CC BY
38
МЕТОД ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ФОРМИРОВАНИЯ БАЗЫ ДАННЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ВЫБОР УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ
Булычев Юрий Гурьевич,
д.т.н., профессор, заслуженный деятель науки РФ, начальник научно-исследовательской лаборатории ОАО "ВНИИ "Градиент", Россия, Ростов-на-Дону, ProfBulychev@yandex.ru
Насенков Игорь Георгиевич,
первый заместитель генерального директора ОАО "Концерн Радиоэлектронные технологии", Россия, Москва, nasenkov@retechn.ru
Николас Павел Игоревич, Ключевые слова: адаптивные системы контроля,
ио начальника сектора, ОАО "ВНИИ "Градиент", системы реального времени, эффективное управление,
Россия, Ростов-на-Дону, gradient@aaanet .ш стохастический объект, интерполяция.
Эксплуатация сложных стохастических объектов (СО) предполагает эффективное управление ими в различных условиях, в том числе и при возникновении аварийных ситуаций, связанных с выходом параметров функционирования за границы области допустимых значений. Такая ситуация считается аварийной и характеризуется дефицитом времени на принятие и реализацию управляющего воздействия. Формирование управляющих воздействий в сложных СО требует значительных вычислительных, а, следовательно, и временных затрат, связанных с необходимостью численного решения уравнений, моделирующих названные объекты. Ситуация еще более осложняется, если состояние СО зависит от вектора некоторых вещественных параметров, например, начальных и граничных условий соответствующих уравнений, различных коэффициентов, а также априорно неизвестных констант, характеризующих условия функционирования СО. Эффективность управления характеризуется двумя основными показателям: точностью и оперативностью. При выходе параметров функционирования СО за границу области допустимых значений (аварийная ситуация) требования по оперативности становятся приоритетными. Поскольку в этом случае предъявляются жесткие требования по оперативности управления СО при достаточной заданной точности, то целесообразно выработку управляющих воздействий разбивать на два этапа. На первом (предварительном) этапе необходимо сформировать опорные аналитико-параметрические решения соответствующих уравнений. На втором (основном) этапе, в зависимости от конкретных значений вектора параметров, выдаваемых системами контроля или идентификации высшего уровня, должны вычисляться искомые решения. Такое рассмотрение задачи управления позволяет вынести основные вычислительные затраты на первый (предварительный) этап. Современные ЭВМ, оснащаемые запоминающими устройствами большой емкости, позволяют хранить большие массивы опорных решений, которые могут уточняться по мере накопления статистической информации. Это способствует повышению точности формирования управляющих воздействий в реальном времени. Описан метод предварительного формирования аналитических выражений для матричных функций передачи подсистемы оценивания вектора состояния и системы управления, что позволяет реализовать контроль и управление СО в реальном времени.
Для цитирования:
Булычев Ю.Г., Насенков И.Г., Николас П.И. Метод предварительного формирования базы данных передаточных функций
линейных систем управления и выбор управляющих воздействий в реальном времени // Т-Сотт: Телекоммуникации и
транспорт. - 2015. - №2. - С. 54-58.
For citation:
Bulychev Yu.G., Nasenkov I.G., Nicholas P.I. Transfer function databank of line control and real-time control action selection preforming method // T-Comm. 2015. No.2. Pp. 54-58.
■
Рассмотрим управление СО, математическая модель которого задана следующим уравнением
X = AX + BU + CEi, ЛГ0 = Л"{ЙМ0|ЛГ0), t'.[ta.j],
(I)
где х = х(е1,г\Х0)еКг - вектор состояния СО,
А - ЛЦ*)<= КГУГ, В - в{ф,1) е Иг'к , С - ф.г)с - известные с точностью до параметров функциональные матрицы, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения (I), и;!!- вектор неизвестных параметров, подлежащих идентификации, Е, ==!(/)&Л® -вектор возмущающих воздействий, представляющий собой белый гауссовский шум с математическим ожиданием Л/{н,(/)} = 0 и ковариационной матрицей =
где Л, -/¿[(/)<= - заданная положительно определенная матрица, ¿'(-) ~ дельта-функция; и = и(со,1,Х\Х-
вектор управляющих воздействий, минимизирующий функционал качества
У, - Jx^x^x^T\х0)+
(2)
минимума функционала J2
= А/|(ДГ xf\(lix А')|,
Л = Л(/)еЛгх' - заданная положительно определенная матрица.
