Локализация инвариантных компактов ПРТ-системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

í

УДК 517.925.42

А. Н. Канатников

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ КОМПАКТОВ ПРТ-СИСТЕМЫ

Метод локализации инвариантных компактных множеств автономной динамической системы применяется для исследования динамической системы Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца. В результате получено однопараметрическое семейство локализирующих множеств, ограниченных поверхностями 2-го порядка, а также найдено пересечение всех множеств найденного семейства. Результаты получены для всех значений параметров системы.

Динамическая система Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца (ПРТ-система)

x = — ViX + ву — yz,

у = вх — v2y + xz, Z = —v3z + xy,

где vi, v2, v3, в — положительные числовые параметры, была получена как модель волновых процессов, протекающих в плазме [1, 5]. Эта система имеет стационарную точку х = у = z = 0, а при в > ^viv2 у нее появляются еще две стационарные точки:

х = ± /- /в2 — vi V2 (в — /в2 — ViV2^,

V vi

' У = ±/- л/в2 — Vi V2 (в + /в2 — ViV2^,

V v2

, z = \/ в2 — ViV2.

При в2 < viv2 нулевая стационарная точка является асимптотически (даже экспоненциально) устойчивой. Устойчивость теряется при появлении двух дополнительных стационарных точек. Наличие трех точек покоя приводит к сложному поведению системы, возникает хаотическое движение. Это приводит к задаче локализации возможных периодических траекторий и других инвариантных компактных множеств.

Для оценки положения инвариантных компактов используют разные методы (включая меоды оценки положения хаотических аттракторов) [2]-[6]. Один из методов, предложенный А.П. Крищенко [4],

среди других выделяется тем, что практически не использует геометрических соображений и сводится к алгебраическим вычислениям. Суть его в следующем.

Для автономной динамической системы х = /(х) выбирается какая-либо гладкая функция ф (локализирующая функция), определенная на фазовом пространстве М динамической системы, вычисляется ее производная Lf ф в силу системы (производная Ли по векторному полю, соответствующему динамической системе) и строится множество

Б^ = {х € М: Lf ф(х) = 0}

(универсальное сечение).

Пусть ф^ и ф8ир — точная нижняя и точная верхняя грани функции ф на множестве Б^. Тогда все инвариантные компакты динамической системы принадлежат множеству

П^ = {х € М: фЫ < ф(х) < фвир}.

Этот метод, основанный на элементарных соображениях, может быть развит в различных направлениях. Например, можно выбрать некоторое семейство функций фа и для каждой функции фа построить свое локализирующее множество . Тогда все инвариантные компактные множества будут содержаться в пересечении П = П .

а

Здесь удобно выбирать семейства, непрерывно зависящие от параметра, например однопараметрические семейства ф(х,а). Для таких семейств имеются эффективные процедуры построения пересечения семейства множеств.

Для локализации инвариантных компактов ПРТ-системы будем рассматривать квадратичную функцию вида

р(х, у, г) = (д + 1)х2 + ду2 + (г - в(2д + 1))2,

где д € К — произвольный параметр.

Вычисляя производную Ли Lfр этой функции и приравнивая к нулю, получим множество Бр точек контакта, которое описывается уравнением

Бр: (д + 1)^х2 + д^у2 + и3(г - 7)2 = ^72,

где 7 = в(д + 1).

В результате мы приходим к задаче определения точной нижней рп и точной верхней р8ир граней функции

р(х, у, г) = (д + 1)х2 + ду2 + (г - 2-у)2

при наличии уравнения связи

(д + 1)^х2 + д^у2 + - 7)2 = ^з72.

Отметим, что точка х = у = 0, г = 27 удовлетворяет уравнению связи. Поэтому в любых ситуациях точная верхняя грань функции будет неотрицательной, а точная нижняя — неположительной.

