Использование компьютерной алгебры в задаче локализации инвариантных компактов динамической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

J

УДК 517.925.42

А. Н. Канатников

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ В ЗАДАЧЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ИНВАРИАНТНЫХ КОМПАКТОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрено применение метода локализации инвариантных компактных множеств автономной динамической системы для исследования динамических систем высокой размерности. Предложены методы компьютерной алгебры для решения типовых задач локализации: вычисления производной в силу системы, анализа степени полиномиальной функции, исследования квадратичной функции на положительную определенность и т.п. Эти методы использованы для исследования пятимерной системы Лоренца. Получено семейство локализирующих множеств эллиптического типа.

В поведении динамической системы важную роль играют инвариантные компактные множества, среди которых — точки покоя, циклы, инвариантные торы, аттракторы. Выявлению инвариантных компактных множеств, в первую очередь аттракторов, посвящено большое число работ (например, [1-3]).

Один из методов оценки положения инвариантных компактных множеств предложен А.П. Крищенко [4, 5]. Этот метод среди других выделяется тем, что практически не использует геометрических соображений и сводится к алгебраическим вычислениям. Суть его в следующем.

Для автономной динамической системы х = /(х) выбирается какая-либо гладкая функция ф (локализирующая функция), определенная на фазовом пространстве М динамической системы, вычисляется ее производная Lf ф в силу системы (производная Ли по векторному полю, соответствующему динамической системе) и строится множество

Б^ = {х е М: Lf ф(х) = 0}

(универсальное сечение).

Пусть ф^ и ф8ир — точная нижняя и точная верхняя грани функции ф на множестве Б^. Тогда все инвариантные компакты динамической системы содержатся в множестве

% = {х е М: ф-т{ < ф(х) < ф8ир}.

Основная проблема в использовании метода А.П. Крищенко состоит в выборе локализирующих функций. Трудно добиться хорошего

результата, используя только одну функцию. Желательно выбирать некоторое семейство функций. Кроме того, все вычисления в этом методе носят аналитический характер. При неудачном выборе локализирующей функции р задача нахождения точной верхней и точной нижней граней этой функции на универсальном сечении может не иметь аналитического решения. Эти трудности ограничивают возможности метода.

Но даже если экстремальная задача и имеет аналитическое решение, поиск этого решения затрудняется в случае динамических систем высокой (больше 3) размерности.

Исследование некоторых общеизвестных динамических систем — системы Лоренца, системы Ланфорда, ПРТ-системы — выявило некоторые типовые приемы выбора локализирующих функций и их исследования. Эти приемы можно реализовать с помощью компьютера, привлекая ту или иную систему компьютерной алгебры. В результате можно решать задачи, которые в принципе имеют аналитическое решение, но это решение технически трудно реализуемо.

В данной работе описываются некоторые приемы исследования полиномиальных систем с помощью системы компьютерной алгебры Maple. Разработанная библиотека функций была использована для исследования пятимерной системы Лоренца.

Функции Maple для выполнения типовых операций. Рассматриваются динамические системы полиномиального типа, т.е. системы, описываемые системой дифференциальных уравнений, правые части которых представляют собой полиномы от переменных состояния. Для решения задач локализации инвариантных компактных множеств динамических систем разработана библиотека из нескольких функций Maple. Эта библиотека использует некоторые функции пакета LinearAlgebra и базируется на стандартных типах данных Vector и Matrix.

Для вычисления производной заданной функции в силу системы (производной Ли в силу системы) используется функция DiffLee. Ей передаются: вектор правых частей динамической системы; функция, для которой вычисляется производная в силу системы; вектор переменных заданной функции (необязательный параметр). Функция DiffLee возвращает вычисленную производную.

Для формирования квадратичной локализирующей функции предназначена функция GetLocFun. Ей передается число переменных (размерность динамической системы), она возвращает алгебраическое выражение, в котором переменными являются координаты вектора x. Можно также использовать функцию GetLocFun в специальном режиме, передавая ей матрицу квадратичной формы и вектор коэффициентов линейной формы.

