CC BY
44
УДК 621.372.8
А.Р. Железняк, В.А. Коломейцев, В.В. Комаров
МЕТОД РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВОЛНОВОДНЫХ И РЕЗОНАТОРНЫХ СТРУКТУР С ЧАСТИЧНЫМ ТЕРМОПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ЗАПОЛНЕНИЕМ
Предложен метод решения совместной внутренней краевой задачи электродинамики и теплопроводности, описывающей процесс
взаимодействия электромагнитных волн с диэлектрическими материалами, электрофизические и тепловые свойства которых изменяются в процессе нагрева, в произвольных волноводных и резонаторных системах.
A.R. Zheleznyak, V.A. Kolomeytsev, V.V. Komarov
INTERNAL BOUNDARY ELECTRODYNAMIC AND HEAT CONDUCTION PROBLEM SOLUTION METHOD FOR ARBITRARY SHAPED WAVEGUIDE AND RESONATOR SYSTEMS WITH PARTIAL THERMOPARAMETRIC FILLING
Method of boundary coupled electromagnetic (EM) and heat conduction problem solution, which describes processes of EM wave interaction with temperature dependent dielectric materials, is proposed here. Method is valid for arbitrary shaped waveguide and resonator systems.
Большой класс диэлектрических материалов и электротехнологических процессов термообработки в СВЧ поле характеризуется значительными изменениями
электрофизических и тепловых свойств обрабатываемого материала в рабочем диапазоне температур. Данное обстоятельство резко усложняет расчет и проектирование установок нагрева данных материалов. В связи с этим актуальной является разработка эффективных методов решения совместной нелинейной внутренней краевой задачи электродинамики и теплопроводности, описывающей взаимодействие электромагнитных волн с
термопараметрическими материалами в произвольных волноводах и резонаторных структурах.
В работе были получены уравнения, определяющие внутреннюю краевую задачу электродинамики и теплопроводности для термопараметрических сред:
72йг- \ i i- w dH(r,т) dH2(r,t) _
V H (r, т) - |да(>(r, t))-—2-|is(t(r, t)) •
дт дт2 (i)
т)-»» ■/>-, t) - ro,^ (r, t),
dt (r, t) dt (r, t)
V2E(r,t) - ^a(t(r,t)) • - ^s(t(r,t)) • дEдT-,T) _
- дт дт2 (2)
I3(r, т) + + grad, ( )
3 дт s(,(-, t)
_ _ д t(r,t) _ 2 _ _
CT(t(r,t))•Pt(t(r,т))-------——_XT(t(r,t))^v t(r,t) + qv(r,t) , (3)
дт
qv(r, т) _ 0,5шв(,(-,t))• tg5(t(-,t))• |E(r,t)|2 , (4)
где значения векторов I1 (r, t), I2 (r, t) , I3 (r, т) определяются следующим образом:
I1 (r, т) _ [grad t(r, t) • E (r, t)],
I2(r, t) _
, , дЕ(r, t)
grad t(r, t)
дт
13(-, т) _д ln°(!(r,т)) • grad (E (r, t) • grad t (r, t)) -
дt (r, t)
д21п v(t(r. t)) e • g.adt(r- t)|!, (5)
дt (r, t)
где s(t(r, t)) • E(r, t) _ D (r, т); ^ • H (r, t) _ B (r, т) - векторы электрического и магнитного смещений; Е (r, т), H (r, т) - векторы напряженности электрического и магнитного полей; s(t(r,t)),д - диэлектрическая и магнитная проницаемость среды; p(r,т) - удельная плотность заряда; рсм(г,т) - удельная плотность стороннего заряда; j(r,t), ]см(r,т) -удельная плотность тока проводимости и стороннего тока; a(t(r,т)) - удельная электропроводность среды; t (r, т) - температура нагрева материала; CT (t (r, т)), pT (t (r, т)), XT (t (r, т)) - теплоемкость, плотность и теплопроводность
термопараметрического материала; qv (r, т) - удельная плотность тепловых источников в образце; r - радиус-вектор, определяющий положение рассматриваемой точки в пространстве; т - время.
Уравнения (1)-(5) внутренней краевой задачи электродинамики и теплопроводности получены в адиабатическом приближении. Физически это означает, что электромагнитное поле (ЭМ) практически мгновенно приходит в равновесие при изменении свойств среды в рабочем диапазоне температур. В соответствии с данным приближением электрофизические и тепловые параметры можно считать постоянными на периоде поля. Необходимо отметить, что температурная зависимость входящих в уравнения (1)-(5) параметров при решении совместной краевой задачи электродинамики и теплопроводности должна быть задана. При этом искомые решения должны удовлетворять соответствующим граничным условиям задачи электродинамики (условия Дирихле и Неймана) и теплопроводности (граничные условия 1 и 4 рода) и начальному условию.
