Метод построения больших ансамблей дискретных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИКА, ТЕЛЕМЕХАН1КА, ЗВ'ЯЗОК

УДК 621.396

Грабчак В.И., к.т.н. (Научный центр ракетных войск и артиллерии

при Сумском государственном университете) Коваленко А.Н., ст инженер ИВЧ (Харьковский университет

Воздушных сил имени И.Кожедуба) Харченко Е.В. (Центральное казенное конструкторское бюро

«Протон»)

Сай В.Н. (Научный центр ракетных войск и артиллерии при Сумском

государственном университете)

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ БОЛЬШИХ АНСАМБЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Постановка проблемы в общем виде и анализ литературы.

Создание новых и модернизация существующих автоматизированных информационных систем управления и связи определено Государственной программой развития Вооруженных сил Украины на 2006 - 2011 годы как одно из приоритетных направлений развития вооружения и военной техники [1].

Перспективным направлением обеспечения высокой помехозащищенности, имитостойкости и скрытности радиоканалов управления является использование широкополосных систем связи (ШСС). Такие системы обладают множеством полезных качеств: возможность вести скрытую передачу в рабочем диапазоне узкополосных станций и практически не оказывать им мешающего действия, эффективное адресное разделение, специфический (кодовой) вид манипуляции и т.п.[2-4].

Функционирование ШСС основано на использовании больших ансамблей слабо коррелированных между собой шумоподобных сигналов (ШПС) и характеристики ШСС во многом зависят от характеристик ансамблей ШПС, таких как: объем ансамбля и база ШПС, структурные свойства, корреляционные свойства, возможность быстрой смены

сигналов, простота устройств формирования и обработки, их малые габариты и масса[2].

В то же время большинство известных методов формирования ШПС обладает рядом конструктивных недостатков, кроме того, не разработаны методы синтеза больших ансамблей слабо коррелированных между собой дискретных сигналов [2,5-7]. В этой связи, разработка методов и алгоритмов формирования больших ансамблей сигналов с улучшенными корреляционными свойствами является актуальной научной задачей имеющей важное практическое применение.

Постановка задачи. Общая постановка задачи синтеза ансамблей дискретных сигналов с улучшенными ансамблевыми и корреляционными свойствами может быть формализована следующим образом:

N ^ max: <

К (т) = i

К (т)

К (т)

< G, i, j, q е [0, n-1], p е (0, n-1], i*j, (1)

< G

где N - объем ансамбля дискретных сигналов;

К (т = qTe) - нормированная функция корреляции для двоичных дискретных последовательностей описываемая выражением:

i n-i

К(т = qTe) = -XS\SjH , (2)

n |=0

где Te - длительность элемента последовательности;

q - число тактов, на которые две последовательности сдвинуты одна относительно другой;

т - временной сдвиг между двумя последовательностями;

n - число элементов в последовательности;

S^ - £,-й элемент i-й последовательности;

S}+4 - £,-й элемент j-й последовательности, сдвинутой на q тактов;

G - величина, ограничивающая боковые выбросы корреляционной функции.

Перспективным направлением решения данной задачи являются методы, основанные на формировании дискретных сигналов с использованием кодовых последовательностей избыточных кодов. Этот подход позволяет, используя развитый математический аппарат

алгебраической теории блоковых кодов, строить относительно быстрые алгоритмы формирования псевдослучайных последовательностей. Кроме того, применение некоторых классов блоковых кодов позволяет получить улучшенные авто- и взаимно- корреляционные характеристики, аналитически связанные с конструктивными параметрами используемых кодов. Так в [8] был предложен метод формирования ансамбля ШПС с использованием кодовых последовательностей циклических кодов. В то же время функция взаимной корреляции Щ (г) полученных дискретных

сигналов гарантировано имеет большие одиночные выбросы, обусловленные цикличностью используемого кода.

Поясним это свойство следующими рассуждениями. Линейный (п, к, ё) код над ОБ^) есть подпространство в ОБп^). Циклические коды являются подклассом в классе линейных кодов, удовлетворяющим дополнительному структурному требованию - принадлежности циклическому коду всех циклических сдвижек всех кодовых слов [9]. Это позволяет гарантировать хорошие корреляционные свойства для дискретных сигналов построенных на основе циклических кодов как показано в теореме 1.

