Синтез систем квазиоптимального управления на основе расширенной модели измерений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

У

Синтез систем квазиоптимального управления на основе расширенной модели измерений

Ключевые слова: системы реального времени, системы управления, адекватная модель прогнозирования, предварительный синтез, точностные характреистики.

Одним из перспективных направлений повышения качества управления считается оптимизация по неклассическим целевым функционалам обобщенной работы [1,2], которая обеспечивает синтез алгоритмов управления с прогнозированием. Для решения задачи синтеза необходимо наличие математической модели объекта в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе с тем, для достаточно большого ряда объектов могут существовать фазово-временные области, в которых априорно разработанная математическая модель не обеспечивает качественное описание его поведения. Данная ситуация характеризуется так называемой структурной неопределенностью. Неадекватность модели реальному объекту может быть обусловлена наличием сбоев, грубых ошибок измерений, внешних и внутренних возмущений, несанкционированных воздействий и т. д. Однако если для объекта имеется статистическая информация результатов ранее выполненных измерений, появляется возможность синтеза адекватной формальной математической модели функционирования объекта в виде обобщенных интерполяционных многочленов на основе идентификационного подхода [3], например в рамках известного обобщенного метода наименьших квадратов. Но и такие модели имеют существенный недостаток. Они описывают поведение объекта только при фиксированных начальных условиях, что существенно затрудняет их применение в алгоритмах управления с прогнозированием. В [4] был развит новый вариант аналитического конструирования систем управления на основе алгоритма с прогнозированием [2] и метода решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [5], позволяющий получать приближенные выражения для расчета управляющих воздействий на объект в аналитическом виде с заданной точностью. Предлагается метод аналитического синтеза систем квазиоптимального управления объектами, для которых априори получен массив измерительной информации, характеризующий функционирование объекта без внешних воздействий. При этом аналитические выражения для управляющих воздействий получают на этапе предварительного синтеза, а их конкретные значения — непосредственно в ходе реализации управления на базе текущей информации о состоянии объекта. Одним из преимуществ предложенного метода следует считать использование различных наборов средств измерений в составе системы контроля, а также возможность учета их точностных характеристик в синтезируемой модели объекта.

Булычев Ю.Г.,

д.т.н., профессор, заслуженный деятель науки РФ, ОАО "ВНИИ "Градиент",

начальник научно-исследовательской лаборатории, ProfBulychev@yandex.ru

Насенков И.Г.,

первый заместитель генерального директора, ОАО "Концерн Радиоэлектронные технологии", nasenkov@retechn.ru

Николас П.И.,

ИО начальника сектора, ОАО "ВНИИ "Градиент", gradien@aaanet.ru

Ограничимся рассмотрением скалярного нелинейного объекта [ 1,2]

у + /(у,0=р«еЛ1,/е[г<,г]сЯ1. (1) где у = у{1,уа), 1А]> /М и - Функ-

ции, удовлетворяющее условиям существования и единственности решения уравнения (1), ц = и^,^) - управляющее

воздействие, минимизирующее на отрезке [/„,7"] функционал качества J=J[yfu,u ,,^,7")—Считаем, что для заданной области [¿,,6:г]х[/0,7'] вид уравнения (1) известен с

точностью до /(у,/) (структурная неопределенность). Известно [1,2], что оптимальные в смысле минимума функ-

Т 2 2

1 г" управ-

ционала ^У^.у^^лМ*^

I, 1<„ к

ляющие воздействия на объект (1) определяются выражени-

ем

«(г^о)--*1^'»*}'?

ду

, где У(у,() удовле-

У-УЬ.уи)

творяет уравнению а^О,») ,, Лдг(у,г) Л, ч при —г—/и1.')-г-1 = -в{у>0

ду ду

граничном условии у{у,т)= ^(у)'

В соответствии с алгоритмом оптимального управления с прогнозированием [2] интервал оптимизации (/„,7*] разбивается на достаточно короткие циклы Д/ = (м . Причем для каждого / = / должно выполняться равенство = у,, / = 0,У—Ь которое задает начальные условия * и х,. необходимые для интегрирования уравнения неуправляемого функционирования объекта (режим свободного движения). х(£Ы,г) + /(д:,0 = 0, яеЛ'с/г1, fe[/J,7]c^гl■ Здесь х = х,) - фазовая траектория неуправляемого функционирования объекта (1) при начальном условии х[1,,х,)= х,» у - оценка состояния объекта, выданная системой контроля в момент времени / = ( .

