Локализация инвариантных компактов дискретной системы Лози Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ИБН 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Локализация инвариантных компактов дискретной системы Лози

# 08, август 2013

Б01:10.7463/0813.0609276

Канатников А. Н., Михайлова О. В.

УДК 517.925.5

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]

Введение

Под задачей локализации инвариантных компактов динамической системы понимается построение таких множеств в фазовом пространстве системы, которые содержат все инвариантные компактные множества этой системы. Инвариантным множеством динамической системы называют такое множество в фазовом пространстве этой системы, которое вместе с любой своей точкой содержит и любую траекторию этой системы, проходящую через эту точку.

Задачи локализации инвариантных компактов динамических систем возникли двадцать лет назад как один из подходов оценки положения предельных циклов [1, 2, 3] и аттракторов [4, 5] автономных непрерывных динамических систем (автономных систем дифференциальных уравнений). Оказалось, что метод построения локализирующих множеств с использованием функций, на котором строилась оценка положения предельных циклов [1], имеет гораздо более широкие возможности. Впоследствии этот метод был сформулирован как общий метод локализации инвариантных компактов автономных динамических систем и был назван функциональным методом локализации [6, 7].

Функциональный метод локализации был перенесен на другие типы динамических систем, в частности автономные дискретные системы [6, 7, 8, 9]. Для дискретных систем развитие траектории в прошлое и будущее различаются, поскольку развитие в прошлое может быть неоднозначным. Поэтому для дискретных систем различают понятия положительно инвариантного множества (развитие в будущее) и отрицательно инвариантного множества (развитие в прошлое).

В данной работе с помощью функционального метода локализации исследуется дискретная система Лози [11, 12], предложенная как кусочно-линейный аналог не менее известной дискретной системы Хенона [9, 12, 13].

Работа организована следующим образом. В разд. 1 даются основные определения и вводятся основные понятия, описывается функциональный метод локализации для дискретных систем. В разд. 2 описывается исследуемая система Лози и некоторые ее особенности. В разд. 3 строятся локализирующие множества для положительно инвариантных компактов системы Лози, а в разд. 4 — для отрицательно инвариантных компактов этой системы. В заключении подводятся итоги исследования.

1. Основные определения и понятия

Под дискретной системой понимается соотношение вида

Хп+1 = F(Хп), п е 2, (1)

определяемое непрерывным отображением F: X ^ X, х С Кп. Это соотношение позволяет по заданному значению Хо последовательно найти значения х1, х2 и т.д., совокупность которых представляет собой положительную полутраекторию системы, определяемую начальным значением х0. Для вычисления значения х-1 следует решить систему уравнений F(х-1) = х0, которая может иметь единственное решение, некоторое множество решений или не иметь решений вообще. Повторяя этот процесс для п = -1, -2, ..., получаем некоторое семейство отрицательных полутраекторий системы, причем это семейство может быть пустым или иметь полутраектории, обрывающиеся при некотором значении индекса.

Объединение какой-либо отрицательной полутраектории и положительной полутраектории составляет траекторию системы. Точнее, траектория системы — это набор значений хп, где п пробегает все целые значения или полуинтервал п > п0, причем в последнем случае уравнение F(х) = хП0 решений в X не имеет.

Множество М С X называется положительно инвариантным для системы (1), если для любой точки х0 е М положительная полутраектория, начинающаяся в точке х0, целиком содержится в М. Множество М С X называется отрицательно инвариантным для системы

(1), если для любой точки х0 е М любая отрицательная полутраектория, завершающаяся в точке х0, целиком содержится в М. Сформулированное условие считаем выполненным, если для точки х0 не существует отрицательных полутраекторий.

Условия положительной-отрицательной инвариантности можно записать компактно с помощью теоретико-множественных включений [7]:

• М положительно инвариантно ^ F (М) С М;

• М отрицательно инвариантно ^ F-1(М) С М (здесь и далее F-1(М) обозначает полный прообраз множества М).

