Синтез быстродействующих измерительно-управляющих систем на базе параметризованных марковских моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

X информационно-измерительные системы

УДК 007.5; 681.32

синтез быстродействующих измерительно-управляющих систем на базе параметризованных марковских моделей

А. П. Лапсарь,

канд. техн. наук, доцент

Ростовский военный институт Ракетных войск им. М. И. Неделина

Для синтеза измерительно-управляющих систем предложен численно-аналитический метод оценки стохастических характеристик марковской системы, описываемой эволюционными уравнениями, решения которых непрерывно зависят от вектора вещественных параметров, определяющих условия ее функционирования.

Ключевые слова — марковская параметрическая система, эволюционные уравнения, метод редукции, интерполяция, стохастические характеристики.

Введение

Управление сложными стохастическими системами различного назначения предполагает интеграцию в их состав измерительно-управля-ющих систем (ИУС), синтезируемых на основе адекватных математических моделей. Известно, что широкий класс стохастических марковских систем достаточно адекватно моделируется эволюционными уравнениями (ЭУ), например уравнением Фоккера—Планка—Колмогорова [1]. С использованием указанных уравнений эффективно решаются задачи анализа нелинейной статистической динамики различного рода динамических систем, а также синтеза алгоритмов оценки их состояния в различные моменты времени (например, вероятности безотказной работы, наработки на отказ, среднего времени достижения границ области допустимых значений и других стохастических характеристик (СХ)) [1, 2]. При этом набор оцениваемых СХ представляется в виде совокупности некоторых ограниченных непрерывных функционалов от плотности вероятности многомерного марковского процесса, удовлетворяющей используемому многомерному ЭУ.

Основной причиной, ограничивающей практическое применение марковской теории анализа и синтеза стохастических систем, является высокая сложность численного и, особенно, аналитического решения указанных ЭУ. При этом си-

туация еще более усугубляется, если рассматриваются параметризованные ЭУ, т. е. заданные с точностью до вектора вещественных параметров, в качестве которых могут выступать начальные и граничные условия соответствующего уравнения, а также априори неизвестные константы, характеризующие условия функционирования стохастической системы.

Поскольку в ряде случаев, например при возникновении угрозы аварийной ситуации, предъявляются жесткие требования по быстродействию оценки СХ, то целесообразно этот процесс разбивать на два этапа. На первом этапе необходимо оценить локальные характеристики (коэффициенты сноса и диффузии) исследуемой системы и сформировать аналитико-параметрическое решение соответствующего параметризованного ЭУ. Здесь же по мере накопления информации об исследуемой системе могут уточняться параметры модели и полученное решение. На втором этапе, при выявлении признака аварийной ситуации в зависимости от конкретных значений вектора параметров, выдаваемых системой идентификации высшего уровня, вычисляются искомые СХ. Такое рассмотрение задачи оценки СХ позволяет вынести основные вычислительные, а следовательно, и временные затраты, на первый этап. В данной работе для синтеза ИУС высокого быстродействия дается обоснование метода оценки СХ марковской системы, моделируемой параметризованными ЭУ.

Постановка задачи в марковско-параметрическом виде

Рассмотрим в некотором нормированном пространстве W0 параметризованное ЭУ в частных производных для г-мерного марковского процесса х(г)

^—4;',, м*, ')}•

д* ®0, *

р(х, t)є Wo, х Є X С Rr, t Є Т, (1)

г(г'

где Цв' ( — оператор параметризованного ЭУ (например, оператор Фоккера—Планка—Колмогорова), зависящий от вещественного векторного параметра ю0. *

Пусть искомое решение р(х, ^ уравнения (1) подчинено дополнительным условиям вида

Фп

— фю■ &', (х, О ^ ^, і 1, *•*, Ь0,

І = 1, ..., і1, где Фш — линейный непрерывный оператор, действующий в W0 и зависящий от ве-

0 •

щественного векторного параметра ю j Є 0.j С R 1; Si — некоторое многообразие в области X х Т, число измерений которого меньше г + 1; фш. (й;) — заданная функция, определенная на Si и зависящая от Ю..

