Применение хаотических сигналов в информационных технологиях

Кислов Владимир Яковлевич; Колесов Владимир Владимирович; Беляев Ростислав Владимирович

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

1КИСЛОВ В.Я. I, КОЛЕСОВ В.В., БЕЛЯЕВ Р.В.

23

ПРИМЕНЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

Кислов В. Я.

, Колесов В. В., Беляев Р. В.

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, 125009 Москва

На основе нелинейных систем с динамическим хаосом разработаны и исследованы дискретные алгоритмы, формирующие хаотические сигналы с высокой информационной емкостью. Проведен анализ структурной и фрактальной сложности хаотических псевдослучайных целочисленных последовательностей. Показано, что разработанные хаотические алгоритмы могут эффективно использоваться в различных информационных технологиях, в том числе в телекоммуникационных системах, а также в радиолокации и навигации.

ВВЕДЕНИЕ

Традиционно шумы в радиотехнических системах различного назначения, также как и в измерительной аппаратуре всегда являлись мешающим фактором. При проведении любых измерений или приема-передачи информации естественным являлось стремление к их снижению. По своей природе шумы могут быть естественного или искусственного происхождения. В последнем случае они могут создаваться преднамеренно, но, кроме того, часто являются сопутствующим результатом работы мощных электрических или энергетических установок или радиоустройств различного назначения. Поэтому сама постановка вопроса о возможности эффективного использования шумовых сигналов в информационных системах представляется на первый взгляд парадоксальной. Однако оказалось, что логика развития информационных систем (связь, локация, передача, обработка и хранение информации) выдвигают вопрос о возможности целенаправленного использования шумов. Конечно, речь идет не о любых шумах, а о специально формируемых, которые в данном случае следует рассматривать как шумовые сигналы. Исторически практическое использование шумов имело два основных направления, связанных в основном с негражданскими применениями, а

именно маскировка работы собственных информационных систем, и создание помех работе подобных систем вероятного противника.

Обращение к шумовым сигналам связано с проблемами, которые стали результатом интенсивного развития различных информационных технологий. С выводом на околоземную орбиту спутников-ретрансляторов стала реальностью возможность повсеместного приема телевизионного сигнала. Создание систем радионавигации обеспечило возможность определения координат практически в любой точке Земли. Мобильные телефонные системы сделали доступными реализацию связи для значительной части населения всей Земли. Все эти достижения одновременно привели к совершенно новой ситуации и поставили новые задачи перед разработчиками информационных технологий. Доступный для использования диапазон длин электромагнитных волн оказался практически полностью занят работающими станциями различного назначения и традиционные методы работы на основе узкополосных радиосистем пришли в противоречие с требованиями по обеспечению прежде всего надежной их работы. Использование более высокочастотного квазиоптического диапазона (миллиметрового и субммил-лиметрового) технически сложен, так как в нём имеются лишь узкие окна прозрачности атмосферы, которые к тому же подвержены неконтролируемому росту потерь вследствие влияния её влажности (туманы, облачность и т.п.), а также и отражений, приводящих к эффектам, связанным с многолучевостью распространения сигналов. Таким образом, надежная работа систем связи в этом диапазоне длин волн возможна лишь в пределах прямой видимости или при использовании специальных кабельных систем, обеспечивающих защиту от воздействия внешней среды.

Реальной альтернативой при решении этих противоречивых требований является формиро-

24

ПРИМЕНЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

вание и использование сложных сигналов, к которым можно отнести различные технологии расширения спектра сигналов, например, при избыточном кодировании информации, когда каждая информационная посылка заменяется набором из специально подобранных импульсных кодирующих посылок. Использование этой информационной технологии открывает возможность работы в одном диапазоне длин волн многих станций различного назначения за счет использования кодирования и последующего обнаружения сигнала с применением корреляционной обработки. Разновидностью таких систем можно считать также применение специальных методов модуляции несущей, например, применение линейной частотной модуляции и др. С точки зрения теории информации шумовые сигналы являются наиболее перспективными сигналами, так как они обладают наибольшей информационной емкостью (их энтропия максимальна) [7].

Шумовые сигналы, о которых можно говорить в связи с перспективой их применения в различных информационных технологиях, правильнее называть шумоподобными сигналами (ШПС). Такое название связано с тем, что, обладая признаками случайных шумовых сигналов (широкий спектр, меняющаяся по внешнему виду при каждой выборке реализация такого сигнала и др.), они имеют главное свойство, отличающее их от обычных шумов: они реализуются с использованием разработанного математического алгоритма. Другими словами они обладают свойством воспроизводимости, то есть могут быть точно воспроизведены столько раз, сколько это потребуется для применения.

В настоящее время в телекоммуникационных системах, радиосвязи, системах управления и радиолокации все шире применяются сигналы сложной структуры, так называемые широкополосные ШПС. Свойства этих сигналов в сочетании с оптимальными методами их обработки позволяют обеспечить необходимые скорости при обмене информацией, высокую помехоустойчивость информационного канала, совместить передачу информации и траекторные измерения, возможность работы радиотехнических систем связи и управления в частотных диапазонах, перегруженных радиосредствами, в условиях многолучевого распространения радиоволн, и обеспечить высокую достоверность обмена информацией при действии различных помех.