Найденные значения рп и р8ир для каждого д дают локализующее множество

В задаче поиска точной верхней и точной нижней граней возникает два случая. При д > 0 множество Бр, на котором исследуется функция р(х,у, г), компактно. Поэтому точная верхняя и точная нижняя грани функции р(х,у,г) будут достигаться в точках условного локального экстремума, а для исследования этой функции можно использовать метод Лагранжа. При д < 0 множество Бр представляет собой неограниченную поверхность; исследование с помощью метода Лагранжа в данном случае будет недостаточным.

Локализующие множества в случае д > 0. При д > 0 точка (0, 0, 27) есть точка глобального минимума функции р(х,у,г), равного нулю. Эта точка удовлетворяет уравнению связи и в двойном неравенстве рп < р(х, у, г) < р8ир, описывающем локализующее множество Пд, левую часть можно опустить.

Точную верхнюю грань функции р(х,у,г) на множестве Бр можно найти, сравнивая значения этой функции в стационарных точках функции Лагранжа. Проведя вычисления, получаем р8ир = 4р72, где

Таким образом, имеем семейство локализующих множеств Пд, описываемых неравенством

Oq: (g + 1)x2 + gy2 + (z - в(2д + 1))2 < pß2{2g + 1)2, g> 0. (1)

Теорема 1. Квадратное неравенство Ах2 + Вх + С > 0, где А > 0, выполняется для всех значений х € (а, в), где -то < а < в < +то, тогда и только тогда, когда коэффициенты А, В и С удовлетворяют какому-либо из трех условий:

(при а = -то опускается вторая группа условий, а при в = +то — третья).

Доказательство. На данном интервале (а, в) функция /(х) = = Ах2 + Вх + С неотрицательна в трех случаях:

Oq = {(x, yz): Pinf < p(x, y, z) < psup}.

Aa2 + Ba + C > 0, 2aA + B > 0;

1) минимум параболической функции распроложен выше оси абсцисс (первое условие);

2) минимум параболической функции расположен левее а и значение функции в точке а неотрицательно (вторая группа условий);

3) минимум параболической функции расположен правее в и значение функции в точке в неотрицательно (третья группа условий).

Отметим также, что минимум квадратного трехчлена находится левее а (правее в), если его производная в точке а (точке в) положительна (отрицательна).

Остается рассмотреть особый случай А = 0. Но легко убедиться в том, что записанные условия справедливы и в этом случае: линейная функция на интервале (а, в) неотрицательна, если либо значения функции и ее производной в точке а неотрицательны, либо значение функции в точке в неотрицательно, а значение производной в той же точке неположительно. Теорема доказана.

Приведенная теорема позволяет построить пересечение семейства локализующих множеств (1). Все слагаемые в неравенстве (1) перенесем в левую часть и сгруппируем по степеням д:

4в 2(р - 1)д2 + [4в2(р - 1) - х2 - у2 + 4вг]д + [в 2р - х2 - (г - в )2] > 0.

Необходимо определить те тройки х, у, г, при которых полученное неравенство, квадратное относительно д, верно для всех д > 0. В соответствии с теоремой 1 переменные х, у, г должны удовлетворять условию В2 < 4АС или паре условий С > 0, В > 0, где

А = 4в2(р-1) > 0, В = 4в2р-х2-у2+4вг, С = в2р-х2-(г-в)2.

Эти условия сводятся к двум: С > 0, В > -\/4АС. В результате пересечением семейства множеств (1) является множество П(0,+те), описываемое системой неравенств

( х2 + (г - в)2 < в2р,

\ у2 < 4в/(р - 1)[в2р - х2 - (г - в)2] - х2 + 4вг + 4в2(р - 1).

(2)

Локализующее множество в случае д = 0. В этом случае построение локализующего множества сводится к исследованию на экстремум функции р(х,у,г) = х2 + (г - в)2 на множестве х2 + + р3(г - 7)2 = ^з72, где 7 = в/2. С некоторыми упрощениями повторяются те же выкладки, что и при д > 0. Наименьшее значение

= 0 достигается в точке глобального минимума, а рБар = 4р072,

где

VI > —; ( 1 - 2 '

Ро = ' 2

т1 = —--—, v1 < —.

