CC BY
7
МЕХАНИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 3. С. 338-346.
УДК 629.57+532.529.5 Б01: 10.47475/2500-0101-2021-16308
РАСЧЁТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ГЛИССИРОВАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ПО ВОЗМУЩЁННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
В. И. Пегов1'", И. Ю. Мошкин1'", А. Д. Чешко26
1 Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН, Миасс, Россия
2Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия "ofpat@mail.ru, ьsrc@makeyev.ru
Разработан численный метод расчёта глиссирования кругового цилиндра по возмущённой поверхности жидкости. Задача с помощью метода плоских сечений сводится к плоской задаче в кольцевом слое. Искомый потенциал скоростей представляется на основе формулы Грина в виде потенциала простого и двойного слоя и находится численно. Приведено сравнение результатов расчётов с экспериментальными данными.
Ключевые слова: глиссирование, двухфазное течение, гидродинамика, нестационарное обтекание, метод плоских сечений, кавитация.
Введение
Решение задач обтекания тела вращения в режиме кавитации рассматривается в ряде работ [1-7]. Так, в работе [2] решена задача о стационарном глиссировании цилиндра по невозмущённой поверхности жидкости. В настоящей статье решается задача в более общей постановке: о нестационарном глиссировании цилиндрического корпуса по возмущённой поверхности жидкости.
Глиссирование кругового цилиндра наблюдается, например, при движении тела вращения в режиме развитой кавитации, когда длина газовой каверны несколько превосходит длину тела. В этом случае границы каверны сходят с кавитирующего насадка, сначала расширяются, каверна достигает своего максимального диаметра, и затем границы каверны сужаются. Глиссирование цилиндрического корпуса тела происходит по сужающейся границе каверны, когда радиальная составляющая скорости границы каверны отрицательная (рис. 1). Если кавитатор имеет форму диска, то подъёмная сила на тело, движущееся в жидкости в режиме развитой кавитации, формируется в основном в области глиссирования цилиндрического корпуса.
1. Описание метода
Будем полагать жидкость невесомой, идеальной и несжимаемой, а вызванное течение жидкости — потенциальным. Граничным условием для потенциала скоростей на смоченной поверхности тела является равенство нормальных скоростей
точек поверхности тела и прилегающих частиц жидкости:
дп ^ = Уп >
(1)
где п — нормаль к поверхности тела, направленная внутрь жидкости; УП — нормальная составляющая скорости поверхности тела.
На свободной границе £к выполняется условие постоянства давления Рк:
Рк — Р | Бк .
Это условие в дифференциальной форме имеет вид
(2)
дп | — Р*> -
дЬ |Бк - р
к
и
+ т ■
(3)
где Ь — время; Рк — давление газов в каверне; Р^ — статическое давление; ик абсолютная скорость жидкости на свободной границе.
Третьим граничным условием является стремление потенциала к нулю при удалении на бесконечность,
П ^ 0 при г ^ (4)
При решении сформулированной трёхмерной краевой задачи в общем виде возникают значительные математические трудности, поэтому приближённую оценку гидродинамических сил при глиссировании цилиндра по возмущённой поверхности жидкости будем проводить по методу плоских сечений. Разобьём всю область, заполненную жидкостью, секущими плоскостями, перпендикулярными оси тела. Течение, рассматриваемое в плоском слое, представим как течение в гидротрубе с открытой рабочей частью. Тогда внешнюю границу (£вн) представим в виде свободной поверхности (рис. 2). На внешней поверхности кольца Бвн вместо условия (4) потребуем выполнения условий, аналогичных условиям на свободной поверхности (2), (3): Р|бвн - Рвн или
3п | — р^ - Рвн +
л, |Бвн +
дЬ р
и:
2 '
(5)
здесь Рвн и ивн — давление и абсолютная скорость жидкости на внешней поверхности кольца; в дальнейшем будем предполагать Рвн — Р^.
Представим искомый потенциал скоростей в плоском кольцевом слое в виде потенциала простого и двойного слоя на основе формулы Грина [3; 5; 7]
Рис. 1. Глиссирование тонкого
тела по границе газовой каверны: 1 — кавитирующий
насадок (диск); 2 — цилиндрический корпус тела; 3 — граница каверны; 4 — замытая часть поверхности тела
п(Р ) —
1
2П
дп(3)
дп
1п Жа +
1
2П
(6)
Ьг
Ь1 +Ь2
2
где Ь, Ь2 — внутренний и внешний контуры кольцевого слоя; Я — расстояние между расчётной точкой Р(у, £), в которой находится потенциал, и текущей точкой Ф(п, С) рассматриваемых контуров
R = |PQ| = V(y - n)2 + (z - е)2,
(7)
^(Ф) — значение потенциала в текущих точках контуров.