Исследованиям свойств сложных сигналов, принципам применения их в широкополосных телекоммуникационных системах, закономерностям поведения таких систем в каналах с комплексом помех и искажений посвящены многие научные работы. Вместе с тем ряд аспектов построения радиоканалов со сложными сигналами требу-

ет дальнейшего развития. К ним в первую очередь относятся проблемы построения больших ансамблей ШПС с «хорошими» авто- и взаимнокорреляционными свойствами и сложной структурой, обеспечивающей высокую сигнальную скрытность, задачи быстрого установления синхронизма по параметрам принимаемого сигнала (в общем случае по частоте и времени) в радиосистемах (РС) с ШПС, защита этих систем от мощных структурных, а также сосредоточенных по спектру и времени помех и, в конечном итоге, разработка путей построения РС, обеспечивающих возможность их устойчивой работы в каналах с комплексом помех и в условиях неблагоприятного распространения радиоволн.

Развитие телекоммуникационных систем нового поколения основано на использовании ШПС с большой информационной емкостью и обеспечивает увеличение скорости передачи информации и повышение устойчивости работы систем при наличии возмущающих факторов. Такие сигналы используются для передачи информации в многоканальных системах с кодовым разделением, беспроводных системах связи с расширением спектра и др. Использование ШПС позволяет принимать сообщения при соотношении сигнал/помеха много меньшем единицы и бороться с влиянием многолучевого распространения, ослабить воздействие многих видов помех и обеспечить высокую скрытность при функционировании и электромагнитную совместимость c другими радиоэлектронными средствами за счет излучения непрерывных во времени ШПС с очень низкой спектральной плотностью.

При разработке узкополосных каналов цифровой связи встречаются трудности в поисках компромисса между противоречивыми требованиями. В многопользовательских системах связи обязательным требованием является обеспечение эффективности использования спектра. Высокое качество передачи информации требует создания быстрых кодеров, а также метода кодирования, который позволял бы обнаруживать и исправлять ошибки. Все это связано с введением избыточной информации в передаваемые данные и, в конечном счете, приводит к увеличению полосы частот канала. В качестве альтернативы в настоящее время разрабатываются широкополосные и сверхши-рополосные каналы для персональной радиосвязи. Расширение полосы частот происходит при использовании несинусоидальных сигналов: шумоподобной несущей, сверхкоротких видеоимпульсов и др.

Основной метод получения бинарных ШПС в настоящее время - это формирование сигналов на основе М-последовательностей, которые получаются при использовании сдвиговых двоичных регистров с системой линейных обратных связей.

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

1КИСЛОВ В.Я. I, КОЛЕСОВ В.В., БЕЛЯЕВ Р.В.

25

К виду и качеству сигналов в РС с ШПС предъявляют ряд требований. Сигнал должен быть широкополосным: база сигнала B, т.е. произведение длительности сигнала T на ширину его полосы частот F должно быть много больше 1; спектральная плотность шума в полосе должна быть равномерной; автокорреляционная функция (АКФ) должна иметь очень узкий пик и малые выбросы на интервале T; сигнал должен быть воспроизводим в приемном устройстве в случае корреляционного приема. Такие сигналы обычно формируются на основе псевдослучайных кодовых последовательностей [2]. Эти требования приводят к тому, что не все псевдослучайные последовательности (ПСП) могут быть использованы в качестве кодовых сигналов, на основании которых формируются ШПС в системах передачи информации.

Известные в настоящее время ПСП имеют существенные недостатки. Во-первых, они принадлежат к категории последовательностей, образующих ансамбли сигналов с малыми объемами L. Во-вторых, номенклатура длин последовательностей в пределах фиксированных числовых интервалов невелика. В-третьих, усложнение алгоритма формирования, как правило, приводит к нарушению сбалансированности структуры ПСП. В четвертых, взаимно-корреляционные свойства ПСП с увеличением объема ансамбля начинают резко ухудшаться.

Использование явления динамического хаоса [7] обеспечивает возможность совершенно нового подхода к формированию таких систем сигналов. Явление динамического хаоса состоит в том, что движение детерминированной динамической системы (ДС) при определенных условиях имеет все свойства широкополосного хаотического процесса, даже при отсутствии каких-либо внутренних или внешних флуктуаций. При этом принципиальной особенностью алгоритмов, описывающих систему с динамическим хаосом, является их нелинейность, а особенностью генерируемого временного процесса - его непериодичность. Это открывает возможность поиска нового класса случайных последовательностей для применения в РС передачи информации широкополосными хаотическими сигналами (ШХС), которые в полной мере отвечают всем перечисленным выше требованиям [4]. Изменяя параметры стохастичности ДС, используемой для такой генерации, и ее начальные условия можно изменять вид и характер ее поведения в широких пределах и тем самым управлять видом и качеством генерируемого апериодического шумового сигнала, то есть управлять такими его характеристиками как спектр, распределение вероятностей, вид АКФ и взаимнокорреляционной функции (ВКФ), изменять другие статистические характеристики сигнала.