Множество М С X называется инвариантным для системы (1), если оно одновременно и положительно инвариантно, и отрицательно инвариантно.

Задача локализации (положительно, отрицательно) инвариантных компактов дискретной системы состоит в том, чтобы для любого множества ^ С X построить такое множество

С С X, которое охватывает все (положительно, отрицательно) инвариантные компакты системы, содержащиеся в ф. Такое множество С называется локализирующим.

Один из методов построения локализирующих множеств, называемый функциональным методом, основан на следующем факте. Пусть р: X ^ М — произвольная непрерывная функция, определенная на фазовом пространстве системы (она называется локализирующей).

Рассмотрим множества:

Теорема 1 (см. [7]). Любое положительно инвариантное множество системы (1), содержащее в множестве ф С X, содержится в множестве

Любое отрицательно инвариантное множество системы (1), содержащее в множестве ф С X, содержится в множестве

Укажем свойства локализирующих множеств, играющие важную роль в применении функционального метода локализации:

1. Если Па, а е I, — семейство локализирующих множеств, то их пересечение Р| Па —

локализирующее множество.

2. если ^(х) = Л(р(х)), где Л: М. ^ М. — строго монотонная функция, то для любого множества ф С X (ф) = П^(ф), (ф) = ПЦф). В частности, эти равенства выполняются

при Л(£) = а£ + Ь, а = 0.

3. Если функция р достигает точной верхней грани на X в некоторой точке х* е ф, то ^ир(ф) = ^вир(ф) = ^(х*). Если функция р достигает точной нижней грани на X в некоторой точке х* е ф, то р[п1-(ф) = ^|п1-(ф) = р(х*).

4. Любое положительно инвариантное множество системы (1), содержащееся в множестве С С X, содержится и в множестве F-1(С). Если множество С содержит все положительно инвариантные компакты системы (1), то и множество -Р(С) содержит все положительно инвариантные компакты системы (1).

Ц+ = {х е X: ^(х)) - ^(х) > 0} , = {х е X: ^(х)) - ^(х) < 0} .

Определим с помощью них значения:

Ры(ф) = 1п£ ^ир(ф) = виР

^!п£(ф) = М_ ^ир(ф)

же,р(Е-)пд

вир р(х),

же,р(Е+)пд

где

£(4) = {х е X: F-1(х) С А} = X \ F(X \ А).

ПДО) = {х е X: ^(ф) < р(х) < ^ир(ф)} .

П^(ф) = (Х е X: (ф) < Р(х) < ^ир(ф)} .

5. Любое отрицательно инвариантное множество системы (1), содержащееся в множестве О С X, содержится и в множестве -Р(О). Если отображение ^ сюръективно, а множество О содержит все отрицательно инвариантные компакты системы (1), то и множество ^(О) содержит все отрицательно инвариантные компакты этой системы.

2. Дискретная система Лози

Дискретная система Лози [11, 12]

хга+1 1 а|хга| + (2)

(2)

уга+1 — вxn,

где а, в Є ^, в — 0, порождена, в отличие от отображения Хенона [13, 6] негладким отображением

(х,у)— - У

которое в правой и левой полуплоскостях представляет собой линейное отображение. Хотя система Лози кусочно-линейна, она имеет такое же сложное, и во многом похожее, поведение, как и система Хенона.

Положения равновесия системы Лози определяются системой уравнений

х — 1 — а|х| + у,

у — ^

которая сводится к кусочно-линейному уравнению

(1 — в )х + а|х| — 1. (3)

Уравнение (3) не имеет решений при а < —|1 — в |. При а > |1 — в| оно имеет два решения

11

х1 — --- ----, х2

1 — в — а 1 — в + а

В остальных случаях решение одно, причемэто х1, если 1 — в—а < 0, и х2, если 1 —в+а > 0.

Численные расчеты показывают, что при определенных значениях параметров система Лози имеет ограниченные траектории сложной формы (рис. 1). При значениях а = 1,5, в = 0,3 система имеет хаотический аттрактор [12], аналогичный аттрактору Хенона (рис. 2).

