CC BY
46
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Тон XXI 1990 № 4
УДК 629.7.015.4.023.8
МЕТОД РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ ПО ТОЧЕЧНЫМ СВЯЗЯМ СОЕДИНЕНИЙ БОЛЬШОЙ ШИРИНЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ВНЕШНЕМ НАГРУЖЕНИИ
А. В. Панков, В. Н. Стебенев
Разработана методика определения НДС продольно-поперечного соединения двух листов большой ширины произвольным набором точечных свя-зей, на основе применения решения теории упругости о сосредоточенной силе в полубесконечном листе с линейной границей. Приведены примеры использования предлагаемого метода.
Вопрос о распределении усилий в соединении листов большой ширины является в настоящее время слабоизученным. Наибольшие сложности возникают при определении взаимного смещения двух точек листа в результате нагружения его внешними силами и силами, передаваемыми точечными связями (под связями понимаются болты, заклепки или точечная сварка). При расчетах, для определения этого смещения, пользуются в основном двумя подходами:
а) вводится понятие податливости пролета листа между двумя связями, которая равняется относительному смещению пролета от действующих в разные стороны единичных сил, приложенных в точках установки связей, тогда искомое смещение равно:
Дл = С л РЛ,
где Дл; сл — смещение и податливость пролета; Рл — растягивающая сила в пролете.
В методе «затухающий срез» [1] податливость пролета принималась равной нулю. В методе «выделения полосы» [2] из листа большой ширины выделялась полоса эмпирически подобранной «эффективной» ширины.
б) вводится понятие коэффициентов влияния, которые равны взаимному смещению двух точек от единичных сил, действующих в местах приложения нагрузок. Для вычисления коэффициентов влияния используют аналитические решения теории упругости. Впервые, по-видимому, подобный метод был использован в работе [3], в которой рассмотрена задача об определении усилий на связи в соединении бесконечного листа и бесконечного стрингера. Связи предполагались абсолютно жесткими. Последнее ограничение было снято в работе [4].
Все описанные выше методы служат для расчета поперечных стыков. Наиболее достоверным для определения НДС продольных стыков в настоящее время является расчет, основанный на методе конечного элемента (МКЭ).
В данной статье авторами предложен более простой, чем МКЭ метод для расчета распределения усилий по связям в продольно-поперечных соединениях двух листов большой ширины.
Рассмотрим задачу об определении НДС в соединении двух полубес-конечных листов с линейной границей (границы листов параллельны) набором произвольно расположенных точечных связей. Расчетная схема приводится на рис. 1. Соединяемые листы, нагружены самоуравновешенной системой сосредоточенных сил Рхо; Руо расположенной на бесконечности и моментом М. Они могут смещаться друг относительно друга вдоль осей хну, а также поворачиваться на угол ср.
м
я
хМуКу,) -ф- 4>-
Хо
Г»«
м
Рис. 1
В качестве неизвестных выбираются векторы усилий, действующих на ¿-ую связь — Р, с компонентами по осям х, у — Ра, Р*. соответственно и угол взаимного поворота листов — ф. Положительной, для верхнего из соединяемых листов, считается нагрузка — направленная влево, нагрузка Ру\ — направленная вниз и изменение угла <р против часовой стрелки.
Для решения поставленной задачи вводятся следующие допущения:
1) смещение связи зависит только от усилия, передаваемого ею
Д*< = 5; Л,
(1)
где Ди = (Л5Я; А*#,-)—вектор смещения 1-й связи,
5, — коэффициент пропорциональности для 1-Й связи.
2) напряжения в соединяемых элементах не превышают предела упругости;
3) деформация листов, вызванные действием изгибающего момента, не учитываются;
4) взаимное смещение точек I и I + 1 в листе относительно друг друга равно:
N
N
Д|м\‘'+1 ~ ^ вхх, 1.1 + 1 ' Рхк ~Н 2 ехуЛ,1+\ ' Рук
к= 1 N
к= 1 N
к= 1
(2)
здесь Д^м+|, Д',,м+1— относительные смещения связей по осям х и у соответственно; — коэффициенты влияния, т. е. смещение точек I и /—|- I
в направлении оси а под действием силы, расположенной в точке к и направленной по оси Ь; N — общее число точечных связей.