Алгоритм ШХС представляет собой некоторую функциональную зависимость, которая в общем виде выражает нелинейные преобразования

сигнала x(t) в ДС с запаздыванием. В работе [1] исследуются алгоритмы ШХС. Один из них представляет собой многоуровневый дискретный алгоритм случайного сигнала, который может быть преобразован к бинарному виду

хк =[1-ехр(-^)]Д_№ -l-exp^)^, (1)

где х = аежр(1ф), а - амплитуда, а ф - фаза сигнала, А =Я^)ехр{г(^ +Ф(^)]} , F(a) и ф(а) - фужц™ нелинейного преобразования амплитуды и фазы сигнала, h - шаг отсчета (длительность одного кодового символа), N - параметр задержки (число отсчетов на интервале длительности задержки). Вид функций F(a) и Ф(а), значения параметров h и N определяют характер формируемого хаотического процесса и его статистические свойства.

Для применения в РС различного назначения предложен и исследован новый класс случайных последовательностей, формируемых на основе алгоритмов, моделирующих поведение автоколебательных систем с запаздыванием, имеющих динамический режим хаоса. Особенностью таких систем является их нелинейность и непериодичность генерируемого ими временного процесса. Изменяя параметры такой ДС и ее начальные условия можно в широких пределах менять характер ее поведения и, тем самым, управлять видом и свойствами генерируемого хаотического сигнала. Формирующие такие хаотические сигналы алгоритмы моделируют поведение кольцевых автоколебательных систем с сильной фазо-амплитудной нелинейностью и запаздывающей обратной связью. В результате циркуляции по цепи обратной связи формируемый сигнал поступает на нелинейный элемент системы, что ведет к расширению его спектра. Ширина этого спектра ограничивается фильтрующими свойствами автоколебательной системы при усилении. Соотношение между этими двумя конкурирующими факторами - расширяющей спектр нелинейностью и фильтрацией, сужающей спектр, - позволяет создавать хаотический сигнал с заданной шириной спектра. Формируемые при этом сигналы относятся к классу широкополосных хаотических сигналов. Как показали физические исследования подобных систем, хаотический характер генерируемых сигналов (или хаотический характер траектории ДС) обусловлен обязательным наличием механизма перемешивания, для чего система должна возвращаться в ограниченный фазовый объем, в котором и реализуется ее движение.

ДИСКРЕТНЫЕ ХАОТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ

На основании изложенных представлений были реализованы алгоритмы, определенные

26

ПРИМЕНЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

лишь в дискретные моменты времени. В результате формируемый процесс является не непрерывным во времени, а представляется последовательностью дискретных выборок. Кроме того, эти алгоритмы определяются на заданном конечном интервале целых чисел, при выходе из которого в соответствии с заданным правилом реализуется возврат результата, то есть его отображение в указанный интервал. Эта операция является своего рода аналогом фазо-амплитудной нелинейности непрерывной ДС и играет важную роль в процессе хаотизации, обеспечивая механизм перемешивания реализации, генерируемой целочисленным дискретным алгоритмом. Величина указанного конечного целочисленного интервала, на котором определен алгоритм, задает динамический диапазон соответствующего устройства при аппаратной реализации алгоритма. Достоинство таких алгоритмов состоит в том, что при их работе исключается необходимость применения каких-либо операций округления и связанных с ними неопределенностей, в результате чего формируемые ими целочисленные последовательности идентичны при воспроизведении на различных типах вычислительных устройств, а при аппаратной реализации они легко формируются схемотехнически [3].

Важным с точки зрения возможных применений является также использование представлений, связанных с включенным в алгоритм механизмом запаздывания. Системы с запаздыванием занимают особое место среди динамических систем. Их фазовое пространство (ФП) является многомерным и определяется числом динамических переменных и длительностью задержки в обратной связи. Для таких дискретных систем, динамика которых описывается хаотическими алгоритмами, ФП представляется не непрерывным, а состоящим всего лишь из конечного, хотя быть может и очень большого числа точек, соответствующих целочисленным точкам на осях многомерного ФП. При этом такая система движется не по непрерывной траектории, а совершает «скачки» по целочисленным узлам в ФП системы. Таким образом, число возможных состояний дискретной системы очень мало по сравнению с возможным числом состояний для ДС, определенной на непрерывном ФП.

