МЕТОД АВТОМАТИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ СХЕМ ПЛОТНОГО СОВМЕЩЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ДВУМЯ РАЗЛИЧНЫМИ КОНФИГУРАЦИЯМИ ВНЕШНЕГО КОНТУРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Чупринка В.И.

Киевский национальный университет технологий и дизайну, профессор кафедры информационных

технологий проектирования, доктор технических наук

Зелинский Г.Ю.

Киевский национальный университет технологий и дизайну, аспирант

Чупринка Н.В.

Киевский национальный университет технологий и дизайну, ассистент кафедры информационных

технологий проектирования, кандидат технических наук

МЕТОД АВТОМАТИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ СХЕМ ПЛОТНОГО СОВМЕЩЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ПЛОСКИХ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ДВУМЯ РАЗЛИЧНЫМИ КОНФИГУРАЦИЯМИ

ВНЕШНЕГО КОНТУРА

METHOD FOR AUTOMATIC DESIGN OF RATIONAL LATTICE SCHEMES DENSE COMBINED IN

A RECTANGULAR REGION OF PLANE GEOMETRIC OBJECT WITH TWO DIFFERENT CONFIGURATIONS OF OUTER CONTOURS

Chuprynka V.I.

Kiev National University of Technology and Design, Professor, Department of Information Design Technologies, Doctor of Technical Sciences

Zelinsky G. Y.

Kiev National University of Technology and Design, a graduate student

Chuprynka N. V.

Kiev National University of Technology and Design, Assistant, Department of Information Design Technologies, Ph.D.

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается метод автоматического проектирования рациональных решетчатых схем плотного совмещения в прямоугольной области заданных размеров плоских геометрических объектов с двумя различными конфигурациями внешнего контура. Для этого представлена математическая постановка задачи, выделены ее структурные компоненты и дано их аналитическое описание. Предложен метод проектирования рациональных решетчатых схем плотного совмещения.

Этот метод проектирования схем плотного размещения был реализован в программный продукт для автоматического проектирования рациональных решетчатых схем плотного совмещения в прямоугольной области заданных размеров плоских геометрических объектов с двумя различными конфигурациями внешнего контура.

ABSTRACT

In this paper the method of automatic design of rational schemes dense lattice matching in a rectangular area of specified sizes of flat geometric objects in two different configurations of outer contours. To do this, the mathematical formulation of the problem, highlighted in its structural components, and given their analytical description. The method of planning of the rational latticed schemes of dense combination offers.

This method of design schemes dense placement has been implemented in software for automatic design of rational schemes dense lattice matching in a rectangular area of specified sizes of flat geometric objects in two different configurations of outer contours.

Ключевые слова: укладка, годограф, плотное совмещение, функция цели, оптимизация, схема раскроя, решетка, программное обеспечение.

Keywords: styling, hodograph, dense combination, the objective function, the optimization, cutting scheme, grille, software.

Одним из направлений повышения эффективности производства является экономия материалов. Сегодня успешное завершение этой задачи невозможно без автоматизации процесса раскроя. Для использования новых методов автоматизированного раскроя с помощью водяной струи, гибкого ножа, луча лазера и прессов - автоматов с револьверной головкой необходимы дополнительные сведения о геометрии плоских геометрических объектов и их местоположение на материале. А подготовка такой информации вручную очень рутинная работа, которая требует

больших затрат времени квалифицированного рабочего.

Современное развитие компьютерной техники позволяет автоматизировать этот процесс. Кроме того, автоматизированная подготовка информации о раскройных схемах позволит избавиться от влияния субъективных факторов при подготовке информации о схемах раскроя.

Математическая постановка задачи. В прямоугольной области ^заданных размеров ( -длина, -ширина) найти такое решетчатое плотное размещения плоских геометрических объ-

соответственно,

ектов Б] и & площадью ^ | и 2

где плоский геометрический объект повернутый на угол а (а1—а—а2), а & - на угол в ( в'—в— в? ) относительно своего исходного положения, для которого коэффициент плотного заполнения Р этой области был бы максимальным, то есть

P =

К1 N + k2 \S21

^ тах

(1)

Б1 * Бк

где кг- количество размещенных плоских геометрических объектов в прямоугольной области О, к2- количество размещенных плоских геометрических объектов Б2 в прямоугольной области О.