Выражения для геометрии контуров Ь и Ь2 представим в параметрическом виде у = у(Ь) , £ = £(Ь), п = П(а), С = С(а), где Ь — длина дуги расчётной точки Р(у, £), а — длина дуги текущей точки ф(п, С) (рис. 2).
Уравнение текущей внешней нормали в параметрической форме имеет вид п = —у'] + £'к, где ^, к — орты декартовой системы координат. Тогда найдём, что
У
dL'
z =
dR
dn
(У - ПУ
dz
dL'
(z - е )z/
(у — п)2 + (* — С)2 '
С учётом выражений (7), (8) уравнение (6) примет вид
(8)
v(P) = - -П / ^(Q)
1
+2П
Li +L2
dn
(У - П)У/ - (z - е)z/
(y - n )2 + (z - е )2
da+
ln
y/(y - n)2 + (z - е)2
(9)
Li +L2
В начальный момент внутренний и внешний контуры будем считать окружностями с радиусами Я10 и Я20 и с радиальными скоростями Я10 и Я20. Начальные значения потенциалов ^10 и ^20 найдём из уравнения (9), располагая расчётные точки, начиная с луча $ = 0, по контуру Ь1, а затем на контуре Ь2. После интегрирования по контурам Ь1 и Ь2, учитывая, что в соответствии с направлением обхода контуров
дч>(Я) Ъ
= Я10 на конту-
= — Я 20 получим
дп
ре Т и д^(0) _ ре Ь1 и
на контуре Ь2
Рис. 2. Схема течения в плоском слое
^10 — ^20 = ЯюЯ 10 1п Я10 — Я20Я20 1п Я20, 0 = (Я10Я10 — Я20Я20)1п Я20. Из второго выражения получается условие сохранения массы в кольцевом слое
R10 R10 = R20 R20.
Учитывая это равенство и полагая в начальный момент ¥20 = 0, найдём
¥10 = Я10Я101п(. (10)
Выражение для начального значения потенциала скоростей (10) соответствует осесимметричному течению в кольцевом слое [2].
Располагая координатную плоскость ХОУ в плоскости угла атаки, можно добиться того, что течение в кольцевом слое будет симметричным относительно оси У, и количество расчётных точек на контурах Ь1 и Ь2 можно сократить вдвое; в симметричных относительно оси У расчётных точках примем интенсивность источников и мощность диполей такими же, как и в самой расчётной точке. С учётом этих замечаний интегральное уравнение (9) перепишем в виде
¥>(Р) = --П / ¥>(3)
и
(У - П)У' + - С У + (У - П)У' + -(у - п)2 + (* - С)2 + (У - п)2 + (* + С)2
¿а+
+¿7 д¥Т)1п ^[(У - п)2 + (* - С)2] [(У - п)2 + (* + С)>.
Ь[+Ь'2
Здесь и ¿2 — верхняя половина контуров и ¿2. Расчётная точка Р также лежит на этих контурах (¿1 или ¿2).
Решение интегрального уравнения будем проводить в конечном числе расчётных точек (всего их М + N), часть которых расположена на замытой части контура тела (их число обозначим через М, при этом 0 ^ $ ^ $с, $с — центральный угол замытой части тела). Другие расчётные точки располагаются на свободной границе, на контуре с центральным углом $с ^ $ ^ п, и по контуру ¿2, который, согласно сделанному ранее предположению, является свободной границей (число расчётных точек равно N).
Условие (1) можно записать в виде
^ = -у'Ц г = 1 2,...,М. (11)
На свободной границе контура условие (5) запишем в безразмерном виде
1 „ + ЦК" (12)
"Ж = 2 + ' (1-)
где = Щ-; Г = ; Ц^к = Ццт ; — число кавитации.
На свободной границе контура ¿'2 условие (5) запишем в виде
дГ" = ЦК 2 .
Кинематическое условие на свободных границах запишем в виде
(13)
= _ ' _ с'
V* = = - д¥"п'> г = М + 1,М + 2,..., М + N (14)
где к. = ^, К- = ^ , ^ = , ^ = , П = ^, £ = тг.
^ Уг и ' ¿г и ' г Кт ' Кт 'I аа ' аа
Интегрируя систему уравнений (14) по времени ¿, проследим эволюцию кольца, начальные значения Xго и Уго при Ь = 0 находятся из условия, что контуры ¿1 и ¿2 являются окружностями с радиусами Р10 и Р20.
В соответствии с граничными условиями (11)—(13) в интегральном уравнении будем считать неизвестными величинами: на замытой границе тела потенциал ^ (г = 1, 2,..., М), на свободных границах — (г = М + 1,М + 2,...,М + N). На замытой части границы тела находится согласно условию (11) ^ на свободных границах — путём интегрирования по времени дифференциальных уравнений (12), (13), начальные значения для ^ на контуре принимаются при этом согласно формул (10), а ^20 = 0 на контуре Ь'2.
