МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕТЧАТЫХ УКЛАДОК ДВУХ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С РАЗНОЙ КОНФИГУРАЦИЕЙ ВНЕШНЕГО КОНТУРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Чупринка В.И.

Киевский национальный университет технологий и дизайну, профессор кафедры информационных

технологий проектирования, доктор технических наук

Зелинский Г.Ю.

Киевский национальный университет технологий и дизайну, аспирант

Чупринка Н.В.

Киевский национальный университет технологий и дизайну, ассистент кафедры информационных

технологий проектирования, кандидат технических наук

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕТЧАТЫХ УКЛАДОК ДВУХ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С РАЗНОЙ КОНФИГУРАЦИЕЙ ВНЕШНЕГО КОНТУРА

METHOD OF CONSTRUCTION OF LATTICE PILINGS OF TWO PLANE GEOMETRIC OBJECTS WITH DIFFERENT CONFIGURATIONS OF OUTER CONTOURS

Chuprynka V.I.

Kiev National University of Technology and Design, Professor, Department of Information Design Technologies, Doctor of Technical Sciences Zelinsky G. Y.

Kiev National University of Technology and Design, a graduate student

Chuprynka N. V.

Kiev National University of Technology and Design, Assistant, Department of Information Design Technologies, Ph.D.

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается метод построения решетчатых укладок для двух плоских геометрических объектов с разной конфигурацией внешнего контура и поиск самой плотной из допустимых решетчатых укладок для этих объектов. Для этого представлена математическая постановка задачи, выделены структурные компоненты задачи и дано их аналитическое описание. Получено аналитическое выражение для функции цели и предложен метод ее оптимизации.

Предложенный метод построения решетчатых укладок был реализован в программный продукт для автоматического построения решетчатых укладок для двух плоских геометрических объектов с разной конфигурацией внешнего контура и поиска самой плотной из допустимых решетчатых укладок для этих объектов.

ABSTRACT

The method of construction of the latticed piling for two plane geometric objects with different configuration of outer contours and search is in-process examined the densest from the possible latticed piling for these objects. To do this, the mathematical formulation of the problem, highlighted the structural components of the problem and given their analytical description. Analytical expression is got for a goal function and the method of her optimization is offered.

The proposed method of construction of lattice packing's has been implemented in a software product for the automatic construction of lattice packing's for two planar geometry with a different configuration of the outer contour and the search of the densest lattice packing's permissible for these objects.

Ключевые слова: укладка, годограф, плотное совмещение, функция цели, оптимизация, программное обеспечение.

Keywords: styling, hodograph, dense combination, the objective function, the optimization, software.

Рассмотрим на плоскости объекты S1 и S2 . Пусть int S = S -S", где S - граница объекта S. Объекты S1 та S2 не пересекаются, если

int Sin, int S2=0 (1).

Если одновременно выполняется и условие

Si n S2 ^ 0, (2)

то объекты S1 та S2 называются плотно размещенными.

Плотно размещенные объекты не имеют общих внутренних точек, но обязательно имеют общие граничные точки.

Система объектов Si , i=1..p, образуют на плоскости укладку, если для каждой пары объектов из этой системы выполняются условия их взаимного не пересечения:

int Sn n int Sm=0, n ^ m, n,m=1..p (3) и для любого объекта Si , i=1..p найдется хотя бы один объект Sq, где qe[1..p], p^^i, который касается объекта Si.

Обозначим через S + a объект, который можно получить перемещением каждой точки объекта S на вектор a и назовем его трансляцией объекта S. Множество векторов вида [3,4]

r=na1+ma2, где n,m=0, ±1, ±2,±3,... ±k... (4),

где a1 (alx, a ) , a2 (a2x, а2y) - линейно-

независимые векторы, назовем решеткой с базисом a1 , a2 и обозначим через A=A(a1,a2).