Определить коэффициенты влияния путем строгого решения соответствующей задачи теории упругости затруднительно, поэтому определим их приближенно, используя решение Власова В. В. [5] о сосредоточенной силе в полу-бесконечном листе, согласно которому перемещения листа имеют вид
«*(*(. Ук Ук) = — -¿§£ ' ((3_у)'А + (1+у) •(»/ — »*) • Л„ +
+ (3-V) • (у,+у*). ^ + 5~2^+уг . /2 + 2 (1 + V). У1Ук • ;
(*„ «/>. У к) —■ 4^- • ((1 + *) • (у-ук) • /и +
+ (3 —V) • (У, —У*) • /г* + 4 • Фг + 2 (1 + V) • (/,£* • ;
р
“Л*» у» у*) =-¡¿¡к ‘ ((1+л') ■ 1х+
+ (3 - V) • (у,-—У») • /2х - -4 • ф2 — 2 (1. + V) • у,ук • ;
Ун у к) — --¿к ' ^-3)^1+0+*)•(»<—¡/»Ни» +
+ (3 —V) • (у, + у*) - fг./ — '5 ^2 2 (1 +у) • у,-«/* - /гуу) ;
/1 = — 0,25 • 1п(х? + (у,— у*)2); ^ = - 0,25. 1п (х? + (у, + у*)2);
Ф2= -0,5 • аг^(—') ; /и=--------------—;
\У‘ + У>) 2 (х?+ (;/, -</,) )
Г ______________( = _
» 1ы _ / о . / ч2\ ’ 12х
2 (*? + (г/, -</*)2) ’ * 2 (дс? (у1+ук)2)
, _ У1 с _ 0/.- + !/*)2-*? . с _ *(•(»! +У*)
'2У . \2\ ’ ’2УУ , 0.2’ '2*1/
•М + (* + Й)Г - - 2 № + („+,.)•)’ ■
здесь и0, иа — перемещения в направлении лс, у, вызванные силой в на-
правлении а; дсь у, — координаты точки, в которой вычисляются перемещения; й, V — модуль сдвига и коэффициент Пуассона листа; А — толщина листа; у, — координата точки приложения силы.
Коэффициенты влияния запишем в следующем виде:
^хх,1,1+1 = ^*(^«» У ¡У Ук) У*+1> Ук), к =^= £, I -}- 1 ^
вЙ.м+1 = °-5 ' К(*<- У- + '•/. Уд + “!х(хи у, — г¡, у,)) — 4(лг1+|, у1+1, у,);
е«,/,|+1 == их(х‘< У1>.У|-и) 0,5 • (и£ (х<+1, У|+1 +г1'+1, Уг-н) +
+ их(дС|+1, У1+1 — г,+ 1,у<+1));
екху,и+1 = у„ ук) — и'у{ъ+1, {/¡+1, Ук), кф I, / + 1;
^*|/,м+1 == 0,5 • (¿¿^(Х*, У; Г,-, у(*) и у (х„ у* Г/, У1) ) и, (Х;-|), у, I 1, ) ,
^ху,(,/+1 == Му(%1г У*» У^+1) 0,5 * (¿/у (х^I, У14-1 ”|" Л*-н, У1+1)
+ и'(х1Ч-1,1/(+1 — /-¡-и, ¡/¿-и));
1 = У» У*) — У<+ь У*). * ¥= 1,1+1;
= °>5 • (^(''ь у» У‘) + ^(—г- у.-, у-)) — ^(*<+ь у.-и. у<);
^ух,1,1+1 == У<> ¡/¿-и) 0,5 • (^>^(^+1, У1+1, У«+1) ~Ь ^х( 0+1> У1+1. У*-н 1) )>
екуу,и+1 = и!у(х1, У/, Ук) — у£(*«+ь У.+Ь Ук), к Ф г, { + 1;
§»!и-и = 0,5 • (у'Дг,-, у/, у,) + «{,(— п, у,, у,)) — *>¡,(*¡+1, у,+ь у,);
^уу,1,1+1 = ^(^¡> У«» У/+1) 0,5* (и^(л+ и У1+1, У;+1) ~Ь ^1+1 > У<+ь У1+1)) >
Для определения неизвестных усилий Р, рассмотрим совместную деформацию листов и связей 1 и г. На рис. 2 эти деформации изображены в векторном виде, на нем:
Рис. 2
где г, — радиус i-й связи;
'"llf, ?2\,1 — векторы, соединяющие точки 1 и i в верхнем и нижнем листах без учета деформаций последних. Они равны по модулю и по условию задачи могут поворачиваться относительно друг друга на угол ф;
Ai,-, А2,-—векторы перемещений точки i в верхнем и нижнем листах, соответственно;
А« — смещение i-й связи согласно (1).