Теорема 1 [8]. Пусть задан ансамбль дискретных сигналов Б, каждая последовательность которого образована кодовыми словами с' циклического (п, к, ё) кода. Тогда периодические авто - и взаимокорреляционные свойства удовлетворяют следующим выражениям

Щ(г) = 1,если г = 0тоё(п);

I ч| „ п — 2 • й _ \ ■> V-5/

Щ(г) < О =-,если г ф 0тоа(п)

1 п

Щ (г) = 1,если С = С^г; (4)

Щ (г)| < О = п — 2 • й ,если С' ф С^г. ( )

1 1 п

где С^ г - кодовое слово С циклически сдвинутое на г символов.

В качестве циклического кода используем коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ), для которых минимальное кодовое расстояние ё определяется теоремой 2 (теоремой БЧХ).

Теорема 2[9]. Параметры циклического блокового (п, к, ё) кода БЧХ над ОБ^), заданного порождающим многочленом вида д(х) = н.о.к. [^(х), +1(х), ..., ^+2,.1(х)], где ^(х)- минимальный многочлен, с

корнем в е GF(qm) удовлетворяют условию: й > 2г +1, к > п — т х 2г

Таким образом, теоремы 1 - 2 позволяют формировать большие ансамбли дискретных сигналов, корреляционные свойства которых, за исключением случая с' = оц т, имеют улучшенные свойства.

Равенство единице в выражении (4) выполняется за счет наличия в циклическом коде кодовых слов эквивалентных относительно операции циклической сдвижки. Это приводит к большим одиночным боковым выбросам в функции взаимной корреляции Щ (т) полученных ШПС. Для

устранения этого недостатка в [10] был предложен метод формирования ансамбля дискретных сигналов на основе кодовых последовательностей эквивалентного кода, полученного из циклического кода путем случайного перестановочного преобразования. Суть метода состоит в получении дискретных сигналов из кодовых слов преобразованного нециклического кода, путем перестановки столбцов порождающей матрицы исходного циклического кода по псевдослучайному закону. Однако, функция корреляции сигналов полученных данным методом определена только для начального момента (т = 0), что связано с использованием

эквивалентного нециклического кода, для которого теорема 1 не выполняется. Поскольку, предложенное перестановочное преобразования псевдослучайно, вероятность получения ШПС с неудовлетворительными корреляционными свойствами увеличивается с ростом объема полученного ансамбля дискретных сигналов при постоянной длине дискретного сигнала. Также увеличивается вероятность появления цикличности в сформированном ансамбле ШПС из-за инвариантности элементов дискретных последовательностей.

Исходя из вышесказанного, частную задачу формирования ансамбля ШПС с использованием кодовых последовательностей циклических кодов можно определить как гарантированное устранение цикличности в получаемом ансамбле дискретных сигналов без ухудшения корреляционных свойств последовательностей.

Предлагаемый метод. Суть предлагаемого метода состоит в получении выборки из кодовых слов циклического кода, состоящей из одной кодовой последовательности с каждого циклического подмножества. В полученной таким образом множестве кодовых слов сохранится исходное кодовое расстояние при отсутствии цикличности.

Для выделения всех элементов циклических сдвижек в отдельные множества и удобства их дальнейшего рассмотрения применим к ним понятие орбит, широко используемое в комбинаторике [11,12]. В данном случае, классы эквивалентности относительно операции циклической сдвижки в будут называться орбитой циклической сдвижки (в

дальнейшем орбитой). Таким образом, циклический код состоит из нуля и одной или нескольких орбит. Количество элементов в такой орбите как правило равно длине кодового слова.

Множество всех возможных сигналов также представляет собой совокупность орбит. Асинхронность сигналов подразумевает их принадлежность к разным орбитам, по возможности с наилучшими корреляционными свойствами. Определим сечение орбит как выборку по одному элементу из каждой орбиты.

