МЕТОД РАСЧЁТА ПРИСОЕДИНЁННОЙ МАССЫ ТЕЛА В ФОРМЕ ЦИЛИНДРА В ГАЗОЖИДКОСТНОМ СЛЕДЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7, вып. 3. С. 341-350

УДК 629.12+532.529.5 Б01: 10.47475/2500-0101-2022-17307

МЕТОД РАСЧЁТА ПРИСОЕДИНЁННОЙ МАССЫ ТЕЛА В ФОРМЕ ЦИЛИНДРА В ГАЗОЖИДКОСТНОМ СЛЕДЕ

В. И. Пегов1'2'", И. Ю. Мошкин1'2'", А. Д. Чешко26

1 Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН, Миасс, Россия

2Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия "ofpat@mail.ru, ьsrc@makeyev.ru

Рассмотрена задача о движении тела в газожидкостном следе от впереди идущего тела. Задача сведена к плоской задаче об ударе кругового цилиндра, который расположен либо внутри неконцентрического слоя идеальной несжимаемой жидкости, который в свою очередь окружён безграничной жидкостью другой плотности, либо внутри области жидкости, содержащей цилиндрическую полость жидкости другой плотности. Получены зависимости коэффициента присоединённой массы цилиндра от безразмерных параметров.

Ключевые слова: присоединённая масса, двухфазное течение, гидродинамика, газожидкостный слой, нестационарное обтекание, метод плоских сечений.

Введение

Решение задач определения присоединённой массы и гидродинамических характеристик тела в неоднородном потоке рассматривается в ряде работ [1-7]. Так, в работах [3; 4] проведены исследования кавитационного обтекания тела, когда след за кавитатором тела представляется в виде газовой каверны. В работе [2] рассматривается течение в концентрических кольцевых слоях жидкости различной плотности.

В настоящей статье рассматривается более общая картина газожидкостного обтекания тела, движущегося с некоторым интервалом времени за впереди идущим телом (рис. 1). В схеме А движение тела происходит внутри газожидкостного следа, а в схеме Б — вблизи следа. Форма тела близка к телу вращения, а форму газожидкостного следа примем близкой к круговому цилиндру, их оси симметрии не совпадают и находятся в одной плоскости. Газожидкостный след состоит из пузырьков газа и воды. Средняя плотность газожидкостной смеси р относится к плотности воды (р2).

Будем полагать, что течение в выделенном слое жидкости не зависит от течения в соседнем слое и является плоскопараллельным. При этом необходимо рассмотреть две более общие плоские задачи: в схеме А (рис. 1) об ударе кругового цилиндра в неконцентрическом кольцевом слое жидкости различной плотности или в схеме Б (рис. 1) внутри области жидкости, содержащей цилиндрическую полость жидкости другой плотности.

1. Описание метода

Сначала остановимся на задаче о движении кругового цилиндра в неконцентрическом кольцевом слое идеальной несжимаемой жидкости плотностью р1, который

Рис. 1. Схема расчёта: А — движение тела в следе; Б — движение тела вблизи следа

в свою очередь окружён простирающейся в бесконечность идеальной несжимаемой жидкостью плотностью р2 вдоль прямой, соединяющей центры цилиндра и кольцевого слоя (схема А).

Введём декартову х,у и полярную р,в системы координат с началом в центре цилиндра. Радиус цилиндра обозначим через Я1, радиус кольца следа через К2, Ь1, Ь2 — поверхности цилиндра и кольца, Ь — расстояние между их центрами, и — скорость движения цилиндра, — потенциал скоростей в кольце, — в окружающей жидкости.

Потенциал <^>1 удовлетворяет в плоскости г = х + гу условию непротекания на поверхности цилиндра Ь1:

| тт л

к = 1ТГ к = и С08 в.

(1)

дп дг

На границе кольцевого слоя Ь2 должны выполняться условия равенства нормаль ных скоростей

д^1 д^2

1|

дп |Я2 дг и импульсивных давлений

Р1ф1 к = Р2^2 к .