4(vэ - VI)VI 2

Итак, при ( = 0 получаем локализующее множество П0, описываемое неравенством

По : х2 + (г - в)2 < Ров2, (3)

что совпадает с неравенством (1) при ( = 0 и р = р0.

Локализующие множества в случае —1 < ( < 0. При ( < 0 уравнение связи дает неограниченную поверхность, и непосредственно использовать метод Лагранжа нельзя. Здесь удобно свести задачу к двумерной, исключив переменную у с помощью уравнения связи. Из уравнения связи находим

V2У2 = 1 ^э72 — Vз(z — т)2 — (( + 1^ж2). (

Исключив эту переменную из выражения для функции р, приходим к задаче определения точных верхней и нижней граней функции двух переменных:

р(х, г) = (( + 1)^1Ж2 + ^э^2 — 27(1 + + 472, (4)

1 ^ 1 vэ где = 1--, = 1---промежуточные параметры, меньшие

V2 V2

единицы, на множестве

: (( + 1^1 ж2 + Vэ(z — 7)2 - Vэ72. (5)

При —1 < ( < 0 множество представляет собой внешность эллипса. При ( = —1 задача становится одномерной: требуется найти экстремальные значения функции р(ж, г) = ^эг2 — 27(1 + + 472 на множестве С-1: |г — 71 — 7. При ( < —1 множество Ор ограничено гиперболой. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Считая, что —1 < ( < 0, выполним замену переменных X = = + 1, % = г — 7. Тогда задача сводится к исследованию функции

р(Х, %) = ^Х2 + ^2 — 27% + (2 — ^э)72 на множестве

^Х2 + VзZ2 — vэ72.

Диапазон значений функции зависит от знаков при квадратах переменных.

Если = 0 (т.е. ^ = но 7 = 0 (т.е. ( = —1/2), то функция р(Х, %) линейна по % и ее множество значений — вся числовая ось.

То же будет в случае, когда ^ < 0, р3 > 0 (т.е. v1 > и2, и2 > и3) или > 0, р3 < 0 (т.е. VI < v2 < ^3). При р3 = 0 рассмотрим значение д = -1/2. При этом значении 7 = 0, и мы приходим к исследованию функции р(Х, Z) = 2 на всем множестве К2. При ¡л1 > 0 (т.е. v1 < v2) имеем рп = 0, р8ир = и локализующее множество

П-1/2: х2 - у2 + 2г2 > 0. (6)

При < 0 (т.е. v1 > имеем р^ = -то, р8ир = 0 и локализующее множество

П-1/2: х2 - у2 + 2г2 < 0. (7)

Наконец, при = 0, т.е. в случае v1 = ^ = v3, р(Х, Z) = 0, и мы приходим к вырожденному локализующему множеству

П-1/2: х2 - у2 + 2г2 = 0. (8)

Рассмотрим случай > 0, р3 > 0 (т.е. v1 < v2, ^ > v3). В этом случае квадратичная функция имеет положительно определенную (полуопределенную) квадратичную форму и для нее р8ир = Точка глобального минимума квадратичной функции X = 0, Z = 7/р3 при |р3| < 1, в частности при р3 > 0, попадает в область исследования , и р^ совпадает с глобальным минимумом функции, равным

(1 - Р3)2 2 ^Т2 , 2

Р^ =--7 =--/-Г = 4Г27 ,

Р3 V2(V2 - Vз)

v32

где т2 =--:-- < 0. Мы имеем локализующие множества

4V2(Vз - V2)

^: (д+1)х2+ду2 + (г-в (2д+1))2 > т2в2(2д+1)2, -1 <д< 0. (9)

Чтобы найти пересечение семейства множеств (9), как и ранее, собираем коэффициенты при д, сводя неравенство к квадратному относительно д, с положительным коэффициентом при д2:

4в2(1 - Т2)д2 + [4в2(1 - Т2) + х2 + у2 - 4вг]д+

+ [-в2Т2 + х2 + (г - в)2] > 0, -1 < д < 0. (10)

Согласно теореме 1, для выполнения неравенства Ах2 + Вх + + С > 0 на интервале (-1, 0) необходимо и достаточно какого-либо из трех условий:

х 2 , Гс > 0, Га - В + С > 0,

1) В2 < 4АС; 2)^ 3)^

; < ' В < 0; ; | - 2А + В > 0.