Таким образом, для построения ансамблей дискретных сигналов необходимо провести сечение орбит циклического кода.

Рассмотрим циклический (п, к, ё) код БЧХ, заданный многочленом

вида д(х) = , где А(х) - минимальный многочлен. Так как

минимальный многочлен является простым многочленом образованный им код состоит из нуля и орбиты т-последовательности. В силу свойств т-последовательности расстояние между кодовыми словами такого кода одинаково, поэтому в дальнейшем будем называть такой код эквидистантным. Заметим, что сумма элементов из орбиты одного эквидистантного кода принадлежит этой орбите.

Циклический (п,к,ё) код БЧХ у которого порождающий многочлен

(хп — 1)

д(х) =----- образован различными минимальными многочленами

^ у / (х/(х)... ^ (х) р р

^(х), ^(х), ... £,(х) будем называть неэквидистантным.

Для математического обоснования консруктивности предлагаемого метода сформулируем и докажем следующие утверждения.

Лемма 1. Суммы элементов орбит различных эквидистантных кодов БЧХ с одинаковой цикличной сдвижкой однозначно определяют орбиту. Доказательство: Следует из свойства дистрибутивности поля ОБп^). Рассмотрим сумму элементов орбит различных эквидистантных кодов С1(х), С2(х), . С8(х) : С1(х) + С2(х) +... + С8(х)= с(х).

Тогда при сдвижке на у обоих слов

С1(х)х-' + С2 (х)х-> +... + С8 (х)х-> = (С1 (х)+ С2 (х)+... + С8 (х)) = С(х).

Доказательство завершено.

Лемма2. Никакая сумма любых ненулевых кодовых последовательностей различных эквидистантных кодов БЧХ не образует кодовую последовательность эквидистантного кода.

Доказательство: Докажем данное утверждение от противного.

Примем что:

с(х) = (х -1) 1(х) (5)

Дх) (5)

кодовое слово искомого эквидистантного кода, где / (х) -соответствующий минимальный многочлен, а /(х) - информационное слово определяющее циклический сдвиг кодового слова эквидистантного кода. Рассмотрим сумму кодовых последовательностей с1(х), с2 (х), с8 (х)

различных эквидистантных кодов БЧХ отличных от искомого.

(хп -1). , . (хп -1). , . (хп -1). , . -- 11 (х) + ---12 (х) +... + --- 1_(х) =

(хп — 1)

4 ' / (X )/ 2 (х)... /а (х) + 12 (X )/\ (х)... /а (х) + ... + /п

(х )/1(х )/2

(х).../3-1 (х)) ,(6)

/1 (х/(х)... Г3(х)

где ^(х), 12(х)... /3(х) - информационные многочлены эквидистантных кодов.

В случае равенства (5) и (6) получим:

/ (х) =_/1 (х / (х)... /з (х)/(х)__(7)

(/1 (х)'2(х)... /з(х) + /2(х)/1 (х).../5(х) +... + /5(х)/\(х)'2(х)... /5—1 (х)) . ( )

Однако, так как минимальные многочлены являются простыми их произведение не равно минимальному многочлену и минимальный многочлен не может быть получен в результате деления других минимальных многочленов. Таким образом, равенство (7) не выполняется, что противоречит сделаному допущению.

Рассмотрим сумму кодовых последовательностей с1(х), с2 (х), с8 (х)

различных эквидистантных кодов БЧХ и кодовой последовательности искомого кода. Тогда, исходя из замкнутости кода, сумма кодовых последовательностей эквидистантных кодов БЧХ отличных от искомого должна быть равна кодовой последовательности искомого эквидистантного кода, невозможность чего доказана выше.

Доказательство завершено.

Теорема 3. Суммы элементов орбит с различными циклическими сдвижками, которые принадлежат различным эквидистантным кодам образованными порождающими многочленами g(x)=(xn-1)/fi(x) с минимальными многочленами ^(х), Щх), ... ^(х) однозначно определяют кодовые последовательности из различных орбит всего пространства неэквидистантного кода образованного порождающим многочленом g(x)=(xn-1)/fl(x) f2(x)...fs(x).