тп./ + Ап + Asi -f- А21 = /21,1 -f- Ai¡ -f- Asi + А2/
или
(fu,/ — ^21,1) + (An — Ai¡) + (A21 — A21) = As¡ — Asi. (3)
Легко видеть, что первая разность в уравнении (3), записанная по компонентам, имеет вид:
Ахи = (*< — -«О • (cos (ф) — 1) — (у, — yi) • sin (ф);
A»i,i = (x¡ — *1) • sin (ф) -f (y¡ — у,) • (cos (ф) — 1);
для малых ф:
Д*1,/ = (yi — Уд • ф; Ayl,i = (Xi — Xi) • ф.
Согласно уравнению (2):
(A/i Aji)x = A¿, (Ají — Aji)y = Aj,^.
Левые части уравнения (3) имеют вид:
Ддгїі Л*5І = ві * Рх\ --- 5і • Рхі',
Ау«' == ' Ру\ 5/ • Руі.
Таким образом, для каждой пары связей 1-й и ¿-й имеем по два уравнения, добавляя к которым три уравнения равновесия для сил по осям
х и у и моментов получим систему + 1 уравнений для определения
такого же числа неизвестных:
N N
2 (£«|,; + ехїі,і) ’ Рхк + 2 (Єх'у1,і + Єх1і,і) Рук “Н к=\ *= 1
+ {у> Уд ■ Ф + *1 • Рх> — 5/* Р» = 0;
2 {екухІ,і + екух\,<) • Рхк + 2 (еууі.і + ем1,і) • Рук~\~
к= 1
+(*, —*0 * Ф + «1 • Руї — Зі • Руі = 0; і = 2, N
(4)
хк ~ РхО 2 Рук — Руо к= 1
2 РхіУі — 2 ру,х, — РхоУо + Ру0Х0 + м = 0
Решив полученную систему линейных уравнений (4), найдем искомое распределение усилий по связям соединения.
Приведем несколько примеров использования предлагаемого метода для расчета распределения усилий по связям соединения двух полубесконечных листов. Модули упругости и коэффициенты Пуассона листов равны 7,2 • 104 Мпа и 0,33 соответственно. Модуль упругости связей—105 Мпа. Податливость связей определяется с помощью метода, в котором связь рассматривается как балка на упругом основании.
1. Исследование влияния параметров двухрядного продольного стыка двух полубесконечных листов на распределение усилий по связям. Соединение листов осуществляется с помощью двух рядов одинаковых точечных связей, расположенных с регулярным шагом в шахматном порядке как показано на рис. 3 (под рядом в данном случае понимается совокупность связей равноудаленных от прямолинейного края листа). Подобные соединения в дальнейшем будем называть регулярными. Для расчета воспользуемся системой уравнений (4), в которой опущено уравнение равновесия моментов, а угол взаимного поворота листов ф — 0. Расчетная оценка показывает, что при N = 40 для десяти центральных связей неравномерность распределения усилий не превышает 3%. В табл. 1—5 приводятся расчетные зависимости отношения усилия на первый ряд к усилию на второй (^1/(32 от от-
Таблица 1
Ь = 18 мм, / = 30 мм, до = 12 мм,
¿ = 6 мм
А1/Л2
1 2 3 4
1 1,00 0,83 0,76 0,73
/¡2, ММ 3 1,00 0,88 0,85 0,82
5 1,00 0,92 0,90 0,88
Ь = 18 мм Таблица 2 1 = 30 мм, до = 12 мм, /12= 3 мм
Л1/Л2
1 2 3 4
4 1,00 0,92 0,89 0,88
(1, ММ 6 1,00 0,88 0,85 0,82
8 1,00 0,85 0,81 0,78
Таблица 4
Ь = 18 мм, I = 30 мм, й = 6 мм,
Лг = 3 мм
А1/А2
1 2 3 4
36 1,00 0,88 0,85 0,82
до, мм 600 1,00 0,96 0,95 0,94
6000 1,00 0,99 0,99 0,99
Таблица 5
/ = 30 мм, до = 12 мм, й = 6 мм,
= 3 мм
А1/Л2
1 2 3 4
18 1,00 0,88 0,85 0,82
А, мм 36 1,00 0,81 0,74 0,71
6000 1,00 0,73 0,62 0,55
Таблица 3
Таблица 6
6 мм. Л2 = 3 мм и1 0,5 1,5 2,0 3,0 4,0
А1/Л2 ^нер/^рег 0,81 1,09 1,16 1,33 1,44
1 2 3 4
12 1,00 0,76 0,69 0,65 Таблица 7
/, мм 24 1,00 0,86 0,82 0,79 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
60 1,00 0,94 0,92 0,91 ^нер/^рег 0,89 0,97 1,02 1,06 1,10
ношения толщин соединяемых элементов — Л1/Л2 и параметров Лг, й, /, ¿>
(рис. 3). Значения параметров приводятся в начале таблицы, все размеры в мм.
