Применение алгоритма чувствительности при оптимизации химических реакторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 250

1975

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ

А. И. РУБАН

(Представлена научным семинаром по автоматическому управлению кафедры

ПМАХП)

Задачи аналитического расчета оптимальных условий протекания процессов в химических реакторах можно ставить и решать лишь при наличии адэкватного математического описания реакторов. Поэтому мы считаем, что такое описание имеется. Например, в стационарном режиме реакторы идеального вытеснения описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) относительно концентраций реагентов. В этом типе реакторов основной переменной, по которой проводится оптимизация, является температурный профиль [1—3].

Для конкретности в дальнейшем мы остановимся лишь на указанном типе реакторов, хотя приводимые основные результаты излагаются в общем виде и могут быть применены для широкой группы химико-тех-нологических объектов (теплообменники, ректификационные и абсорбционные колонны и т. п.).

1. Постановка задачи

Считаем, что исследуемый процесс описывается системой ДУ

(fx - - -_=/(*(0, «(0), (1,1)

где х (t) ~ п - мерный вектор-столбец фазовых координат;

и (t)-m- мерный вектор-столбец управляющих воздействий, принадлежащий области U. Для простоты предположим, что начало и конец изменения переменной t фиксированы (¿6[0, tK}), и заданы начальные значения фазовых координат

*(0) = *о- (1,2)

Необходимо так подобрать вектор управляющих воздействий, чтобы первая составляющая вектора х в точке t=tK принимала минимальное значение

xx(tK) = min. (1,3)

u(t)SU

Если кроме начальных условий (1,2) заданы еще и конечные значения для некоторых составляющих вектора я, то в дальнейшем в сопряженных уравнениях (1,5) для соответствующих не будут заданы граничные условия.

В соответствии с принципом максимума [1—3] оптимальные управляющие воздействия u(t) находятся из критерия

Я = \т (0 JÇx{t), u(t)) = шах. (1,4)

u(t)£U

Здесь Т — символ транспонирования матриц, а переменная Х(/), имеющая размерность вектора x(t), удовлетворяет сопряженной системе

о«

которая решается совместно с DY (1,1) при условиях (1,2).

Если и лежит внутри области ¿У, то из необходимого условия максимума Я

^ = 0 (1,6) du

иногда можно получить явную зависимость оптимальных управлений от переменных х и ).

U*(t) = ïi* (х, X). (1,7)

Учитывая (1,7) и решая краевую задачу (1,1), (1,2), (1,5), получаем искомые оптимальные управляющие воздействия и* (¿).

Таким образом, на основе использования принципа максимума исходная задача на оптимум свелась к решению системы нелинейных ДУ порядка 2п с условиями, заданными в начале (t — 0) ив конце траекторий (t = tK), т. е. к так называемой нелинейной двухточечной краевой задаче. Получение надежных численных методов решения этой задачи является одной из основных проблем в теории управления. Из всех существующих методов наиболее универсальным и достаточно эффективным является метод квазилинеаризации [4], успешно развиваемый за рубежом Р. Беллманом и его сотрудниками. В данной статье для решения двухточечной краевой задачи используется другой метод [5], метод линеаризации (чувствительности). Он проще метода квазилинеаризации в вычислительном отношении и в ряде случаев обеспечивает более быструю скорость сходимости.

2. Метод решения краевой задачи

Систему ЭУ (1,1), (1,2), (1,5) запишем в компактной форме

-¿И-(2,1)

где г(Ь) — N - мерный вектор-столбец переменных, представляющих собой х (1) и Х(/), с линейными краевыми условиями

(г(0), а^ = Ьь I = 1, 2, .. ., г,

(2,2)

(¿(У, а^Ь;, * = г + 1,.. ., N.

Здесь (г, а)—скалярное произведение векторов, аь ¿¿—известные константы. Требуется получить решение системы (2,1)— г(£).