Доказательство:

Рассмотрим сумму элементов орбит различных эквидистантных кодов С1 (х), С2(х), . С8(х): С(х)+ С2(х)+... + С(х)= С(х) .

Допустим, что сумма элементов орбит различных эквидистантных кодов, с отличной на у цикличной сдвижкой, равна кодовой последовательности из той же орбиты что и первая сумма, с циклической сдвижкой равной т. Тогда:

С (х)+ С2 (x)xi +... + С (х У = С(х )хт. (8)

Согласно леммы 1 также верно что

С1 (х)хт + С2(х)хт +... + С8(х)хт = С3(х)хт . (9)

Тогда, если сложить (7) и (8), получим

С1(х)+С2 (х)+...+С8 (х)=0, где С1(х), С2 (х), ... С8 (х) ненулевые кодовые последовательности различных эквидистантных кодов полученные при суммировании соответствующих кодовых последовательностей одного эквидистантного кода.

Все вышеуказанные кодовые слова принадлежат одному неэквидистантному коду, у которого кодовое расстояние между всеми кодовыми (кроме нулевого) больше нуля. Сумма кодовых слов различных эквидистантных кодов, согласно леммы 2, не дает кодовых слов эквидистантных последовательностей. Следовательно, полученный результат неверен и сумма кодовых слов различных эквидистантных кодов с различными сдвижками определяют кодовые слова из различных орбит.

Оценим число кодовых последовательностей в неэквидистантном циклическом коде.

Как показано ниже, степень информационного многочлена к неэквидистантного кода равна сумме степеней информационных многочленов к1,к2.к8 входящих в него эквидистантных кодов.

к=п-г=п-(п-11-12...-Ц=11+12...+18=к1+к2...+кз, где 1Ь - степени

минимальных многочленов образующих циклический неэквидистантный код, г - степень порождающего многочлена.

Следовательно, число кодовых последовательностей циклического неэквидистантного кода совпадает с числом всевозможных различных сумм элементов орбит эквидистантных кодов, и эти суммы однозначно определяют кодовое пространство неэквидистантного циклического кода.

Доказательство завершено.

Таким образом, неэквидистантный код формируется суммами элементов орбит различных эквидистантных кодов с различной цикличной сдвижкой, и дополняется самими элементами орбит различных эквидистантных кодов. При этом, как следует из леммы 1, сечение орбит определяется использованием только одного элемента орбиты эквидистантного кода присутствующего во всех суммах.

Выбор эквидистантных кодов определяется теоремой 2. Так для двоичного неэквидистантного кода БЧХ с порождающим многочленом вида д(х) = н.о.к. [^(х), ^+1(ж), ..., +2,.1(ж)], выбор минимальных многочленов эквидистантных кодов осуществляется из условия максимума 21+1, с учетом исключения минимальных многочленов эквидистантных кодов.

При формировании ансамбля сигналов на основе двух эквидистантных кодов предложенный метод вырождается в метод формирования последовательностей Голда [13], который активно используется в современных ШСС. Как показано далее, нормированная функция корреляции последовательностей Голда, с увеличением длины дискретных последовательностей уменьшается без существенного роста объема ансамбля сигналов. Опираясь на вышеуказанные теоремы можно сформировать ансамбль сигналов большой длины с увеличением объема ансамбля сигналов на несколько порядков за счет относительно небольшого ухудшения значения нормированной функция корреляции.

Оценка ансамблевых и корреляционных свойств формируемых ШПС. Для обеспечения высокой помехоустойчивости и скрытности ШСС обычно используются сигналы с большим количеством элементов (большой базой) [2, 4]. При большой длине кодовых последовательностей увеличение кодового расстояния неэквидистантного кода с ростом количества используемых эквидистантных кодовых слов, образующих данный неэквидистантный код, относительно невелико. Поэтому, исходя из теорем 1 и 2 до достижения значения О в выражении (1) мощность неэквидистантного кода может быть значительно расширена.