Эта задача может быть сформулирована также следующим образом:

Среди множества допустимых двойных решеток №'=Ща'1, и12, , i=1,2..q для плоских геометрических объектов и Б2 площадью и ^

соответственно, где плоский геометрический объект повернутый на угол а (а1—а—а2), а Б2 - на угол в ( в'—в— в2 ) относительно своего исходного положения, найти такую двойную решетку №"=Ща" 1, а 2, g*), для которой коэффициент плотного заполнения Р* прямоугольной области О заданных размеров (-длина, -ширина) был бы максимальным, то есть

P = max P = max

k1iS1 + k2iS2 К1 S1 + k2 S21

i=1,2..r

i=1,2..r

Dl • Sh

Dl * Sh

(2)

где кц- количество плоских геометрических количество плоских геометрических объектов Б2 в объектов в 1-й схеме плотного совмещения, к2- 1-й схеме плотного заполнения.

Рис. 1. Решетчатое плотное размещение плоских геометрических объектов (а) и Б2(Д) в

прямоугольной области О

Математическая модель проектирования решетчатых схем плотного размещения плоских геометрических объектов Sl и Б2 в прямоугольной области О.. Математическая модель поставленной задачи должна отражать форму материала, геометрическую форму плоских геометрических объектов и Б2, их систему размещения на плоскости, условия их взаимного не пересечения в области О и с границей области О, зазор

между плоскими геометрическими объектами и

Для формализации задачи автоматического проектирования плотного решетчатого размещения плоских геометрических объектов и Б2 в области Ои разработки ее математической модели необходимо произвести декомпозицию этой задачи на структурные компоненты, а именно:

1) Аналитическое представление информации о внешних контурах плоских геометрических объектов S1 и S2;

2) Определение параметров, определяющих положение плоских геометрических объектов S1 и S2 на плоскости;

3) Аналитическое описание условий взаимного не пересечения плоских геометрических объектов S1 и S2 ;

5) Аналитическое описание системы совмещения плоских геометрических объектов S1 и S2 в области Д

6) Аналитическое описание конфигурации прямоугольной области Д заданных размеров;

7) Аналитическое описание условий не пересечения плоских геометрических объектов S1 и S2 с областью Д

8) Аналитическое представление постоянного зазора между плоских геометрических объектов S1 и S2 в прямоугольной области Д при их плотном размещении;

9) Определение площади плоских геометрических объектов S1 и S2;

10) Математическое описание множества допустимых решений задачи;

11) Аналитическое представление функции цели.

Структурные компоненты 1-5 были детально описаны в работе [5]. Поэтому на них мы останавливаться не будем. Более детально остановимся на структурных компонентах 6-11 задачи плотного совмещения геометрических объектов X; и Х2 в прямоугольной области Д.

Аналитическое описание конфигурации прямоугольной области Д заданных размеров. Выберем на плоскости прямоугольную координатную систему ХОУ. В начало координат поместим левый нижний угол прямоугольной области Д. Пусть она имеет длину и ширину SН. Тогда конфигурация прямоугольной области Д будет описываться следующей системой неравенств:

Г 0 < х < Б1 10 < у < ХН

Аналитическое описание условий не пересечения плоских геометрических объектов Sl и S2 с прямоугольной областью Д. Будем считать, что плоский геометрический объект X полностью размещается в прямоугольной области О, если

£ | Д = £ или £ У Д = Д . Условия размещения плоских геометрических объектов Х; и Х2 в области Д должны исключать те из их, которые выходят за пределы области Д Для этого необходима информация, на каком расстоянии от края области Д может размещаться полюс (любая фиксированная точка внутри плоского геометрического объекта) плоского геометрического объекта, чтобы он не выходил за пределы материала. Это можно сделать с помощью опорных прямых[2-3].

Прямая Н называется опорной прямой для плоского геометрического объекта X, если она проходит хотя бы через одну точку на его внешнем контуре и весь плоский геометрического объект находится по одну сторону от этой прямой (рис. 2).