Коэффициент гидродинамической силы, действующей на единицу длины цилиндра, определяем как интеграл давления
Ср = 2Р = 2 ри2пДт п
1?с
^йп " +/Рсов
о
здесь коэффициент давления рассчитывается в подвижной системе координат по формуле
- 2 (Р - Рсо) дфг - -2 -2 Р = —^-^ = -2—^ + 2УУ - V2 - V2.
Р ри2 2 У Уу ^.
Штрих в выражении означает, что частная производная находится от определяемого в подвижной системе координат.
2. Результаты расчётов, сравнение с экспериментами
Численные расчёты на ЭВМ выполнены В. В. Долговым. При расчётах было выявлено, что используемая расчётная схема приводит к появлению слабо растущих со временем колебаний численного решения, которые с увеличением числа временных шагов могут совсем исказить рассчитываемые профили скорости. Для устранения возникающих с возрастанием £ колебаний вводилось сглаживание профилей скорости на каждом временном шаге по формуле
/ = / + 5 (Л_1 - 2/г + /т) ,
причём для сохранения устойчивости расчёта требуется, чтобы выполнялось условие 0 <5 ^ 0.25.
Коэффициент производной от подъёмной силы по углу атаки С^ при нестационарном глиссировании тела по поверхности каверны определяется как результат интегрирования по слоям
I
2У Г
С = рпРТV2а = У ^
о
где а — угол атаки тела, который считается здесь достаточно малым ^а « а).
Интегральное уравнение решается численно методом моментов [8]. В расчётах брали до 120 расчётных точек на контурах ¿1 и ¿2. Интегрирование по времени системы обыкновенных дифференциальных уравнений (12)-(14) проведено методом Рунге — Кутты второго порядка точности.
а
15
10
__^ экспеу 4 ^ / иментальн ые данные [1]
расчет < N. ч ч
расчет Л 0 = о ч ^ ч \ 1 ь |
........ -
экс пер им с нтальные; данные [2]
0 ОД 0,2 0,3 /
Рис. 3. Зависимость коэффициента Ср от £ для Я10 = 2, Я20 = 4, Я10 = 0, Яю = —1
0 0,05 ОД 0,15 0,2 0,25 t
Рис. 4. Зависимость коэффициента Ср от £ для Я10 = 2, Я20 = 4, Я10 = —1
Расчёты выполнены при Яю = 2, Я20 = 4, ак = 0 для двух значений радиальной скорости Яю = 0 и Яю = —1. На рис.3 проводится сравнение расчётов Ср с данными работ [3; 4]. В целом получено их удовлетворительное соответствие.
Из рис.4 следует, что максимальное значение Су (С^ = 3.1) достигается при = 0.21, когда коэффициент Ср меняет знак. Форма свободных границ в процессе смыкания границ каверны на цилиндр представлена на рис. 5, откуда видно, что величина центрального угла замытой части тела значительно отличается от значе-
———
г=0,05/ Г Л= 0,1 / Х=0,2
{ ()/ /
0 1 2 3 у
Рис. 5. Расчёт эволюции границы каверны: ^ю = 2, Я20 = 4, Яю = -1, ок = 0
дер
—кю=0; г = . 0,1
Л * 1_ --0,05
1* 1* 1 * 1 * ■ * 1 • 1 «
1 • ..." , * •# *
0 20 40 60 град
Рис. 6. Изменение профиля : Яю = 2, Я20 = 4, Яю = 0, £ = 0.1, Яю = -1, ? = 0.05
ния, определяемого, например, путём геометрических построений.
Рассмотренный пример расчёта при Я10 = —1 показывает, что при обтекании тела в режиме развитой кавитации коэффициент может значительно превосходить значение Су = 2.0, которое реализуется при режиме безкавитационного (сплошного) обтекания [4].
На рис. 6 для примера приведены профили ^ для двух рассмотренных случаев
(Я 10 = 0; —1). "
Заключение
В настоящей работе приведено решение задачи о нестационарном глиссировании кругового цилиндра по возмущённой поверхности жидкости. Рассчитаны распределение коэффициента гидродинамической силы Ср (¿), действующей на единицу длины цилиндра, и коэффициент подъёмной силы Су (¿) при нестационарном глиссировании цилиндра по возмущённой поверхности. Валидация и верификация разработанного метода проведены путём сравнения результатов расчётов с экспериментальными данными и данными других авторов. Их удовлетворительное соответствие может служить подтверждением достоверности и надёжности разработанного метода, который можно использовать при расчёте нестационарного глиссирования цилиндра по возмущённой поверхности жидкости.