3. Локализация положительно инвариантных компактов системы Лози

В качестве локализирующей выберем линейную функцию р(х, у) = Ах + Ву. Тогда

(х, у)) — р(х, у) = (Вв — А)х — Аа|х| + (А — В )у + А

Рис. 1. Траектория системы Лози при а = 1,2, в = —1 (положение равновесия показано красным цветом)

Рис. 2. Аттрактор системы Лози при а = 1,5, в = 0,3 (положения равновесия показаны красным цветом)

Возникает две оптимизационные задачи, первая для вычисления ^sup, вторая для вычисления ^inf:

Ax + By ^ sup,

(Вв — A)x — Aa|x| + (A — В)y + A < 0;

(4)

(5)

Ах + Ву ^ ш£, (Вв — А)х — Аа|х| + (А — В)у + А > 0.

При В = 0 задачи (4) и (5) имеют тривиальное решение (+то и —то соответственно), поскольку можно выбрать х так, что Ах будет сколь угодно большим (соответственно малым), а затем выбрать у так, что будет выполняться ограничение задачи. Поэтому будем считать, что В = 0.

В обеих задачах выполним замену переменной п = Ву:

Ах + п ^ вир,

'А

В

/ а \

(Вв — A)x — Aa|x| + — ljn + A < 0;

Ax + n ^ inf,

(Вв — A)x — Aa|x| + ^A — l)n + A > 0.

(6)

(7)

При А/В < 1 задача (6) имеет решение +то, поскольку увеличение п одновременно усиливает (или не изменяет при А/В = 1) ограничение задачи и увеличивает значение целевой функции. При том же условии А/В < 1 и задача (7) имеет тривиальное решение —то. Поэтому остановимся на случае А/В > 1.

Если А/В > 1,тоив задаче (6), и в задаче (7) ограничение-неравенство можем заменить равенством, так как при строгом неравенстве можно, увеличивая п (уменьшая во второй задаче), получить равенство с одновременным увеличением (уменьшением) значения целевой функции.

Рассмотрим сначала задачу (6). Заменив в ограничении неравенство на равенство, получим задачу

Ax + n ^ sup,

(A \ (8)

(Вв — A)x — Aa|x| + — lj n + A = 0.

Ограничение разрешимо относительно n. Воспользовавшись этим, исключим n из целевой функции, переходя тем самым к одномерной задаче:

(A2 — B2|)x + ABa|x| — AB

----------- ---- --------------> sup, x G R.

A—B

В этой задаче вместо параметра B введем параметр K = A/B (при этом K > l). Получим:

Мк — x + Aa|x| — A

—----------——------------------> sup, x G R. (9)

K — l

Основу целевой функции в (9) составляет функция вида g(x) = px + q|x|, в которой p = A^K — , q = Aa. Эта функция имеет конечную точную верхнюю грань в том и

только в том случае, когда выполнены неравенства p + q < 0 и p — q > 0, что равносильно

условию |p| < —q. При этом точная верхняя грань достигается в точке x = 0 Поэтому в

A

задаче (9) точная верхняя грань будет конечной, и равной — —---, при выполнении условия

K — 1

|A| |к2 — в| < —AKa. (10)

Указанное условие выполняется лишь в случае, если параметр A по знаку противоположен а, т. е. sgn A = — sgn а. Можно считать, что A = — sgn а (в противном случае целевую функцию можно умножить на положительное число, что не изменит локализирующих множеств). Тогда условие (10) сведется к следующему:

<М- (11)

1\

Неравенство (11) имеет решения при а2 + 4в > 0, которые составляют промежуток

| — |а| + у/а2 + 4в \ |а| + у7а2 + 4в

< л <

2 - - 2

Вспомним также условие К > 1. С учетом этого заключаем, что задача (8) имеет конечное решение при выполнении системы неравенств

а2 + 4в > 0, |а| + ^“2 + 4в > 1. (12)

Параметр К должен подчиняться неравенствам

| — |а| + у/а2 + 4в | 11 к< |а| + ^а2 + 4в

max

для каждого такого значения задача (4) имеет конечное решение

а

К- 1

В остальных случаях ^Гир = +то.