Это эквивалентно следующему ограничению на B сверху:

( V4ÄC, 0 < C < Л;

B

\ Л + C, C > Л.

Используя условия (11) применительно к (10), получим неравенства, описывающие пересечение множеств Qq, —1 < q < 0, в случае v1 < v2, v2 > v3:

2 Г gi(T2,x,z), x2 + (z — в)2 < (4 — 3T2)e2;

y2 < S (12)

l (z + в)2 — Т2в2, x2 + (z — в)2 > (4 — 3т2)в2.

где

gi(T2,x,z ) = 4в V(1 — T2)[x2 + (z — в )2 — Т2в2] —x2+4ez — 4в2(1—T2).

В случае < 0, < 0 (т.е. v1 > v2, v2 < v3) квадратичная форма в представлении функции p(X, Z) отрицательно определена (полуопределена). Поэтому pinf = —œ, а максимальное значение конечно. При > — 1 (т.е. при v2 > v3/2) точка глобального максимума X = 0, Z = y/p3 попадает в область Gq и psup = 4t2y2. Рассмотрим случай < —1 (т.е. v2 < v3/2). В этом случае максимум функции достигается на границе области, т.е. при v1X2 + v3Z2 = v3y2. Выразив из этого уравнения X2 и подставив в выражение для функции, придем к задаче поиска максимума функции aZ2 — 2yZ + (2 — a)Y2, где а = 1 — v3/v1, при |Z | < y. На концах отрезка функция имеет значения 0 и 4y2. Стационарная точка Z = Y/a попадает на отрезок |Z | < y при |a | > 1,

V3

что равносильно a < — 1, или v1 < —. Таким образом, если v1 > v2,

2

V2 < V3, то Psup = 4p1Y2, где

V

Т2 =

Pi = \ 1,

Tl =

4v2(v3 - Vi)'

Vi

4vi(V3 - Vi)

> V3

V2 т;

V3 < V3

2 , V2 2 ;

V3 < V3

2 , V2 2 ,

а локализующие множества имеют вид

П: (( + 1)ж2 + (у2 + (г — в (2( + 1))2 < Р1в2(2( + 1)2, —1 <(< 0.

(13)

Чтобы найти пересечение семейства множеств (13), как и выше, собираем коэффициенты при ( , сводя неравенство к квадратному относительно (, и используем условия (11). В результате приходим к нера-

венствам, описывающим множество ^(-1,о) в случае v1 > v2 <

2 ( д2(р1, х, г), (4 - 3р1)в2 < х2 + (г - в)2 < Р1в2; у2 > < (14)

[ (г + в)2 - Р1в2, х2 + (г - в)2 < (4 - 3р1)в2,

где

д2(Р1,х,г) = 4в2(р1-1)-х2+4вг-4в>/(Р1 - 1)[в2Р1 - х2 - (г - в)2].

Локализующее множество при д = -1. В этом случае в выражениях (4) и (5) полагаем д = -1, г - 7 = Z и приходим к задаче поиска точных верхней и нижней граней функции

р(Х, Z) = ^2 - 27Z + (2 - р3)72

на множестве ^| > 7. Результаты зависят от знака р3. При р3 > 0 (т.е. v2 > v3) имеем р8ир = +то, а р^ — глобальный минимум функции, равный 4т272. При этом локализующее множество имеет вид

П-1: у2 < (г + в)2 - Т2в2. (15)

При р3 = 0 (т.е. ^ = v3) р(Х, Z) = 27(7 - Z) — линейная функция, рассматриваемая на множестве ^| > 7. Значит, р1пГ = -то, р8ир = + +то, а локализующее множество тривиально и совпадает с К3.