Свяжем с полюсом О; плоского геометрического объекта X систему координат Х1О1У1. Проведем из полюса О1 прямую, перпендикулярную опорной прямой Н до пересечения с ней. Длина этого отрезка от полюса до точки пересечения с опорной прямой будет значением опорной функции Н(ф) для угла ф, который образован перпендикуляром к опорной прямой с осью О;Х; (рис. 2). То есть, опорная функция Н(ф) ставит в соответствие расстояние от опорной прямой до полюса плоского геометрического объекта X углу ф, который образует нормаль к опорной прямой с осью О1Х1 .Опорная функция Н(ф) для любого плоского геометрического объекта совпадает с опорной функцией для выпуклой оболочки этого плоского геометрического объекта [2]. Это свойство используется при построении опорной функции.

То есть опорная функция несет в себе информацию о том, на какой минимальном расстоянии от границы области в направлении угла ф может находиться полюс, чтобы можно было гарантировать ее размещения в области.

Рис. 2. Опорная функция

Построим внутри прямоугольной области О: деляются соответствующими значениями опорных ЛВСБ прямоугольники Л2В2С2Б2, координаты вершин которых опре-

3 ж

Л н (а); И1(а + 3 ж)); В, (И, (а); БЬ - И,(а + р;

ж 3

С1(Б! -И,(а + ж); БЬ -И,(а + ж)); Б, (Б! -И,(а + ж); И,(а + 3ж));

3 ж

Л2 (И 2 ()); И 2() + 3 ж)); В2 (И 2 ()); БЬ - И 2() + р;

ж 3

С2 (Б! - И 2(Р +ж); БЬ - И 2 () + -)); Б2 (Б! - И 2() +ж); И 2() + 3 ж));

где Их (а) (И2 (Р)) - значение опорной функции для плоского геометрического объекта (а) ( &())) в направлении луча под углом а (в) до горизонтальной оси координат (рис 3-4).

В терминах опорной функции мы можем за- где (Хр , Ур ) - координаты полюсов плос

писать условия не пересечения плоского геомет- кого геометрического объекта Б. рического объекта с прямоугольной областью О. Они имеют следующий вид

H(ж) < Xpk < Dl - H(0) H(Ж) < Ypk < Sh - H(3ж) ' (4)

Л ,

Рис. 3. Опорная прямая для плоского геометрического объекта S1 (а)

и £2(Р)пт есть условие распо-

Если на плоскости создана двойная укладка ектов £ (а)

и&(а)пт + ^(Р)пт), пт = 0, ± 1, ±2, • 1

O'

в прямоугольнике

состоящая из плоских геометрических объектов пт и £2(Р)

с полюсами соответственно

в точках

O (x' , У ) и O" (x" , y" )

nm\ nm?Jnm' nm\ nm?•Snm/

то

пт\ пт У пт/ пт\ пт У пт>

условием не пересечения размещенных в прямоугольной области Д плоских геометрических объ-

ложения их полюсов

0ХВ£Хи 0"пт в прямоугольнике 02В2С202

. То есть координаты полюсов 0'пт (х'пт, у'пт) и

0"пт(х"пт, у"пт) должны удовлетворять следующим системам неравенств:

S :

H^ + a) < -С < Dl - H1(a) Я1(| + а) < у'ят < Sh - H^ + a)

S2 :

H2(n + ß) < x""m < Dl -H2(ß)

ж 3ж

H 2^ + ß) < y'm < Sh - H 2(y + ß)

(5)

(6)

n.m

Рис. 4. Опорная прямая для плоского геометрического объекта Б2 (а)

Плоские геометрические объекты Б1 и Б2 будут размещаться в узлах двойной решетки nal+ma2+kg. Пусть плоские геометрические объекты Б1(Б2) повернуты на угол а()) относительно своего базового положения и их полюса находится в узлах основной решетки (в узлах решетки, сдви-

нутой относительно основной на вектор g). Тогда условия не пересечения плоскими геометрическими объектами Б1 и Б2 границы прямоугольной области О(5-6) можно представить следующим образом:

S1 :

S2:

H (ж + а) < nalx + ma2x < Dl - Hx (a)

,3ж

ж

H (--+ а) < nax + ma2 < Sh - Hx (—+ а)

2

'2

H2^ + ß) < nalx + ma2x + gx < Dl -H2(ß)

3ж ж

Hi(~ + ß) < naly + ma2y + gy < Sh -H2(- + ß)

(7)

8)

где а^ы aly) , a2(a2x, a2y) и g(gx, gy).