В результате получаем семейство локализирующих множеств

а

, К*(а,в) <К < К*(а,в),

К1

где

К*(а, в) = тах

а| + у/ а2 + 4в

, 1 У К *(а, в)

|а| + у/ а2 + 4в 2

2

Это дает при а > 0

у 1

х + — + ——- > 0, К*(а,в) <К < К*(а,в), К К — 1

(13)

а при а < 0

у 1

х + — + ^—- < 0, К* (а,в) <К < К*(а,в). К К — 1

(14)

Задача (7) сводится к вычислению точной нижней грани целевой функции в задаче (9). Замена знаков параметров А и В (т.е. при сохранении значения параметра К) приводит к поиску точной верхней грани целевой функции в задаче (9), т.е. к самой задаче (9). В результате задача (7) приводит к тем же локализирующим множествам (13), (14).

Неравенства (13)и(14) позволяют легко построить пересечения локализирующих множеств:

В этих формулах точную нижнюю и точную верхнюю грани можно вычислить аналитически. Однако, как показывает численный анализ, к этим пересечениям близко локализирующее множество, отвечающее значению К = К*(а,в). Дальнейшее уточнение положения положительно инвариантных компактов эффективнее осуществлять на основании свойства 4 локализирующих множеств.

На рис. 3 показано локализирующее множество для системы Лози с параметрами а = 1,5, в = 0,3, отвечающее значению К = К*(а,в), а на рис. 4 — двукратный прообраз этого локализирующего множества.

при а > 0

при а < 0

X

Рис. 3. Локализирующее множество для системы Лози при а = 1,5, в = 0,3

х

Рис. 4. Локализирующее множество для системы Лози при а = 1,5, в = 0,3, полученное двукратным сдвигом

4. Локализация отрицательно инвариантных компактов

Так как система Лози обратима, задача построения локализирующих множеств для отрицательно инвариантных компактов сводится к локализации положительно инвариантных компактов обратной системы.

Динамическая система, обратная системе Лози (2), имеет вид

1

ХП+1 в^П,

уп+1 = — 1 + а

уп

в

+ хп.

Замена переменных хп = — пп, Уп = — Сп приводит к системе

Сп+1 = 1 — а !Сп 1 + Пп, (15)

(15)

пп+1 = в Сп,

а1 где а = |в|, в = в.

Таким образом, система, обратная системе Лози, заменой переменных сводится к той же системе Лози (как, впрочем, и система Хенона [8]). Это позволяет сразу записать локализирующие множества для отрицательно инвариантных компактов системы Лози.

Локализирующие множества для отрицательно инвариантных компактов, согласно условиям (12), существуют при выполнении условий

а'2 +4в' > 0, |а'1 + ^2 + 4в' > 1,

2

или в исходных параметрах

2 .- - ~ 1а| + \/а2

а2 + 4в > 0, |а| +^а2 +4в > 1.

2|в 1

Диапазон изменения параметра К:

К* (а, в) < К < К * (а, в),

где

К* (а, в) = тах

— |а| + \/ а2 + 4в

, 1 }, К * (а, в) =

|а| + а2 + 4в

2|в | 'У х '' 2|в |

Семейство локализирующих множеств описывается неравенствами:

при а > 0 при а < 0

т 1 * *

- + у — < 0, К*(а, в) < К < К*(а, в);

К—

т1 К+у—К- 1

> 0, К* (а, в) < К < К * (а, в).

На рис. 5 показано локализирующее множество для отрицательно инвариантных компактов системы Лози при параметрах а = 1,5, в = 0,3, соответствующее значению К = К * (а, в), а на рис. 6 — второе локализирующее множество, полученное из первого двукратным сдвигом вдоль траекторий.