Данную задачу можно представить в виде одного точного уравнения [3, 4]

р(х, ю, ^—№ (ю) р(х, ю, ^ — f (х, ю, t),

f (х, ю, ^Є W, (2)

где F(ю) — линейный непрерывный оператор, действующий в нормированном пространстве WcW0; X — некоторая постоянная, не являющаяся характеристическим значением оператора F(ю) для

Т Т ГТ1 гр

Ю — (Ю0 , Юі,..., Ю^ ) Є О —

0 хх...хОА СRm — Rm0 хRml х...хRmLl;

— О

f(х, ю, г) — заданная функция из W.

На первом этапе функционирования ИУС может быть построено аналитико-параметрическое

*

решение р(х, ю, ^ уравнения (2), а на втором —

* *

совокупность искомых СХ Yi (ю) = Fi р(х, ю, ^ ,

i = 1, ..., М0, где ^;[-] — ограниченные непрерывные функционалы. *

Поскольку вместо р(х, ю, ^ можно получить только приближенное решение р(х, ю, г) уравне-

Г * Тм0

ния (2), то и вместо Щ (ю) [ — лишь семейство

м ^ г=1

{У; (ю)} 0 приближенных СХ.

Требуется с учетом принятых моделей и ограничений разработать численно-аналитический метод оперативной оценки СХ марковской параметрической системы для последующего использования при синтезе ИУС высокого быстродействия.

Решение операторного уравнения

Рассмотрим в пространстве W полное подпространство W, в котором задано приближенное [по отношению к уравнению (2)] операторное уравнение [3, 4]

р(х, ю, ^иX PF(ю)р(х, ю, ^ = Pf (х, ю, t), (3)

где Р — непрерывный линейный оператор, проектирующий W на W, для которого PW = W, Р2 = Р.

Будем считать, что выполнены следующие условия:

1) для любого р(х, ю, г) е W найдется элемент р(х, ю, г) е Wтакой, что |^(ю)р(х, ю, г) -р(х, ю, г) II < < П111р(х, ю, г) е II;

2) существует элемент f (х, ю, г) е W такой, что

II Дх, ю, г) - р(х, ю, г) II < п2 11Дх, ю, г) II. р

Пусть каждый элемент р(х, ю, г) е W единственным образом представим в виде р(х, ю, г) =

ТО

= Есг(ю)Уг( х, у;(х, г) е W, где система элемен-

г=1

тов {у; (х, #)} образует базис в W. Кроме того,

считаем заданной полную в W систему линей-

ных функционалов такую, что из равенств ФДрх, ю, г)] = 0, ] = 1, 2, ... следует р(х, ю, г) = 0. В этом случае вместо (3) можно ограничиться рассмотрением системы равенств Ф[Р(1 - №(ю))р(х, ю, г)] = = D]\Pf(x, ю, г)], ] = 1, 2, ... С учетом этого приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) метода Галеркина в абстрактной форме [4]

ТО ТО

£ [уk (х, 0]и ^£ ck (ю)-О;р (ю)уk (х, #)] =

— Dj [Pf (х, ю, #)], ]' — 1,2,....

Если система функционалов {D.} биортого-

нальна

базису |уі (х, #)}— ^ то Cj (ю)--^ ск (ю)

к—1

х Dj [PF(ю)ук (х, #)] = Dj [Pf (х, ю, #)], І = 1, 2, .... В частности, если W — гильбертово пространство, а Р — оператор ортогонального проектиро-

вания

, то Cj (ю)- X ^ Ck (ю Д F (ю)у k (х, У У (х, t)) =

k—1

ж

= (х, ю, ^, уj (х, t), ] = 1, 2, ..., где <•,•> — символ

скалярного произведения.

Представим данную систему в окончательном виде

cj (ю)-1Е ajk k=l

a)ck (ю

)= bj (ю), j = 1, 2, ..., (4)

полагая, что Е \ajk (®)| <то, Е|bj (ю)| <то, j,k=i j=i

удовлетворяет

а решение c(ra) = ^c1 (ю), с2 (ю

условию ^ ск (ю) <ю.

к=1

Таким образом, задача нахождения приближенного аналитического решения параметризованного ЭУ сводится к решению бесконечной СЛАУ (4).

Решение бесконечной системы уравнений

Применим к решению бесконечной СЛАУ метод редукции, который состоит в замене (4) усеченной СЛАУ:

П ___

С (ю)-^Е ajk (®)cj (ю)= bj (®), 1 = 1, п, (5)

^=1

* Г * ____1

решение которой сп (ю)=| Сп] (ю), ] = 1, п\ — приближенное решение (4).