Абсолютную величину определителя, составленного из векторов решетки, назовем определи-

телем решетки Л Обозначим его следующим образом det Л, где [7]:

det Л=|[ а1 х а2 ]|=

Г а1х aiy 1

\_a2 x a2y J

— \aixa2y a2xa\y\ •

(5)

Рассмотрим систему объектов ^$пт , где

п.т

п,т=0, ±1, ±2, ±3,...±к..., которые состоят из трансляции Snm =Б+па1+та2 объекта на векторы решетки Л=Л(а1,а2). Если эта система является укладкой, то такая укладка называется укладкой объекта 5, выполненной по решетке Л=Л(а1,а2). Решетка Л=Л(а1,а2) в этом случае является допустимой для укладки 5.

Плотность &(Л) решетчатой укладки можно характеризовать с помощью соотношения:

&(Л)=51 ^ л, (6),

где |5| - площадь плоского геометрического объекта 5, det Л - определитель решетки Л=Л(а1,а2), по которой выполнена укладка. Из приведенного соотношения видно, что плотность &(Л) решетчатой укладки тем выше, чем меньше

площадь параллелограмма, сторонами которого являются базовые векторы решетки а1 и а2.

Множество векторов вида [3,4]:

Г1=па1+та2та r2=nal+ma2+g, де п,т=0, ±1, ±2, ±3,...±к... ,

где а1 , а2- линейно-независимые векторы, назовем двойной решеткой с базисом а1 , а2 и вектором сдвига решетки g и обозначим через W=W(al,a2,g). Абсолютная величина определителя, который составлен из базовых векторов двойной решетки, назовем определителем двойной решетки и обозначим через det №.

Рассмотрим систему объектов ^ 8"т и

U

Я"" П /7

S2 , где n,m=0, ±1,

±2, ±3,...±к..., которые

состоят из трансляции Slnm =Б1+па1+та2 и S2nm =S2+nal+ma2+g объектов 51 и 52 на векторы двойной решетки Щ=Щ(а1,а2, g) [7]. Если эта система является укладкой, то такая укладка называется укладкой объектов 51 та 52, выполненной по двойной решетке Щ=Щ(а1, а2, g). Двойная решетка Щ=Щ(а1, а2, g) в этом случае является допустимой для укладки объектов 51 и 52. Фрагмент двойной решетчатой укладки представлен на рис. 1.

Рис. 1. Фрагмент двойной решетчатой укладки для плоских геометрических объектов вида

51 и 52.

n.m

n.m

Двойная решетка представляет собой две одинаковые одинарные решетки Л1=Л(а1,а2)и Л2=Л(al+g , а2+ g), которые смещены одна относительно другой на вектор смещения решетки g. В узлах решетки Л1 размещаются объекты 51, а в узлах решетки Л2 размещаются объекты 52.

Абсолютную величину определителя, составленного из векторов решетки, назовем определителем решетки № и обозначим det Щ где [7]:

det Щ =|[ а1 х а2 ]|=

Г aix aiy 1

La2 x a2y J

\a\xa2y a2xa\y\ •

(7)

Плотность решетчатой укладки можно

характеризовать с помощью соотношения:

^(ЩНИ+И) /det №, ( 8)

где 511 та |5г| - соответственно площади плоских геометрических объектов 51 и 52, det Щ - определитель решетки Щ=Щ(а1, а2, g), по которой выполнена укладка. Из приведенного соотношения видно, что плотность ¿ь(Щ) решетчатой укладки тем выше, чем меньше площадь параллелограмма, сторонами которого являются базовые векторы решетки а1 и а2.

Математическая постановка задачи „ Укладка" Среди множества допустимых двойных решеток Щ=№(аг1, а12, i=1,2..q, плотных укладок плоских геометрических объектов 51 и 52 (объект 51 повернутый на угол а (0<а<180°), объект 52 на угол в (0< в <1800 относительно их исходного

положения) , найти такую решетку W^=W(а"l, a"2, g), для которой

Ш№*=тах(&(№)), или

йе^^т^И*),

где |&| и |£2| -соответственно площади плоских геометрических объектов £ и & .

Математическая модель задачи проектирования самой плотной решетчатой укладки Математическая модель поставленной задачи должна отражать геометрическую форму плоских геометрических объектов, систему размещения плоских геометрических объектов на плоскости, условия взаимного не пересечения плоских геометрических объектов в укладке. Для формализации этой задачи и разработки ее математической модели необходимо сделать ее декомпозицию.