В случаи, когда плоские геометрические объ- условия не пересечения плоскими геометрически-

екты &(<$1) повернуты на угол ) (а) относительно ми объектами Б1 и & границы прямоугольной об-

своего базового положения и их полюса находится ласти О (5-6) можно представить следующим об-

в узлах основной решетки (в узлах решетки, сдви- разом:

нутой относительно основной на вектор g), то Б2 :

H2 (ж + )) < па^ + ma2х < Ш1 - H2 ())

3ж 7Г ( 9)

Н2(-ж + Р) < па1у + та2у < Бк -Н2(ж + Р) ( )

Si : <

где ai(aix, aiy) , U2(ü2x, a2y) и g(gx, gy).

2 1y 2y 2 H1 (ж + a) < na1x + ma2x + gx < Dl - H1 (а)

H1(Y + a) < na1y + ma2y + gy < Sh - H1(^ + a)

(10)

(

<

Аналитическое представление постоянного зазора (технологический зазор) между плоских геометрических объектов £ и & при их плотном размещении в прямоугольной области О. При раскрое многих материалов в местах стыков плоских геометрических объектов необходимо оставлять небольшие расстояния величиной 2Л, которые назовем технологическим зазором. Ширина технологического зазора зависит от способа раскроя и толщины материала, а при многослойном раскрое материала - от числа слоев. Эти факторы необходимо учитывать при построении раскройных схем. Чтобы обеспечить постоянство технологического зазора между плоскими геометрическими объектами при проектировании раскройных схем, предлагается в модели задачи заменить детали их образами. Внешний контур образа детали есть эквиди-станта, построенная снаружи контура детали на расстоянии Л .

Для корректного построения эквидистанты необходимо решить следующие задачи:

- выбор представления информации о внешних контурах плоских геометрических объектов произвольной формы;

- построение эквидистанта для внешнего контура плоского геометрического объекта.

Рассмотрим отдельно решение каждой из этих задач. Плоские геометрические объекты могут иметь сложную конфигурацию внешних контуров, которые в большинстве случаев невозможно описать аналитически. Поэтому для их представления применим кусочно-линейную аппроксимацию. Тогда плоские геометрические объекты мы с заданной точностью аппроксимации е будем представлять многоугольниками. Выберем внутри плоского геометрического объекта £ точку О (полюс), в которую поместим начало прямоугольной

системы координат. Тогда внешний контур этого объекта может быть представлен координатами вершин аппроксимирующего многоугольника £{

Х1 , }, 1=1..п.. Будем считать, что обход контура аппроксимирующего многоугольника выполняется против часовой стрелки. Если обход контура аппроксимирующего многоугольника выполняется по часовой стрелке, то необходимо преобразовать информацию таким образом, чтобы обход его контура был против часовой стрелки.

Для определения направления обхода контура аппроксимирующего многоугольника воспользуемся следующим алгоритмом:

- циклически переставим вершины аппроксимирующего многоугольника таким образом, чтобы вершина ЫттХ с минимальным значением координаты Х была начальной, то есть ЫттХ = 1;

- определим порядковые номера вершин аппроксимирующего многоугольника в которых координата Х принимает максимальное значение, координата У принимает минимальное и максимальное значение. Пусть это соответственно будут вершины ЫтахХ, ЫтгпУ, ЫтахУ;

- если выполняется условие ХттХ <NminY <ЫтахХ <NmaxY, то обход контура будет против часовой стрелки, иначе - по часовой стрелке.

Для построения эквидистанта к внешнему контуру плоского геометрического объекта, то есть для ломаной линии А1А2 ... Ац с координатами вершин Ак (Хак, Yаk), к = 1,2..п необходимо выполнить следующие действия:

- построить векторы Ь={ь_х, Ь,_у} длиной Д (расстояние, на котором от выделенного участка внешнего контура плоского геометрического объекта строится эквидистанта), которые есть перпендикулярными векторам ai, 1=1,2..п.(рис. 5).