Список литературы
1. ЛамбГ. Гидродинамика течений со свободными границами. М. : ОГИЗ тех.-теорет. лит., 1947.
2. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М. : Мир, 1964.
3. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев : Науко-ва думка, 1969.
4. ДегтярьВ.Г., ПеговВ.И. Гидродинамика подводного старта ракет. М. : Машиностроение, 2009.
5. Пегов В. И., Мошкин И. Ю. Расчёт гидродинамики кавитационного способа старта ракет // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, вып. 4. С. 476-485.
6. Никулин Е. С., Пегов В. И., Чешко А. Д., Мошкин И. Ю. Численное моделирование силовых и тепловых нагрузок на подводную лодку при старте ракеты // Вестн. Концерна ВКО «Алмаз-Антей». 2020. № 4. С. 47-53.
7. ПеговВ.И., Мошкин И. Ю. Математическое моделирование процессов тепломассообмена горячих газовых струй с жидкостью при подводном старте аппарата // Челяб. физ.-мат. журн. 2020. Т. 5, вып. 4, ч. 1. С. 451-462.
8. Воробьев Ю. В. Метод моментов в прикладной математике. М. : Физматгиз, 1958.
Поступила в 'редакцию 01.06.2021. После переработки 26.08.2021.
Сведения об авторах
Пегов Валентин Иванович, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Южно-Уральский научный центр УрО РАН; главный научный сотрудник, Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия; е-шаП: ofpat@mail.ru.
Мошкин Игорь Юрьевич, кандидат технических наук, младший научный сотрудник, Южно-Уральский научный центр УрО РАН; ведущий научный сотрудник, Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия; е-шаП: ofpat@mail.ru, src@makeyev.ru.
Чешко Антон Дмитриевич, начальник отдела аэрогидрогазодинамики, Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия; е-mail: src@makeyev.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 3. P. 338-346.
DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16308
ESTIMATING NONSTATIONARY PLANING OF A ROUND CYLINDER ALONG THE DISTURBED FLUID SURFACE
V.I. Pegov1", I.Yu. Moshkin1", A.D. Cheshko2b
1 South Ural Federal Scientific Center of Mineralogy and Geoecology of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Miass, Chelyabinsk region, Russian Federation 2Academician V.P. Makeyev State Rocket Centre, Miass, Chelyabinsk region, Russian Federation "ofpat@mail.ru, bsrc@makeyev.ru
A numerical method of analyzing nonstationary planing of a round cylinder along the disturbed fluid surface is developed. A problem to be settled with a method of flat sections is set up as a flat problem in a ring layer. The unknown velocity potential is presented with Green formula and evaluated as a potential of simple and doubled layer. The comparison of obtained results with experimental data is given.
Keywords: planing, two-phase flow, hydrodynamics, nonstationary flow, method of flat sections, cavitation.
1. Lumb G. Gidrodinamika techeniy so svobodnymi granitsami [Hydrodynamics of flows with free boundaries]. Moscow, OGIZ tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1947. (In Russ.).
2. Milne-Thomson L.M. Theoretical Hydrodynamics. New York, Dover Publ., 1968.
3. Logvinovich G.V. Gidrodinamika techeniy so svobodnymi granitsami [Hydrodynamics of flows with free boundaries]. Kiev, Naukova dumka, 1969. (In Russ.).
4. DegtiarV.I., PegovV.I. Gidrodinamika podvodnogo starta raket [Hydrodynamics of rocket launches from underwaters]. Moscow, Mashinostroenie, 2009. (In Russ.).
5. Pegov V.I., Moshkin I.Yu. Analysis of fluid dynamics of cavitational launch technique. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2018, vol. 3, iss. 4, pp. 476-485.
6. NikulinЕ.S., PegovV.I., CheshkoA.D., MoshkinYu.I. Chislennoye modelirovaniye silovykh i teplovykh nagruzok na podvodnuyu lodku pri starte rakety [Numerical simulation of load and heat loads on a submarine at missile launch]. Vestnik kontserna VKO "Almaz - Antey" [Bulletin of the VKO "Almaz-Antey"concern], 2020, no. 4, pp. 47-53. (In Russ.).
7. PegovV.I., Moshkin I.Yu. Mathematical modeling of processes of heat and mass transfer of hot gas jets with fluid during underwater vehicle launch. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2020, vol. 5, iss. 4, part. 1, pp. 451-462.
8. Vorobyev Yu.V. Metod momentov v prikladnoy matematike [Method of moments in applied mathematics]. Moscow, Fizmatgiz, 1958. 268 p. (In Russ.).
Article received 01.06.2021. Corrections received 26.08.2021.