В задаче построения самой плотной решетчатой укладки можно выделить следующие структурные компоненты:

- аналитическое представление информации о внешних контурах размещаемых плоских геометрических объектов;

- параметры, определяющие положение плоского геометрического объекта на плоскости;

- аналитическое описание условий взаимного не пересечения плоских геометрических объектов в укладке;

- аналитическое описание системы совмещения плоских геометрических объектов в укладке;

- математическое описание множества допустимых решений задачи;

- аналитическое представление функции цели.

Ниже мы остановимся на каждом из компонентов поставленных задач, учитывая то, что они должны обеспечить адекватность, универсальность и экономичность математической модели.

Аналитическое описание внешнего контура детали и ее положение на плоскости Для однозначного отображения положения плоского геометрического объекта £ в укладке и генерирования множества допустимых плотных укладок необходимо аналитически описать внешний контур плоского геометрического объекта и определить параметры, которые однозначно отражали его положение на плоскости. Контуры плоских геометрических объектов могут иметь сложную форму внешнего контура и описать их аналитически в виде математической функции Е (х, у) = 0 в большинстве случаев невозможно. Поэтому мы будем аппроксимировать плоские геометрические объекты £ в виде многоугольников £т с заданной точностью е. Для однозначного определения внешнего контура многоугольника £т достаточно знать координаты вершин Аг (X, У,), где , = 1,2 ... п иXI = Хп, У1 = Уп (рис. 2)

► X

Рис. 2. Аппроксимация внешнего контура плоского геометрического объекта

Тогда координаты любой точки Q (хд, уд) на стороне АА1+1 внешнего контура аппроксимирую-

\хд = (хм - хг х

[ уд = (у.+1 - У, X

То есть с помощью выражения (9) можно однозначно аналитически описать внешний контур плоского геометрического объекта с заданной точностью е.

Для однозначного отображения положения плоского геометрического объекта £ на плоскости

щего многоугольника можно представить следующим образом:

+ X,

, де 1=1,2...п-1 та г, е [0,1]. ( 9)

необходимо знать координаты полюса (любая фиксированная точка внутри объекта) плоского геометрического объекта (Хрк, Урк) в системе координат ХОУ, связанной с плоскостью, и угол поворота плоского геометрического объекта относительно исходного положения детали вк (рис. 3).

на плоскости

Тогда координаты любой вершины Ak(Xk,Yk )(i=1,2... n) аппроксимирующего многоугольника для плоского геометрического объекта S в системе координат XOY, связанной с плоскостью, будут определяться следующим образом [2]:

ГXk = Xt cos0, - Y sin 0k + Xpk

l , i k i kr 10)

1 Yk = X, sin 0k + Yi cos 0k + Yp

А координаты любой точки Qk (Xqk, Xqk) на стороне ÁiAi+i внешнего контура аппроксимирующего многоугольника в системе координат XOY, связанной с плоскостью, можно представить следующим образом:

\Xqk = (XI, - Xk X + X I Yqk = (Y', - YkX + Y

, де i=1,2...n-1 та

е [0,1]. ( 11)

То есть с помощью выражений (10-11) можно однозначно аналитически описать внешний контур детали с заданной точностью е в плотной укладке на плоскости.

Аналитическое описание условий взаимно приятно деталей в укладке Пусть 51 и 52 - два объекта, которые сохраняют постоянную взаимную ориентацию. Обозначим соответственно через О1 и О2 полюса объектов 51 и 52. Тогда Х101У1 и Х202У2 - системы координат, которые жестко связаны с объектами 51 и 52 соответственно. Предположим, что объект 51 неподвижно закреплен на плоскости, а объект 52 - подвижный. Рассмотрим множество возможных плотных положений объекта 52 по отношению к объекту 51. Каждое такое положение характеризуется вектором Г12 = О1О2. Тогда под годографом вектор-функции плотного размещения (ГВФПР) объекта 52 относительно объекта 51 будем понимать вектор-функцию, которая ставит в соответствие плотному положению объектов 51 и 52 значение вектора Г12 (рис. 4) [1,57].