Рассмотрим систему (4) с учетом ограничений в виде одного операторного уравнения в функциональном банаховом пространстве С = I2 по аналогии с ^ю) - ХЩю^ю) = Ь(ю) [3], где ^ю) = {с1(ю), с2(ю), ...}; Ь(ю) = {61(ю), Ь2(ю), ...}; К(ю) — непрерывный линейный компактный оператор в I2, определяемый для всех ю е О матрицей A(ю) = {ак(ю),

j.

Аналогично систему (5) рассмотрим в конечномерном пространстве Сп = 12. ^(ю) - ХК^ю^^ю) = = Ьп(ю), где ^(ю) = {^(ю), ] = 1, ..., п} и Ьп(ю) = {^(ю), ] = 1, ..., п}, а оператор Кп(ю) определяется усеченной матрицей An(ю) = {ак(ю), ], к = 1, ..., п};

то

Цс(ш)1г2 = Е h N

k=i

СП (“) l2 =

In

п , ,2 2

Е Iе* N ■

к=1 .

Наряду с пространствами С и Сп рассмотрим вспомогательное пространство С[п]СІ2, состоящее из элементов, все координаты которых, начиная с (п + 1)-й, равны нулю. Обозначим через Нп непрерывный линейный оператор, отображающий С[п] взаимно однозначно на Сп, т. е. элемен-

ту ^(ю) = (с1(ю), с2(ю), ..., сп(ю), °’° -} Є С[п] ставится в соответствие элемент ^(ю) = {Ію), І =

= 1, ..., п} Є Сп.

Очевидно, что существует непрерывный обратный оператор Н-1. Наряду с Нп существует также непрерывный линейный оператор Qn, являющийся продолжением оператора Нп, т. е. отображающий С на Сп и совпадающий с Нп на С[п]. Оператор Qn сопоставляет элементу ^ю) = {с1(ю), с2(ю), ...} є С = I2 элемент

сп (и) = (и). ] = 1 п} сп = П: сп (®) = Яис(ы) =

= {с (ю),с2 (ю),..., сп (ю)}є I%. Также очевидно, что ||ФЛ|| = |\нп\ = н-1|| = 1, ||^n(ю)HnC[n](ю) -- ^(га^п^п11 = °,

|ВДс(й)-[2ф)с(й)Ц = Е Е\aik (йЬ(й)

j=n+1k=1

,1/

то то 2 то 0

Л Е Е la(й) Е h НІ

j=n+1 k=1

Л

k=1

<Gn\ |с(й)

где под [K(ro)c(ro)] следует понимать усеченный элемент, получающийся из элемента K(o)c(o^l2 заменой всех его координат, начиная с (и + 1)-ой,

то то 2 2

нулями, an = sup Е Е|a-jk(ю)| , юєО. Оче-

® [j=n+1 k=1

видно, что с учетом принятых ограничений СТи ^ О при и ^ да.

Кроме того:

ЛMn сИ

то 12

с(ю)-[с (ю)] J= Е bj и|2 Л

j=n+1

то то

где = sup Е |К (ю)2 / !Е к ( ю)2

ю j=n+l / j=i

этом цп ^ 0 при п ^ да.

На основе результатов работы [3] и с учетом вышесказанного можно заключить, что если X не является характеристическим значением системы (4), то для фиксированного ю е О при достаточно больших п система (5) разрешима относитель-

но сп (®)= Сп1 (®) сп2 (®)>•••> спп (®) иимеетме-^ -^ * сто сходимость приближенных решений С[л](ю) =

Г * * * 1 *

= |Сге1 (ю), сге2 (ю), •••, Спп (ю), 0, 0,... кточному с(ю).

Скорость сходимости определяется неравенством

* * * *

с(ю)-H- cn (ю) = с(ю)-с[п](ю) Л ?1°п

то

2

+ Я.2МЛ, йеО, где с(ю) и сп (ю) — решения систем (4) и (5) соответственно; ^ и q2 — положительные постоянные, не зависящие от ю и п. Отсюда ясно,

* * что каждая координата ск (ю) вектора с(ю) мало

*

отличается от каждой координаты спк (ю) векто-

*

ра с„ (ю) для всех k = 1, ..., п и ю е О, а при k > п

*

координата ск (ю) мала для всех ю е О. Кроме

* *

того, следует сходимость Иш спк (ю) = Ск (ю), k = = 12 п^ж

Ниже рассмотрим общий подход к построению приближенного параметризованного решения системы (4) на базе усеченной системы (5).

