилучшего из которых представляет собой сложную оптимизационную задачу большой размерности.

Система мониторинга представляется совокупностью логических и физических узлов. Под логическим узломсистемы мониторинга понимается обособленная часть системы мониторинга, реализующая заданный объем функций, под физическим — вычислительная машина, реализующая функции одного или нескольких логических узлов.

Последовательность передачи данных о состоянии объекта мониторинга между различными логическими узлами системы мониторинга отображается в виде графа, называемого графом логической структуры и обозначаемым следующим образом

Л=(К Е),

где V={v1, и2, ..., и^} - множество вершин графа, каждая из которых представляет собой логический узел системы мониторинга; Е={е1, е2, ..., е^} -множество дуг графа, означающих передачу данных между узлами системы мониторинга.

Характер потоков передачи и процедур обработки информации в системе отражается заданием вершинам и дугам графа весов. Каждой вершине VI ставится в соответствие вес г, обозначающий количество элементарных вычислительных операций, обрабатываемых в узле в единицу времени. Каждой дуге е = (vi, и) ставится в соответствие вес dij, обозначающий объем данных, передаваемых в единицу времени по каналу связи между логическими узлами сети.

Приведенные характеристики удобнее обозначать в виде матрицы обработки R и матрицы передачи D

' Л ^ '811 812 . .. 81Nv ^

R = г2 , D = 5 21 822 . .. 8 2 Nv

V N , V8 1 8 Nv 2 . .. 8Nvn ,

Графом физической структуры системы мониторинга называется неориентированный граф, отражающий набор физических узлов системы мониторинга и множество связей между ними.

Граф физической структуры обозначается как

®=(и, Е),

где и = {щ, и2, ..., ит} - множество вершин графа, каждая из которых представляет физический узел системы мониторинга; Е = {£ъ <Т2, .••, Сщ} -множество ребер графа, означающих физического цифрового канала связи между узлами. Следует отметить, что если все узлы находятся в общей локальной вычислительной сети, то указанный граф является полным.

Технические характеристики физических узлов и каналов связи в системе отражаются заданием вершинам и дугам графа весов. Каждой вершине VI ставится в соответствие два веса: вес р1, обозначающий производительность физического узла (максимальное число операций, которые может выполнить узел в единицу времени), и вес си обозначающий стоимость выполнения элементарной операции на физическом узле. Каждой дуге h = (иг-, и) ставится в соответствие вес sij, обозначающий стоимость передачи элемента данных в единицу времени.

Приведенные характеристики удобнее обозначать в виде матрицы производительности В, матрицы стоимости операций Q и матрицы стоимости передачи данных S:

Г Р1 ] ( п л 41 ' ¿11 ^12 .

В = в 2 , Q = 42 , S = s21 s22 . . ^и

чв% у ч 4*и у ч SNи 1 SNи 2 . . SNuNu ,

При этом физические узлы могут допускать резервирование. Максимально возможное значение кратности резервирования для каждого физического узла, соответствующего вершине и задается весом вершины Aj.

Задача реализации системы мониторинга сводится к установлению соответствия между логическими и физическими узлами системы. Реализация соответствия логических и физических узлов отражается графом назначений

О = (Ж, Р),

где множество вершин Ж является объединением множеств вершин графа Л и графа 0, а каждый элемент множества ребер этого графа р = (vi, и) обозначает назначение логического узла, соответствующего вершине vi, физическому узлу, соответствующему вершине и.

Структуру данного графа удобно представить в виде матрицы назначений X, строки которой соответствуют логическим узлам системы, а столбцы — физическим.

' Фи Ф12 ... ФШи Ф21 Ф22 ... Ф2 N

^ =

Ф ^ 1 Ф 2

V-

и

Фу

Если обозначить назначение логического узла VI физическому узлу

и с х-кратным резервированиемкак и, ——^ Uj, то элемент фу будет выражаться следующим образом:

фу

ф

ф, и,- ——^ uj

0, иначе.