При переходе к дискретному времени в детерминированных конечномерных системах возникает противоречие между требованиями генерации длинных непериодических последовательностей и ограниченностью числа всех возможных состояний системы. Это означает, что система рано или поздно обязательно выйдет на замкнутый цикл, а генерируемая последовательность с этого момента станет периодической. Решение данной фундаментальной проблемы для дискретных ха-

отических систем с запаздыванием состоит в выборе параметров алгоритма и начальных условий, соответствующих состоянию системы на цикле с периодом, заведомо большим требуемой длины непериодического сегмента ПСП. На основе этого подхода разработаны дискретные алгоритмы с запаздыванием, относящиеся к классу алгоритмов с хаотической динамикой. Эти алгоритмы имеют различную структурную сложность и отличаются числом степеней свободы, обратных связей и величиной параметра запаздывания. При проведении численного эксперимента показано, в частности, что получение большой длины непериодического сегмента последовательности можно обеспечить путем увеличения метрической размерности ФП.

В общем виде формула дискретного хаотического алгоритма с запаздыванием имеет вид Хк = F(Xk^,Xi_z,...,Xi_N',{aj}), где F - некоторая, в общем случае нелинейная функция своего аргумента, N - параметр обратной связи, {a} - набор параметров, а областью определения алгоритма является конечный замкнутый целочисленный интервал [1, M]. Вводится функция, реализующая операцию возврата генерируемого числа в область определения, если на очередном шаге вычислений число Xk вышло за пределы интервала [1, M]. Проанализировано семейство алгоритмов, различающихся функциональной связью отображения Xk=F(Xk_l,Xk_2,...,Xk-Nz,{*J}) и способом преобразования целочисленного интервала [1, М]. На основе компьютерного анализа показано, что статистические характеристики ПСП непосредственно сказываются на кодирующих свойствах вырезаемых из них сегментов при использовании последних для кодирования информации в системах связи. Поскольку, как показали численные исследования, хаотические последовательности по своим статистическим и корреляционным свойствам практически не отличаются от чисто случайного процесса статистически независимых равновероятных событий, следует ожидать, что их характеристики близки к характеристикам случайных последовательностей [5].

Дискретные кодирующие алгоритмы с хаотической динамикой имеют следующие особенности: - дискретный хаотический алгоритм с запаздыванием Xk является генератором случайных целых чисел, его запуск задается ключом из определенного начального набора нескольких (N) целых чисел; - при использовании хаотических алгоритмов в кодерах и декодерах систем связи для запуска генератора ПСП в любой момент времени и на любом терминальном устройстве необходимо знание аналитического выражения алгоритма и задание начальных условий - ключа из N начальных целых чисел из области определения алгорит-

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

КИСЛОВ В.Я.1 , КОЛЕСОВ В.В., БЕЛЯЕВ Р.В.

27

ма. При этом параметр запаздывания N определяет размерность вектора состояния в ФП. Важнейшей особенностью дискретных хаотических кодирующих алгоритмов является строгая воспроизводимость генерируемых чисел на любом интервале времени при повторении начальных условий. Алгоритмы с запаздыванием обладают многомерным фазовым пространством, при этом увеличение размерности этого пространства ведет, как правило, к повышению степени стохастизации процессов и, как следствие, к улучшению статистических свойств формируемых ПСП. Дискретные алгоритмы с запаздыванием формируют многоуровневые ПСП с большим алфавитом, применение которых перспективно для повышения помехоустойчивости при кодировании информации в цифровых широкополосных системах связи. Формируемая дискретным алгоритмом ПСП всегда имеет период, но он может быть сделан сколь угодно большим при изменении параметров алгоритма и начальных условий.

Установлено, что при ряде конкретных значений параметров, аналогично тому, как это имеет место для аналоговых систем или при моделировании на ЭВМ с большой разрядностью, у дискретных алгоритмов имеются области относительно коротких периодических движений (циклов) системы. Эти области вследствие однозначности преобразований не пересекаются друг с другом и не имеют общих точек, занимая свою часть фазового пространства. В значительной мере это определяется механизмами используемого отображения и перемешивания.

Среди циклов наблюдаются такие, у которых поведение до замыкания цикла имеет хаотический характер, а порождаемая при этом алгоритмом непериодическая последовательность является по своим характеристикам псевдослучайной. Наряду с ними могут быть циклы с периодическим характером динамики, то есть регулярные циклы. ФП дискретного хаотического алгоритма состоит из конечного числа циклов, поведение системы на которых является псевдослучайным, а сами циклы псевдослучайными (ПСЦ).

Существует возможность формирования ансамблей кодовых сигналов с большим объемом на основе дискретных хаотических алгоритмов, что очень важно при использовании в многопользовательских системах с кодовым разделением абонентов (например, это позволяет увеличить размер рабочей соты для сотовых телекоммуникационных систем). Разработанные дискретные хаотические алгоритмы могут быть реализованы как программным (в любой операционной среде), так и аппаратным способом на стандартной цифровой схемотехнике, обеспечивающей необходимое быстродействие. Поскольку хаотические алгоритмы могут формировать непериодические слу-

чайные последовательности практически любой длины с распределением вероятностей, близким к равномерному, с хорошими корреляционными свойствами своих сегментов, основное применение они могут найти в системах связи именно для потокового кодирования одним большим сегментом всего информационного сообщения. Это обеспечивает максимально возможную степень защиты от несанкционированного доступа, связанную с простым перебором всех битов в информационном блоке.

