Метод размещения центров обслуживания на интервальных графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция прикладной информатики

УДК 62-52:658.562.3

А.В. Боженюк, И.Н. Розенберг

МЕТОД РАЗМЕЩЕНИЯ ЦЕНТРОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ НА ИНТЕРВАЛЬНЫХ ГРАФАХ

Введение. Пусть некоторая территория разделена на п районов. На территории может находиться до k центров обслуживания {к, < п). Необходимо для заданного числа центров определить места их наилучшего размещения, то есть, чтобы обслуживание всей территории осуществлялось на минимально возможном рас.

, , , ориентированного графа G=(X,U) [1], в котором X - вершины графа представляют районы некоторой территории, а и = {< 1ц l(xi, x]■) >} - множество ориентированных ребер с весами в виде интервалов расстояний вида ¡у = К , Ь у ] величины а у, Ь у € Л1 и а у < Ь у. Будем считать, что интервал

I „ = [0,0], V/е {1,2,...,п}.

В работах [2-4] был рассмотрен метод нахождения оптимального размещения , . заданного интервального графа и заданного числа центров обслуживания k определяется их оптимальное размещение и минимальное интервальное расстояние на графе. Однако было бы полезно получать данные характеристики не для одного, заранее заданного числа центров обслуживания ^ а для любого числа ke[1,n]. Это позволило бы более объективно решать задачу выбора числа центров обслужива-.

Формальная постановка и решение задачи. Для обоснования решения данной задачи введем понятие интервальной базы интервального графа. Данное понятие является расширением аналогичного определения для обычного ориентированного графа на интервальный граф.

Пусть /1 = [а1, Ь1] и 12 = [а2, Ь2] - произвольные нечеткие интервалы. Если

выполняется неравенства а1> а2 и Ь1< Ь2, то интервалы 11 и ¡2 будем называть

несоизмеримыми, иначе на интервалах ¡1 и 12 естественным образом можно задать отношения >, <, >, и <. Суммой нечетких интервалов назовем интервал ¡1 = [а, Ь], в котором границы а = а1 + а2 и Ь = Ь1 + Ь2 .

Введем на множестве интервалов Ь={1} две операции ШСМШ(Ь) и 1ЫСМЛХ(Ь) - выделение подмножеств наименьших и наибольших интервалов из множества интервалов Ь соответственно.

Пример 1. Пусть множество интервалов Ь={[10,15], [12,14], [12,17], [15,18]}. Тогда ¡ЖМШ(Ъ) = {[10,15], [12,14]} и ШСМАХ(Ь) = {[15,18]}.

Обозначим через х и у - произвольные вершины интервального графа G=(X,U), через Ьху - множество интервалов, с помощью которых вершина у достижима из вершины х. Тогда паре вершин (х,у) можно поставить в соответствие множество нечетких интервалов тСМШ{Ьху ).

Определение 1. Интервальной базой графа G назовем подмножество БсХ с семейством интервалов Л, определяемым выражением:

Л=тсмт{тсмАХ{ьу}}

VyеX \ Б VxеB ху 3

где Ьху - множество интервалов, с помощью которых вершина уеХ\Б достижима из вершины хеБ,н при этом подмножество Б является минимальным в том смысле, что: (уБ' С Б)(31 е А)(31 е А' 11' > I) , а семейство Л' определяется как

а'=тсмщтсмАХ{ь }}.

VyеX\Б/ VxEБ/ У

Среди всех интервальных баз, состоящих из 1 вершины, выберем такие базы, у которых интервалы расстояния также являются наименьшими или не сравниваемыми между собой и обозначим их через А1 . Среди всех интервальных баз, состоящих из 2 вершин, выберем такие, у которых интервалы расстояния также являются наименьшими или не сравниваемыми между собой, и обозначим его через Л2 , . .

Определение 2. Множество Б = {<А111 >,<А212>,...,<Ап Iп>} назовем множеством интервальных баз графа G .