Среди квадратичных функций интерес представляют те, для которых производная в силу системы тоже является квадратичной функцией. В этом случае универсальное сечение представляет собой поверхность второго порядка, а свойства таких поверхностей хорошо изучены. Чтобы получить уравнения на коэффициенты квадратичной функции, при выполнении которых производная в силу системы есть квадратичная функция, используется функция GetCubeConds. Ей передается вектор правых частей динамической системы. Функция GetCubeConds генерирует с помощью функции GetLocFun локализирующую квадратичную функцию общего вида, вычисляет производную этой функции в силу системы и формирует систему уравнений на коэффициенты, при выполнении которых производная является квадратичной функцией.

Функция PosKFConds используется для исследования производной квадратичной функции на положительную определенность. Входными данными функции являются вектор правых частей системы и матрица квадратичной формы локализирующей функции. Функция PosKFConds формирует локализирующую функцию с заданной матрицей квадратичной формы и линейной частью общего вида, вычисляет ее производную в силу системы и записывает условия положительной определенности производной в соответствии с критерием Сильвестра. Функция PosKFConds не проверяет, является ли производная локализирующей функции квадратичной. В качестве квадратичной формы производной выбирается матрица Гессе, вычисленная при нулевых значениях переменных.

Библиотека функций оформлена как файл формата MPL. Это текстовый файл, который вводится в документ Maple с помощью функции Read. Выбор формата MPL обусловлен тем, что MPL-файл, являясь текстовым, не зависит от версии системы Maple и легко подключается к любой программе Maple.

Исследование с помощью Maple пятимерной системы Лоренца. Разработанная библиотека функций Maple использована при исследовании пятимерной системы [6]

/

X1 = —ax i + ay i;

X 2 = —ax 2 — ay2; < yi = pxi — xiz — yi; (1)

У2 = —px 2 + x2Z — y2;

^ Z = xiyi — x2y2 — 0Z,

описывающей конвекцию Релея-Бенара (Rayleigh-Benard). Система (1) является пятимерным аналогом известной трехмерной системы

Лоренца. В системе (1) все три параметра предполагаются положительными.

Система (1) содержит решения трехмерной системы Лоренца, например в виде (xi(í);ü; yi(t);0; z(t))T. Поэтому в ней имеется хаотическое поведение. Кроме того, система (1) — полиномиальная, причем степени правых частей не превышают 2. Рассмотрим несколько вопросов:

1. При каких условиях квадратичная функция ^ имеет производную Dу в силу системы, которая тоже является квадратичной функцией?

2. При каких условиях производная Dy не только является квадратичной, но и имеет квадратичную форму канонического вида?

3. Каковы условия, при которых производная Dy имеет положительно определенную квадратичную форму?

Ответы на эти вопросы позволят выделить одно или несколько семейств функций ^q, для которых можно построить локализирующее множество. Далее речь пойдет об исследовании конкретных семейств.

Производная квадратичной функции как квадратичная функция. Рассмотрим квадратичную функцию общего вида*:

<^(x) = xTAx + 2Bx,

где A — симметричная матрица 5-го порядка; B — матрица-строка, содержащая коэффициенты линейной формы.

Поскольку правые части системы дифференциальных уравнений (1) являются квадратичными функциями, производная Dy в силу системы представляет собой в общем случае многочлен 3-й степени. Используя функцию GetCubeConds, получим систему уравнений на коэффициенты функции при выполнении которых функция Dy будет квадратичной:

«15 = 0, ai3 = 0, a25 = 0, a 14 = a>23, «35 = 0, «45 = 0, азз = a55, «34 = 0, a24 = 0, «44 = a55.