Пусть в - угол, который образует вектор Г12 с осью 01Х1. Тогда вектор-функция плотного размещения объекта 52 относительно объекта 51 может быть задана в виде г = Г12 (в), где 0< в<2п (см рис. 4).

Y

O.

X

Рис. 4. Годограф вектор-функции Г12 плотного размещения объекта Б2 относительно

объекта £

Обозначим через Ф12 область, которая ограничена годографом Г12. Отметим наиболее важные свойства годографа Г12 вектор-функции плотного размещения и области Ф12, которая ограничена им (рис. 5):

- если полюс О2 объекта £2 размещен внутри области Ф12, то объекты £ и £2 имеют общие внутренние точки (пересекаются)

- если полюс О2 объекта £2 размещен снаружи области Ф12, объекты £ и £2 не имеют общих внутренних точек (не пересекаются)

- если полюс О2 объекта £2 размещен на границе области Ф12, то объекты £ и £2 имеют общие граничные точки (плотно размещены).

Так как плоские геометрические объекты £ и £2 мы аппроксимируем многоугольниками £т1 и £т2, то ГВФПР для плоских геометрических объектов будет многоугольник О с координатами вершин О, (Xgi, Уgi), , = 1,2..пе. Тогда координаты любой точки на ГВФПР можно представить следующим образом:

^ = (Xgi+l - Xgi )Т, - Xgi [yg = (Yg+1 - Yg, )т, - Ygi

та тг e [0,1]

де i=1,2..ng

( 12)

Рис. 5. Основные свойства годографа вектор-функции Г12 плотного размещения объекта Б2

относительно объекта Б1

То есть, используя аппарат ГВФПР, мы имеем возможность контролировать взаимное расположение плоских геометрических объектов в укладке. Кроме того аппарат ГВФПР позволил с помощью выражений (12) аналитически представить условия взаимного не пересечения деталей в укладке.

Математическое описание множества допустимых решений задачи проектирования самой плотной решетчатой укладки Для математического описания множества допустимых решений задачи построения самой плотной решетчатой укладки используем аппарат ГВФПР. Очевидно, что множеством допустимых решений этой задачи будет множество допустимых двойных решеток №=Ща11, а12, , где i=1,2..q. Определив область изменения параметров а11, а'2, £ двойных решеток М мы однозначно определим множество допустимых решений. Двойная решетчатая укладка однозначно определяется взаимным расположением трех соседних рядов (рис.6). За размещение плоских геометрических объектов в рядах отвечает вектор а11, за взаимное расположение рядов отвечают векторы а'2 и £ или векторы р' и

. Вектор р' определяет положение верхнего ряда, а вектор g' определяет положение нижнего ряда относительно базового среднего ряда укладки. Как видно из рис. 6 а'2 =ВА = В2А2 =...=ВА5, то тогда а12 определяется через векторы р' и g' следующим образом а'2=р' - gг..

Рассмотрим множества допустимых решений для задачи построения самой плотной решетчатой укладки плоских геометрических объектов Б1 и Б2 (плоские геометрические объекты Б1 повернуты на угол а, а плоские геометрические объекты Б2 по-

вернуты на угол Д относительно их исходного положения) (рис. 6). В этом случае необходимо убедиться, что задача имеет решение. Для этого построим ГВФПР г=ги (в) для плоского геометрического объекта 81 самого с собой и ГВФПР г = Г22 (в) для плоского геометрического объекта S2 самого с собой. Определим наибольшее и наименьшее значения вектор-функций Г11 (в) и Г22 (в), ш,п_г11, ш,п_г22, шах_г11, шах_г22. Тогда

ш,п_г11<\ г11(в)| <тах_г11 и ш1п_г22<\ г22(в)|< шах_г22.