Наконец, при р3 < 0 (т.е. ^ < имеем рм = -то, р8ир = 4р272,

где

I т2, v2 > т; Р2 = 1 2 (16)

1 1, V2

а локализующее множество имеет вид

П-1: у2 > (г + в)2 - Р2в2. (17)

Локализующие множества при д < -1. В этом случае в выражениях (4) и (5) выполняем замену переменных -^/|д + 1 |х = X, г - 7 = Z и приходим к задаче поиска точных верхней и нижней граней функции

р(Х, Z) = -Р1Х2 + ^2 - 27Z + (2 - рз)72,

где р1 = 1 - v1 /v2, рз = 1 - на множестве

-VlX2 + VзZ2 > vз72.

Здесь, как и выше, следует рассмотреть различные сочетания знаков коэффициентов р1 и рз.

Если рз = 0 (т.е. v2 = то функция р(Х, Z) линейна по Z, значение р8ир = +то достигается при Х = 0, Z ^ +то, а значение р^ = -то — на границе области (т.е. на множестве -v1X2 +

+ v3Z2 = ^72) при Z ^ +то. Значит, при ^ = v3 локализующее множество , д < -1, тривиально: = М3.

В случае р1 < 0, рз > 0 (т.е. v3 < ^ < v1) многочлен р(Х, Z) с положительно определенной квадратичной формой рассматривается в замкнутой области, ограниченной гиперболой с действительной осью OZ. В этом случае р8ир = +то достигается при X = 0, Z ^ +то. Значение р^ достигается при X = 0. С учетом этого получаем задачу поиска точной нижней грани р^2 - 2YZ + (2 - рз)72 при ^| > 7. Так как рз > 0, глобальный минимум этой функции попадает в область ^ | > 7. Значит, р!п£ = 4т272, а локализующее множество имеет вид

^: (д + 1)х2 + ду2 + (г - в(2д + 1))2 > т2в2(2д + 1)2, (18)

причем т2 < 0. Собирая коэффициенты при степенях д, неравенство (18) можем представить в виде

4в2(1 - т2)д2 + [4в2(1 - т2) + х2 + у2 - 4вг]д+

+ [-в2т2 + х2 + (г - в)2] > 0, д < -1. (19)

По теореме 1 неравенство Ах2 + Вх + С > 0 выполняется при х < -1, если выполняется неравенство В2 < 4АС или пара неравенств А - В + С > 0, В - 2А < 0. Указанные условия эквивалентны следующему ограничению на В сверху:

Г А + С, С < А;

В <4 ,--(20)

^v/4AC, С > А.

Оно, применительно к выражению (19), дает неравенства, описывающие пересечение П(-те,-1) в случае ^ < ^ < v1:

2 Г (г + в)2 - т2в2, х2 + (г - в)2 < (4 - 3т2)в2;

у2 <4 (21)

[ д1 (т2, х, г), х2 + (г - в)2 > (4 - 3т2)в2,

где

д1(т2,х,г) = 4в/(1 - т2)[х2 + (г - в)2 - т2в2]-х2+4вг-4в2(1-т2).