Если бы для О У (2,1) были заданы значения вектора г либо в начальной £ = 0, либо в конечной t = tк точках, то это была бы

задача Коши, и решать ее можно было бы любым стандартным численным методом на УЦВМ. Использование метода линеаризации как_раз позволяет от условий (2,2) перейти к начальным условиям для т. е. позволяет привести краевую задачу (2,1), (2,2) к задаче Коши.

Так как уравнения (2,1) нелинейные, то, естественно, процедура решения будет итерационной и сводится к следующему. На /+1-й итерации совместно решаем систему ОУ с известными начальными условиями

dzl (t) dt

dzl (t) dt

= g (г1 m 2'(0) = 2i,

(2,3)

W(?)Z'(i), v (0) = /,

где J(zl) = (— Якобива матрица, (2 ,4)

\dzj I

I — единичная матрица,

Zl (t) —- матрица функций чувствительности размером N X N, и вычисляем (/ + 1)-е приближение начальных условий zl+l (0) из системы линейных неоднородных алгебраических уравнений

(zl+x (0), а,) = Ь19 i = 1,..., г,

(2,5)

(Z'(/Jii+1(0), at) = bl-&{tK)-V(tKW{0), а,)9 i = г + 1,.... N. Успешность применения описанной итерационной процедуры в значительной мере зависит от успешности выбора начального приближения начальных условий для системы (2,1)—г° (0). Можно показать, что если 2° (0) выбрано в окрестности неизвестных истинных начальных условий г(0), то последовательность 2° (0), г1 (0),... , г'(0),. . ., получаемая из уравнений (2,3), (2,5), сходится к г(0) и имеет квадратичную сходимость

II (0) - г (0) II < 81| ? (0) - 2(0) II2, (2,6)

где || zl (0) — 2 (0) || означает норму отклонения вектора zl (0) от вектора 2(0).

3. Пример. Рассмотрим химический реактор идеального вытеснения, в котором идет реакция типа

Р

< , (3,1)

D

где Р — полезный продукт реакции, D — побочный продукт. Будем обозначать через x{{t) и x2{t) соответственно концентрации продуктов Р и Л. t — это длина вектора, которая меняется от 0 до tK. Считаем также, что задана концентрация продукта А в начале и в конце реактора, т. е. (0) = х%, х2 (tK) — х*, и концентрация продукта Р в начале реактора, т. е. х, (0) = х°.

Необходимо так подобрать температурный профиль реактора, чтобы выход полезного продукта был максимальным

*!(*,) = max. (3,2)

T(t)

Математическим описанием рассматриваемого реактора является система DY

dXl = KlX„ Xl (0)= *?, (3,3)

dx 2

dt

dt

= -(«!+ «a) x2, x2 (0) = x°, x.) (tK) = x\,

где константы скоростей ки к2 связаны с температурой реактора в каждой точке по закону Арениуса

к, = к,0 ехр {--—1, Ко = к20 ехр [--—1——} . (3,4)

1 RT{t)\ { RT{t)\

В константы /с10, к20 мы включили объемную скорость потока реагентов и сечение реактора.

В соответствии с принципом максимума запишем функцию Я (1,4)

Н = \к^х2 — Х2 (к1 + к2) х2 (3,5)

и составим систему DY, сопряженную исходной (3,3);

at ■ дхх

(3,6)

d~k2 дН , , 1 / I \. -± = - = _ XjfCj + Х2 + к2)

dt дх2

В последней системе (3,6) отсутствует граничное условие в точке t = tK для Х2, ибо для соответствующей координаты х2 уже задано условие в точке t = tK (3,3). X, (tK) = 1, так как ищется max продукта х1^к) (в отличие от (1,3)). Из первого уравнения системы (3,6) получаем, что

М0= 1. (3,7)

С учетом этого результата

Н = [к, (1 - Х2) - /с2Х2] х2. (3,8)

Заметим, что в (3,8) входят лишь координаты x2(t) и ~k2(t) и x2(t) не зависит от х, (t) (3,3). Поэтому индекс 2 для простоты можно опустить и рассматривать систему уравнений

dx

— = — («1 + К2) X, X (С) = X ик) = dt

(3,9)

, w , \

— = — «1 + k iK\ + Кг), dt

связанную общим температурным профилем.

