CC BY
11
МЕТОД РАСЧЕТА ЭКСТРШАДНШХ ЗНАЧЕНИИ ПОКАЗАТЕШ КАЧЕСТВА ХИМШ0-ТШ0Л01МЕ(ЖИХ ПРОЦЕССОВ
А.й.Рубан
Применение статистических методов планирования экспериментов позволяет отыскивать уравнения связи между показателями качества и входными переменными в виде степенных полиномов I и П степени» Затем необходимо найти такой набор входных переменных, который обеспечивает экстремум показателя качества. Накладываемые на входные переменные ограничения часто имеют простейший вид а ^ х £ в, В этом случае мы имеем задачу линейного либо квадратичного программирования. Если первая из * них решается сравнительно просто, то решение второй приводит к сложным алгоритмам, реализация которых даже на УЦВМ среднего класса вызывает значительные трудности.
На практике часто встречаются задачи, когда независимых, переменных 2 или 3 и необходимо в достаточно короткий срок найти оптимальные условия ведения технологических процессов/ Для таких задач небольшой размерности желательно иметь алгоритм, позволяющий делать ручные расчеты любому инженеру-технологу, незнакомому с программированием на УЦШ. Это дало бы возможность, во-первых, вести контроль за расчетами на УЦВМ и, во-вторых, более оперативно управлять технологйческими процессами, когда нет "под рукой" ЦВМ, либо имеются малые Ш.
Алгоритм, обладающий указанными свойстваш, приводим в данной работе.
Несмотря на простую идейную основу автор не встречал описания, его в существующей литературе по нелинейному программированию. Все расчеты по этому алгоритму можно вести с помощью подручных вычислительных средств (логарифмическая линейка, счетная машинка),и при получении достаточных навыков решение отыскивается в короткий срок Сдля одной задачи необходимо не больше 1-2 часов).Кроме того для числа переменных 3 алгоритм можно легко реализовать на УЦВМ.
Постановка задачи. Необходимо найти максимум функции второго порядка.
~ртх + хтСх = дх9 г/?2х, + /?3т3 +
при наличии ограничений
а^ ^¿¿г / г. I, 2, 3 (2)
Дальше иы для простоты будем рассматривать случай, когда
- I 6 х. й I, ' ¿= 1, 2, 3, (3)
ибо метод при этом не херне? своей общности. В уравнении (I) использованы обозначения
'44
С
41
'%< си схъ
с>< Сы. СЬ>А
3 = С32
(4)
причем ^21 *
Метод решения«
I. Определяем вид поверхности о7(х) в координатном пространстве ( , Хь )• Это можно сделать следующими дзумя способами*
а).Используем теорему Сильвестра о положительной определенности матрицы С•
Если все определители Сильвестра положительны,
&<*\С44\>0, Д
сн С<1 Сл<
>О
•и
К
а
С-** С г $ Сцз
Ы
¿л
ъь. с гъ
>0
(5)
то ^(х) имеет минимум.
Если нечетные определители Сильвестра отрицательны, а четные положительны
&н<0 , Д£ >0 , А3 ¿0 , (6)
тооТ(х) имеет максимум,
В остальных случаях <У(х) это поверхность минимакс (седлообразная), либо типа гребня (оврага)»
б) Приводим о7(х) к каноническому виду. Так как нас интересует лишь вид поверхности, то достаточно найти любую каноническую форму из всех существующих* Поэтому используем достаточно простой и универсальный метод - метод Лагранжа.
Приводим к каноническому виду квадратичную форму х1 Сх. Если в матрице С элемент С11 4 0, то переходим к новым координатам в соответствии с линейным преобразованием
ч = Снх< ^ с
Ь -
X
Отсюда получаем связь между старыми координатами и новыми
'¿Ь - Т^У.-т&Ух
Тг = &
= Уь
■г - 7г ,
п —
или в матричной форме х ' А =
— ^ ^13
С ц Си
О 1 о
0 0 1/ 18)
В новых переменных квадратичная форма приобретает вид
хтСх * угА тич=утЯу, И = А ТСА - ( £а ) 9)
\ а йгг ¿зз/
Так как обычно ^ 22 ^ то пРименим линейное преобразование координат, аналогичное вышеописанному;
Ь, =У,
= йггУг + ,
Ь 3 = Уь,
ила '
1-Е к , £-(« и0)
Запишем квадратичную форму в новых координатах к
х7Сх-ут1)у^тЕтЛк^тРк, 1гг°0 ) си)
т.е. получим канонический вид
Теперь можно записать и канонический вид для всего квадратичного уравнения (если0„ / = I, 2,; 3)
Отсюда следует, что:
1) если У-7> 0, =1, 2г 3, то «7(х) имеет минимум
2)если / 0, = I, 2, 3, то - максимум;
3) имеют различные знаки, то 3 (х) - поверхность типа ми-нимакс. Возможны другие виды поверхностей второго порядка. Мы их здесь не рассматриваем.