Решение усеченной системы уравнений

Для сокращения записей, не снижая общности рассуждений, положим ю е О с Д1. Пусть внутри области О задан набор точек (узлов) ю^, i = 1, ..., N. Поставим в соответствие набору ю^, * * * ю(2), ..., ю^семейство Сп (Ю(!) ), Сп (Ю(2)),..., Сп (Ю(^))

*

точных решений системы (5), т. е. cnj (Ю(г)) —

п *

— ^Еajk(ю(г})сп(®(;)) = bj(®(;})> ] = 1, •••, п, i =

к=1

= 1, ..., N. Данные решения могут быть построены заранее, в нормальных (безаварийных) условиях эксплуатации, с использованием известных методов решения СЛАУ на базе ЭВМ.

Используя введенное семейств о, рассмотри м процедуру построения приближенного параметризованного решения Сп(ю) = {сп1(ю), Сп2(ю), ..., Спп(ю)} системы (5), справедливого для всех юеО. На базе данного решения сформируем вектор

(ш

) = {г„1 (ш), СП2 (ш),..., Спп (ш), 0, 0, ...}= н-

п сп (ш), который принимается в качестве приближенного параметризованного решения для системы (4) и обеспечивает при этом выполне-

ние следующего неравенства: вир

= вир

ю

с(ю)-Нп сп (ю

'(Р)-'с\и](Р.

ю є О, где 8п_ ю —

положительная постоянная, задающая границу допустимой погрешности вычислений.

Очевидно, что количество и правило расположения указанных выше узлов ю^, ю(2), ..., Ю(N) зависит от выбора области О и требуемой точности построения параметризованного решения (4), которая определяется константой 5п N.

Для фиксированного і = 1, ..., п поставим в со-

набор чисел

ответствие узлам ю

(1), ю(2)’

чю

Сп',(ю(1)), сп-}(Ю(2)),...,сп-}(ю(^)), который соответствует і-м координатам построенных опорных ре* * * шений сп(Ю(1)), сп(Ю(2)),..., Сп(ю(Лг,) системы(5). Проведем интерполяцию данного набора, сопоставив ему скалярную функцию %Дю) известного класса: у^(ю) = 0п(ю, ^), Vj є Дю, і = 1, ..., п, где вектор коэффициентов V• = {\'і 1, У^2, ..., Vю}

уіЮ

находится путем решения следующей СЛАУ:

*

Ущ («{г}) = vj) = сщ i = 1, ., N.

Данное соотношение показывает, что вектор коэффициентов V выбирается таким образом, чтобы значения функции %^(ю) совпадали со зна-

*

чениями функции cnj (ю) в N узлах интерполяции, а его решением являлся вектор коэффици-

* ____________

ентов \у = к=1, N }-. Далее проводится интер-

поляция для всех ] = 1, ..., п, т. е. определяется совокупность параметризованных коэффициентов уп1(ю), уп2(ю), ..., упп(ю), удовлетворяющих характеристическому свойству. Указанные коэффициенты принимаются в качестве параметризованных координат приближенного решения Сп(ю) = = {Сп1(ю), Сп2(ю), ., Спп(ю)} системы (5), т. е. сп/(ю) =

И(і), V™

*

®(і}> VI

= Упі(ю) и Сп (И(і)} = Ч'п\®(1))= Н

і = 1, ..., Ю, где и

— Сп (Ю(;)

®(;)^2

^п(ю(і)) = {^п1(ю(і)), Уп2(ю(і)),

Упп(ю^))}. Данные соотношения показывают, что построенное приближенное параметризованное решение сп(ю) системы (5) совпадает с ее точным

* * *

ю, v1 , ел ю, vi ,..., е„ ю, vn

параметризованным решением сп (ю) в узлах интерполяции ю^), i = 1, ..., N.

Приближенным параметризованным решением системы (4) следует принять

I = {г„1 (ю),С„2 (ш),..., Спп (ю), 0,...}=

0,0,...-.