Примеры изменений ансамблевых и корреляционных свойств ансамбля дискретных сигналов полученного из кодовых последовательностей двоичных кодов БЧХ различной длины приведены в таблице 1. Здесь, б - количество используемых эквидистантных кодовых слов, ё - минимальное кодовое расстояние, Я - максимальное значение нормированной функции корреляции получаемое в соответствии с теоремой 1, N -мощность полученного ансамбля сигналов, п - количество элементов кодовой последовательности.

Таблица1 - Примеры изменений ансамблевых и корреляционных свойств ансамбля дискретных сигналов полученного из кодовых последовательностей двоичных кодов БЧХ различной длины

п = 127 - N = 511 п = 2047

Б ё Я N Б ё Я N б ё Я N

2 56 0,12 127 2 240 0,06 511 2 992 0,03 2047

3 48 0,24 1,6х104 3 224 0,12 2,6х105 3 960 0,06 4,1х106

4 44 0,3 2х106 4 192 0,25 1,3х108 4 896 0,12 8,6х109

5 32 0,5 2х108 5 188 0,26 6,9х1010 5 888 0,13 1,8х1013

10 20 0,69 9х1018 10 124 0,51 2,4х1024 10 1297 0,27 6,3 х1029

Практическая реализация. Структурная схема процесса формирования сигналов представлена на рисунке 1. Он представляет собой суммирование по модулю используемого алфавита (операция - ©) циклических сдвижек различных эквидистантных слов С8(х) отобранных в соответствии с теоремой 2. Циклические сдвижки задаются информационным словом Цх) соответствующего кодового слова, которое является управляющим сигналом, где операция ® производит циклическую сдвижку С8(х) на Цх) символов или обнуляет его. Принцип отбора Цх) произвольный, с учетом постоянного равенства единице первого информационного слова (управляющего сигнала), что обеспечивает отсутствие цикличности в формируемом ансамбле дискретных сигналов. Таким образом дискретные последовательности формируются заданием неэквидистантного кода установкой кодовых слов эквидистантных кодов (т - последовательностей) и последующим выбором кодовых слов полученного кода при помощи информационных последовательностей (управляющих сигналов).

1 2 п

С1(х)

12(Х)

С2(Х)

к1

1

2

■0-

Цх)

к

1

2

1 2

п

С,(х)

Рисунок 1 - Структурная схема процесса формирования сигналов

Обнуление последнего кодового слова добавляет в определение формируемого кода БЧХ соответствующий минимальный многочлен и в соответствии с теоремами 1 и 2 улучшает корреляционные свойства формируемых ШПС. Это даёт возможность для формирования ансамблей сигналов с переменными ансамблевыми и корреляционными характеристиками. Так при использовании только одного ненулевого информационного слова на выходе получается т-последовательность. При разрешении двух слов эквидистантного кода мы получим последовательности Голда. При дальнейшем разрешении или запрете определенных последовательностей эквидистантных кодов можно варьировать ансамблевыми и корреляционными свойствами получаемого ансамбля дискретных сигналов.

На основе рассмотренного процесса формирования дискретных последовательностей может быть сконструировано устройство формирования ШПС структурная схема которого приведена на рис.2.

Блок управления связан управляющими каналами с источниками информационных и т-последовательностей. Входы блока формирования дискретных последовательностей, соединены с источником информационных последовательностей и источником генеральных

последовательностей, который может быть хранилищем или генератором т - последовательностей. Выход блока формирования дискретных последовательностей подключен к блоку хранения дискретных последовательностей, который подключен к модулятору (на рисунке 2 не приведен). Выход блока формирования дискретных последовательностей может быть подключен к модулятору без подключения к блоку хранения дискретных последовательностей.

Рисунок 2- Структурная схема устройства формирования сигналов

Устройство работает следующим образом.

Параметры передачи и информация от источника подается на вход блока управления, который определяет соответствующие информационные и т-последовательности через источники информационных и генеральных последовательностей. Блок формирования дискретных последовательностей при помощи источника генеральных последовательностей заполняется т - последовательностями, определенными для текущего сеанса связи. Информационные последовательности поступают в блок формирования дискретных последовательностей и там по схеме описанной выше, генерируются требуемые сигналы.