При р1 > 0, рз > 0 (т.е. v1 < v3 < v2) функция -р1Х2 + + р^2 - 2YZ + (2 - рз)72 имеет р8ир = +то, достигаемый при X = 0 и Z ^ то. Значение р^ достигается на границе области (при фиксированном Z наименьшее значение функции достигается при максимальном X), т.е. при -v1 X2 + v3Z2 = ^72. Мы снова приходим к исследованию на минимум функции аZ2 - 2YZ + (2 - а)72, где а = 1 - ^на множестве ^| > 7. Если а < 0 (т.е. v1 < точной нижней гранью этой функции является -то. Если же а > 0 (т.е. v1 > то в силу неравенства а < 1 заключаем, что функция

достигает наименьшего значения при Z = 7/а и pinf = 4tiy2, где

Ti = —-:--. Итак, при vi < v3 < v2 имеем Qq = R3, q < -1; при

Vl(V3 - Vi)

v3 < vi < v2 имеем pinf = 4tiy2 и локализующее множество

Qq: (q + 1)x2 + qy2 + (z - в(2q + 1))2 > T^2(2q + 1)2. (22)

Рассуждая, как и в случае семейства (19), для семейства (22) получаем неравенства, описывающие пересечение Q(-TOi-i):

2 Г (z + в)2 - Tie2, X2 + (z - в)2 < (4 - 3Ti)e2;

y2 < < (23)

Ui(Ti,x,z), x2 + (z - в)2 > (4 - 3ti)e2,

где

gi(Ti,x,z) = 4в V(1-rDi^+^z--x2+4вz-4в2(1-Ti).

Случай > 0, p3 < 0 (т.е. vi < v2 < v3) аналогичен случаю < 0, p3 > 0: исследуется диапазон значений многочлена с отрицательно определенной квадратичной формой в замкнутой области, ограниченной гиперболой. При этом значение pinf = -то достигается при X = 0 и Z ^ +то, а psup достигается при X = 0 как максимум P3Z2 - 2yZ + (2 - ^3)y2 при |Z| > y. При ^3 > -1 (т.е. V2 < V3/2) это — глобальный максимум, равный 4t2y2, а при р3 < -1 максимум достигается при Z = -y и равен 4y2. Таким образом, в этом случае psup = 4p2Y2, где р2 определяется равенством (16). Мы приходим к локализующим множествам

Qq: (q + 1)x2 + qy2 + (z - в(2q + 1))2 < р2в2^ + 1)2. (24)

С помощью соотношений (20) получаем неравенства, описывающие пересечение Q(-^i-i) семейства (24):

2 Г g2(p2, X, z), X2 + (z - в)2 < (4 - 3р2)в2; y2 >{ (25)

( (z + в)2 - Р2в2, X2 + (z - в)2 > (4 - 3р2)в2,

где

g2(p2,X,z) = 4в2(р2-1)-X2+4вz-4в V(P2 - 1)[р2в2 - X2 - (z - в)2].

При pi < 0, р3 < 0 (т.е. vi > v2, v2 < v3) функция p(X, Z) имеет pinf = -то, достигаемый при X = 0 и Z ^ то. Значение psup достигается на границе области, и мы приходим к исследованию на максимум

V3

функции aZ2 - 2yZ + (2 - a)Y2, где а = 1--, при |Z| > y. Если

Vi

а < 0 (т.е. vi < v3) точная верхняя грань достигается в конечной точке. При этом, если а > -1 (т.е. vi > v3/2), то точка максимума Z = -Y/a и psup = 4tiy2, а если a < -1, то максимум достигается при Z = -y и равен 4y2. Если a > 0 (т.е. vi > v3), то psup =

= Итак, при у2 < < мы получаем тривиальное семей-

ство локализующих множеств = М3, q < -1, а при у2 < у1 < у3 семейство локализующих множеств имеет вид

Üq: (q + 1)x2 + qy2 + (z - ß(2q + l))2 < рзß2(2q + l)2, (26)

С помощью соотношений (20) получаем неравенства, описывающие пересечение семейства (26):

g2(рз,x,z) = 4ß2(рз-1)-x2 +4ßz-40V(рз - 1)[рзв2 - x2 - (z - ß)2].