Применим к рассмотренной выше процедуре построения параметризованных решений известные методы интерполяции. Так, в случае параболической интерполяции на основе степенных по-

N

линомов 'цnj (ю)= Е Vjk®k получим СЛАУ

k=l

tynj (®(£) ) Vjk®(i) си] (®(£) )> ^

k=1

] = 1, ..., П. (6)

Решая систему (6) относительно \у = {у у ..., У^} для у' = 1, ..., п, получим 6[л](ю)=|ЕVI*(

N

;И

[й=1

N

Е ^ Ю Е^ Ю . 0,0,...к

k=1 k=1

бН(®(г))=

= {пі (®(ї) )’ Сп2 (®(ї) )’’"’ Спп (®(ї) )’ 0 0 ...}= I * * *

= 1 Сп1 К) )’ сп2 К) )>...> спп К) )’ 0 о,...

I * * * I *

где 1сп1 (®(£) ) сп2 (®(0 )•••> спп (®(0 )[ = сп (®(0 ) —

точное решение системы (5), соответствующее узлу ю(0 е О.

Предложенный подход к построению параметризованного решения на базе интерполяционного полинома имеет существенный недостаток: при увеличении семейства опорных решений необходимо многократно решать СЛАУ (6) в целях вычисления искомых коэффициентов Ууд., у = 1, ..., п, Ь = 1, ..., N. От этого недостатка свободна реализация рассматриваемого подхода к построению параметризованных решений на базе интерполяционного полинома Лагранжа.

Для параболической интерполяции на основе полинома Лагранжа получим

N

(ю)=Е vjkLk (Ю) = k=1

N N ю - ю( п) ____

= Е vjk П ю - Ю) , 1е 1щ

k=1 Р=0 Ю^) Ю(р) р^0

Учитывая, что Lk(Ю(^)) равно 1 для Ь = I и 0 для Ь Ф I, несложно убедиться в выполнении следующего характеристического свойства: 'цnj (ю(;) )=

N *

= УjkLk Ці) )= Vji = си] К) ^ І = 1, •••,

k=1

Тогда получим

N

¥щ (ю) = Е ¥щ (®(k) )^ (ю) =

k=1

N *

= Е ^Cnj (ю№) )Lk (ю)> ] = 1,---> щ

k=1

(7)

Аналогично приближенное параметризованное решение С[п](ю) системы (4) представим в следующем виде:

ги(

I * п *

(ю) = | Е Сп1 (Ю(к) )Lk (ю). Е Сп2 (ю(к) )^ (ю). ■■■.

Ь=1

N

Е

й=1

N

I

й=1

-£У * I

ЕСпп(°(°К(®). 0 0,-|

(8)

при этом несложно убедиться в выполнении характеристического свойства.

*

Обозначив через с(ю) точное аналитическое параметризованное решение системы (4), через

с(ю

вектор, получающийся из с(ю) путем

обнуления всех координат, начиная с (п + 1)-й, а через С[п](ю) — приближенное решение системы (5), для оценки результирующей погрешности вычислений можно воспользоваться неравенством треугольника

вир

ю

С(Ю| —си і(ю

вир

ю

* *

< вир с(ю )- с(ю)

ю п

*

сН - с[п](ю)

п

(9)

Конкретизация данной формулы зависит от метода интерполяции, выбранного в ходе построения параметризованного решения.

Если оценка слагаемого вир

* *

с(О)- С(о)

п

да-

*

вир с(ю) - снИ

ю п

валась ранее, то в качестве оценки слагаемого можно в каждом конкретном случае использовать известные оценки для остаточного члена выбранного метода интерполяции.

Полученные результаты несложно распространить на многомерный случай. Тогда процедуры одномерной интерполяции, рассмотренные выше, заменяются процедурами многомерной интерполяции [5]. При этом в качестве погрешности вычислений могут быть приняты остаточные члены, соответствующие принятой многомерной интерполяции.

Выбор семейства опорных решений

Для рассматриваемого в настоящей работе подхода важнейшим является вопрос, связанный с выбором узлов интерполяции Ю^) е О, I = 1, ..., N,

СО

обеспечивающим минимизацию результирующей погрешности. Рассмотрим решение этого вопроса для случая О = [^1, d2] с R1.

Согласно [5], погрешность интерполяции на основе полинома Лагранжа оценивается с помо-

щью остаточного члена Cj (ю)—cnj (ю) =

dNc

ZN (ю) N!