Рис. 5. Построение векторов Ь для внешнего плоского геометрического объекта

Тогда очевидно, что координаты вектора Ь должны удовлетворять следующей системе уравнений [1]:

Гаг _ х • ь _ х + а _ х • Ъ _ У = о . I Ъ _х2 + Ъ,_У2 =А2

Решив эту систему уравнений, получим следующие выражения для Ъ,_у и Ъ_х:

Ъ _ y = ±

А • a x

V2 2 a, _ x + a, _ y

b x = -

a i _ y • b, _ y

a, x

Направление вектора Ь определяем таким образом, чтобы

Ъ х

_ x b, _ y

a _ x a _ y

= ъ _ x • a _ y - b _ y • a _ x > о, г = 1,2..n -1;

i = 1,2.. n -1

- определяем координаты точек Вi (ХЪ,, УЪ,) и С,(Хс,, 7с,):

хъ = ха + Ъ _ х, УЪ = Уа + Ъ _ У

Хс = Ха+ Ъ х, Ус = Уа^, + Ъ у'

, , +1 , - 7 , ,+1 , - V

-определяем углы рi между векторами а=-а1=-{Ха,+1-Ха,, Уа,+1-Уа,}= ={-а_х, -а,_у} и а1+1={Ха,+2-Ха,+1, Уаг+2-Уаг+1}={аг+1_х, а,+1_у}, где i=1,2...n-2 [1]:

(с, •а,+1) -(а, _ х • а+1 _ х+а _ у • а+1 _ у)

cos ß

Бт Р

С- • a+1

\\Pi х ai+1 ]

yja, _x2 + a, _y2

2 , 2 ai+1_ x + ai+1_ y

ai _ y • ai+1_ x - ai _ x • ai+1_ y

\cl\ •

a

i+1

4ai _x 2+ai _ y2 •V ai+1_

2 , 2 x + ai+1_ y

- в зависимости от значения величины угла Рi Ветвь_1 - 0<)<п. Между точками С-1 та Вi

алгоритм построения эквидистанты пойдет по од- добавляем дугу круга с центром в точке Аi (Хаг, ной из двух ветвей (рис. 6): Yаi) радиуса А. Угол С-1 Аг Вi определяем из сле-

дующих условий[1]:

cos ZC л AB = cos( = cos

i-1 i i I i

(bi-1 • bi) (bi-1 _ x • bi _ x + bi-1 _ y • bi _ y)

b-1

b

А2

sin ZQ-1 Д.Д. = sin (

b-1 х bi

bi-1

(bi-1 _ x • bi _ y - bi-1 _ y • bi _ x)

А2

Так как дугу окружности С-Вг (рис. 6.а) бу- наты ее вершин (Х£-, У/),} = 0,1, 2..д. Координа-

дем аппроксимировать с заданной точностью е ты вершин Е, (Х/, У/) определим следующим обра-

ломаной линией ЕЕ ... Еп, то для однозначного зом [1]: определения этой линии достаточно знать коорди-

Х/] = Ха, + Ъг-1_х • СОБ А( - Ъг-1_ у • БШ А( р • j .

где Ар, j = 0,1...д.

Yf = Yat + bM _ x • sin А( + b^ _ y • cos А(

n

a) б)

Рис. 6. Построение участка эквидистанты для угла Pi: а) 0<р<п; б) к<ф<2к.

Количество точок апроксимацп q для дуги окружности Сi-1Вi должно удовлетворять следующему неравенству [4]:

Рг

q > 1 +

arccos(l -si А)'

Ветвь_2 - л<Д<2п. Заменяем на участке эквидистанты точки С-1 и Вг точкой Б, (рис. 6.б). Рассмотрим алгоритм нахождения координат точки Бг (рис.7).

'Am

Рис. 7. Определение координат точки Di

Для определения координат точки Di(Xdi,Ydi) необходимо выполнить следующие этапы:

- определение координат вектора ei=AiEi={ei_x, ei_y} и его длину Dei:

ei_x=bi-i_x+ bi_x, ei_y=bi-i_y+ bi_y, Dei=

4et _ x 2 + ei _ y2;

f _ X =

- определение длины вектора fi: I fiI= A/cos yi, де yi=$i/2;

- определение координат вектора fi =AiDi={ f_x, f_y}[1]:

е х ■ 1

,

VI 2 '

^г _ Х + ^г _ У

- определение координат точки Бг[1]: Хёг=Ха,+/г_х, Уй,=Уа,+/,_у.