Итоговые результаты. Были рассмотрены пять промежутков изменения параметра: 1) q > 0; 2) q = 0, 3) —1 < q < 0, 4) q = — 1, 5) q < —1. Для каждого из этих промежутков получено локализующее множество, в которое попадают все инвариантные компактные множества ПРТ-системы. Окончательный результат — это пересечение всех полученных локализующих множеств, которое естественно описать в виде системы неравенств. Однако вид этих неравенств зависит от соотношений между параметрами , , . Разделим трехмерную область изменения параметров , , на несколько подобластей (рис. 1):

где

g2(Рз, x, z), x2 + (z - ß)2 < (4 - 3рз)ß2; (z + ß)2 - рзß2, x2 + (z - ß)2 > (4 - 3рз)ß2,

(27)

где

ж)~и) особое при q < 0

0

Рис. 1. Область изменения параметров системы

а) V! < vг, > ^з (нет ограничений в диапазоне д < -1);

б) VI > VI < ^ (все ограничения);

в) VI > v2 > v3 (нет ограничений в диапазоне —1 < д < 0);

г) V! > v2 < v3 (нет ограничений в диапазоне д < —1);

д) V! > V! < v3 (все ограничения);

е) v! < v2, v2 < v3 (нет ограничений в диапазоне —1 < д < 0);

ж) ^ = ^, v! < v2 (в диапазоне д < 0 особое ограничение, соответствующее д = —1/2);

з) v! = ^ = ^ (в диапазоне д < 0 особое ограничение, соответствующее д = —1/2).

и) ^ = ^, v! > v2 (в диапазоне д < 0 особое ограничение, соответствующее д = —1/2).

Итоговые результаты представим в каждом из указанных вариантов, по возможности упростив полученную систему неравенств.

Вариант а) v! < ^ > v3. Систему ограничений составляют неравенства (2), (3), (12), (15) После упрощения получаем:

X2 + (z - в)2 < в2Ро;

У2 < (ро - 1)[в2Ро - X2 - (z - в)2] - X2 + 4ez + 4в2(Р0 - 1);

2 < ; gi(T2,x,z), X2 + (z - в)2 < (4 - 3т2)в2; (z + в)2 - Т2в2, X2 + (z - в)2 > (4 - 3т2)в2,

где

gi(T2,x,z) = 4в- T2)[x2 + (z - в)2 - т2в2]-x2+4ez-4в2(1-т2).

б) v1 > v3, v1 < v2. Систему ограничений составляют неравенства (2), (3), (12), (15), (23). После упрощения получаем

X2 + (z - в)2 < в2;

y2 < 4вV(1 - T2)[x2 + (z - в)2 - Т2в2] - X2 + 4ez - 4в2(1 - Т2).

Вариант в) v1 > v2, v2 > v3. Систему ограничений составляют неравенства (2), (3), (15), (21) После упрощения получаем:

'x2 + (z - в)2 < в2;

<

y2 < -X2 + 4вz;

U2 < (z + в)2 - Т2в2.

Вариант г) > < Систему ограничений составляют

неравенства (2), (3), (14), (17). После упрощения получаем:

'х2 + (г — в)2 < в2;

у2 < 4в>/(Р — 1)[в2Р — х2 — (г — в)2] — х2 + 4в^ + 4в2(р — 1);

2 ( (г + в)2 — Р2в2, х2 + (г — в)2 < (4 — 3р2)в2; у2 > 4

Ыр2,х,,г), (4 — 3р2)в2 < х2 + (г — в)2 < в2,

где

02(р2,х,г) = 4в2(р2—1)—х2+4вг—4в/(р2 — 1)[р2в2 — х2 — (г — в )2].

Вариант д) > < Систему ограничений составляют

неравенства (2), (3), (14), (17), (26). После упрощения получаем:

' х2 + (г — в)2 < в2ро; у2 < 4в/(р — 1)[в2р — х2 — (г — в)2] — х2 + 4вг + 4в2(р — 1); Г (р1, х, г), (4 — 3р1)в2 < х2 + (г — в)2 < р1в2;

у2 > \

\ (г + в)2 — р2в2, х2 + (г — в)2 < (4 — 3р1)в2;

Г 02(рз, х, г), х2 + (г — в)2 < (4 — 3рз)в2; у2 > <

( (г + в)2 — р2в2, х2 + (г — в)2 > (4 — 3рз)в2,

где

02х, г) = 4в2(£ — 1) — х2 + 4вг — 4в/(* — 1)[в2£ — х2 — (г — в)2].