Из этих соотношений вытекает, что функция Dy будет квадратичной тогда и только тогда, когда матрица A имеет вид

(«11 «12 0 p 0\

«12 «22 Р 0 0

0 p q 0 0

p 0 0 q 0

\ 0 0 0 0 q)

(2)

Как видим, условие квадратичности производной оставляет свободными всего 6 параметров (вместо 15 исходных). Сюда нужно добавить

* Свободный член в данном случае можно опустить.

еще 5 параметров линейной формы. В силу однородной зависимости от параметров можно сократить число параметров до 10.

Канонический вид производной квадратичной функции. Рассмотрим квадратичную функцию р, у которой квадратичная форма имеет матрицу А вида (2). Производная функции р в силу системы (1) является квадратичной функцией. С помощью компьютерной алгебры вычисляем матрицу квадратичной формы функции Б^ как матрицу Гессе, умноженную на коэффициент 1/2. В результате получаем следующую матрицу Н, отличающуюся от матрицы квадратичной формы знаком:

( 2ацо 2а!2о —Ь5—ацо — др р+ро + а!2о Ь3 \

2а\2 о 2а220 р—а^о+ро Ь^+а22о+др —Ь±

—Ь5—ацо—др р—а!2о + ро 2д 0 0

р+ро+аХ2 о Ь5+а22о+др 0 2д 0

\ Ь3 —Ь4 0 0 2дв/

Отметим, что по матрице Н можно судить об условиях, при которых функция Б^ имеет знакоопределенную квадратичную форму. Например, необходимым условием положительной определенности является неравенство д < 0. Это вытекает из критерия Сильвестра, но угловые миноры выбирать надо не сверху, а снизу. Первые три минора дают элементарные условия, а два последних приводят к сложным неравенствам.

Из вида матрицы Н получаем условия, при которых квадратичная форма функции Б^ имеет канонический вид, т.е. условия диагональ-ности матрицы Н:

Ь3 = Ь4 = 0, р = 0, а!2 = 0, ац = а22, Ь5 = —ацо — др.

Полагая ац = а22 = к, можем записать вид функции р, для которой квадратичная форма ее производной Б^ в силу системы имеет диагональный вид:

р = к(х2 + х2) + д(у! + у2 + z2) + 2Ь\X! + 2Ь2Х2 — 2(ко + др)г. (3)

При этом 1 2

— оЬхух + оЬ2У2 + дв?2 — в (ко + др)г.

- -Dv = ko(x\ + x\) + a(biXi + b2x2) + g(y\ + y2,)-

Семейства локализирующих функций. Семейство (3) определяется четырьмя параметрами: к, д, Ь\, Ь2. Здесь выделяется эллиптический случай к > 0, д > 0 (или к < 0, д < 0, что не дает ничего нового), когда и сама функция р, и ее производная Б^ в силу системы являются знакоопределенными. При этом поиск экстремальных значений

функции ф на множестве Б^, которое описывается уравнением = 0, сводится к вычислению условных локальных экстремумов на компактном множестве. Тогда можно считать, что к = 1, и остановиться на функции

ф = (х1 + х2) + д(у2 + У2 + г2) + 261 х1 + 2Ь2х2 - 2(* + др)г.

Интересен также цилиндрический случай к = 0, д = 0 и к = 0, д = 0. При к = д = 0 имеем случай линейной локализирующей функции.

Гиперболический случай (к > 0, д < 0) сложен для исследования, поскольку функция ф не является выпуклой, а поверхность универсального сечения — компактной.

Исследование системы в эллиптическом случае. Рассмотрим следующую функцию, отличающуюся от функции вида (3) постоянным слагаемым:

ф = (х1 + 61)2 + (х2 + 62)2 + д(у2 + у2) + д(г - - - р) .