Если (ш,п_г11< \г 11(в)| <тах_г11 ) ^

(ш1п_Т22< |Г22(в)|< шаХ_Г22) £ Ф, ( 13)

то задача не имеет решения, иначе находим множество векторов а'1 и углы а,-, Д', для которых выполняется равенство гп(а,)= ^(Д,). Тогда а'1= Гц(а,)= Г22(Д,).

Повернем плоский геометрический объект Б1 на угол а,, а плоский геометрический объект Б2 на угол и обозначим повернутые плоские геометрические объекты через Бы и Бд.

Тогда средний ряд плотной укладки можно представить следующим образом:

У ( 8:а +п а'1), где п=0,±1,±2,... ( 14)

п

Вокруг деталей в среднем ряду построим ГВФПР Г12 плоского геометрического объекта Slа с плоским геометрическим объектом $гр. Внутреннюю область годографа обозначим через Ф12. Тогда зону запрета для концов векторов р' и gi определим выражением (15)

У (О21 + п а'1), где п=0,±1,±2, (15).

П

Для каждого допустимого вектора a'l мы получим свои допустимые значения векторов pi и gi. Допустимые значения для векторов pi и gi выбираем из условия, что концы векторов pi и gi не должны находиться в зоне запрета (15) и должны находится на годографе Г12. Кроме того, они должны лежать по разные стороны от среднего ряда, то есть по разные стороны прямой О О 2 ... О„, проходящей через полюса деталей среднего ряда (рис. 6). Обозначим кривые, на которых могут находиться концы векторов pi и gi через Ри и Рй (рис. 6). Эти кривые периодические, с периодом равным

длине вектора a'l, то есть

А 1А2=2АЗ=АЗА4=А4А 5=В1В2=В2В=ВзВ4=В4В5=О1О2 = =О2Оз =0з04=\а11\. Поэтому для области допустимых значений для векторов pi и gi достаточно ограничиться одним периодом. Определив область допустимых значений для векторов a'l, p' и gi мы однозначно определили множество допустимых двойных решеток №=№(аг1, al2, £) , где ¡=1,2.^, то есть область допустимых решений задачи "Укладка" для плоских геометрических объектов вида £ и £2.

Аналитическое представление функции цели для задачи проектирования самой плотной решетчатой укладки для плоских геометрических объектов вида Sl и S2 Так как математической моделью задачи проектирования самой плотной решетчатой укладки для плоских геометрических объектов вида £ и Б2 двойная решетка, то плотность решетчатой укладки можно ха-

рактеризовать с помощью соотношения (8). Площади |£1| и |£2| геометрических объектов £ и Б2 в этом соотношении постоянные, поэтому плотность &(№) решетчатой укладки будет определяться детерминантом решетки, значение которого равно площади параллелограмма, сторонами которого являются базовые векторы решетки а1 и а2. Тогда из выражения (8) очевидно, что плотность решетчатой укладки будет тем выше, чем меньше площадь этого параллелограмма. То есть целевой функцией будет детерминант det № двойной решетки №.

Так как мы имеем аналитический вид ГВФПР Г11 и Г 12, а векторы а1=/1(т(0)) и а2=/2(ги(в)), то найдем аналитические выражения для векторов решетки а1 и а2. Пусть ГВФПР Г11 и Г12 имеют следующий аналитический вид:

.11

г Ixg11 = (xg;+\ - Xg^t, - Xg] 1 yg11 = (Yg!+\ - y^X - Yg!1 ' где

i = 1,2..л" та tt e [0,1],

(16)

г Гх?12 = (х^ - - X?;2

Г12: 1 , т ,, п п , где

1 ж12=(^ - г?;2)т! - г?;2

I = 1,2.. п\2 та г, е [0,1]. (17)

Тогда вектора а1, р , g можно представить следующим образом:

ai'

\xal = (Xg\a - Xg!x -Xgi

[y* = (Yg"i - Yg] 1 )ti - Yg]

где

i = 1 ,2..n] 1 та 11 e [0, 1 ],

(18)

\Xp = (Xs 12] -Xs ^ -Xs 12

'' ^ yp = (Yg1" - Yg!2)r , - Yg]2 ' ^

j = 1,2...n12 та г, e [0,1],

(19)