2. Влияние нарушения регулярности параметров продольного соединения на распределение усилий по связям. В табл. 6, 7 приводятся зависимости отношения максимальной силы на связь в нерегулярном соединении (диаметр или шаг всех связей одинаков, за исключением одного) к силе на связь в регулярном соединении от относительных величин нарушения равномерности шага между двумя связями — 1и/1 и диаметра связи — йи/й. Параметры регулярного соединения: А, = А2 = 3 мм, 6 = 18 мм, ш = 12 мм, / = 30 мм, (1— 6 мм.
3. Расчет соединения двух листов, нагруженных в своей плоскости моментом. Ранее (например [6]) при расчете распределения усилий по связям соединений, нагруженных в своей плоскости моментом предполагали, что соединяемые элементы абсолютно жесткие. При нагружении они поворачиваются относительно друг друга вокруг оси, перпендикулярной плоскости соединения. Точка пересечения этой оси вращения и плоскости соединения обычно называют центром вращения. Так как соединяемые элементы предполагаются абсолютно жесткими, перемещения связей, а следовательно и сила,
М
^— "\
( 13,SH Ji?K I îK2H \
/ I 13M Ш \ \11,2H ]
МЧНн 4 = 2,27-10'
Рис. 5
действующая на них, прямо пропорциональны расстоянию от центра вращения. Силы на связи действуют в направлении перпендикулярном линии, соединяющей их с центром вращения. Предлагаемый метод дает возможность рассчитывать подобные соединения с учетом податливости как соединяемых элементов, так и связей. На рис. 4 и 5 приведены примеры расчета распределения усилий по четырем связям (модуль упругости — 210000 МПа, коэффициент Пуассона — 0,28) соединения двух полубесконечных листов (модуль упругости — 7,2 • 104 МПа, коэффициента Пуассона — 0,33) с помощью ранее используемого метода — рис. 4 и с помощью предлагаемого метода — рис. 5. Из рисунков видно, что даже для такого простого, симметричного соединения результаты расчетов различны. Например: составляющая усилия на связь по оси х на десять процентов, а угол поворота более чем в два раза больше при расчете с помощью предлагаемого метода.
Приведенные примеры показывают, что описанный метод расширяет возможности расчета НДС соединений. К недостаткам метода следует отнести тот факт, что соединяемый элемент типа «лист большой ширины» должен быть постоянной ширины, по крайней мере в районе установки связей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kuhn P. Stress in aircraft and shell structures, (Ch. 4) 1956.
2. M a с Combs W. F., McQueen J. C., Perry J. L. Analitical design methods for aircraft structural joints. — AFFDL—TR—67—184, 1968, TAN.
3. Будянский Б., T а й-т e У. Распределение усилий в заклепочном соединении стрингера с листом. Механика. — М.: 1961.
4. Павелко В. П. Распределение усилий в заклепочном соединении стрингера с листом с учетом податливости заклепок.— В сб.: Динамика, выносливость и надежность авиационных конструкций и систем,—М.: 1978.
5. В л а с о в В. В. Неограниченные пластины, нагруженные внутри сосредоточенными и распределенными локальными нагрузками. Расчеты на прочность. — М.: Машиностроение, 1986, №■ 27.
6. Kam te ka г A. G. Wittrick limit analysis of fastener groups under eccentric load. — International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1984, vol. 20.
Рукопись поступила 5/IV 1989 г.