Нечеткое множество интервальных баз определяет совокупность наименьших не сравниваемых между собой нечетких интервалов расстояний от любого района до некоторого центра обслуживания при обслуживании всей территории k центрами обслуживания ^е {1,2,...,п}).

Для нахождения нечеткого множества интервальных баз, рассмотрим метод, являющийся обобщением метода Магу для обычных графов [5].

Рассмотрим некоторую интервальную базу В с семейством интервалов А.

Пусть некоторый интервал I принадлежит семейству А. Тогда для произвольной вершины хеХ должно выполняться одно из условий:

а) хеВ;

б) если х^В, то существует некоторая вершина х^В, от которой до вершины х, нечеткий интервал расстояния I]Ч не больше ¡. Иными словами, справедливо высказывание

^еХ^еБу^еБ^)]. (1)

С каждой вершиной х,еХ нечеткого интервального графа G свяжем булеву переменную р, , равную 1, если х,е В и 0 при х^ В. Введем предикатную форму

0(1,) равную 1, если Ії < І и 0 в противном случае. Используя аналогию меж-

ду кванторами общности и существования с одной стороны, и операциями конъюнкция и дизъюнкция с другой, получаем истинность выражения

Раскрывая скобки в выражении (3) и приведя подобные члены, используя :

Для выражения (5) справедливо следующее свойство:

Свойство. Если в выражении (5) дальнейшее упрощение на основе правил поглощения (4) невозможно, то для каждого /-го дизъюнктивного члена совокупность всех вершин, соответствующая переменным, которые в нем присутствуют, дает некоторую базу с семейством несравниваемых интервалов, определяемыми

.

Данное свойство позволяет обосновать следующий метод нахождения множества интервальных баз интервального графа:

10. Для рассматриваемого интервального графа записываем выражение (3);

20. Упрощая выражение (3) и используя правила поглощения (4), приводим его к виду (5);

30. По полученным дизъюнктивным членам разложения (5) выписываем множество интервальных баз.

Пример 2. Рассмотрим данный метод на примере интервального графа, представленного на рис. 1.

(2)

Полагая, что 0(1 и ) = 0([0,0]) = 1, выражение (2) перепишется как

(3)

0(Іі)&0(І2)=0(Іі), если Іг>І2,

Рі & Р2 & 0(І1)&0(І2) V Рі & Р2 & 0(І3) = Рі & Р2 & 0(І1)&0(І2),

если І1 < І3 и І2 < І3,

(4)

Рі&Р2&0(Іі)УРі&0(І2)=Рі&0(І2) , ЄСЛИ І1 > І2,

(3)

фв = V (Рі, & Р2і &...& Ркі & °(Ііг )& 0(12і )&...& 0(Ігі)) = 1. (5)

і=и

[іі,і2] [і3,і4]

Рисі. Пример интервального графа

і43

Для данного графа составим матрицу нечетких расстояний длины 1, имеющую вид:

Ях =

Х1 Х 2 Х 3 Х 4 Х5

Х1 ( — [11,11] — [11,16] \ —

Х2 [13,14] — [11,13] — —

Х3 — [11,13] — [11,12] [12,13]

х4 [15,16] — [11,12] — [14,15]

Х5 1 - — [12,13] [14,15] — /

Для нахождения матрицы интервальной достижимости графа определим операцию возведения в степень матрицы интервальных расстояний следующим обра-:

Х1 Х 2 Х3 Х 4 Х5

Х1 [0,0] —— — —

х2 нулевая степень - к 0 = х х3 — — [0,0] — — [0,0] — — — —

Х4 — —— [0,0] —

Х5 — —— — ] ,0] [0,

вторая степень матрицы - = Кх ® Ях =||{/г(к2)}||, где элементы

матрицы находятся по формуле: {ік } = ШСЫШ{/^ + /д } ;

j=1,п

♦ /-я степень матрицы - К(х = КІ-1 ® Кх.