Из соотношений (5), определяющих правую часть уравнений (1), (2) следует, что при ортогональности векторов Е (r, т) и grad t(r, т) , то есть в случае, когда вектор
напряженности электрического поля коллинеарен изотермической поверхности нагреваемого термопара-метрического материала, уравнение (2) не связано напрямую с вектором H(r,т), поскольку I3(-,т) _ 0 :
V2E(r, t) - да^(r, t)) • - де^(r, t)) • д ^ T) _
_ дт дт2 (6)
д 1см (r , т) , grad Рсм (r, т) ()
_ д-------------1---------------,
дт s(t (r, т))
то есть в случае, когда вектор напряженности электрического поля ортогонален изотермической поверхности, наблюдается обратная картина. Уравнение (1) для заданного источника ЭМ поля содержит только вектор напряженности магнитного поля
(71(-,т) _ I2(-,т) _ 0):
V 2H (r, т) - да(>(r, т)) • дИ(т, Т) - дв^(r, т)) • д %, Т) _ (7)
_ -rot .¡см (r, т).
Обобщенное волновое уравнение (2) остается неизменным, при этом величина вектора I3(- , т) в данном случае максимальна. Необходимо отметить, что волновые уравнения (6), (7) при наиболее распространенном в микроволновых нагревательных системах возбуждении ЭМ волн в рабочей камере за счет не отражающего подвода СВЧ мощности от генератора посредством монотонных переходов (в данном случае ¡см(г, т) _ 0, рсм(г, т) _ 0 ) становятся однородными уравнениями:
V2Е(r,т) - да^(r,т)) • дЕд;т) - Д8(t(-,т)) • д ^т) _ 0, (8)
дт дт2
при Е (r, т) ± grad t(r, т),
v2 h (-, т) - да(/(r, т)) • dH(^T t) - дs(t (-, t)) • дHдTr, t) _ ^ (9)
дт дт2
при E (r, т) // grad t(r, t) .
Данное положение принципиально важно при создании микроволновых систем равномерного нагрева метрических материалов, который может быть реализован только в установках конвейерного типа при неизменной скорости протяжки обрабатываемого материала (v=const). При v=const распределение температуры в образце в плоскости поперечного сечения волновода носит стационарный характер ^t(r,т)/дт _ 0) и, следовательно, коэффициент затухания ЭМ волны остается неизменным во всем рабочем диапазоне температур. При этом изменение коэффициента затухания волны в направлении ее распространения носит также стационарный характер, что является необходимым условием создания микроволновых систем равномерного нагрева произвольных диэлектрических материалов [2]. Заметим, что уравнения системы (8) полностью описывают электродинамические процессы всего класса установок равномерного нагрева термопараметрических материалов конвейерного типа.
Данное положение позволяет упростить искомую систему уравнений внутренней краевой задачи электродинамики и теплопроводности и привести ее к виду
2 _ _ дФЕ (г, т) _ д2 ФЕ (г, т)
V2Ф^ (r, т) - до(,(г , т))-^-------дв(,(г , т))------------_ 0, (10)
дт дт2
qy(r, т)
^(t (r, т))
v2,(-,t)+qrTL _ о, (11)
где
Ф- (r, т) _ Е- (r, т) при Е(r, т) ± grad t(r, t),
- — - - - - (12) ФЕ(r,т) _ H-(r,т) при Е(r,т)//grad t(r,t),
где Ф- (r, т) - составляющие вектора напряженности электрического (магнитного) поля по
всем координатным направлениям. Система уравнений (10), (11) при выполнении (12) распадается на две системы, характеризующиеся однородностью волновых уравнений. Данные системы удобны тем, что к ним может быть применена продольно-поперечная поляризация ЭМ поля при решении ВКЗЭиТ.