'• (®) N

•, j = 1, „м n где ZN (ю) = П (ю - ffl(i) )•

dю £=1

При выборе семейства узлов га(1), га

(1), ш(2^ •", Ю(Я)’ предполагающем обоснование значения N и оптимальное размещение узлов в области О, можно воспользоваться следующим неравенством:

тах вир

j ю

cj (ю)— cnj (ю

<-

N!

-G,

j = 1, n, ю е Q,

(10)

где Zn = supZN (ю); Gn = max sup

Ю j ю

dNc

j(ю)

dю

N

Для минимизации погрешности интерполяции на основе полинома Лагранж а д остаточно выбрать в качестве узлов Ю(ц, га^), ..., ю^) корн= м=о-гочленов Чебышева, принадлежащие отрезку О =

= ^, d2], причем для оценки сверху величины Z N

воспользуемся соотношением ZN < 2 При этом вместо (10) имеем

d2 — d1

\N

тах sup

j ю

cj (®)—cnj (rn.

< 2

d2 — d1

N

Gn N!

. (11)

С учетом (11) можно дать оценку второго слагаемого в правой части неравенства (9):

sup

ю

* с(ю) — c[n] (ю) < 2 d2 — dl 4

n

\N

Gn %

-----n2

N!

®(N) в области Q достигается

Таким образом, по заданному значению 5п N можно выбрать такие п и N, при которых для случая оптимального расположения узлов интерполяции гап ч, га,оч,

(1) (2)

выполнение неравенства (11).

Результаты численных экспериментов показывают, что при гладкой зависимости параметризованных коэффициентов СЛАУ (4) от координат вектора га количество узлов интерполяции для выбранной области оказывается незначительным. Например, для обеспечения погрешности менее 4,5 % решения уравнения Фок-

др(х, ^

кера—Планка—Колмогорова вида [6]

д \ ( м д2

= —[хр[х, ^]+ —-

дх1 у дх2

дх

p(x, f)l, где 0 < t < T, -да < х <

< + да, с параметризованным начальным услови-

f лЛ 1 (Х — ®1'2

ем p(x, 0) =--;—— exp --- '

ю2 (2п

,0,5

2ю2

для 2 < ю1 <

< 10 и 0 < га2 < 1, было достаточно выбрать по четыре узла по каждому параметру га.

Параметризованное решение эволюционного уравнения

Приближенное решение параметризованного ЭУ (2) можно представить в виде

* П * П *

рп (х ®’ о=ы а®)т I (х о=ы е« а®’ vi )у I (х

1=1 1=1

а применительно к конкретным видам интерпо-* П N *

ляции: рп (х, ю, ^= Ы Ы юkY I (х, t) — для сте-i=1k=1 * П N *

пенных полиномов; рп (х, ю, £)=ЫЫсп (ю(й)) х

1=1к=1

Ьк (ю)уI (х, ^ — для полинома Лагранжа. Считаем, что для любого заданного е > 0 можно указать такое п, при котором для всех га е О

то *

выполняется ограничение Ы С (®)Уь (х, *)

Ь=п+1

Для оценки результирующей погрешности воспользуемся неравенством треугольника

< е.

pn (x, ю, t)— p(x, Ю, t

<

p(x, ю, t)—p(x, ю, t

рп (х, Ю, ^— р(х, ю, t С учетом условий 1 и 2 для оценки нормы * * р(х, ю, ^—р(х, ю, t) дующим соотношением [4]:

* * р(х, ю, ^— р(х, ю, ^

можно воспользоваться сле-

*

< q p(x, Ю, t)

где q = |Х|е| I — Р||

, на базе которого

(I - № (ю)

легко получить оценку близости приближенного ** р(х, ю, ^ и точного р(х, ю, ^ решений:

* * *

p(x, Ю, t) — p (x, Ю, t) l< ( 1 1 ) )t 3 'Tip

q < 1, Ю е О.

*

*

*

*

Близость решений рх, ю, і) и рп(х, ю, t) определяется выражением [4]

* * п * *

Рп (х, Ю, #)-р(х, Ю, і) < Е спі (Ю)-сі (Ю) У і (х і)

і=1

+

Е сі (Ю)Уі (х ^

і=п+1

Минимизация первого слагаемого в правой части данного неравенства достигается за счет выбора эффективного метода интерполяции и требуемого числа узлов га^, га(2), ..., гa(N). Второе слагаемое удовлетворяет принятому ограниче-

то *

нию Ы С (®)УI (х, О < е> которое определяется

Ь=и+1

значением п. Результирующая погрешность может быть получена, если учесть указанные выше соотношения.