, = (X& - Xg\2)rk - x^ r n det W=|[ « х « ]l=

*1 = (Y& - Ygf )rk - Ygf ' ГДе

k = 1 ,2..n 12 та zk e [0, 1 ]. (20)

Отсюда функция цели иметь следующий вид:

= \aix (Ур - Jg ) - (Xp - Xg )а1у\ = \а1хУр - а1 xyg - xpaiy + xgaiy\ = F (ti , Tj , Tk , h j, k) =

Г a1x a1y a1x a1y

la2 x a2y _ x - x y - y _ p g S p S g

= W Si 1 B,kt,Tk + C + Dlk X + j + Flkrk + L

^ijk

(21)

где

Aj = (Xg1h - XgY)(Yg 1- Yg12) - (Yg)h - YgY)(Xg 1- Xg 12),

'j 11 ,12

j 11 12

B k = (Yg'+1i - Yg г )(Xg 11l - Xg 12) - (Xg 11l - Xg г )(Yg[ 1i - Yg12), C j = Xg 12(Ygi+1i - Ygl1) - YgJ2(Xg 1+11 - Xgl1), D,k = Ygf(Xg 1+11 - Xg!1) - Xg12(Yg1+11 - Yg!1),

E j = Yg11(Xg 121 - Xg;2) - Xg;1(Yg; 11 - Ygj2),

12

(22)

F j = Xg11(Yg121 - Yg12) - Yg11(Xg111 - Xgk2),

Ljk = Xg 11Yg)21 Yg11Xgk2 - Xg 11Yg12 - Yg^Xg

12

11

12

ли

12

11

12

Как видно из уравнений (18-22) функция цели № есть линейная функция от трех переменных

/1 е [0,1], Т] е [0,1], тк е [0,1] и трех дискрет-,Т] ,тк ,i,j, к) = \А1]11 т} + в1к1гтк

Тогда локальный экстремум этой функции может быть только на предельных значениях переменных, то есть для

[о [0 [0

^ ; т Ч,; т Ч,• (24)

ных параметров i, j, к (i е ^..л11, j е 1,2.. n\

у ] [Г к [1 Таким образом, нам не нужно перебирать все значения для переменных ^ е [0,1], Т е [0,1],

Тк е [0,1], а только те значения, где достигается

локальный экстремум для функции цели (23), среди которых выбираем минимальное значение в качестве решения оптимизационной задачи построения плотных укладок. Проведенные исследования функции цели позволили представить теоретически обоснованный метод поиска экстремума

к e 1,2.. n )имеет вид: det

+ (C j + Dik X + E jTj + FkTk + Lm\. (23)

функции цели в области допустимых значений. Минимизируя det W функцию цели (площадь параллелограмма A1D1C1D1 (A2D2C2D2)), мы увеличиваем плотность укладки и минимизируем отходы (рис.1).

Предложенный метод построения решетчатых укладок был реализован в программный продукт для автоматического поиска самой плотной из допустимых решетчатых укладок. Программный продукт позволяет рассчитать параметры наиболее эффективных укладок и выполнить построение этих решетчатых укладок, определить самую эффективную укладку. Он реализованный в среде программирования Delphi для операционной системы Windows.

Рис. 7. Примеры плотных решетчатых укладок для плоских геометрических объектов

различной конфигурации

На рис. 7 представлены примеры полученных плотных решетчатых укладок для плоских геометрических объектов различной конфигурации с помощью программный продукт для автоматического поиска самой плотной из допустимых решетчатых укладок.

Анализ полученных результатов расчетов параметров плотных укладок показал, что в большинстве случаев наиболее эффективные плотные укладки получаются, когда плоский геометриче-

ский объект Б2 есть плоским геометрическим объектом Б1, повернутым на 180о(0о) относительно своего исходного положения.

Список литературы

1. Гиль Н.И. Свойства и способы реализации функции плотного размещения / Н.И. Гиль, Ю. Г. Стоян. - Киев, 1972. - 37 с. - (Препринт. Ин-т кибернетики АН УССР: 72-18).

2. Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - М.: Издательство

"Наука", Главная редакция физико-математической литературы, 1975, - 243 с.