Оценка X , минимизирующая J-., формируется на выходе подсистемы оценивания, выполненной, например, на основе фильтра Калмана-Бьюси: А' = АХ \ z(s- Dx)+ BU , где Z - !\DTR2' - матричная ФП подсистемы оценивания, Р2 =Р:(о.,'|Д; ) - решение матричного уравнения Риккати
Р2 = ЛР2 I Р2АТ P2DTR21DP2 \ Р2 4 СЛ[СГ
(4)
при начальном условии Р2(й,>'о|^о)= ^о ■ 4е нарушая общности рассуждений, далее рассмотрим скалярную задачу управления СО
х = а(а^)х + ь(т,гр + и(а>,1)§1, А(®,/0)=А0, (5)
где X с ¡{[, а — а{йI, f)cRl, h - Ь(г,ч, t) с R1, С - с((0, t) е R1, с> с £¿1, -fJ, ё| - по результатам измерений
-V = d(ti),t)x + о , где d = d(v,t)Е Rl , = £,(«)с Л1.
Применительно к скалярному СО (5) уравнения (3) и (4) представим в виде
- hi - 2т ~ +Ч. Р\ {"<t\pit)= PIT •
р2 = lap2 - p2d2R2 ' + P2-<-,2ri . Piip>*tо|Ло)= Rn ■
(6)
(7)
где pv/ pR'~"r, д-д(г)€Лгяг - заданные положительно определенные матрицы.
Считаем, что начальное состояние СО Х0 также является гауссовским случайным вектором, не зависящим от
Е,(г). При этом м{х()} = хи, х01хК Х„Г| = Ло.
Результатом измерений СО является вектор .V /->(п.,.')лг + , где - вектор измерений,
Нз-Ез^еЯ1 - вектор погрешностей измерений, с м{~2(^)} = 0 и ковариационной матрицей &(('/) Я2 = И2{:)<- ■ 1) = !3{п,,1)<= К"' - известная с точностью до параметров функциональная матрица. Считаем, что возмущения Е, и погрешности Е2 не коррелированны.
Стохастическое управление СО (I), оптимальное в смысле минимума функционала (2), имеет вид [1,2] и - ИХ , где ¥ - Р(т,>. ) - матричная функция передачи (ФП) системы управления: ¡' = -1\в. р{ = р\(о,г\Р\Т) - решение матричного уравнения Риккати
- ^ = Р,А + А'Р, -Р,ВВ' Р\-0 (3)
при краевом условии Р \а,1\р[Т )-Р<т, х - х(о.>л) - текущая
оценка состояния СО, полученная после обработки информации от измерительной подсистемы.
Оптимальная оценка V(г) формируется по критерию
где 4-4(1), Л = ¿(6},/), Л, = Л, (/), Л2=А(0 - скалярные функции.
Введем в рассмотрение числовую сетку по времени, образованную узлами /(,,,,, т = 0,М. Для параметра
а е£10 = также зададим сетку из узлов со(„),
п-0, V полагая, что и,, <»(„)< ®„, г0<г<Т, со,,, и„ - заданные числовые значения верхнего и нижнего значения параметра со соответственно. Вводя по аналогии с [2] относительное обратное время г = Т-т и обозначив р^(о),1\р\т)= -т\р\Т)=~ру{(о,т\р\Т), уравнение (6) и соответствующее краевое условие запишется в виде
Jpi_ dr
= 2a[m,T г)р, р[Ь2(а,Г г) • q[T /),
/f,(iJ,0|/)r; )=/>„■, г е [о,Г -((].
(8)
где
Таким образом, краевая задача для уравнения (6) сводится к задаче Коши (8).
По переменной г также введем числовую сетку, образованную узлами т(>) = Т-цм_/), ¡ = 0,М, \м) = т < О < г < Т - 1й, Т(м) < Т-(„, /,0) = /„, Г(о) = 0. Точные решения для задач Коши для уравнений (7), (8) обозначим соответственно в виде р, (»(„,,г|/71Г)-Л, Ц,,),ри,г,/(„)), \п>. г| р1т ; Л: {п,р1т,т ). По аналогии с [3,4] введем в рассмотрение совокупность частных решений уравнения (8), соответствующих набору различных значений ,
n = QJV : Р|Ц„).г|йт-)=Л1Ц„),;?|Г,г), и назовем семейством
опорных решений, которое может быть получено с использованием численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Данные решения задаются набором фиксированных значений
АЦ*)> т(;)|аг )= \ Цп> Лг, r(i))= А(м) >
г = Mi , п = (VV , (9)
которые хранятся в памяти ЭВМ.
Проведем интерполяцию выборки числовых данных (9), соответствующих фиксированному значению переменной и[„], я с О,У, сопоставив функции Pi(®(„),r|/?ir) приближенную функцию известного класса
где /(„) = {к(,,„),/ = 0,м}т -вектор параметров, выбираемый из условия
- А(,>)- Под 40
здесь понимается точная интерполяционная функция, По аналогии проводится интерполяция для всех п - (i. Л' . Для фиксированного i е 0,М поставим в соответствие узлам сетки сг)(„) набор значений ,"(,-,„), и-0, N и проведем их
интерполяцию щ{ш) = Здесь Щ = = O.A'f
вектор параметров, выбираемый из условия Аналогично проводится интерполяция для всех i - 0, М.