Считаем, что в зависимости от полноты априорных данных о неуправляемом функционировании объекта (1) будем располагать некоторыми константами, ограничивающими

нормы ,. II _ [^ЩД

у д>"8х'! <-<, 1 у А

У

И = О, Н -1, где ((¡г) - порядок производной по времени /, [ь] - порядок производной по х, ■ На практике обычно ограничиваются второй производной.

Управление является квазипостоянным, при этом па /-м

шаге получим: ~ ^ \дУ(х,й , Где г7.+1

" дх ">>1

а функция К(а',/) задается в виде

V

Очевидно, что в случае неадекватности модели (1) реальному объекту не удается построить траекторию неуправляемого функционирования объекта, близкую к реальной.

Полагаем, что лля объекта (1) известен массив статистической измерительной информации, привязанный к единой шкале времени = Х^ + где л-(еН«)=г|х№!}г,

<Й"№ 11 = }7,п = 0,^-1,к = 0,К-\,ц = 0,0-1,к = 0.//-1.

*ми

д1"дх1

- значения производных различных

различных порядков но ! и х0 в узлах /т и ^ , щ = 0.М -1,

> - 0, Л -1: _

д>"дхка

. Аналогично решение

уравнения неуправляемого функционирования объекта в области [¿] г] представим в виде обобщенного интерполяционного многочлена

(2)

9=0 г=<1 л-0 /=0

где - постоянные коэффициенты; (д-,, )у„г(г)\ - сис-

тема известных линейно-независимых функций. Очевидно, что выражение (2) может быть использовано в качестве в — адекватной модели неуправляемого функционирования объекта в случае, когда точное решение ,*(/,*„} уравнения неуправляемого функционирования объекта можно предста-

вить в виде ряда х(г,х(>) = х(/,х,,)+Я(г,х0), - остаточ-

ный член, удовлетворяющий с учетом (2) условию тах ' *об[й,А]. / е [г„,Г]. Коэффициенты

с учетом характеристического свойства функций //,.,(„*„} и находятся из решения системы уравнений

.'1 :0 гаО ¿=0 | 0

т = 0,М-1,р=0,Р-1,д=0,ё~1,/г = 0,1/~1. (3)

Модель (2), коэффициенты которой находятся из системы (3), описывает неуправляемое функционирование объекта в заданной области. В общем случае при ^йО.Д'-] и т е 0, М - ] : х{(м,хар)=хтр *х„р, то есть реальная траектория Щр | неуправляемого функционирования объекта отличается от значения моделирующей ее функции при

1 = '„

и хп = х,-,

на величину Дг = У _ V

"" от 1>т »

Шаги

порядков от функции х(1,х„) в моменты времени / -к = 0,К "РИ Начальных условиях = х0(п), п = ; х(г.х„)

- фазовая траектория невозмущенного движения объекта (1), при начальном условии хй = Л'(^,А'„); ~ случайные по-

грешности измерений. В общем случае /..Считаем, что

погрешности измерении некоррелированы и характеризуются нулевым математическим ожиданием и соответствующие

„иЫ

ми среднеквадратическими отклонениями „(чЫ _ "« , где

<#»} - в общем случае неизвестный безразмерный коэффициент, зависящий от порядка производных ц и И, аМ^ ~

условный «вес», характеризующий точность используемых в системе контроля средств измерений.

В рамках детерминированной модели неуправляемого функционирования объекта рассмотрим ситуацию, когда известны точные значения функции *(/.*„) " се производные

Л* =д:, -л- и Д/ -I -I должны выбираться из условия минимизации оценки погрешности двумерной интерполяции. В этом случае узлы / и совпадают с корнями

многочлена Чебышева [5]:

_

" " 2

/_ . Л 2т + 1 „ (Г-/0)соз—— тт + Т + !а 2 М

,т = 0, А/ -1,

2

{/), -Ь, )сой ^ + ^ ж + Ь-, + Ь, 2 Р ' '

, р = 0,/> -1 ■

В качестве модели неуправляемою объекта используем многочлен

|н-П г-0 рЛ 1-0

где ~ оценки, полученные по результатам С

измерений, C-NKQH, при этом полагаем, что вектор-столбец

содержит избыточные измерения

(Ж >РМ).