Численными расчетами показано, что статистические свойства ПСП, генерируемых разработанными хаотическими алгоритмами с запаздыванием, улучшаются при увеличении метрической размерности алгоритмов. Так уже при размерности (количестве компонент в векторе начальных условий) в 5-6 статистика реализаций не отличалась практически от эталонной статистики случайного процесса. Однако при генерации целочисленных последовательностей алгоритмами такой размерности период ещё не соответствует длинам кодов, используемых при потоковом методе кодирования конфиденциальной информации. Требуемый период получался при размерности хаотического алгоритма 12 и более. На модельных экспериментах установлено, что с ростом запаздывания равномерность распределений вероятностей генерируемых алгоритмами символов быстро улучшается, приближаясь к характеристикам истинно случайного процесса.

Характерной особенностью хаотического алгоритма, описывающего динамику системы с запаздыванием, является такое его свойство, что для однозначного определения всей последующей «траектории» системы на любом шаге счета необходимо задание всех значений на интервале запаздывания (N). Отсюда следует, что если в формируемой последовательности полностью совпадают два неперекрывающихся участка (сегмента) ее длины (N), отстоящие на интервале L шагов алгоритма, то такая последовательность будет иметь период T=L.

Установлена эмпирическая зависимость величины максимального периода от величины параметра запаздывания алгоритма N. Эта зависимость была установлена для N < 5 и имеет вид: Т =M'0’64SNz\ Она показывает, что при соответ-

max -I

ствующем увеличении размерности алгоритма Nz можно получить непериодический сегмент псевдослучайной последовательности любой заданной длины, даже работая с ограниченным набором целых чисел в области определения алгоритма. Можно ожидать, что при увеличении запаздывания N вероятность появления периода в формируемой алгоритмом последовательности может быть сделана очень малой.

28

ПРИМЕНЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

СТРУКТУРНАЯ И ФРАКТАЛЬНАЯ СЛОЖНОСТЬ ХАОТИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ Для эффективной реализации хаотических сигналов и применения их в качестве информационного носителя в информационных технологиях нового поколения представляется практически важным разработка методов оценки структурной сложности и фрактальной размерности формируемых хаотических последовательностей. С этой целью анализировались псевдослучайные последовательности целых чисел {xn}, формируемые простейшими алгоритмами с запаздыванием, исполь-

зующими обобщенное отображение Фибоначчи и его модификации [8]:

Алгоритм Ф-1 (1)

Алгоритм Ф-2 К = Хп-1 + Р "~Ш Xn-Nz (2)

Алгоритм Ф-3 (3)

где N и K - параметры алгоритмов, 2 < K < (Nz-1). Из (1) и (2) видно, что знак перед запаздывающим членом в Ф-1, Ф-2 изменяется не случайным независимым образом, а определяется внутренней динамикой системы. Параметр обратной связи N определяет размерность ФП алгоритма и размерность радиус-вектора Rn(xn-1, xn-2, ..., xnNz) состояния дискретной ДС на каждом шаге.

ФП отображения Фибоначчи размерности N не ограничено. Для практического применения алгоритмов ПСП в РС и формирования модулирующих цифровых сигналов конечной разрядности необходимо задать область определения алгоритма на конечном множестве чисел замкнутого интервала натурального ряда [1, М], где M>1. Для этого отображения (1...3) должны быть дополнены операцией преобразования числового интервала [1, М] самого в себя, например, следующего вида:

хп = хп , если хп е [1, М\

хп= хп— М, если хп> М хп= хп+ М, если х„< 1

Это преобразование, соответствующее свертыванию отрезка [1, М] в кольцо, играет важную роль в механизме хаотического поведения данных динамических систем. Эта операция ограничивает объем ФП, делая его конечным, равным V]=MNz точек состояний, и обеспечивает дополнительное перемешивание траекторий в ФП. Одного преобразования числового интервала самого в себя недостаточно для эффективного перемешивания траекторий в ФП. Определенный механизм хаоти-зации должен уже содержаться в функции отображения. В данном случае это обеспечивается свойствами отображения Фибоначчи. Эти два условия

- ограниченность объема ФП и наличие мощного механизма перемешивания - являются необходимыми условиями хаотического поведения любой динамической системы.

В качестве альтернативы также рассматривался алгоритм Ф-4 на основе отображения Фибоначчи (3), но с другой операцией преобразования числового интервала [1, М] самого в себя - типа отражающей границы:

х„= х„, если л?яе[1 ,М]

х = М, если х = 2- М

хп = 2■ М— хп, если М < х„ < 2- М

В зависимости от выбора начальных условий радиус-вектор Rn описывает в ФП алгоритма траекторию, представляющую собой последовательные дискретные переходы из одной точки состояния ДС в другую по случайному закону. Эти «траектории» движения дискретной ДС в ФП из-за ограниченности объема ФП образуют замкнутые циклы, которые, вследствие однозначности преобразований, не пересекаются и не имеют общих точек. Кроме того, в ФП могут существовать бассейны циклов и изолированные точки.