Тогда

1 ( 61 \ 2 ( 62 \ 2 ( *61 \ 2

- = ^х1+ * (х2++ Ф1-+

. ( . *62\2 , ,, ( * + др\2 „2

где

Д2 = 4(62 + 62) + (62 + б2) + | (* + др)2. (4)

В результате получаем задачу

* д

(xi + bi)2 + (x2 + b2)2 + + У2) + - - - p) ^ extr;

( 61 \2 ( 62 \2 ( *61 \2 4х1 + -2) + 4х2 +27 + Ф1 - 21) +

( *62 \2 ~ ( * + др \

Выполним замену переменных: Х1 = х + 61, Х2 = х + 62, У1 = У"2 = -ду2, ^ = --Р). Получим следующую задачу:

= R2.

а + qp\

X2 + X22 + Yi + Y22 + Z2 ^ extr;

bi )' + '(*-I )2+ (Y-^ )'+

+ < Y2 + 2 + '(* + i+f)2 = R2-

У целевой функции очевидна точка минимума Хг = Х2 = Уг = = У2 = Z = 0; этот минимум — глобальный. Полагая, что максимальное значение целевой функции при заданной связи есть М=М(Ьг, Ь2 ,д), получим локализирующее множество П(Ьг,Ь2,д), описываемое неравенством

(X! + Ьг)2 + (Х2 + Ь2)2 + д(у2 + у%) + д(г — о — р)2 < М(Ьъ Ь, д)

и представляющее собой множество, ограниченное четырехмерным эллипсоидом. Так как пересечение локализирующих множеств также является локализирующим множеством, можно перейти к пересечению трехпараметрического семейства:

П = Р| ГГ(Ьг,Ь2,д), Ьг,Ь2 е (—то, то), д е (0, то).

Остановимся на частном случае Ь1 = Ь2 = 0. Тогда имеем задачу

^2 , \т2 , т/2 т/2 <72

X2 + X22 + Y{ + Y22 + Z2 ^ extr;

^ , V2 , V2 , , a + gpY = R

27g

aX2, + aXi + Y2 + Y* + ß(z + = R2.

aU 2 + V2 + ß(z + a+pp Y = R2.

\ 2 л /g /

В этой задаче заменой переменных и2 = X2 + Х%, V2 = У2 + У22 переходим к трехмерной задаче

и2 + V2 + Z2 ^ вхИ;

2

Полагаем д = ^/г, отмечая при этом, что д > л/ор. Свободный

параметр д мы можем заменить новым параметром d. Кроме того, учтем, что согласно (4) Я2 = вд2 (поскольку Ьг = Ь2 = 0). Получаем задачу на условный экстремум:

^ = и2 + V2 + Z2 ^ вхИ;

ои2 + V2 + в^ + д)2 = в^2. (5)

Задачу (5) можно решать методом Лагранжа. Составив функцию Лагранжа

Ь(и, V, Z; А) = и2 + V2 + Z2 + Х(ои2 + V2 + в^ + д)2 — вд2)

и записывая необходимые условия экстремума, получаем систему уравнений

(1 + Л* )и = 0;

(1 + Л)У = 0;

(1 + Лв + Лва = 0;

*и2 + V2 + в (я + а)2 = ва2.

Очевидные решения системы и = V = Я = 0, Л = 0 и и = V = 0, Я = -2а, Л = -2/в дают глобальный минимум = 0 целевой функции и значение = 4а2. Вариант Л = -1 (из второго уравнения)

в 2 а2

возможен при ß > 2 и дает третье значение F3 =

ßd

ß - 1

ции в точках U = 0, V = ±—-Vß - 2, Z =

ß - 1

что при ß > 2 выполняется неравенство

целевой функ-

ßd

ß2 d2 ß - 1

ß - 1

Отметим,

> 4d2. Наконец, ва-

риант Л = -1/* реализуется при в > 2* и дает четвертое значение

в 2 а2

= ——--, причем > 4^2 при в > 2*.