Предположим, что (2) является многочленом наилучшего приближения л-(/,л'(1 }• В этом случае для е - адекватности модели (4) необходимо, чтобы оценки ¿¡''М обладали свойствами ео-

^ ' рш

стоятелъности, несмещенности и эффективности по отношению к коэффициентам т^, то есть [3]: 1Ш1/>|0-0||>^=0>

0' м {а' - й] [а1 - сг]' \в <р' м [п - п]а-Е^ . м {п - п}=о,

где /] - сколь угодно малое положительное число,

Й = Ыр) = Й'1,Р = О.Р-\,т-г = 0,0-1.1 = О.Я-|}',

р=\в}, / = 0,г}' - произвольный вектор,

С = {/5-1Хл/-)ХО-1Х/"/-0' й'-П'ф) - эффективная оценка вектора П, полученная но результатам С измерений,

£1 = у»^'1,р = 0./э-1,т = 0.Д/-1.г = 0,0-11 = 0,/-/ -1}' ■

Как известно, указанным свойствам удовлетворяют оценки, полученные на основе метода наименьших квадратов (МНК-оценки) [6]. В соответствии с данным методом сформируем невязку

т

М-10-1 Г ] П А

а 0скомые

т-0 г-0 p-U /-0

оценки найдем из условия

да f - Ы SÜlS^Wff

[t=0 i/=tl ir=0 /1=0

(5)

Отметим, что узлы интерполяции гт и х„р в общем случае не совпадают с узлами и л'0(лГ к которым привязаны измерения, при этом М < К, Р < N . Дифференцируя по аналогии с [7] выражение (5) по у^О,/*-!, £ = 0,М—\,

2 = 0,0-1, с/- 0,Н-I, получим систему для определения искомых коэффициентов по аналогии с классическим М11К

О-1 N-\H~1

ФЩ

Л/10—I /'-I //-I

it=0 ^=0 J 1=0 M)

m=0r=0 /J=0

представим в виде jj, v

■И I O'l f I п ■

" i: ■ " Ö-O ivo

чивающее прохождение функции ?[/,*„(/)] в момент времени ¡-¡_ через точку х, = уг то есть ■ Значение х(1 {./) находят из решения алгебраического уравнения

1п=0г=(1 р=0 /=0

По аналогии с [4] частную производную функции V(л-,/) по переменной л- представим в виде

ду_

дх

= 8V1

М'.у,) & [Щ

dt•

M'-.ij)

где 4fj,yj)=%- Раскрывая уп(,v) и £)(*,/) получим

ЗУ дх

fr,.Vj)

I

(10)

_ _ _ _ (6)

где v = 0, Р -1. g = 0. М -\,z = Q,Q d = 0, Я -1 -

Предложенный подход допускает удобную матричную форму записи:

(7)

где * =

О,М -1, г = 0,g-l р= 0,Н-Ь Выражение (6) в этом случае примет вид

где а = {а^\ф=\фШ\, ^_

п = 0, JV - I. к = 0,АГ -1, q = 0,0-I, h = О, Н -1,

С учетом (5), (6) и (7) вектор оценок, оптимальных по критерию

Q min ATWA = min[x№1 - ФГ2 } W [х^н] - Фо]

находится из решения матричного уравнения

Ф' №'ФЙ = Ф' согласно правилу

П = (8) где W = diagfafcп = 0.,V-l. к = 0, К -1, q = 0,£J-l. А = 0, Н - I }•

Рассмотрим применение предложенного метода построения моделей неуправляемого функционирования объекта в задачах аналитического конструирования систем управления. Предположим, что функции Q(x,t) и у(д-} заданы в виде квадратичных форм [1J, Для скалярного объекта (1) можно записать F0(x) = |v0jc2» = где ЧЛ>) и v„ - заданы. По-

скольку при синтезе оптимальных управляющих воздействий неуправляемое функционирование объекта прогнозируется с произвольными начальными условиями I и д-,, модель (4)

Подставляя в (10) вместо точного ) приближенное £(/,л-„(у)) решение уравнения, описывающего траекторию