Приближенное решение уравнения (8) в области [ft>„,(u„]x [о,Г-(0] представим в виде
Р, [ео,г\ри)-Л, (/.>,;, г,/(«)),
(10)
где
11 t фУ- П г
i3zL
Vi-'i.)
(13)
На основании (12) получим приближенные выражения для ФП У и/:
И Л' 1-1) п-0
.1/ Л' я=0л=О
На основе полученных соотношений алгоритм приближенного управления и оценивания СО примет вид
(ЙГ ,
--a\m,t)X +
dt
d(lil,t)l<2 ' V У, P2(m,H)Цт)№(„){®)
ni = 0n=0
^ rf(a,f)i i й(<н,/)е/
(14)
(15)
где 1'|й')= = 0.м( . Рассуждая аналогично получим
приближенное решение уравнения (7):
р2(«м|До)=й(л0,Лр{(о)), (I I)
где Да))= {^„,)(й)),т=0,Л/}Г - вектор параметров, удовлетворяющий равенству -р3п„,,
т = 0,М, и = 0,Л". - массив чисел, соответствующий
(7) и полученный по аналогии с (9).
При использовании для построения приближенных решений уравнений (7), (8) интерполяционного многочлена Яагранжа выражения (10), (II) по аналогии с [5] принимают вид
л/ .V
где /,(;)(7~-г), /,(„){(!)}, /■(,„)(?) определяются в соответствии
с выражениями (13). Из (14), (15) следует, что для формирования приближенного (субоптимального) управления СО в соответствии с критерием минимума функционала (2) необходимо лишь вычислить значения решений уравнений (7), (8) в узлах сетки любым приемлемым для данной задачи численным методом для последующей подстановки в выражения (14), (15). Данные процедуры могут быть выполнены на этапе предварительного синтеза.
При использовании для интегрирования (8) опорных решений, / е 0,Л': А Ц;),г(,||лг)= А(и) * %;) •
] = /V — I,N + 2.....истинное решение р:(а>,т\р^) при 1=щ и
и = и;у , отличается от приближенного р1 (м, г|/? т) на величину Лр = /"»](,■,)- ,■)■ По аналогии с [4] предположим, что р\со,т\руг) является с - приближенным по невязке решением [6], то есть (ллО^-, {со,(\р 17 ] - * ^ ^ри подстановке функции рДвм^ц-) в (8) имеем + -д = Ф(а>,г), где невязка ф(й>,г) удовлетво-
аг
ряет неравенству зир|Ф(®, г]( < е .
г.'.Г
Рассмотрим порядок выбора семейства опорных решений с использованием выражения для погрешности двумерной интерполяции, которая задается остаточным членом [5]
,(г) '
А(<ИАГ) А(®> Г|АГ)=
(М I 1)! дтм 11
,Р\т)
а,,(<о) , I • 1 а „(а) 'УЧ+'У+2 ,
+-^--^-гАЬ -"----5--—;-7Г-ГЛ,Х
(N+X)l8e>N+l П ; (М + 1)!(7V + 1)!1' ,
I ,, ,„ \ >4« .т •Pit/
где с,) , т и т , т некоторые характерные значения переменных & и т.
При выборе семейства опорных решений можно воспользоваться неравенством
> М 11.JV 11
(;W-1)!(.V + I)!
где £u+i=sup
<>,z
WM+1>lV+, = suf
(M + 1)!
ал'+1
sup да"*1
и^г
rW
G,
Hv)
(N ■ 1)!
(А/ + ])!(Л' + 1)!
10 =
i [2i. +1 LT
''■"Ч-Ч-V-
2(M + l)
, i = 0,M ,
Щп)
\ (2/7+1k
, n - 0. N .
(16)
A(cj,T,pu ) ,
III = supl-l,
llllr.f-.i П1'
с, - число, ограничивающее погрешность интегрирования уравнения (8). Задавая с и с,, можно в соответствии с (16) подобрать такие М и Л , при которых обеспечивается требуемая точность интегрирования (8). Шаги Ли](„) = гв(„) -й)(„ |) и Дг^ = г(;)-г(( |) должны выбираться из условия минимума ошибки двумерной интерполяции (12), В этом случае узлы интерполяции по со и г должны совпадать с корнями многочлена Чебышева, то есть при оценке сверху величин «,,,(; I и «,,,(«) можно воспользоваться соотношениями [4]
Ч«* И * -■ 'И * П:лп-■
7 - <■■ -
С учетом этого, по аналогии с [4] вместо (16) воспользуемся оценкой
которая соответствует выбору узлов интерполяции по со и т по формулам:
С учетом полученных соотношений можно подобрать такие параметры решения, которые гарантируют требуемую точность вычисления корней уравнения р\[еа,(!\рхт)=р1Т , соответствующего краевому условию в выражении (8). Аналогично вышеизложенному формируются решения уравнения (7). При оптимальном выборе параметров семейства опорных решений ошибка вычисления управляющих воздействий может быть сведена к сколь угодно малой величине.