Заключение

Для системы Лози построены семейства локализирующих множеств для положительно и отрицательно инвариантных компактов. Семейства получены с помощью линейной локализирующей функции и с использованием сдвигов вдоль траекторий системы.

Для некоторых значений параметров системы (в частности, при а2 + 4в < 0) решение задачи локализации оказалось тривиальным. Причина этого, по-видимому, в том, что объединение всех положительно (отрицательно) инвариантные компактов есть неограниченное

Рис. 5. Локализирующее множество для отрицательно инвариантных компактов системы Лози при а = 1,5, в = 0,3

Рис. 6. Локализирующее множество для отрицательно инвариантных компактов системы Лози при а = 1,5, в = 0,3, полученное двукратным сдвигом

множество. Например, численные расчеты показывают, что при а = 1, в = —1 система имеет циклы сколь угодно большого размера: на рис. 7 показаны разным цветом циклы увеличивающихся размеров.

юоо

-5001_____________i_____________i_____________i_____________i_____________

-1000 -700 -400 -100 200 500

x

Рис. 7. Циклы системы Лози при а = 1, в = — 1

Также следует отметить отсутствие компактной локализациидля положительно инвариантных и отрицательно инвариантных компактов. Это связано с тем же обстоятельством: объединение положительно (отрицательно) инвариантных компактов не ограничено. Действительно, объединение положительно инвариантных компактов содержит в себе область притяжения хаотического аттрактора, которая представляет собой неограниченное множество [12]. В то же время для инвариантных компактов компактная локализация существует (рис. 8). Таким образом, система Лози имеет максимальный инвариантный компакт, и этот компакт можно получить в пределе как последовательность стягивающихся локализирующих множеств [14].

Список литературы

1. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, №11. С. 1858-1865.

2. Крищенко А.П. Области существования циклов // ДАН. 1997. Т. 353, № 1. С. 17-19.

3. Крищенко А.П., Шальнева С.С. Задача локализации для автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 11. С. 1495-1500.

0.5

.O.7I--U-i-i-i-

-2-1012

x

Рис. 8. Локализирующее множество для инвариантных компактов системы Лози при а = 1,5, в = 0,3

4. Леонов Г.А. Об оценках аттракторов системы Лоренца // Вестник ЛГУ. 1988. Сер. 1. Вып. 1. С. 32-37.

5. Леонов Г.А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, № 1. С. 21-35.

6. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем // ДАН. 2010. Т. 431, № 3. С. 323-325.

7. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.

8. Канатников А.Н. Функциональный метод локализации инвариантных компактов в дискретных системах // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1601-1611.

9. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Localization of compact invariant sets of discrete-time nonlinear systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2011. V. 21, No 7. P. 2057-2065.

10. Канатников А.Н. Локализация инвариантных компактов в дискретных системах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2011. № 1. C. 3-17.

11. Lozi R. Un attracteur etrange du type attracteur de Henon // Journal de Physique. 1978. Vol. 39, no. C5. P. 9-10.

12. Zeraoulia E., Sprott J.C. A Unified Piecewise Smooth Chaotic Mapping that Contains the Henon and the Lozi Systems // Annual Review of Chaos Theory, Bifurcations and Dynamical Systems. 2012. Vol. 1. P. 50-60.

13. Хенон М. Двумерное отображение со странным аттрактором // Странные аттракторы: сб. статей. М.: Мир, 1981. С. 152-163.

14. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Максимальные инвариантные компакты динамических систем // ДАН . 2011. Т. 437, № 5. С. 609-612.

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

Localization of invariant compact sets of the discrete-time Lozi system

# 08, August 2013 DOI: 10.7463/0813.0609276 Kanatnikov A. N., Mikhailova O. V.

Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation [email protected]

One of the methods of qualitative analysis of a dynamical system is to estimate the position of its compact invariant sets closely associated with bounded trajectories of the system. As a solution to such a problem, one can use a localizing set, i.e. a set in the phase space which contains all invariant compact sets of a system. In this paper the discrete-time dynamical Lozi system of second order was considered. This system was proposed as a piecewise linear analogue of the known discrete-time Chenon system which has a chaotic attractor for some parameter values. For positive invariant and negative invariant sets of the Lozi system a family of localizing sets was constructed and their intersections were determined. The results of this investigation were presented in figures.