неуправляемого функционирования объекта, проходящую через точку [Iгу ). получим выражение для субоптимального управления на у-м шаге

I

(И)

где I = j = О, J -1 , a'0(/) - нача.чьное условие, обеспе-

Таким образом, решение задачи аналитического конструирования систем управления с использованием предложенного подхода включает в себя: построение с учетом (6) -(8) модели неуправляемого функционирования объекта; формирование на основе соотношения (11) алгоритма вычисления управляющих воздействий на j- м шаге,

у = 0,,/ — 1 ; решение алгебраического уравнения (9) с целью определения начального условия *„(/)> при котором *[f-,*„(/)]=y/i с учетом значения *■„(/) и алгоритма, сформированного на этапе 2, вычисление управляющего воздействия üj+i .

Литература

1. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. - М.: Наука, 1973. — 560, с.

2. Красовский A.A.. Буков ВН.. Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. - М.: Наука, 1977. - 272 с,

3. Брандин В.Н., Васильев A.A., Худяков С. Т. Основы экспериментальном космической баллистики. - М.; Машиностроение, ¡974.-340 с.

4. Булычев Ю.Г.. Бурной И.В.. Мании A.A. Аналитическое конструирование систем управления на основе метода опорных интегральных кривых// АиТ, 1994, №7.

5. Булычев ЮГ. Методы численно-аналитическою интегрирования дифференциальных уравнений II ЖВМиМФ, 1991. Т.ЗО, №9.

6. Булычев /О.Г. Численно-аналитическое интегрирование дифференциальных уравнений с использованием обобщенной интерполяции // ЖВМиМФ, 1994. Т.34, №4.

7. Лиииик Ю.в. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. - М.: ГИФМЛ, 1962.- 354 с.

T-Comm #11-2014

31

T

Quasioptimal Control Systems Synthesis on Basis of Broadened Measurement Model

Bulychev Yuriy Gurevich, All-Russian Research Institute "Gradient", ProlBulychey@yandex.ru;

Nasenkov Igor Georgievich, nasenkoy@retechn.ru; Nicholas Pavel Igorevich, Concern "Radio-Electronic Technologies", gradient@aaanet.ru

Abstract. One of the promising direction to improve the quality of management is considered optimization on nonclassical objective generalized functional in [1,2], which pro-v'des a synthesis of control algorithms with prediction. To solve the problem of synthesis requires a mathematical model of the object in the form of a system of ordinary differential equations. However, for a sufficiently large number of objects can be phase-temporal areas in which a priori developed mathematical model does not provide a qualitative description of its behavior. This situation is characterized by the so-called structural uncertainty. The inadequacy of the model to the real object may be due to the presence of failures, gross errors of measurement, external and internal disturbances, tampering, etc. However, if the object has the statistical information of the results of earlier measurements, it is possible the synthesis of adequate formal mathematical model of the functioning of the object in the form of generalized interpolation polynomials based on the identification approach [3], for example in the framework of the well-known generalized least squares method. But such models have a significant disadvantage. They describe the behavor of an object only for fixed initial conditions, which significantly complicates their use in control algorithms with forecasting. In [4] developed a new version of the analytical design of control systems based on predictive algorithm [2] and the method of solving the Cauchy problem for ordinary differential equations [5], which allows to obtain approximate expressions for the calculation of control actions on the object in the analytic form with the desired accuracy. The paper proposes an analytical method of synthesis of systems of quasi-optimal control objects for which a priori obtained an array of measurement information describing the operation of an object without external influences. In this case the analytical expressions for the control actions produced in the preliminary synthesis, and their specific values — directly in the implementation of controls on the basis of current information on the state of the object. One of the advantages of the proposed method should be regarded as the use of different sets of measuring instruments as part of the monitoring system, as well as the possibility of control of their accuracy characteristics of a synthesized model of the object.

Keywords: real-time systems, control systems, prediction adequate model, pilot analysis, precision characteristics.

References

1. Krasoyskii, A A, 1973. Automatic flight control system and its analytical design. Moscow: Science.

2. Krasoyskii, A A et al., 1977. Universal algorithms for opti-mal control continuous processes. Moscow: Science.

3. Brandin, V N, et al., 1974. Fundamentals of experimental space ballistics. Moscow: Mechanical Engineering.

4. Bulychey, Yu G, et al., 1994. Analytical design of control systems based on the method of supporting the integral curves. Automation and Remote Control, no. 7.