3. Стоян Ю.Г. Размещение геометрических объектов. / Ю.Г. Стоян - Киев: Наукова думка, -1975, - 175 с.

4. Стоян Ю.Г. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов/ Ю.Г. Стоян, Н.И. Гиль.- Киев: Наукова думка, -1976,242 с.

5. Утина Л.С. Построение годографа функции плотного размещения двух выпукло-ввогнутых многоугольников / Л.С. Утина. // Известия высших учебных заведений. Технолог. легкой

промышленности. - 1979. - №1. - С. 51-55. - №3. -С. 62-66

6. Утина Л.С. Построение годографа функции плотного размещения односвязных фигур / Л.С. Утина, В.А. Скатерной // РФАП, Институт кибернетики АН УССР, регистрационный № 5139, - Киев, 1979,- 36 с.

7. Фесенко А.Г. Методы и алгоритмы наиплотнейшей решетчатой укладки плоских объектов: автореф. дис. на соиск. науч. степени кандидата физико-математических наук: специальность 01.008. „Вычислительная математика " / А.Г. Фесенко. - Киев, 1981, - 24 с.

Черниш €.Ю.

докторант, старший викладач кафедри прикладной екологН Сумського державного утверситету

(СумДУ), кандидат техтчних наук Яхненко О.М.

асистент кафедри прикладной екологН Сумського державного }miверситету (СумДУ)

Пляцук Л.Д.

завiдувач кафедри прикладной екологН Сумського державного утверситету (СумДУ), доктор техтчних наук, професор Козш I. С.

доцент кафедри прикладно '1 екологН Сумського державного утверситету (СумДУ), кандидат техтчних наук

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ВПЛИВУ ОБСЯГУ ГРАНУЛЬОВАНОГО ЗАВАНТАЖЕННЯ НА ОСНОВ1 ФОСФОГ1ПСУ НА ПРОЦЕС ГАЗООЧИЩЕННЯ В СИСТЕМАХ БЮДЕСУЛЬФУРИЗАЦП

STUDY OF INFLUENCE OF GRANULATED PHOSPHOGYPSUM LOAD ON PROCESS OF GAS CLEANING UNDER BIO-DESULFURIZATION SYSTEMS

Chernysh Ye.Yu.

doctoral student, senior lecturer in Department of Applied Ecology, Sumy State University (SSU), Candidate of Technical Sciences;

Yakhnenko O.M.

assistant in Department of Applied Ecology, Sumy State University (SSU);

Plyatsuk L.D.

Doctor of Technical Sciences, Professor in Department of applied ecology of Sumy State University(SSU),

head of Department of applied ecology SSU;

Kozii I.S.

assistant professor in Department of Applied Ecology, Sumy State University (SSU), Candidate of Technical

Sciences;

АНОТАЦ1Я

В статп описано динашку зменшення обсягу завантаження гранульованого фосфогшсу, що викори-стовуеться в бюфшк^ для газоочищення срковмюних ^iB як мшеральний носш, встановлено фактори, що впливають на зменшення обсягу завантаження.

Встановлено залежнють ефективносп газоочищення ввд величини змши обсягу завантаження гранульованого фосфогшсу, визначено оптимальну дозу завантаження ново! партп гранульованого фосфогшсу в бюфшьтр в залежносл ввд концентраци арковмюних сполук в газовш сумшг Отримаш дослщш результата апроксимоваш рiвняннями регресп. ABSTRACT

This paper describes the dynamics of reduction of granulated phosphogypsum loading that used in the biofilter for cleaning of sulfur-containing gases. Factors affecting the reduction of phosphogypsum load were studied.

The dependence of the gas cleaning efficiency from the change in volume loading of granulated phosphogypsum was investigated. The optimal dose of load granulated phosphogypsum was determinated for biofilter. The obtained experimental results were approximated by regression equations.

Ключовi слова мшеральний носш, гранульований фосфогшс, газоочищення, бюдесульфуризащя Keywords: mineral carrier, granulation phosphogypsum, gas cleaning, bio-desulfurization