При удалении в бесконечность потенциал 2 должен стремиться к нулю:

^ 0 при г ^ ж.

Выражение для присоединённой массы имеет вид

Р1 [ и^ дп

Яг

(2)

(3)

(4)

На основании инвариантности интеграла Дирихле при конформных преобразованиях вычислим присоединённую массу в области более простого вида, когда, например, цилиндр движется в концентрическом кольцевом слое неоднородной жидкости.

Используя дробно-линейное преобразование [1]

ш(г) = —a

z — а\ ' z — а2

(6)

переводим неконцентрические окружности Б\ и Б2 в концентрические окружности Б1 и Б2 (см. рис. 1), при этом радиусы окружностей Б\ и Б\ будут одинаковыми (Я1 = Я1), а Я2 находится по формуле

Ко = Ко

а2

'а2 + b

для схемы А, R2 = К2

а2

b — а2

для схемы Б.

В выражении (6) и в последних равенствах а1 и а2 — координаты точек, симметричных одновременно относительно окружностей Б1 и Б2,

а1а2 = Я2; (а1 + Ь)(а2 + Ь) = Я2 для схемы А,

а1а2 = Я2; (Ь — а1)(Ь — а2) = Я2 для схемы Б. Откуда найдём выражения для а1 и а2:

Я2- Я2 - Ь2 . 1

ai,2

a2,i

<-2 1 Ч

2b ~ 2b

b2 + К2 — К2 1

± — К2 — b2)2 — 4b2К2 для схемы А,

2b

± 1\¡(b2 + К2 — К2)2 — 4b2К2 для схемы Б. 2b

2b ^ 2b V ^ ' ' 2 Граничные условия (1)-(3) в плоскости ш примут вид

dz

dpi = dpi dn dn

дш

dpi dz dp2 dz

dn дш dn дш

на S2;

на S2

(7)

(8) (9)

PiPi = P2P2 на S2. Введём в плоскости ш = u + iv полярные координаты р и в:

ш = регв = p(cos в + i sin в); u = р cos в; v = р sin в,

и с учётом последних замечаний и того, что а2 > условие (4) в плоскости ш примет вид

P2I P=a2 =0. (10)

Связь между аргументами 9 и в на окружностях Si^ и S2 устанавливается равенством

при этом

cos 9 = dz

d/ш

1 + A cos в A + cos в ,

VA2—!

p=Ri A + cos в'

(11) (12)

где

+ Й2 — — Ь2 А = ~2В~ = 2К)Ъ длясхемыА,

. а1 + «2 Ъ2 + К\ — К2 А =-=- для схемы Ь.

Учитывая соотношения (11), (12), граничное условие (7) перепишем в виде

тт ГЕ%-Т 1 +А СС8 в /1Чч

Ж = — ^ = и"/А2—1 (А + СС8 в )2 . (13)

Из выражения (13) получаем

др

- \Р=к1 = и(в); (14)

др

/(в) = (1А++АСССв)2' /(в) _ чётная ФУнкЧия- (15)

В граничном условии (8) дифференцирование по нормали (П ) на окружности Б2 можно заменить дифференцированием по радиусу р и представить его в более простом виде:

= д£1\ (16) др \р=^2 = др \р=^2. ()

На окружности Б1 в плоскости ш потенциал является функцией только угла в: = ^1(в)-

Из соотношения (5) с учётом (14), (15) получаем выражение для присоединённой массы

п

т* = ^ ^1(в)/(в Ж (17)

о

Для определения значений потенциалов и введём комплексные потенциалы Шк = <рк + ¿фк, где гфк — функции тока, к =1, 2, и представим их в плоскости Ш в виде рядов Лорана

те

Шк = с0к) + £ (с1к)шга + С-Пш~п), (18)

П=1

где сПк) = аПк) + гЪЬк); С-) = а-к> + ¿6-).