5. Bulychey, Yu G, 1991. Methods of numerical and analytical integration of differential-equations. GVMiMF, vol. 30, no. 9.

6. Bulychey, Yu G, et al., 1994. Numerically-analytical integration of differential equations using the generalized interpolation. GVMiMF, vol. 34, no. 4.

7. Linnik, V, 1962. Least squares method and the basic theory of the analysis of observations. Moscow: GIFML.

Abstract. In our country, the problem of modernization of the existing antenna-feeder devices occurs because of transition to digital broadcasting standards. One of the main requirements for digital broadcasting antennas is high quality matching throughout the band radio - 9 kHz. Considering the sizes of our country, the uptake long-wavelength range of digital standards is the most interesting. This will cover the whole territory with high-quality radio signal in the shortest time. However, the relatively narrow band 9 kHz is already broad for this range because of the small value of the carrier frequency. In this regard, the application of narrowband match-ing circuits which are used in analogue broadcasting becomes impossible. The purpose of this work is a de-scription of methods of upgrading e»sting narrowband matching devces of analog long wave (LW) broadcast-ing that meet the digital standards stringent requirements.In practice in the modern LW broadcasting, L-circuits are used as matching devces representing a paral-lel-series connection of the coil and capacitor. It is shown that in wideband matching the use of such circuit is possible only under specific behavior of the antenna input impedance. This can't be achieved for real broad-casting masts-antennas in the LW range at any of their possible modifications. However, the transition from one-level L-chain to two-level matching circuit, one element of which is the standard L-circuits, and the sec-ond either serial or parallel circuit allows to significantly extend a band of matching in case of quite real con-structions of the modified masts-antennas. The paper presents numerical results of the analysis of two-level cir-cuits that allow VSWR better than 1.1 in the band 175-185 kHz and no worse than 1.07 in the band 184.5-193.5 kHz for such antennas.

Keywords: wideband matching, long-wavelength range, L-circuit, mast-antenna, VSWR. References

1. Erokhin G.A, Chernyshev O.V. et al. Antenna Devces and Radio wave Propagation. Moscow, Russia, 2007, 491 p.

2. Thomas Walz. DRM Aspects of LW/MW Antenna Systems. International Symposium on DRM Broadcasting. Moskva, 14 - 16 October, 2009.

3. Jochen Huber. DRM on MF and LF, coverage and technical requirements. EBU-DRM Conference. 26 Nov. 2009 / Geneva (CH). URL: http://tech.ebu.ch/docs/event/ drm09/ presentations/ebu_drm09_huber.pdf (access date 15.12.2013).

4. Varlamov O.V., Goreglyad V.D. The increased bandwidth matching the transmission of broadcast antenna system for a range of DV mode DRM // T-comm, 2013, No1, pp. 18-22.

5. Belousov S.P, Gurevich R.V et al. Antennas for Radiocommunications and Broadcasting. Pt. 2, Medium and Long Wave Antennas. Moscow, USSR, 1980. 120 p.

6. Fano R.M., Theoretical Limitations on the Broadband Matching of Arbitrary Impedances. Moscow, USSR, 1965, 68 p.

7. S. Darlington. Synthesis of Reactance 4-poles. Journal of Mathematics and Physics, 1939, Sept., Vol. XVIII, pp. 275-353.

8. Bode H.W. Network Analysis and Feedback Amplifier Design.- Moscow, USSR 1948. 641 p.

9. Sazonov DM. Antennae and Microwave Devces.-Moscow, USSR 1988. 432 p.

10. Markov G.T. Antennae. Moscow, USSR 1960. 535 p.

The simple wideband matching shemes for long wave broadcasting antennas

Gainutdinov TA., docent, Cathedra of Technical Electrodynamics and Antennas, MTUCI; Garankina N.I., engineer, Cathedra ofTechnical Electrodynamics and Antennas, MTUCI; Kochergevsky V.G., docent, Cathedra of Techncal Electrodynamics and Antennas, MTUCI; Guseva AS., student MTUCI

32

T-Comm #11-2014