Вывод. В данной статье, в результате исследования свойств циклического кода, был получен метод формирования ансамбля дискретных сигналов обобщающий некоторые ранее известные методы.

Получили дальнейшее развитие методы формирования больших ансамблей дискретных сигналов, отличающихся от известных разработанными и теоретически обоснованными правилами сечения орбит циклического кода, что позволяет формировать большие ансамбли дискретных сигналов с заданными уровнями боковых выбросов функций взаимной и автокорреляции.

Аналитически установлено, что предлагаемый подход является теоретическим обобщением известных методов формирования формирования ансамблей дискретных сигналов (m-последовательности, последовательности Голда, Касами и т.п.) и позволяет, помимо прочего, формировать дискретные последовательности с требуемыми свойствами путем компромиса между мощностью ансамбля сигналов и допустимым уровнем боковых лепестков функции корреляции.

Одно из преимуществ данного метода - возможность динамического изменения корреляционных и ансамблевых характеристик формируемого ансамбля дискретных сигналов.

Рассматриваемые в статье циклические коды БЧХ обеспечивают хорошие корреляционные и ансамблевые свойства формируемых ансамблей дискретных сигналов и имеют возможности по устранению цикличности, однако, для кодовых последовательностей большой длины (n>1023) они неоптимальны в смысле границы Варшамова-Гилберта. Поэтому интерес для дальнейших исследований представляют циклические алгебро-геометрические коды, как коды с лучшими кодовыми характеристиками.

Список литературы

1. Бша книга 2005: оборонна пол^ика Украши. - МО Украши, 2006.

2. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. - М.: Сов. Радио, 1985, 384с.

3. Волков Л.Н., Немировский М.С., Шинаков Ю.С. Системы цифровой радиосвязи: базовые методы и характеристики. - М.: Эко-Трендз, 2005. - 392с.

4. Рудой В.М. Системы радиосвязи. ч.1.-МО СССР, 1985.

5. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. - М.: Сов. Радио. - 1975,

200с.

6. Дядюнов Н.Г., Сенин А.И. Ортогональные и квазиортогогальные сигналы. -М.: Связь. - 1977, 244с.

7. Горбенко И.Д., Стасев Ю.В., Замула А.А. Теория дискретных сигналов. Ортогональные сигналы. МО СССР, 1988, 119с.

8. Стасев Ю.В., Кузнецов А.А., Носик А.М. Формирование псевдослучайных последовательностей с улучшенными автокорреляционными свойствами //

Кибернетика и системный анализ - К.: Институт кибернетики НАН Украины, 2007.-№1,- С.3-16.

9. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. -М.: Связь, 1979. - 744 с.

10. Кузнецов А. А., Носик А.М., Коваленко А.Н. Формирование псевдослучайных последовательностей на основе методов алгебраичного кодирования // Вюник Сумського державного ушверситету - Суми: Видавництво СумДУ, 2007.-№1.- С.129-142.

11. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука. - 1986.-

357с.

12. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. - М.: Мир, 1976. -

400 с.

13. Gold R. Maximal Recursive Sequences with 3-valued Recursive Cross-correlation Function.- IEEE Trans. Inf. Th., 1968, v.IT-14, № 1, p. 154 - 156.

УДК 629.4.067.3:629.4.027.11

Петухов В. М., ст. преподаватель (УкрГАЖТ)

ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМЕ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО КОНТРОЛЯ БУКСОВЫХ УЗЛОВ С ПОМОЩЬЮ БУКСОВЫХ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ СТАНЦИЙ (БДС)

Постановка проблемы. Поступление нового подвижного состава, а также возрастающая скорость движения все более обостряет проблемы автоматизированного контроля букс такие как:

-ориентация приемников ИК-излучения вследствие принципиальных конструктивных различий ходовых частей вагонов [1];

- различный температурный режим четных и нечетных осей движущегося поезда;

- различный температурный режим конических кассетных и роликовых подшипников [2];

- невозможность выявления букс с разрушенным торцевым креплением средствами тепловой диагностики [3].