Так как плоский геометрический объект произвольной формы мы аппроксимируем многоугольником с заданной точностью, то и эквиди-

f _ У =

ег _ У ■

f

V2 2 et _ х + е, _ y

станту к внешнему контуру этого объекта будем представлять в виде многоугольника. С алгоритма очевидно, что эквидистанта для плоского геометрического объекта произвольной формы состоит из дуг окружностей между точками Сг-1 и Вг с цен-

тром в точке Аi (Ха, Yаi) радиуса А (Ветвь_1) и вершин А-, которые являются точками пересечения прямых В-1С-1 и ВСц алгоритмы нахождения которых мы рассмотрели.

Определение площади плоских геометрических объектов Sl и S2 Так как при аппроксимации внешнего контура плоских геометрических объектов мы применяем кусочно-линейную аппроксимацию, то внешний контур плоского геометрического объекта будет представлять многоугольник

с вершинами Л^ХкУ) 1=1,2..п, где Х1= Хп,У=Уп (рис.8). Тогда площадь многоугольника Л1Л2...Л^..Лп можно представить в виде алгебраической суммы площадей треугольников AAiCЛi+l, где \=1,2..п-1, де С(ХаУе) - точка, которая находится в средине аппроксимирующего многоугольника. Площадь ДЛСЛш равна половине модуля векторного произведения векторов CAiи CAi+l [1], т.е. 5 =(\[CAiх CAг■+l]|/2.

Отсюда имеем:

s=I

2

n—1

I

x+, — y+1 — y x, — xc y — y

n—1

i (x,+1 — Xc )(y — y) — (X, — Xc )(y+1 — y)

1 n—1 n—1

=11(x,+1y+1 — XJM) — i(XMYc + YtXc — XJc — Y+1 Xc) .

2 ,=1 ,=1 Рассмотрим

n—1 n— 1 n—1

I (X+Yc + Y,Xc — XJc — Y+1 Xc) = I (X,+1Yc — Y+1 Xc) —I (X,Yc — Y,Xc) =

i=1 i=1 i=1 n n—1 n—1 n—1

= I (XJc — YtXc) —I (XJc — YtXc) =I (XJc — Y,Xc) —I (XJc — Y,Xc) + (XJC — YnXc)

i=2

i=1

i=2

i=2

— (X1Yc — Y Xc) = (XnYc — YnXc) — (X1Yc — Y Xc)

О

1

Рис. 8. Определение площади многоугольника как алгебраической суммы треугольников, образованных соединением фиксированной точки внутри многоугольника с его вершинами

Так какХ= Хп,У1=Уп, то имеем (ХпУс -УпХс) -(Х1Ус -У1 Хс) = 0.

Отсюда очевидно, что площадь многоугольникаЛ1Л2...А,...Апс вершинамиЛ,(Х,,У,), 1=1,2..п, гдеХ1=

с 1

Xn, Yi=Yn можно определить следующим образом: S = —

n—1

ё (xi+yi+1 - x,y+1) i=1

Математическое описание множества допустимых решений задачи плотного решетчатого размещения плоских геометрических объектов Б1 и Б2 в прямоугольной области О Очевидно, что множеством допустимых решений этой задачи будет множество допустимых двойных решеток {={(аг1, а'2, gi), где г=1,2.^. Определив область изменения параметров а'1, а'2, двойных решеток V, мы однозначно определим множество допустимых решений. Это множество допустимых двойных решеток совпадает с множеством допустимых решеток задачи построения укладок для плоских геометрических объектов Б1 и Б2. Мы не будем останавливаться на этом вопросе. Он детально рассмотрен в работе [5].

Аналитическое представление функции цели. Функцией цели задачи является коэффициент плотного заполнения Р, прямоугольной области О, который определяется как отношение суммарной площади размещенных плоских геометрических объектов Б1 и & на материале до площади прямоугольной области О :

р = + 21

S2 | есть величины постоянные, то можно сказать, что функция цели Р, есть функция от количества плоских геометрических объектов к1, первого и второго вида к2, в раскройной схеме, то есть Р, = / (к1,, к2,). В функции цели знаменатель является постоянной величиной. Тогда за функцию цели можно взять числитель |£п|=¥(к1,- ,к2,)=

, который является суммарной

площадью плоских геометрических объектов Б1 и Б2, плотно размещенных в прямоугольной области О.