Считаем пока, что на температуру реактора не наложено ограничений. Тогда можно воспользоваться необходимым условием экстремума Н

~ = [elkl (1 - X) - е2к2ц х = 0. (3,10)

а7 RT*

Отсюда находим явную зависимость оптимальной температуры Т* от х (t) и X(t)

r*(t) = —к2ЁЕ\и) • <3'П)

k10Ei 1 — X (t)

Подставляем эту зависимость в (3.9) и получаем краевую задачу типа (2.1), (2.2)

% = +0*. *(0)=Л (3,12)

аЬ \ ЯД

(А

кх (О

Ех (1-Х)»

где

кх (Ь) — кк

Е2К

к20Е2\ (¿)

(3,13)

Решаем краевую задачу методом линеаризации (чувствительности) (см. § 2). Для этого на I + 1 итерации любым численным методом находим решение задачи Коши

<Н У ' \ Ео),

йк

х, х (0) = х°

Е,\

(1а __

м

к, (О

кх (¿)

Е,Ьх2

XJ> Х(0) = ^(0), ЯЛ1-Х)

е2х

-X)

£,(-1+2Х) , /£,( 1-Х)

е 2Х

+ 1 )а

■Ь 1

(3,14) , а(0) = 0, , 6(0) = 1,

\_(е\ — е2) x2 (1 x)

и следующее приближение для недостающих в (3,12) начальных условий X(0) вычисляем из уравнения

х"-х((к) + аук)14 0)

Хг+! (0)

(3,15)

Рассмотрим также более простой метод решения поставленной выше задачи на оптимум. Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума функции Н (3,8), получаем, что

X

Е | ю ^

я- л-р (3'16)

Подставляем это уравнение в Н и получаем максимальное значение функции Н — Н*

Я* = х (£, - £х)

(3,17)

Так как известно [3], что //>-0, то оптимальный температурный профиль может быть найден, лишь если

Е2>Е{. (3,18)

Кроме того, известно, что на оптимальной траектории функция не зависит от переменной то есть

йН*

М

= 0.

Из этого условия, с учетом (3,9), нетрудно получить ВУ для оптимальной температуры

rït pt2

^ = JiL-{E1kx+E2K2). (3,19)

dt EXE2

В этом уравнении не известно начальное значение температуры Т (0); и если DY(3,19) рассматривать совместно с первым уравнением системы (3,9), то вновь получим краевую задачу, решение которой на (1 + 1) итерации сводится к совместному решению системы

dx

— = — (кх + /<>>) X, х (0) = х°, dt

¥ = + Tl (0). (3,20)

dt txt2

— = — (кх + к^) а--— (кхЕх + к^ЕЛ Ьх, а (0) = 0,

dt RT2

^ = [2 RT {Ехкх + Е2к2) + {Е\кх + Е\к2)\ 0) = 1

dt ЕгЕ2

с последующим вычислением (/+1) приближения для Т(0)

(0) = V (0) 4- . (3,21)

a(tK)

Последний алгоритм был опробован на УЦВМ и показал высокую скорость сходимости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ю. М. Волин, Г. М. Островский, М. Г. Слинько. Применение принципа максимума для определения оптимального режима экзотермических процессов. Кинетика и катализ, т. 4, вып. 5, М., 1963, (760—767).

2. Г. М. Островский, Ю. М. Волин. Об одном методе расчета оптималь ных систем.—«Изв. АН СССР. Техническая кибернетика», № 2, 1968, (174—185).

3. А. И. Бояринов, В. В. К а ф а р о в. Методы оптимизации в химической технологии. «Химия», М., 1969.

4. Р. Бе л л м а н, Р. К а л а б а. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. «Мир», М., 1968.

5. А. И. Рубан. Некоторые вопросы математического описания динамических объектов (диссертация). Томский госуниверситет, 1969.