Вариант е) < < Систему ограничений составляют

неравенства (2), (3), (17), (25). После упрощения получаем:

V + (г — в)2 < в2ро;

у2 < 4в/(ро — 1)[в2ро — х2 — (г — в)2] — х2 + 4вг + 4в2(ро — 1);

<

Г 02(р2, х, г), х2 + (г — в)2 < (4 — 3р2)в2; у2 > <

[ (г + в)2 — р2в2, х2 + (г — в)2 > (4 — 3р2)в2,

где

02(р2,х,г) = 4в2(р2—1)—х2+4вг—4^ {р2 — 1)[р2в2 — х2 — (г — в)2].

Вариант ж) ^ = v! < v2. Систему ограничений составляют неравенства (2), (3), (6). После упрощения получаем:

'х2 + (г — в)2 < в2Ро;

< У2 < 4в2(Р0 — 1) — х2 + 4вг — 4в^(ро — 1)[в2Ро — х2 — (г — в)2];

Л2 < х2 + 2г2.

Вариант з) v! = ^ = v3. Систему ограничений составляют неравенства (2), (3), (8). После упрощения получаем:

х2 + (г — в)2 < в2; х2 — У2 + 2г2 = 0.

Вариант и) ^ = v! > v2. Систему ограничений составляют неравенства (2), (3), (7). После упрощения получаем:

х2 + (г — в)2 < в2; х2 + 2г2 < у2 < —х2 + 4вг.

Пример. Рассмотрим систему с параметрами v! = 2, ^ = 5, ^ = 1, в = 8. Значения параметров соответствуют варианту б. Следовательно, в данном случае локализующее множество описывается неравенствами

x2 + (z - e)2 < в2;

У2 < 4в^(1 - T2)[x2 + (z - в)2 - Т2в2] - x2 + 4ez - 4в2(1 - Т2). Поскольку

V,2 1

Т2 =

V2 (Vз — V2 ) 20'

эти неравенства конкретизируются следующим образом:

х2 + (г — 8)2 < 64;

у2 < 1^4,2[х2 + (г — 8)2 + 3,2] — х2 + 32г — 33,2.

Соответствующее множество, а также траектория системы с начальными условиями х0 = 0,1, у0 = 0, г0 = у/54 показаны на рис.2.

nu =2 , nu =5, beta=8, полное пересечение, вариант б

16

Рис. 2. Локализующее множество ПРТ-системы

Работа выполнена при финансовой поддержке программы ОИТВС РАН "Фундаментальные основы информационных технологий и систем", проект 1.13, программы Министерства образования и науки "Развитие научного потенциала высшей школы", проект РНП2.1.1.2381 и гранта РФФИ 05-01-00840.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пиковский А. С., РабиновичМ. И., Трахтенгерц В. Ю. Возникновение стохастичности при распадном ограничении параметрической неустойчивости // ЖЭТФ. - 1978. - Т. 74. - С. 1366-1374.

2. Л е о н о в Г. А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // Прикладная математика и механика. - 2001. - Т. 65. - № 1. -С. 21-35.

3. К р и щ е н к о А. П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. - 1995. -№ 11. - С. 1858-1865.

4. К р и щ е н к о А. П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. - 2005. - № 12. - С. 1597-1604.

5. NeukirchS. Integrals of motion and semipermeable surfaces to bound the amplitude of a plasma instability. Phys. Rev. E. - 2001. V. 63.

6. GiacominiH., NeukirchS. Integral of motion and the shape of the attractor for the Lorenz model // Phys. Letters A. - 1997. - V. 240. - P. 157-160.

Статья поступила в редакцию 18.10.2006