Процесс проектирования систем мониторинга характеризуется непременным наличием множества Ф возможных эквивалентных преобразований данной системы - различных вариантов реализации.

Пусть Fi — некоторый элемент множества Ф. Для всех Fi еФ задается функция С(Ф), которая называется целевой функцией и обладает тем свойством, что если вариант F1 предпочтительнее варианта F2, то < С(Е2) и наоборот.

Кроме того, необходимо сделать предположение, что любое эквивалентное преобразование системы приводит к однозначно известным последствиям (т.е. считать, что выбор осуществляется в условиях определенности) и заданный критерий С(Е) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшим вариантом Е* является, естественно, тот, который обладает наименьшим значением критерия:

*

Е = тт С (Е).

Е еФ

В работе рассматривается три возможных варианта целевых функций:

1)Сд^) — минимизация стоимости вычислительного оборудования. Данный критерий вычисляется следующим образом:

МуМи

CQ(х) = £ £ riqjФj; I=1 j=1

2)CS(F) — минимизация стоимости передачи данных,

Му Ми Му Ми

Сз(х) = £ £ £ Ефу ф^ ъilsjk; ,=1 j=11=1 k=1

3) =CQ(F) + С^Е) — комплексный критерий, учитывающий

оба параметра.

При назначении следует осуществлять проверку следующих условий.

1. Физический узел не может быть перегружен, то есть должно соблюдаться условие соответствия загруженности узла и его производительности. Данное условие записывается в следующем виде

Му Му Му

£ ГФ,1 < Ръ £ Гф,2 < в2£ Гф,Ми < вМи .

, =1 , =1 , =1

2. На один физический узел может быть назначено несколько логических узлов, при этом все логические узлы должны быть реализованы. Данное условие записывается в следующем виде

Ыи Ыи Ыи

£ф1 j > 0 £ф 2 j > °>... £ф Nуj > j=1 j=1 j=1

При выборе в качестве критерия функции С^Е) , задача поиска

* г

наилучшего варианта матрицы Е может быть решена методами целочисленного квадратичного программирования.

Для приведения поставленной задачи к одномерному виду необходимо ввести следующие обозначения.

Общее число переменных определяется как

п = ЫуЫи,

общее число ограничений — как

т = Ыу + .

Далее задаются значения переменных и констант задачи квадратичного программирования.

х(,-1) Ыи + j = фу, С(,-1) Ыи + j = Щу Ь7 =в7 , Ь+Ыи = 0 -1) Ыи + j,(k-1) Ыи +1 = ъilsjk, aj,(i-1)Ыи + j = п , а+Ыи ,(i-1) Ыи + у- =-1,

/, k = 0,1,2 к Ыу - , I = 0,1,2 к Ыи,

где ^ = [(¿/ ] - неотрицательная матрица порядка п, А = [а, - ] - матрица размерности пт; С = [с-] и В = [Ь, ] - неотрицательные векторы размерности п и т соответственно.

Следует иметь в виду, что приведенные выше выражения не перекрывают всех элементов матрица А, всем оставшимся элементам этой матрицы присваиваются нулевые значения.

Тогда можно рассмотреть следующую задачу дискретного квадратичного программирования[1]. Необходимо минимизировать

п п п

Я*) = £ с-х- + £ £ -

7=1 7=1 k=1 (1)

292

при ограничениях

п

X а!jXj < Ь=1,2,...,т, (2) j=1

х/ = 0,1,2,..., j=1,2 ,...,п. (3)

Обозначим через zJ (/ = 1, ..., п) минимальное значение целевой функции следующей задачи при ограничениях (2), (3):

п

2/ = тт X ^к/хк ■ (4)

k=1

Составим линейную функцию g(x) такую, что

п

g(х) =Х (с/ + )У х/. (5)

/=1

Для любых X = { х/, /=1,2,...,п удовлетворяющих ограничениям (2), (3), g(x) g(x) < f(х), что подтверждается преобразованием