Возведем матрицу интервальных расстояний в степени 2, 3, 4. Затем найдем их пересечение (здесь под пересечением понимается попарное сравнение элемен-

). -

тижимости Ых .

N

X

Х1 Х 2 Х 3 Х 4 Х 5

Х1 ' {[0,0]} {[11,12]} {[22,25]} {[15,16]} {[29,31]}"

Х2 {[13,14]} {[0,0]} {[11,13]} {[22,25]} {[23,26]}

Х3 {[24,27]} {[11,13]} {[0,0]} {[11,12]} {[12,13]}

Х4 {[15,16]} {[22,25]} {[11,12]} {[0,0]} {[15,15]}

Х5 у {[29,31]} {[23,26]} {[12,13]} {[14,15]} {[0,0]} ,

По полученной матрице достижимости составим выражение Фв :

Фв = {0(0;0)Рі VЄ(13;14)Р2 V Є(24;27)рз V 0(15;16)р, V 0(29;31)Р5} & &{Є(11;12)Р1 V 0(0;0)Р2 V 0(11;13)Рз V 0(22;25)рА V 0(23;26)Р5}& &{0(22;25)Р1 V 0(11;13)Р2 V 0(0;0)Р3 V 0(11;12)Р, V 0(12;13)Р5}&

♦

♦

&{Q(15;16)p VQ(22;25)p2 vQ(11;12)P3 vQ(0;0)p vQ(14;15)p5}& &{Q(29;31)p vQ(23;26)p vQ(12;13)p vQ(14;15)p vQ(0;0)^}.

Приведем подобные члены, используя правила поглощения:

Фв = Q(29;31)P1 v Q(23;26)p2 v Q(22;25)p4 v Q(29;31)p5 v v Q(23;26)p1p2 v Q(22;25)p1p4 v Q(22;25)p1p5 v Q(12;13)pxp3 v v Q(14;15)p1p4v Q(14;15)p1p5 v Q(13;14)p2p3 v Q(14;15)p2p4v v Q(15;16)p3p4v Q(11;12)p1p3p5 v Q(11;12)p1p4p5 v Q(15;16)p1p2p3 v v Q(15;16)p1p2p4 v Q(0;0)p1p2p3p4p5

,

B = {< [22;25]/1 >;< [12;13]/2 >;< [11;12/3] >;< [11;12]/4 >;< [0;0]/5 >}.

Множество интервальных баз определяет следующее оптимальное распределение сервисных центров. Если мы имеем 5 сервисных центров, то размещаем их в каждом районе. В этом случае расстояние равно 0. Если имеется 4 сервисных цен, 1, 4, 5 , -

числений значение для четырех центров было поглощено (отсутствует в конце раз), , -тров 3 совпадает с расстоянием для 4-х центров. В этом случае минимальное расстояние от центра до других районов находится в нечетком интервале 3 , 1, 4, 5.

случае минимальное расстояние находится в нечетком интервале [11;12] . Если

2 , 1, 3. -

чае минимальное расстояние находится в нечетком интервале [12;13]. И если имеется только один сервисный центр, то его нужно разместить в районе х4 и тогда

[22;25] .

Заключение. Необходимо отметить, что рассмотренный метод позволяет определять наилучшие места распределения сервисных центров в случае их разме-

( ). , определенный интерес вызывает задача свертки несоизмеримых интервалов, что позволило бы упростить процесс вычислений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978.

2. Dziouba T., Rozenberg I. The decision of service centres location problem in fuzzy conditions. // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2206, Computational intelligence: theory and applications (Proceedings of International Conference 7th Fuzzy Days). Bernd Reusch (ed.). -Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2001. - p. 11-17.

3. . . -

ан графа. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск Интеллектуальные САПР «Материалы Международной научно-технической конференции «Интеллектуальные САПР». -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001, N4 (22). - С. 64-72.

4. . ., . .

. // .

«Материалы Международной научно-технической конференции «Интеллектуальные САПР». - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001, N4 (22). - С. 79-86.

5. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. - М.: Наука, 1975.