Метод, предлагаемый в статье может быть применен к задачам синтеза адаптивных систем контроля и оптимального управления СО в параметрической постановке. Матричные ФП подсистемы оценивания и системы управления могут быть сформированы в анапитико-параметрическом виде на предварительном этапе синтеза управления. На этапе непосредственного управления для вычисления их значений необходимо в полученные аналитические выражения подставлять значения вектора параметров, выдаваемых подсистемой параметрической идентификации. Это позволит формировать управляющие воздействия в реальном времени, что особенно актуально при возникновении аварийных ситуаций на СО.
Литература
1. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев Б.П. Динамические модели теории управления. - М.: Наука, 1989. - 372 с.
2. Александров А.Г Оптимальные и адаптивные системы. - М.: Высшая школа, 1989. - 263 с.
3. Булычев Ю.Г. Нелинейная теория опорно-проективных вычислений в задачах оптимального управления // Автоматика и телемеханика. - 1999. - №4. - С. 14-27.
4. Булычев Ю.Г., Манин А.П. Математические аспекты определения движения летательных аппаратов. - М,: Машиностроение, 2000. - 256 с.
5. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 432 с.
6. Тихонов А.Н., Васильева А.Ь, Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985. - 232 с.
TRANSFER FUNCTION DATABANK OF LINE CONTROL AND REAL-TIME CONTROL ACTION SELECTION PREFORMING METHOD
Bulychev Yuriy Gurevich,
All-Russian Research Institute "Gradient", Rostov-on-Don, Russia, ProfBulychev@yandex.ru
Nasenkov Igor Georgievich,
Concern "Radio-Electronic Technologies", Moscow, Russia, nasenkov@retechn.ru
Nicholas Pavel Igorevich,
All-Russian Research Institute "Gradient", Rostov-on-Don, Russia, gradient@aaanet.ru
Abstract
Complex stochastic objects (SO) operation involves effective management in a variety of conditions, including the case of emergencies when parameters of operation goes out of tolerance range. This situation is considered an emergency and is characterized by lack of time on the decision-making and implementation of the control action.
Creation of control actions in difficult SO requires significant computing and, consequently, the time costs associated with the need for numerical solution of equations modeling this objects. The situation is further complicated if the state of SO depends on the vector of some real parameters, such as initial and boundary conditions of the corresponding equations, various factors, as well as a priori unknown constants characterizing the conditions for the functioning of the SO. Management efficiency is characterized by two main factors: accuracy and speed. When the parameters of SO functioning goes out of range (emergency) requirements for speed becomes a priority. Since in this case requires high speed of SO management with sufficient given accuracy, it is advisable to production control actions divided into two stages. At the first (preliminary) stage it's necessary to generate the analytical-parametric solutions of the corresponding equations. On the second (main) stage, depending on the specific values of the parameter vector issued by identification or control systems of higher level must be calculated the required solutions. Such review allows put a major computational costs for the first (preliminary) stage. Modern computers, equipped with mass storage devices, make it possible to store large arrays of basic solutions that can be improve accuracy during accumulation of statistical information. This improves the accuracy of formation of the control actions in real time.
This article describes a method of forming a preliminary analytical expressions for the matrix transfer functions of the subsystem state vector estimation and control system that allows to control and management of SO in real time.
Keywords: adaptive control systems, real-time systems, effective control, stochastic object, interpolation.
References
1. Neimark, YI et al., 1989. Dynamic models of control theory. Moscow: Science. [in Russian]
2. Alexandrov, A G, 1989. Optimal and adaptive systems. Moscow: High School. [in Russian]
3. Bulychev, Yu G, 1999. Nonlinear theory of support-projective calculations in optimal con-trol problems. Automation and Remote Control, no. 4, pp. 14-27. [in Russian]
4. Bulychev, Yu G, et al., 2000. Mathematical aspects of the definition of the aircraft. Mos-cow: Mechanical Engineering. [in Russian]
5. Samara, A A, et al., 1989. Numerical methods. Moscow: Science. [in Russian]
6. Tikhonov, A A, et al., 1985. Differential Equations. Moscow: Science. [in Russian]