Выделяя из выражения (18) действительную часть и учитывая, что потенциалы являются чётными функциями (бПк) = = 0), найдём выражения для потенциалов

те

Рк = а0к) + £(аПк)рп + а-пр~п) сс8(ив). (19)

П=1

На основании формулы (19), учитывая, что потенциалы определяются с точностью до аддитивной постоянной и то, что в точке (а2, 0) плоскости р, в они являются конечной величиной, представим потенциалы в виде

те

= £(аП1)рп + а-ПО сс8(пв), (20)

П=1

n=1

где условие (10) учтено при выборе вида выражения для р2. Для определения коэффициентов а^, а^П из формулы (20) найдём выражение дг1 при р = Я1 и Я2,

др

—— при р = Я2 и используем граничные условия (14), (16), (9);

те

^(иа^Я^-1 - иа-пЯ-п-1) сов(ив) = иVА2 - 1/(в);

n=1

оо

^(иа^Щ-1 - иа-)Я-п-1) сов(ив) = - ^ па-пЯ?-1 сов(ив);

п=1 п=1

те те

Р Е^ЯП + а-1! Я-п)оо8(ив) = ^ а-пК-п со8(ив),

п=1 п=1

где отношение р = р1/р2 есть средняя плотность газожидкостного следа, р2 — плотность воды. Из последних равенств найдём систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов рядов Фурье:

иа^Щ-1 - иа-ПЯ-п-1 = иVА2 - 1кп; иаЩ* Я?-1 - иа-1)Я2-п-1 = иа-ПЯ?-1; (21)

раП1ПяЯП + ра-1П Я-п = а-2! Я-п.

Здесь введён коэффициент кп:

2 ГП 2 А 2( А2 — 1) кп = - /(в) cos(ив)dв = -аВп - --^Ьп,

П ] 0 П П

где

fn со^(пв) п

Bn = _

/0

= ж i712-1 - A)n:

A - cos в VA2 - 1

cos(nP) WA2 - 1 + A

Ln = —-772 dP =-T2—;-Bn.

to (A - cos в)2 A2 - 1

Решая систему (21), найдём

а(1) = (1 - р)ДП+1 UVA2-! ;

Un /-1 n2n /1 , n2n kni

(1 - -)R2n - (1+ -)R2n n

(1 + -)R2n U VA2 - 1

(1 - -)R2n - (1 + -)R2n n

2-R2n U VA2 - 1

,(1)__

^ni

kn; (22)

(2) a =

-n M D2n /1 I n2n

(1 - р)Я2п - (1 + р)Я2

В плоскости ш с учётом равенств (20)-(22) получим

п

ггр Ллг-Т^ kn (1 + р) + (1 - P)Sn ( ,

^1(в) = -UR- (1 + -) - (1 - -)jn cos(ne),

k

n

где 5 = Я2/Д?.

Поскольку

рп

/ /(в) ооз(ив= пкп, ./о

то из (17) найдём окончательное выражение для т*:

т* = = (а2 -1) V кп 1 + -р)5п, (23)

Р1ПД? V ;п=1 и 1+ Р - (1 - р)5п 1 ;

где р1пД2 — присоединённая масса цилиндра в безграничной жидкости плотностью р1 и радиусом Д1.

2. Результаты расчётов

Для рассматриваемой схемы А по формуле (23) проведены параметрические расчёты для различных соотношений п = Я1/Я2 и р и получены зависимости т* от отношения Ь = Ь/(Я2 - Я1). На рис. 2-4 приведены графики этих зависимостей при значениях п=0.4, 0.7, 0.9 и р =0, 0.2, 0.4, 0.8, то.

Количество членов ряда (23) выбиралось из условия обеспечения погрешности расчётов менее 0.001 и изменялось в проведённых расчётах от 7 до 50 для различных сочетаний п и Ь: при стремлении п и Ь к единице количество членов ряда возрастает. Как и следовало ожидать, при /5=1 и т* = 1 наблюдаются общие закономерности: все значения т* (при 0 < р < то) лежат между значениями т*, соответствующими р = 0 и р = то. Значения т* при р = 0 и то, соответствующие движению кругового цилиндра в жидкости с внешней жёсткой и свободной границами в виде окружностей, совпадают с соответствующими значениями, полученными в работе [2].