Циклы алгоритмов Ф-1, Ф-2, Ф-3, Ф-4 имеют важную отличительную особенность: поведение ДС до замыкания цикла (равным образом и на траектории бассейна, если он существует) имеет хаотический характер, а порождаемая при этом алгоритмом непериодическая последовательность

- псевдослучайного типа. ПСЦ соответствует нерегулярное движение в ФП, а регулярному циклу

- регулярное. Конечно, и в том и другом случае поведение ДС на цикле полностью детерминировано. Траектория ПСЦ представляет собой детерминированное множество хаотически следующих одна за другой точек состояний дискретной ДС во всем объеме ФП алгоритма. Аналогом ПСЦ дискретной системы является странный аттрактор непрерывной ДС.

Численным моделированием установлено, что в зависимости от значений параметров Nz > 3, Kz и М в ФП алгоритмов Ф-1, Ф-2, Ф-3 существует целый ряд циклов различного периода. При этом каждому длинному (N ~ V] циклу до его замыкания соответствует непериодическая ПСП с практически равномерным распределением генерируемых чисел в заданном интервале области определения p(x) = 1/M и с равномерными распределениями условных вероятностей. Для прикладных применений важны процессы формирования ПСП только до замыкания циклов, т.е. непериодические сегменты. Такие сегменты при соответствующем выборе параметров алгоритма и начальных условий могут быть любой (сколь угодно большой) длины. В настоящее время длинные

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

КИСЛОВ В.Я. I, КОЛЕСОВ В.В., БЕЛЯЕВ Р.В.

29

и сверхдлинные кодирующие последовательности используются для обеспечения работы сложных навигационных комплексов типа NAVSTAR и ГЛОНАСС.

Для сопоставления в качестве примера ПСП с неравномерной функцией распределения вероятностей генерируемых чисел исследовался алгоритм Ф-4. Показано, что для ПСП, формируемой алгоритмом Ф-4, плотность распределения вероятностей p(x) монотонно спадает к началу интервала области определения [1, M].

Для характеристики фрактальных свойств хаотического множества точек на ПСЦ анализировались геометрическая и корреляционная размерности [6]. Численное моделирование проводилось для малых значений параметров алгоритмов N' = 4, M = 11, длине исследуемой ПСП из N = 500 чисел, что имеет принципиальное значение для оценки мажоритарных свойств ПСЦ. При увеличении размерности алгоритмов характер поведения дискретной ДС существенно усложняется и при этом улучшаются статистические характеристики формируемых ПСП.

Оценку корреляционной размерности D2 исследуемого ПСЦ можно получить на основе вычисления корреляционного интеграла C(l), заданного на множестве расстояний l и определяемого как число пар векторов состояний на цикле в ФП, расстояние между которыми не превышает

l. Соответствующие зависимости logC(l) =f(log(l)) приводятся на рис.1.

Угловые коэффициенты прямолинейного участка этих кривых дают оценку корреляционной размерности D2. Для алгоритма Ф-1 с пара-

Рис. 1. Зависимость log C(l) от log l для алгоритмов Ф-1, Ф-2, Ф-3 и Ф-4.

метрами Nz=4, Kz=2, M=11 корреляционная размерность множества точек на цикле с начальным радиусом-вектором R0 (8, 6, 7, 1) (кривая 1) равна D2=3.3. Полученное значение согласуется с геометрической размерностью D0=4, D2/D0=0.83. Величина последнего отношения может служить характеристикой однородности заполнения точками цикла полного объема ФП. При этом исследованному циклу с начальным вектором R0(8, 6, 7, 1) соответствует непериодическая ПСП длиной N=14030 с распределением генерируемых чисел, близким к равномерному.

Линейный участок кривой 2 на рис.1 для множества точек траектории бассейна и цикла в ФП алгоритма Ф-2 (Nz=4, M=11, R0(1, 1, 1, 1), N=500) имеет несколько меньший наклон, которому соответствует корреляционная размерность около D2=3.0. Кривая 3 на рис. 1 соответствует логарифму корреляционного интеграла для ПСЦ с R0 (1, 6, 6, 7) тестируемого алгоритма Ф-3, N =4, M=11, N=500. Графики 1 и 3 функции logC(l)=f(log(l)) (рис. 1) почти в точности повторяют друг друга и имеют протяженный прямолинейный участок с наклоном D2=3.3, что и позволяет получить количественную оценку однородности заполнения пространства точками состояний ДС на ПСЦ. Отметим, что алгоритмам Ф-1 и Ф-3 соответствуют ПСП с хорошими статистическими и корреляционными свойствами, особенно при запаздывании N > 5.