Пусть на плоскости с помощью двойной решетки созданы укладки фигур Sl(а) и S2(в). Суммарная площадь |£л| плоских геометрических объектов Б1 и Б2 плотно размещенных в прямоугольной области О, характеризует качество схемы: чем больше суммарная площадь их, тем больше плотность размещения.

Суммарная площадь деталей |£я|, что полностью разместились в области О, является функционалом, зависит от параметров решетки V, по которой выполнена укладка и углов поворота а и в деталей S1(а) и S2 (в) относительно исходного положения, если считать размеры области постоянными О. Тогда

Dl ■ Sh

Так как длина Dl, ширина материала Sh и площади плоских геометрических объектов | Si | и |

Sr = max( (a1, a2, g,a) ■ | + (a1, a2, g, ß) ■ \S 21)

(11)

где ИО (а,, а2, В, а), И™ (а,, а2, а)) -функционалы, значения которых равны соответственно количеству плоских геометрических объектов S1(а) и S2(в), расположенных в прямоугольной области О..

По определению И(1)(а, а2, § ,а) и

(а, а2, а) являются целочисленными кусочно-постоянными функциями. Рассмотрим процедуру подсчета значений |£л|, а также запишем в аналитическом виде функцию цели.

Для любой решетки W=W(ai, a2, g) значение функционалов равны количеству пар целых чисел из совокупности 0, +1, + 2,..., удовлетворяющих неравенствам (7-8(9-10)). Используем функцию sign (x)

Г 1, якщо x > 0 sign(x) = <! ,

[-1, якщо x < 0

переменные компоненты функции цели можно записать в таком виде:

N(1) q (ах, а2, g,a) =1Ё (1 + sign(- Щ(а + ж))) • (l + sign (Dl - Их (а) - x'nm)) •

А pi m

l + sign(y'nm -нх(а + 3ж)) I• 11 + sign(Sh-И^а + ж)-yL)

(12)

N(2) Q (ai, а 2, g, ß) = 1 Ё(1 + sign( <m - И 2^ + ж))\(1 + sign (Dl - H 2(ß) - x1 ))•

A ^ И ГУ)

1 + sign (y'nm - H2(ß + 3 ж)) J • I 1 + Sign(Sh - И 2 (а + ж - Уг1т )

Подставив выражения (12) и (13) в (11) получим аналитическое выражение для функции цели оптимизационной задачи плотного заполнения прямоугольной области £2 плоскими геометрическими объектами 8г(а) и $2ф).

Плоские геометрические объекты $г(а) и $2ф) будут размещаться в узлах двойной решетки W:

nal+ma2+kg. В случае, когда плоский геометрический объект 8г(а) находится в узлах основной решетки, а плоский геометрический объект $2ф) находится в узлах сдвинутой решетки относительно основной на вектор g, значение функционалов можно представить следующим образом:

£(й, а2, ё,а) = -1 ^(1 + 81%п{па1х + та2х -Н^а + я)))-

16

п, т

- (1 + - Н (а) - паУх - та2х ))-

( 3 ^ ( 14)

-1 1 + ^^(па1у + та2у - Н1(а + -ж)) I- [1 + - Н (а + Я) - па1у - та2у )^ -

N(2) £ ^ a2, §, 0) = -1 + ^ (па1х + та2х + gx - Н2(Р + я)))-16

п, т

- (1 + 81§п(Ы - Н2 (Р) - Па\х - та2х - §х ))-

( 3 ^ ( 15)

-1 1 + (па1у + та2у + §у - Н2(Р + ~Я)) I- ^ + (5к - Н2(Р + Я) - па1 у - та2у - §у )

В случае, когда плоский геометрический объ- ект повернутый на угол а и находится в узлах ект 82 повернутый на угол в и находится в узлах сдвинутой решетки относительно основной на основной решетки, а плоский геометрический объ- вектор g, имеем:

N (1) £ ^ ^ §,а) = Т1 Х(1 + (Па1х + та2х + §х - Н1(а+Я)))-

16

п, т

- (1 + - Н1 (а) - па!х - та2х - §х ))-

( 3 ^ ( 16)

-1 1 + 81§п(паХу + та2у + §у - Н1(а + ~ я)) I- ^ + ы§п(8к - Н1(а + Я)- па1у - та2у - §у)

N (2) £ (а1 , а2 , g, Р) = -1 Е(1 + (па1х + та2 х - Н 2(Р + я))) -

16

А ^ п, т

- (1 + Ы - Н2 (Р) - па\х - та2х )) -

( 3 ^ (17)

-1 1 + у + та2 у - Н2(Р + ~я)) I-

+ -Н2(Р + Яя)-«V -тагу,)].