Указанная система дифференциальных уравнений позволяет не только исследовать процесс взаимодействия электромагнитных волн с термопараметрическими средами, но и определить оптимальную геометрию рабочей камеры микроволновой системы равномерного нагрева материалов с изменяющимися физическими свойствами в рабочем диапазоне температур. Поскольку система уравнений (10)-(12) описывает электромагнитные и тепловые процессы непосредственно в нагреваемом термопараметрическом материале, при исследовании взаимодействия ЭМ волн с данными средами в конкретных волноводных структурах произвольного поперечного сечения с частичным термопараметрическим заполнением система (10)-(12) должна быть дополнена обобщенным волновым уравнением для незаполненной части волновода, поскольку в данной области отсутствует источник тепла:
2 _ дФЕ (г, т) д2 ФЕ (г, т) _
V2 ФЕ (r, т) -да-- -------дв-----—2----------------------_ 0, при r е D, (13)
дт дт2
где D - область поперечного сечения волновода, не занятая поглощающим материалом. Совместное рассмотрение уравнений (10)-(13) означает, что искомая ВКЗЭиТ решается классическим методом частичных областей, при котором полученные решения уравнений должны быть «сшиты» на границе раздела сред, то есть на границе раздела сред должна быть обеспечена непрерывность тангенциальных составляющих ЭМ поля.
Учитывая особенности ВКЗЭиТ для термопараметрических, поглощающих СВЧ мощность материалов, можно заключить, что невозможно получить аналитическое решение данной задачи. Решение искомой совместной задачи электродинамики и теплопроводности может быть проведено в несколько этапов. На первом этапе необходимо разделить решение уравнений электродинамики и теплопроводности путем использования метода последовательных приближений, который оказывается наиболее перспективным методом при решении сложных нелинейных взаимосвязанных систем уравнений математической физики. Последовательность итерационных процессов и направление этапов приближенного решения
ВКЗЭиТ во многом определяются начальным агрегатным состоянием обрабатываемого материала, а также функциональной зависимостью связующего волновые уравнения теплопроводности - qv (r, т) . Учитывая, что в начальный момент времени термообработки температура нагрева материала равна температуре окружающей среды (tcp), то есть температурный напор в объеме образца - tH(r,т) _ t(r,т) - t _ 0 t_0 , а следовательно и
grad t (r, т) _ 0, а также то, что удельная плотность тепловых источников qv (r, т) определяется на основе решения задачи электродинамики, решение ВКЗЭиТ в первом приближении начинается с решения волновых уравнений (1)-(2) при в(,(г, т)) _ const и 5(t(r,т)) _ const. При этом значения вх, 5Х соответствуют t(r,т) _ tcp и
определяют электрофизические параметры среды в первом приближении. Волновые уравнения в данном случае можно представить в виде
о _ дФР (г, т) д ФР (г, т)
V ф(г,т) = дах-----дТ-----^ -------дЗ----------------------------= 0 (14)
дт дт2
где Ф, (г, т) - компонент ЭМ поля в первом приближении. Удовлетворяя полученные
решения граничным условиям на внутренней поверхности волновода (условия Дирихле и Неймана) и границе раздела сред, определим структуру электрического поля в объеме обрабатываемого материала, а следовательно функцию плотности тепловых источников (г, т), то есть неоднородную часть уравнения теплопроводности в первом приближении:
дМг, т) ^2^, т) = Мг, т)
а 2тх дт ’ X
-V%(?, т) = ЧуЛ ’ 4 , (15)
тх где
дК1(г,т) = 0,5швх • tg х 5-^Е(г,т)|2 . (16)
Решение уравнения (15) для полученного значения ^(г,т) (16) при заданных граничном и начальном условиях позволяет определить температурное поле в образце, а следовательно и пространственное распределение вх(Г(г, т),5х(Г(г, т))| т=сопй которые являются исходными данными решения совместной задачи электродинамики и теплопроводности для термопараметрических материалов во втором приближении, которое проводится по аналогии решения ВКЗЭиТ в первом приближении. Число циклов замкнутого итерационного процесса вычисления структуры электромагнитного и тепловых полей определяется требуемой точностью решения совместной задачи электродинамики и теплопроводности для конкретного технологического процесса обработки термопараметрического материала. Необходимо отметить, что во всех приближениях структура электромагнитного поля определяется на основе системы волновых уравнений и уравнений теплопроводности, носящих пространственнопараметрический характер:
2 _ _ д Ф, (г, т) _ д п 2Ф, (г, т)
V„ ф(г, т) = да„(t(г, т))------1------дв„(t(г, т))-----^------= 0 , (17)
дт дт2
дт