References

1. Krishchenko A.P. Lokalizatsiya predel’nykh tsiklov [Localization of limit cycles]. Differ-entsial’nye uravneniya, 1995, vol. 31, no. 11, pp. 1858-1865. (English Translation: Differential Equations, 1995, vol. 31, no. 11, pp. 1826-1833.)

2. Krishchenko A.P. Oblasti sushchestvovaniya tsiklov [Domains of cycles existence]. Doklady AN, 1997, vol. 353, no. 1, pp. 17-19.

3. Krishchenko A.P., Shal’neva S.S. Zadacha lokalizatsii dlya avtonomnykh sistem [The localization problem for autonomous systems]. Differentsial’nye uravnenija, 1998, vol. 34, no. 11, pp. 1495-1500. (English Translation: Differential Equations, 1998, vol. 34, no. 11, pp. 14951500.)

4. Leonov G.A. Ob otsenkakh attraktorov sistemy Lorentsa [On estimates of attractors of the Lorenz system]. VestnikLGU. Ser. 1 [Bulletin of LSU. Ser. 1], 1988, iss. 1, pp. 32-37.

5. Leonov G.A. Otsenki attraktorov i sushchestvovanie gomoklinicheskikh orbit v sisteme Lorentsa [Estimates of attractors and existence of gomoclinic orbits in the Lorenz system]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied mathematics and mechanics], 2001, vol. 65, no. 1, pp. 21-35.

6. Kanatnikov A.N., Korovin S.K., Krishchenko A.P. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov diskretnykh sistem [Localization of invariant compact sets of discrete-time systems]. Doklady AN, 2010, vol. 431, no. 3, pp. 323-325. (English Translation: Doklady Mathematics, 2010, vol. 81, no. 2, pp. 326-328.)

7. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Invariantnye kompakty dinamicheskikh system [Invariant compact sets of dynamical systems], Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 231 p.

8. Kanatnikov A.N. Funktsional’nyy metod lokalizatsii invariantnykh kompaktov v diskretnykh sistemakh [Functional Method for the Localization of Invariant Compact Sets in Discrete Systems]. Differentsial’nye uravneniya, 2010, vol. 46, no. 11, pp. 1601-1611. (English Translation: Differential Equations, 2010, vol. 46, no. 11, pp. 1601-1611).

9. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Localization of compact invariant sets of discrete-time nonlinear systems. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2011, vol. 21, no. 7, pp. 2057-2065.

10. Kanatnikov A.N. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov v diskretnykh sistemakh [Localization of invariant compact sets in discrete-time systems]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science], 2011, no. 1, pp. 3-17.

11. Lozi R. Un attracteur etrange du type attracteur de Henon. Journal de Physique, 1978, vol. 39, no. C5, pp. 9-10.

12. Zeraoulia E., Sprott J.C. A Unified Piecewise Smooth Chaotic Mapping that Contains the Henon and the Lozi Systems. Annual Review of Chaos Theory, Bifurcations and Dynamical Systems, 2012, vol. 1, pp. 50-60.

13. Khenon M. Dvumernoe otobrazhenie so strannym attraktorom. In: Strannye attraktory: sb. statey. Moscow, Mir, 1981, pp. 152-163. (English version: Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Communications in Mathematical Physics, 1976, vol. 50, pp. 69-77.)

14. Kanatnikov A.N., Korovin S.K., Krishchenko A.P. Maksimal’nye invariantnye kompakty dinamicheskikh sistem [Maximal invariant compact sets of dynamical systems]. Doklady AN, 2011, vol. 437, no. 5, pp. 609-612. (English Translation: Doklady Mathematics, 2011, vol. 83, no. 2, pp. 278-281).