пп

Ях) = X с/х/ + X /=1 /=1

п

X

к=1

пп Ух/ > X С/X/ + X 2/X/ . /=1 /=1

Для определения коэффициентов в линейной форме воспользуемся одним из вариантов решения непрерывной задачи линейного программирования (4), (2), в которой условие целочисленности переменных ослабляется и заменяется условием

х/ > 0, /=1,2,..,п. (6)

Применение достаточно простого симплекс-метода для многократного (п раз) решения задач (4), (2), (6) приводит к большим вычислительным трудностям, поэтому предложено использовать приближенное решение соответствующих двойственных задач, для определения которого применяется итерационный алгоритм, основанный на идеях градиентного метода.

Двойственной по отношению к (4), (2), (6) является следующая задача:

т

2 q =тах X biУi, (7)

г =1

т

X аг кУг > dк q , к=1,2,...п (8)

г=1

уг > 0, г = 1,2,...,т. (9)

Алгоритм решения задачи (7)-(9) включает следующие шаги:

293

( ) Ь'

1 . Определить величинур( ) =---, где k = 1, 2,... — номер

I а к

Ш (г )

(г)

итерации; '— множество индексов условий (8), для которых неравенст-

ва не выполняются (при. r=1 I(1) = { k = 1,2,...,n })

20. Выбрать двойственную переменную y( r), для которой выполняется условие

d(r) = max ). i

30. Вычислить значение переменной

m+nr-1 ( ) dk q - £ £ ai кУ( r) y(r) = max--.

к a к

40. Исключить из множества I(r) индекс уравнения, для которого

выполняется условие r = n. Если условие не выполняется, то положить r =

00 r + 1 и перейти к п. 1 , в противном случае - к п. 5 .

50. Вычислить

r ( ) m

yi = £y )- i=1,2>->m и zq = £btyt. t=1 i=1

Таким образом, после решения n задач (7)-(9) определяются величины z. линейной формы (5). На этом первый этап заканчивается.

На втором этапе при решении задачи ЦКП методом ветвей и границ величина оценки решения определяется как

Hsl(xi) = Csi(xl) + Zsi(xl).

При этом выражение

Csi(xi) = £ cjxj + £ £ dkixkxi j e sl j k e sl

представляет собой значение целевой функции l-частичного решения задачи (1)-(3); Si = { (kj), j=1,2,...,l; 0 < l < n }— множество индексов переменных задачи (1)-(3), вошедших в l-частичное решение. Для сокращения объема вычислений при определении величины Zg{ (xi) также необходимо

воспользоваться теорией двойственности.

Наиболее целесообразно использовать способ однократного решения двойственной по отношению к (5), (2), (3) задачи. Для решения двойственной задачи используем рассмотренный выше алгоритм. В этом случае величина Zg{ (xi) при ветвлении всех переменных основной задачи определяется выражением

m i

Zst (xi) = Z btyi> i=1

где Y = (yi,y2,---,ym) — решение двойственной по отношению к (5), (2), (3)

задачи, b\ = bi - Z aijxj, i=1,2,...,m. jzSi

Выбор переменной для включения индекса в множество индексов переменных Sj ведется при условии

HS, (xl) = min HS, (xk )•

l k 1

Для отсечения бесперспективных вариантов используется условие HSt ^ Cо, где Со — значение достигнутого рекорда.

Список литературы

1. Модели и методы решения задач проектирования и испытаний АСУ / Ю.И. Денисов [и др.]. М.: Изд-во ВПК, 1997. 249 с.

F.A. Danilkin, A. V.. Novikov, Y. V. Sedelnikov, A.A. Sychugov

APPLICATIONS OF INTEGER QUADRATIC PROGRAMMING IN THE MONITORING SYSTEMS DESIGN PROBLEMS.

The problem of optimaldesignof monitoring systemstocos criteria. The designproblem is formulated as an integerquadratic programming is considered. To reduce the complexity of the problem the use of dual problems is proposed.

Key words: systemmonitoring, data transmission, an integerquadratic programming, the dual problemof linear programming.

Получено 07.03.12