*(в - *)

Итак, максимум функции ф на универсальном сечении есть одно

,2 ^ в2 в2 О2

из значении = 4а2, г3 = —-, = ——-- в зависимости от

в - 1 * (в - *) взаимного расположения трех значений: 1, * и в/2. На рис. 1 показана

область изменения параметров в, *, разделенная на три подобласти в

соответствии с тем, какое из трех значений дает максимум функции ф.

( I ) 2

Исходя из рис. 1, можно записать, что ф8ир = Кв<7-

1,

q

где

ß2

Kßa =

ß < 2а, ß < 2; ß> 2, а > 1;

ß > 2а, а < 1.

(6)

4(ß - 1)'

ß 2

4а (ß - а),

Мы имеем однопараметрическое семейство локализирующих множеств (q) = ^(0, 0,q), q > 0, описываемое неравенством

x2 + x2 + qy2 + qy2+

+ q z

(z -

а + qp

(а + qp)2

< Kßa qq

Рис. 1. Область изменения па-

Найдем пересечение этого семейства.

Умножим неравенство на д и запи-раметров системы, обеспечива- шем в виде Ад2 + Вд + С > 0: ющих максимум целевой функции р

2

[К^р2 - »2 - у22 - (г - р)2] д2+

+ [2Кв.*р - х1 - х2 + 2*(г - р)]д + (Кв. - 1)*2 > 0.

Здесь

А = Квар2 - У2 - У2 - - р)2;

В = 2Кй.*р - х1 - х2 + 2*(г - р); С = (Кв. - 1)*2.

Для того чтобы неравенство Ад2 + Вд + С > 0 выполнялось для любого значения д > 0, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты А, В, С удовлетворяли неравенствам А > 0, С > 0, В > - \/4АС. Видно, что неравенство С > 0 ^ Кв. > 1 выполняется всегда. В результате получаем систему неравенств

У2 + У2 + (г - р)2 < Кв.р2;

х2 + х2 < 2*г + 2Св.*р + 2*^. [Кв.р2 - у2 - у2 - (г - р)2],

где Св. = Кв. - 1.

Исследование системы в цилиндрическом случае. В общем виде (3) локализирующей функции положим д = 0, к = 1. Получим:

ф = х2 + х2 + 261х1 + 262х2 - 2*г. (7)

При этом

-1Д^ = *(х2 + х2) + *(61х1 + 62х2) - *61У1 + *62У2 - в*г.

Получаем задачу

х2 + х2 + 261х1 + 262х2 - 2*г ^ ех^; х2 + х2 + 61х1 + 62х2 - 61У1 + 62У2 - вг = 0. Из уравнения связи выражаем г и подставляем в целевую функцию:

х1 + х2 + 261х1 + 262х2 - (х! + х2 + 61х1 + 62х2 - 61У1 + 62У2) ^ ех^;

в

Переменные х1, х2, У1, у2 могут варьироваться свободно, поскольку условие связи может быть обеспечено соответствующим выбором г.

Для 61 = 62 = 0 получаем ф^ = 0 и ф8ир = при в > 2* и фвир = 0 и ф^ = -то при в < 2*. Это приводит к локализирующему множеству П2, которое описывается неравенством х2 + х2 > 2*г при в > 2* и неравенством х1 + х2 < 2*г при в < 2*. Особо выделим случай в = 2*, когда все инвариантные компакты лежат на поверхности х2 + х2 = 2*г.

Если один из параметров Ь\, Ь2 отличен от нуля, целевая функция линейно зависит от у1 и/или у2. Следовательно, фш = —то, = то. Содержательного локализирующего множества в этом случае нет.

В общем виде (3) локализирующей функции положим д = 1, к = 0. Получим

V = у\ + у2 + -г2 + 2ЬгХг + 2Ь2х2 — 2р-. (8)

При этом

—1Б^ = а(Ь\Х1 + Ь2Х2) + у\ + у\ — оЬхух + аЬ2у2 + в-2 — вр-. Приходим к задаче

у2 + у2 + -2 + 2Ь1Х1 + 2Ь2Х2 — 2рг ^ ех1г;

а(Ь1Х1 + Ь2Х2) + у2 + у2 — оЬ1у1 + аЬ2у2 + в-2 — вР- = 0.