Кроме того, полученные при расчётах значения т*, при малых Ь (Ь < 0.05) близки по величине к полученным в работе [2] при одинаковых значениях р и п = 1/Л1. При этом значения т* существенно зависят как от п, так и от Ь и р.

С учётом этих выражений для а1,а2, А,Я2 коэффициент присоединённой массы для схемы Б рассчитывается по той же формуле (23), что и для схемы А.

Результаты расчётов для схемы Б приведены в виде графиков (рис. 5) при п = 0.4 и р=0, 0.2, 0.4, 0.8, то.

Из анализа этих графиков видно, что влияние цилиндрической полости, содержащей жидкость другой плотности, заметно только в достаточно близком поле Ь/Я + Я2) < 1.5.

С целью проверки разрабатываемого метода воспользуемся формулой для случая движения цилиндра перпендикулярно стенке [8], который можно рассматривать как асимптотический случай для схемы Б: р = 0, Я2 ^ то, Ь ^ то,

а2 = Я-уШ -11

где Н — расстояние от центра цилиндра до стенки.

С точностью до членов (Я1/Н)5 коэффициент присоединённой массы цилиндра, движущегося перпендикулярно стенке, находится но формуле

т* = 1 + 2 (I)2 + 1 (ЯО4 + ■■ (24)

Рис. 2. Зависимость коэффициента присоединённой массы от расстояния между центрами окружностей при п = 0.4

пь

г) — — = 0,7 Я2

0,2

0,4

0,6 0,8

ОО

о 0,5

Я2 - Л,

пь

77 = — = 0,9 Л2

^—^__

о,1т*

Р =0,2

0,4 0 0,6 0,8

(Ю

О 0,5

ь =

К2

Рис. 4. Зависимость коэффициента присоединённой массы от расстояния между центрами окружностей при п = 0.9

Формула (24) получена с помощью введения последовательности отображений диполей относительно цилиндра.

Результаты расчётов по формулам (23) и (24) сведены в таблицу, из которой следует, что численные значения по двум разным методам разнятся менее, чем на 2 %.

Результаты расчётов т* по формулам (23) и (24)

h/Ri 1.1 1.2 1.5 2 3 4

По формуле (23) 1.527 1.394 1.248 1.128 1.057 1.02

По формуле (24) 1.499 1.407 1.247 1.125 1.056 1.02

Заключение

Удовлетворительное соответствие численных значений, рассчитанных по двум разным методам, и проведённое сравнение с результатами других авторов свидетельствуют о достоверности разработанного метода расчёта присоединённых масс тела в форме цилиндра в газожидкостном следе.

Список литературы

1. Капанкин Е. Н. Удар кругового цилиндра в жидкости с внешней жесткой или свободной границей в виде окружности // Труды ЦАГИ. 1969. Вып. 1154.

2. Болдырев А. А. Удар кругового цилиндра в концентрических кольцевых слоях жидкости различной плотности // Уч. записки ЦАГИ. 1971. Т. 2, № 6. C. 71-79.

3. Пегов В. И., Мошкин И. Ю. Расчёт гидродинамики кавитационного способа старта ракет // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, вып. 4. С. 476-485.

4. Пегов В. И. Численное исследование гидродинамики подводного старта ракет // Че-ляб. физ.-мат. журн. 2019. Т. 4, вып. 1. С. 65-75.

5. Пегов В. И., Мошкин И. Ю. Применение метода плоских сечений для определения характеристик летательных аппаратов при многофазном обтекании // Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures. 2020. Вып. 4. С. 48-61.

6. Пегов В. И., Мошкин И. Ю. Математическое моделирование процессов тепломассообмена горячих газовых струй с жидкостью при подводном старте аппарата // Челяб. физ.-мат. журн. 2020. Т. 5, вып. 4, ч. 1. С. 451-462.