Для цикла алгоритма Ф-4 с параметрами Nz=4, M=17, длине последовательности N=500, начальный радиус-вектор R0(7,14,6,15), период 7=613, зависимость logC(l)=f(log(l)) (кривая 4, рис. 1) не имеет четко выраженного прямолинейного участка. Это означает, что у корреляционного интеграла существенные отклонения от закона C(l)~l'D и, следовательно, точки данного ПСЦ расположены в ФП неравномерно.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для оценки степени сложности хаотического процесса, формируемого алгоритмом, необходимо определить однородность аттрактора в ФП на всех масштабах дискретного времени. Определение корреляционной размерности аттракторов требует большого объема вычислительных ресурсов, особенно в случае ДС высокой размерности. Поэтому имеет смысл исследовать структур -ные свойства реализации псевдослучайного процесса, являющегося проекцией траектории движения ДС в ФП на одно из направлений в этом пространстве.

Фрактальный анализ может быть применен не только к хаотическому множеству точек в многомерном ФП, но и к одномерному множеству чисел реализации ПСП. Определение по стандартной методике корреляционной размерности, примененное к одномерному (D0=1) хаотическому массиву из N=1000 чисел ПСП, сформирован-

30

ПРИМЕНЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

ному алгоритмами Ф-1, Ф-2, Ф-3, Ф-4 при параметрах N = 16, M=21 дало следующие результаты. Для всех тестируемых алгоритмов значение корреляционной размерности находится в пределах D2, D2/Dg=0.91=0.96, в том числе для генератора случайных чисел программного пакета Maple (M=21). Полученные значения отношения D2/Dg свидетельствует о достаточно хорошей однородности заполнения интервала [1, M] генерируемыми числами. Это подтверждается анализом одномерного распределения вероятностей чисел в последовательности. Но на основе этих данных ничего нельзя сказать о структурной сложности ПСП и, главное, насколько она близка к последовательности независимых случайных событий, что можно рассматривать как эталон хаотического поведения. С этой целью исследовалась локальная структура ПСП на основе анализа фрактальной геометрии.

Случайную последовательность целых чисел можно рассматривать как дискретную топологию сложного геометрического рельефа («береговой линии»). Для оценки геометрической структурной сложности исследовалось изменение расстояния между соседними точками такого рельефа в окне заданного масштаба. Другими словами, на основе данных реализации ПСП длиной N анализировалась алгебраическая последовательность

{yHvxJ}, »=1,2,-,(N-1),y„ е [g, (M-1)].

На основе методики вычисления корреляционного интеграла оценивалось число N(l) наступления одинаковых событий yn= l, l = 0,1,2,..., (M-1) в последовательности из (N-1) членов. Результаты вычисления представлены на графике частоты наступления таких событий p(l)=N(l)/(N-1) в зависимости от l (рис. 2). Расчеты выполнены для ПСП длиной N=50000.

Кривая 1 (рис. 2) соответствует алгоритму Ф-1 с параметрами А = 16, K =9, M=21. Этот график почти в точности повторяет соответствующую теоретическую зависимость для последовательности статистически независимых равновероятных чисел - рЭ(1), которая принимается за эталонную. В качестве последней можно использовать и экспериментально полученные значенияp(l) для ПСП в случае близости их к теоретическим, например, для ПСП, формируемой генератором случайных чисел системы Maple или алгоритмом Ф-1. Суммарный модуль отклонений значений p=p(l), полученных для анализируемого процесса, от эталонных - i = 2 | p. - рЭ. |. Величину А=1/(л+1) можно принять за меру структурной сложности этого процесса {ху}. Кривые 2, 3 и 5, полученные при анализе алгоритмов Ф-2, Ф-3 с той же большой размерностью ФП (N = 16, M=21) и генератора случайных чисел известного программного

пакета Maple c M=21, также мало отличаются от эталонного графика. Кривая 4 соответствует алгоритму Ф-4 c неравномерным распределением генерируемых чисел p(x).

Графики 6, 7, 8 и 9 построены для модифицированных ПСП алгоритма Ф-1 с целью моделирования дискретных процессов с разным видом функции распределения чисел p(x) (среднее значение хср, среднеквадратичное отклонение а, коэффициенты асимметрии у1 и эксцесса у2) и интервала автокорреляции т . Из рисунка видно, что кривые 4, 6, 7, 8 и 9 заметно отличаются от эталонной, что свидетельствует о высокой информативности предложенного метода оценки структурной сложности алгоритмов путем построения графика относительной частоты наблюдения величины разности соседних чисел в реализации ПСПp(l)=f(l). Данный метод не требует больших объемов вычислительных ресурсов по сравнению с методами статистического, корреляционного и фрактального анализа.

В табл. 1 сведены результаты численных экспериментов для всех тестируемых алгоритмов (параметры алгоритмов типа Фибоначчи: N = 16, M=21, длина реализаций N=50000). Из приведенных данных видно, что все три алгоритма Ф-1, Ф-2 и Ф-3 на основе отображения Фибоначчи, так же как и сертифицированный генератор случайных чисел программного пакета Maple, демонстрируют достаточно высокое структурное качество формируемых последовательностей (S«1). Для сравнения в нижних строчках таблицы приводятся характеристики модифицированного алгоритма с измененной функцией распределения генерируемых чиселp(x) и коэффициентом корреляции. Видно, что предложенная методика оценки степени структурной сложности эффективно фиксирует соответствующее изменение статистических свойств ПСП.