Вычисление требуемых стохастических характеристик

*

На основе найденного решения р(х, ю, ^ получим семейство оценок искомых приближенных

СХ: Ъ (ю) = Fi

р(х, ю, і), і = 1, ..., М0. Очевидно,

что методическая погрешность оценки складывается из двух составляющих: погрешности получе-

*

ния р(х, ю, ^) — решения параметризованных ЭУ и погрешности вычисления СХ, определяемой свойствами линейных функционалов ^[’], Ь = 1, М0. Искомые СХ представим в следующем виде:

* *

У1 (ю) = Fi р(х, ю, ^ + Ар(х, ю, ^ =

р(х, ю, ^ + Еі [Ар(х, ю, t)| = Yi (ю) + А Yi (ю).

С учетом этого получим оценку методической

погрешности

АУ (ю

<1 Щ\|Ар(х,ю,#)||, где \\F.i —

норма функционала F^, ||др(х, га, *)11 — норма погрешности интегрирования ЭУ.

Сравнительный показатель быстродействия разработанного и классического методов оценки СХ определяется выражением

1

Зт (Мо ) =

Мо

Т+ЕТ

І=1

К

Мо

Ет1

і=1

где Т0, Тік, Тр — время, затрачиваемое на интегрирование параметризованных ЭУ и на вычис-

ление Ь-й СХ классическим и разработанным методами соответственно.

Поскольку время решения соответствующего параметризованного ЭУ значительно больше времени, затрачиваемого на вычисление конкретной

Мо

СХ, то справедливы соотношения Т0 >>Ы^Т,

1=1

Мо Мо Мо

то>>Ытр■ Полагая, что Ытк=Ытр=тм0 1=1 1=1 _1 1=1 приходим к оценке Sт и Т0 (тМо ) . Таким обра-

зом, применительно к разработанному опорнопараметрическому методу, выигрыш в быстродействии оценки СХ по сравнению с классическим методом в основном определяется отношением времени на решение параметризованного ЭУ к времени вычисления всех СХ. При этом для многомерных марковско-параметрических систем с учетом выполнения условия Т0 >> ТМо указанный выигрыш может достигать нескольких порядков.

На основании предложенного метода может быть синтезирована ИУС, осуществляющая формирование управляющих воздействий с учетом полученных СХ (рисунок). Особенностью ее функ-

■ Схема численно-аналитического метода оценки стохастических характеристик марковской системы

ционирования является то, что при выявлении признака аварийной ситуации в исследуемой системе выдается соответствующий сигнал в блок оценки СХ, т. е. реализуется сразу второй этап алгоритма.

Это дает возможность существенно повысить быстродействие оценки СХ и выработки рекомендаций по формированию управляющих воздействий на систему, направленных на устранение аварийной ситуации.

Заключение

В работе предложены теоретические положения метода оперативного высокоточного оценивания СХ марковских систем в опорно-параметрической постановке. Получены аналитические соотношения, позволяющие рассчитывать основные параметры метода, при которых обеспечиваются требуемые точность и быстродействие оценки СХ. Необходимость вычисления и хранения большого количества значений коэффициентов решений параметризованных ЭУ не является препятствием при использовании современных ЭВМ, оснащенных запоминающими устройствами большой емкости.

Использование разработанного метода наиболее целесообразно для оперативной оценки совокупности СХ, в задачах, связанных с возникнове-

нием чрезвычайных ситуаций техногенного или природного характера, катастроф и т. д. [2], которые достаточно эффективно моделируются в рамках теории марковских динамических систем. На базе разработанного метода предложен вариант структуры ИУС.

Литература

1. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Теория стохастических систем. — М.: Логос, 2000. — 1000 с.

2. Острейковский В. А., Сальников Н. Л. Вероятностное прогнозирование работоспособности ЯЭУ. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 416 с.

3. Красносельский М. А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 456 с.

4. Булычев Ю. Г., Лапсарь А. П. Моделирование эволюционных систем с использованием опорнопроекционного метода // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 1. С. 20-30.

5. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: справ. пособие. — Киев: Наук. думка, 1986. — 564 с.

6. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. — М.: Сов. радио, 1977. — 488 с.