1) Поверхность 3 (х) имеет центр в точке, координаты которой находятся из системы линейных алгебраических уравнений
1 ii
> hi Щ > I = I. 2, 3 (14)
где i =£~А~'х , (х = А Ек ) . 115)
2) Если 3 (х) имеет минимум, то решение (максимум <7 (х)) будет в вершинах куба ограничений. В этих точках 3 (х) сравнивается и точка, дающая наибольшее значение 3 (х), будет решением задачи.
Если J (х) имеет максимум и он находится внутри заданной области, то точка, соответствующая максимум 3 (х), будет решением задачи. Для расчета координат сс р ос2, необходимо решить систему линейных неоднородных алгебраических уравнений
р + 2 Ох у tig)
или систему (14).
В остальных случаях решение следует искать на поверхности куба ограничений. Для этого необходимо последовательно исследовать на максимум функцию отклика на всех гранях куба,
3) Поиск максимума 3 (х) на поверхности куба ограничений, а) Фиксируем Х^ « + I. Тогда 3 (х) станет полиномом
второй степени от двух переменных х2 и xg, и исследовать 3 (х2, xg) следует так же, как и для случая двух переменных.
Если 3 (х2, Х3) имеет минимум, то максимум 3 (х2, Х3) следует искать в вершинах квадрата ограничений, т.е, в точках: (1,1), (1,-1), (-!,+!), (-1,-1). Из значений й (х2, х3) р этих точках выбирается наибольшее. Это и будет максимальное значение 3 (х^, х2, Х3) на грани х -
Если 3 (х2, Х3) внутри области - I ^ х • £ +1, i =2,3 имеет максимум; то это максимальное значение и будет решением на грани Х^ = + I.
В остальных случаях необходимо максимум 3 (х2, xg) искать на поверхности квадрата ограничений - 11 xY- l I» ¿ = 2,3, Фиксируем х2 = +1 и ищем экстремум 3 (х3) при наличии ограни-
чевия -I i Х3 ^ + I, Решение этой одномерной задачи уже не представляет труда. Запоминаем полученное максимальное значение 3 к соответствующие ему значения координат. Затем последовательно фиксируем х^ = I, Х3 = +1, Х3 - -I» отыскиваем и запоминаем максимальное значение 3 . Из этих четырех максимальных значений J выбираем наибольшее - решение задачи на транш х^ - +1,
б) Фиксируем Xj = -I и вновь повторяем все действия уписанные в пункте маи.
Затем последовательно исследуем грани х2 = +Х> xg ~ -I, Х3 ж -Erl» Xq = «Г. В конце для каждой грани выбираем из решений то, которое соответствует наибольшему значению (х).
Заключение, Ha. основе описанного алгоритма автором решены экстремальные задачи на поиск оптимальных условий ведения процесса гидрокрекинга при получении чистых бензола, нафталина ш мезитилена / I Л Алгоритм прост в вычислительном отношении, доступен любому инженеру-технологу и с малыш затратами ~ его можно реализовать на УЦЩ.
Литература
I, Рубан А*И,, Эльберт Э.И. Расчет экстремальных значений параметров гидрокрекинга при получении чистых бензола, нафталина и мезитилена* Отчет по НИР. Томск - Новокузнецк, 19710
ИССЛЕДОВАНИЕ С0РЕЦИ0Ш0Й СПОСОБНОСТИ ОКИСИ МАГНШ С ДОБАВКАМИ
В.В.Нахалов, Н.Ф.Стась, Г.Г.Савельев, Т.С.Горина
Исследования по сорбции углекислого газа и паров вода проведены на 13 образцах окиси магния, полученной при различных условиях, и на П. образцах с "гомофазными" добавками.
Окись магния без добавок получали термовакуумным разложением основных карбонатов магния 4б!юсредственно в ячейке весовой установки. Основные карбонаты осаздали из растворов азотнокислого или хлористого цагния различной концентрации растворами бикарбонатов аммоцияг\калия или натрия. Все синтезы прово- ' делесь прк комнатной температуре. Основные данные по методикам