Рис. 2. Вероятности разностей чисел l =\xn-xn+1\e реализациях последовательностей.

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

1КИСЛОВ В.Я. I, КОЛЕСОВ В.В., БЕЛЯЕВ Р.В.

31

Таблица 1. Статистические характеристики последовательностей, формируемых алгоритмами

Кривые Алгоритм p(x) тестируемой ПСП т^ Отличиеp(l)=f (l) от эталона

рис. 2 x а Y1 Y2 s S

1 Ф-1 10,9 6,07 1,08x10 -2 -1,21 1 1,13x10 -2 0,99

2 Ф-2 11,0 6,07 1,85x10 -2 -1,25 1 1,13x10 -2 0,99

3 Ф-3 11,0 6,05 -1,97x10 -3 -1,20 1 1,18x10 -2 0,98

4 Ф-4 8,29 5,04 -1,21 -0,40 1 0,22 0,82

5 Maple 11,0 6,06 1,0x10 -3 -1,20 1 1,13x10 -2 0,99

6 модифицированный Ф-1 11,0 5,55 8,79x10 -2 -1,21 2 0,17 0,85

7 модифицированный Ф-1 11,0 6,81 -1,02x10 -2 -1,43 1 0,19 0,84

8 модифицированный Ф-1 7,32 5,85 0,86 -0,43 - 0,23 0,81

9 модифицированный Ф-1 11,1 5,26 -2,14x10 -2 -0,88 10 0,66 0,60

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, на основе нелинейных систем с хаотической динамикой разработаны и исследованы псевдослучайные дискретные сигналы, имеющие повышенную структурную сложность. Сложные сигналы такого типа обладают высокой информационной емкостью и могут эффективно использоваться для кодирования, обработки, передачи и хранении информации в современных цифровых информационных технологиях, которые в настоящее время начинают применяться в широкополосных и в сверхширокополосных телекоммуникационных системах, а также в радиолокации и навигации [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Беляев Р.В., Воронцов Г.М., Колесов В.В. Случайные последовательности, формируемые нелинейным алгоритмом с запаздыванием // Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, № 12, с. 954-960.

2. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. - М.: Радио и связь, 1985, с. 384.

3. Гуляев Ю.В., Кислов В.Я., Кислов В.В., Калинин В.И., Колесов В.В., Беляев Р.В., Воронцов Г.М. Широкополосные телекоммуникационные средства с кодовым разделением каналов на основе хаотических сигналов // Радиотехника, 2002, № 10, с. 3-15.

4. Кислов В.Я. Динамический хаос и его использование в радиоэлектронике для генерирования, приема и обработки колебаний и информации // Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, № 10, с. 1783-1815.

5. Колесов В.В., Беляев Р.В., Воронцов Г.М.

Цифровой генератор случайных чисел на основе ал-

горитма хаотического сигнала // Радиотехника и электроника, 2001. Т. 46, № 11, с. 1361-1367.

6. Kolesov V.V., Potapov A.A. The Information Technologies on Dynamic Chaos for Telecommunication, Radar and Navigation Systems // Electromagnetic Phenomena, 2005, v. 5, № 2(15), p. 89-104.

7. Шустер Г. Детерминированный хаос. - М.: Мир, 1988, с. 240.

8. Hayes Brian. Vibonacci Numbers // American Scientist: Computing Science, 1999, v. 87, № 4. p. 296-301.

Кислов Владимир Яковлевич,

действительный член РАЕН, зав. отделом ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

Колесов Владимир Владимирович,

действительный член РАЕН, к.ф.-м.н, с.н.с. ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН,

125009 г. Москва, ул. Моховая, д. 11, корп. 7, тел.: (495)629-3368, [email protected]

Беляев Ростислав Владимирович, член-корреспондент РАЕН, к.ф.-м.н., с.н.с. ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, e-mail: [email protected]

32

ПРИМЕНЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

APPLICATION OF CHAOTIC SIGNALS IN INFORMATION TECHNOLOGIES

Kislov V.Ya.

Kolesov V.V., Belyaev R.V.

Kotel’nikov Institute of Radio Engineering and Electronics of RAS, 125009 Moscow

There were developed and investigated on the basis of nonlinear systems with dynamical chaos discrete algorithms forming digital discrete chaotic signals with high information capacity. There were fulfilled an analysis of structural and fractal complexity of noise-like integer sequences. It was shown that the developed algorithms can effectively used in variety information technologies including telecommunication and also in radar and navigation.

APPLICATION OF CHAOTIC SIGNALS IN INFORMATION TECHNOLOGIES

Текст научной работы на тему «Применение хаотических сигналов в информационных технологиях»