7. Никулин Е. С., Пегов В. И., ЧешкоА.Д., Мошкин И. Ю. Численное моделирование силовых и тепловых нагрузок на подводную лодку при старте ракеты // Вестник Концерна ВКО «Алмаз-Антей». 2020. № 4. С. 47-53.

8. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М. : Мир, 1964.

Поступила в 'редакцию 23.12.2021. После переработки 12.06.2022.

Сведения об авторах

Пегов Валентин Иванович, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН; главный научный сотрудник, Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия; е-mail: ofpat@mail.ru.

Мошкин Игорь Юрьевич, кандидат технических наук, научный сотрудник, ЮжноУральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН; ведущий научный сотрудник, Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия, е-mail: ofpat@mail.ru.

Чешко Антон Дмитриевич, начальник отдела аэрогидрогазодинамики, Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия, е-mail: src@makeyev.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2022. Vol. 7, iss. 3. P. 341-350.

DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17307

METHOD OF ANALYZING APPARENT MASS

OF A CYLINDRICAL BODY IN A GAS-LIQUID WAKE

V.I. Pegov1'2'", I.Yu. Moshkin1'2'", A.D. Cheshko2b

1 South Ural Federal Research Center of Mineralogy and Geoecology of the Ural Branch of RAS,

Miass, Russia

2Academician V. P. Makeyev State Rocket Centre, Miass, Russia

"ofpat@mail.ru, bsrc@makeyev.ru

A problem of the body motion in a gas-liquid wake of the body ahead is considered. The problem is reduced to a plane impact problem of a circular cylinder located in a nonconcentric ideal liquid layer surrounded with unlimited liquid of another density or in liquid with a cylindrical cavity of liquid of another density. The dependencies of a factor of the apparent cylinder mass on nondimensional parameters are obtained.

Keywords: apparent mass, two-phase flow, hydrodynamics, gas-liquid layer, nonstationary flow,

method of plane sections.

References

1. Kapankin E.N. Udar krugovogo tsilindra v zhidkosti s vneshney zhyostkoy ili svobodnoy granitsey v vide okruzhnosti [Impact of a round cylinder in a liquid with clear or free external boundary in the form of a cicle]. Trudy TsAGI [Proceedings of Central Aerohydrodynamics Istitute], 1969, iss. 1154. (In Russ.).

2. BoldyrevА.А. Udar krugovogo tsilindra v kontsentricheskikh kol'tsevykh sloyakh zhidkosti razlichnoy plotnosti [Impact of a round cylinder in concentric ring layers of liquid of different density]. Uchyonye zapiski TsAGI [Scientific letters of Central Aerohydrodynamics Istitute], 1971, vol. 2, no. 6, pp. 71-79. (In Russ.).

3. Pegov V.I., Moshkin I.Yu. Analysis of fluid dynamics of cavitational launch technique. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2018, vol. 3, iss. 4, pp. 476-485.

4. Pegov V.I. Numerical study of hydrodynamics of underwater missile launch. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2019, vol. 4, iss. 1, pp. 65-75.

5. Pegov V.I., Moshkin I.Yu. Applying the method of plane sections for evaluating the parameters of flight vehicles under multiphase flow. Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures, 2020, no. 4, pp. 48-61.

6. Pegov V.I., Moshkin I.Yu. Mathematical modeling of processes of heat and mass transfer of hot gas jets with fluid during underwater vehicle launch. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2020, vol. 5, iss. 4, part 1, pp. 451-462.

7. NikulinE.S., Pegov V.I., CheshkoA.D., Moshkin I.Yu. Numerical simulation of power and thermal load on a submarine during an underwater missile launch. Journal of "Almaz-Antey", Air and Space Defence Corporation, 2020, no. 4, pp. 47-53.

8. Milne-Thomson L.M. Theoretical Hydrodynamics. London, MacMillan & Co, Ltd., 1962.

Article received 23.12.2021.

Corrections received 12.06.2022.