Подставив выражения (14) и (15) в (11) полу- Подставив выражения (16) и (17) в (11) получим аналитическое выражение для функции цели чим аналитическое выражение для функции цели оптимизационной задачи плотного заполнения оптимизационной задачи плотного заполнения прямоугольной области £ плоскими геометриче- прямоугольной области £ плоскими геометрическими объектами 8г(а) и $2ф). В этом случае плос- скими объектами $г(а) и $2ф). В этом случае плоский геометрический объект $г(а) находится в уз- кий геометрический объект Б2(в находится в узлах лах основной решетки, а плоский геометрический основной решетки, а плоский геометрический объ-объект $2ф) находится в узлах сдвинутой решетки ект $г(а) находится в узлах сдвинутой решетки относительно основной на вектор g. относительно основной на вектор g.

Предложенный метод расчета параметров схем плотных совмещений плоских геометрических объектов был реализован в программный продукт для автоматического поиска плотных совмещений плоских геометрических объектов 81(а) и $2(в) из самым плотным заполнением прямоугольной области О. Программный продукт

позволяет рассчитать параметры схемы совмещения с наиболее эффективным заполнением прямоугольной области О для заданных размеров этой области и технологических зазоров между объектами. А так же он обеспечивает визуализацию выбранной схемы и сохранение ее параметров у файле. Структурная схема его представлена на рис. 9.

Рис. 9. Структурная схема программного продукту для расчета параметров схемы совмещения с наибольшей плотностью заполнения прямоугольной области О для плоских геометрических

объектов 81 и &

Программный продукт, реализованный в среде программирования Delphi для операционной системы Windows. Примеры рассчитанных схем плотного совмещения плоских геометрических

объектов S1 и S2 в прямоугольной области Q представлены на рис. 10-12.

Рис. 10. Схемы плотного совмещения для различных величин технологического мостика

Рис. 11. Схемы плотного совмещения в прямоугольной области О для плоских геометрических объектов 81 и & различной конфигурации внешнего контура

Рис. 12. Схемы плотного совмещения в прямоугольной области ££для плоских геометрических объектов повернутых на углы а и Р относительно их исходного

положения

Анализ полученных результатов расчетов параметров плотных совмещений в прямоугольной области £ для плоских геометрических объектов и 52 показал, что в большинстве случаев наиболее эффективные плотные совмещения получаются, когда плоский геометрический объект повернутый на угол а, а 52 есть плоским геометрическим объектом 51, повернутым на угол Р относительно своего исходного положения.

Список литературы

1. Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - М.: Издательство "Наука", Главная редакция физико-математической литературы., 1975, - 243 с.

2. Стоян Ю.Г. Размещение геометрических объектов. / Ю.Г. Стоян - Киев: Наукова думка, -1975, - 175 с.

3. Стоян Ю.Г. Методы и алгоритмы размещения плоских геометрических объектов/ Ю.Г. Стоян, Н.И. Гиль.- Киев: Наукова думка, -1976,242 с.

4. Утина Л.С. Построение годографа функции плотного размещения двух выпукло -ввогнутых многоугольников / Л.С. Утина. // Известия высших учебных заведений. Технолог. легкой промышленности. - 1979. - №1. - С. 51-55. - №3. -С. 62-66

5. Чупринка В.1. Побудова еквщистанти для плоского геометричного об'екта / В.1. Чупринка, К.А. Ш^мович // Вюник ДАЛПУ. - 2000. - №1. -С. 83-85.

6. Chuprynka V.I. Metod of construction of lattice pilings of two plane geometric object with different configurations of outer contours/ V.I. Chuprynka, G.Y. Zelinsky, N.V. Chuprynka // The scientific heritage - 2017, - №8, Vol. 1, P. 100-109