Ст„ (t(г , т)) -Ртп (t(г , т)) дt„ (г , т) = ХТп (t(г , т)) •V2tп (г , т) + Чуп (г, т) , (18)
Чуп (г , т) = 0,5Ю^п 0(г , т)) • tg5n (t(г , т)) • |Е„-1 (г , т)|2 . (19)
Решения уравнений (17)-(19) должны удовлетворять граничным условиям Неймана и Дирихле на металлических стенках, описываемых контуром Г:
Е, = 0 ; = 0 , (20)
дп
где Ег и И - продольные составляющие ЭМ поля, а такие граничному условию Ньютона-Рихмана для теплового поля:
ап (Г - t0) = -Хп •“дГ^ , (21)
дп
где ап - коэффициент теплоотдачи; ^ - температура окружающей среды. Кроме того, на границе раздела сред для тангенциальных компонент ЭМ поля должны выполняться условия непрерывности:
ЕТ1 = ЕТ2 ; И = ИТг . (22)
Принципиальным методом решения нестационарной ВКЗЭиТ методом последовательных приближений является определение момента времени тп, при котором находятся пространственное распределение температуры нагрева образца и соответственно
значения физических параметров вп (t(r, t)), 5n (t(r, t)), X rn (t(r, t)), an (t(r, t)), являющиеся
исходными данными решения совместной задачи электродинамики и теплопроводности в следующем приближении. Величина tn определяется из нестационарного уравнения теплопроводности (2) при условии, что на временном интервале VT=Tn-Tn-1 не происходит резкого изменения температуры Vt(r, т) в поперечном сечении образца, а физические параметры, определяющие процесс нагрева термопараметрического материала в заданном интервале Vt, меняются незначительно.
Практическая реализация метода последовательных приближений при решении совместной краевой задачи электродинамики и теплопроводности для произвольных волноводных структур, частично заполненных термопараметрическим поглощающим СВЧ мощность материалом, требует четкого определения поляризации электромагнитного поля, используемой при решении конкретной задачи электродинамики. В данной работе используется продольно-поперечная поляризация -Е± (r, т) , Ez (r, t), при Е (r, т) ± grad t(r, t), и H± (r, t), Hz (r, t), при E (r, t)// grad t(r, t).
Остальные компоненты электромагнитного поля HL (r, т), Hz (r, т) при ориентации вектора напряженности электромагнитного поля вдоль изотермических поверхностей в обрабатываемом материале и Е± (r, т) , Ez (r, т) при ортогональности вектора Е (r, т), и изотермической поверхности определяются соответственно из второго и первого уравнений Максвелла для термопараметрических сред Е±(r,т) , HL(r,т) - составляющие векторов напряженности электрического и магнитного полей, нормальные направлению распространения волны. Нормировка амплитуд составляющих электромагнитного поля осуществляется на основе третьего и четвертого уравнений Максвелла. Нормировка амплитуд поля должна проводиться с учетом уровня подводимой в рабочую камеру микроволновой установки СВЧ мощности.
Заметим, что практическая реализация предложенного метода решения ВКЗЭиТ для произвольных волноводных структур, частично заполненных термопараметрическим материалом, требует определения температурной зависимости физических параметров, определяющих процесс термообработки. Наиболее приемлемым способом решения данной задачи является использование эффективных численных методов и, в частности, метода конечных элементов с применением принципа Галеркина и метода взвешенных невязок, что позволит провести комплексные исследования электродинамических и тепловых свойств произвольных волноводных структур с частичным термопараметрическим заполнением и создать на их основе микроволновые системы равномерного нагрева данных материалов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коломейцев В.А. Взаимодействие электромагнитных волн с поглощающими средами и специальные СВЧ системы равномерного нагрева: дис. ... д-ра техн. наук / В. А. Коломейцев; Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 1999. 432 с.
2. Коломейцев В. А. Микроволновые системы с равномерным объемным нагревом / В. А. Коломейцев, В.В. Комаров. Саратов: СГТУ, 1997. Ч. 1. 160 с.
3. Дульнев Г.Н. Тепло- и массообмен в радиоэлектронной аппаратуре / Г.Н. Дульнев. М.: Высшая школа, 1984. 286 с.
4. Брандт А. А. Исследование диэлектриков на сверхвысоких частотах / А. А. Брандт. М.: Физматлит, 1963. 450 с.
Железняк Александр Робертович -
инженер кафедры «Радиотехника»
Саратовского государственного технического университета
Коломейцев Вячеслав Александрович -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Радиотехника» Саратовского государственного технического университета
Комаров Вячеслав Вячеславович -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Радиотехника» Саратовского государственного технического университета