Рассмотрим два случая. При Ь1 = Ь2 = 0 задача (9) сводится к следующей:

У2 + У2 + -2 — 2р- ^ ех^; у2! + у2^ + в-2 — вр- = 0.

Из уравнения связи этой задачи находим у1 + у2 и подставляем в целевую функцию:

ф = (1 — в)-2 + р(в — 2)-.

Задача состоит в поиске наибольшего и наименьшего значения квадратного трехчлена ф при условии, что р- — -2 > 0. Это условие означает, что 0 < - < р. Экстремальные значения могут достигаться

р(в — 2)

на концах отрезка 0 и р, а также в точке - = —— локального экстремума, если она попадает в отрезок [0, р], т.е. при в > 2. Отметим, что V ^ —р2, так что значение —р2 является глобальным минимумом. В результате получаем локализирующее множество П3, описываемое неравенством

у2 + у2 + (- — Р)2 < р2Кв1,

где Кр1 — коэффициент, вычисляемый согласно соотношению (6) при

а = 1.

Во втором случае, при Ь\ + Ь2 = 0 из уравнения связи выражаем Ь1Х1 + Ь2Х2 и подставляем в целевую функцию. Приходим к экстремальной задаче без ограничений на переменные: 2

ф = у2 + у2 + -2 + а (—у1 — у2 + аЬт — аЬ2у2 — в-2 + вр-) — 2р- ^ ехЬт .

Преобразуем целевую функцию:

2) (У2! + У2) + (l - ^вУ2 + 2Ьт - 2Ь2У2 + 2Ка - 0

Диапазон значений полученной квадратичной функции определяется ее квадратичной формой. Если знаки при квадратах переменных разные, т.е. если величина о заключена между 2 и 2в, то диапазон значений функции — вся числовая ось и локализирующего множества нет. Если знаки одинаковые, то имеется точка экстремума.

При о > 2, о > 2в выделением квадратов переменных находим минимум функции ф:

о(Ь? + 6?) р2(в - о)2

^min

о - 2 о (о - 2в)

Это дает семейство локализирующих множеств П4(61,62), описываемое неравенством

2 2 2 , о(62 + 62) р2(о - в)2 /1ЛЧ

У? + у2 + + 261X1 + 262X2 - 2рг >--( 1 2) - ^-^. (10)

о - 2 о(о - 2р)

Чтобы найти пересечение семейства П4(61,62), запишем неравенство (10) следующим образом:

*(6? + 62) а- 2

+ 26ixi + 262x2+

+ У? + у2 + + р2((о 2^ - 2рг > 0. (11)

о(о - 2р)

Неравенство (11) выполняется для любых действительных 61 и 62, одновременно не обращающихся в нуль. Следовательно, минимальное значение левой части, являющейся квадратичной функцией переменных 61 и 62, тоже неотрицательно. Подсчеты дают

(1 - 2)(*? + х2) < у? + у?2 + (* - р)2 + ^.

Аналогично проводим исследование при о < 2, о < 2в. В этом случае функция ф имеет максимум, который можно найти выделением квадратов по переменным. Получаем семейство локализирующих множеств П4(61,62), которое описывается неравенством

о(6? + 62) , р2(в - о)2 2 2 2

-2) - 261X1 - 262X2 + ^-\ - у2 - - + 2рг > 0.

2 - о о(2р - о)

Пересечение П4 семейства П4(61,62) для случая о < 2, о < 2в описывается неравенством

(2 - 1)(х? + X?) < - у'2 - У22 - (г - р)2.

Конечные результаты. Исследование системы (1) привело к нескольким локализирующим множествам, описанным в виде нера-

венств. Вид соответствующих неравенств зависит от значений трех параметров системы. Рассмотрим частный случай в = 3, а = 10, р = 30. В этом случае выполняются неравенства в < 2а, а > 2, а > 2в. Следовательно, локализирующее множество описывается системой неравенств

V2! +у1 + (г - р)2 < Квар2;

х?+х2 < 2аг+2Сваар+2а^С^ [К^р2-у\-у|-(г-р)2];

1 x\< 2az; Vi+vl + (z - p)2 < Keip2;

(12)

а

а-2

(V2 + y22 + (z - p)2) +

22

ß 2 P

(а - 2)(а - 2в)'

Так как в данном случае К@а = К в 1, первое и четвертое неравенства системы (12) совпадают. Третье неравенство включает второе, поскольку Сва > 0. Таким образом, число неравенств в системе (12) можно уменьшить:

' у2 + У22 + (г - р)2 < Квар2;

xi + x2 < f (Vi,у2,z),

(13)

где

а ß 2 p2

f (yi,y2,z) = mi^ 2az; (y2 + y22 + (z - p)2) + (а - 2Ка - 2ß)

На рис. 2 в переменных и = у/х2 + х2, V = \/УГ+~У1, г показаны траектория системы с начальными условиями х1 = 1, х2 = х3 = у1 = = У2 = г = 0 и локализирующее множество (13).

Рис. 2. Траектория системы и локализующее множество

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонов Г. А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // Прикладная математика и механика. -2001. - Т. 65. - № 1. -С. 21-35.

2. Neukirc h S. Integrals of motion and semipermeable surfaces to bound the amplitude of a plasma instability // Phys. Rev. E. - 2001. - V. 63.

3. Giacomini H., Neukirc h S. Integral of motion and the shape of the attractor for the Lorenz model // Phys. Letters A. - 1997. - V. 240. - P. 157-160.

4. Крищенко А. П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. - 1995. - № 11. - С. 1858-1865.

5. К р и щ е н к о А. П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. - 2005. - № 12. - С. 1597-1604.

6. Chen Z. - M., P r i c e W. G. On the relation between Rayleigh-Benard convection and Lorenz system // Chaos, Solitons and Fractals. - 2006. - V. 28. - P. 571-578.

Статья поступила в редакцию 21.03.2008

Анатолий Николаевич Канатников родился в 1954 г., окончил в 1976 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 40 научных работ в области теории функций, дифференциальных уравнений и информатики.

A.N. Kanatnikov (b. 1954) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1976. D. Sc. (Phys.-math.), assoc. professor of "Mathematical Modeling" department of the Bauman State Technical University. Author of 40 publications in the field of theory of functions, differential equations and information technology.

ЖУРНАЛ "ВЕСТНИК МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени Н.Э. БАУМАНА"

В журнале публикуются наиболее значимые результаты фундаментальных и прикладных исследований и совместных разработок, выполненных в МГТУ имени Н.Э. Баумана и других научных и промышленных организациях.

Журнал "Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана" в соответствии с постановлением Высшей аттестационной комиссии Федерального агентства по образованию Российской Федерации включен в перечень периодических и научно-технических изданий, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Подписку на журнал "Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана" можно оформить через агентство "Роспечать".

Подписывайтесь и публикуйтесь!

Подписка по каталогу "Газеты, журналы" агентства "Роспечать"

Индекс Наименование серии Объем выпуска Подписная цена (руб.)

Полугодие 3 мес. 6 мес.

72781 "Машиностроение" 2 250 500

72783 "Приборостроение" 2 250 500

79982 "Естественные науки" 2 250 500

Адрес редакции журнала "Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана": 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

Тел.: (499) 263-62-60; (499) 263-67-98 (499) 263-60-45. Факс: (495) 261-45-97. E-mail: press@bmstu.ru