Метод параметризации в задачах оптимального восстановления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УСИЛЕНИЕ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ КЛАРКА И СМИРНОВА

© А.А. Милютин (Москва)

Результаты Кларка и Смирнова существенно усиливаются в неавтономном случае. Мы опираемся при этом не на негладкий анализ, а на теорию принципа максимума для задач с регулярными смешанными ограничениями, принадлежащую А.Я. Дубовицкому и А.А. Милютину. Это новый момент в теории задач для выпуклозначных дифференциальных включений. Выясняется, что в этой теории до сих пор не получен результат, который занимал бы то же место, что и принцип максимума в теории оптимального управления. Полученные нами необходимые условия представляют собой серию условий, параметром которых является некая произвольная последовательность.

МЕТОД ПАРАМЕТРИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО

ВОССТАНОВЛЕНИЯ

© К.Ю. Осипенко (Москва)

Изучается задача построения оптимальных методов восстановления линейных функционалов. Предложен метод, основанный на параметризации экстремальной функции двойственной задачи, с помощью которого удается построить ряд новых оптимальных методов в пространствах Харди-Соболева. В частности, решена задача о построении оптимального метода восстановления функции из пространства Харди-Соболева, использующего информацию о значениях коэффициентов Фурье.

Приведем один из полученных результатов. Обозначим через Яоо,/? множество 27г-периодичес-ких функций, аналитически продолжаемых в полосу Sg := {z € € : |Imz| < /3}, удовлетворяющих в ней условию \f(z)\ < 1. Положим

//= (ao(/W/),M/), ••.,«„-,(/), &„-,(/)),

где a,j(f), bj(f) - коэффициенты Фурье функции /. Метод Sq назовем оптимальным методом восстановления значения /(£)» £ € Т := [0,27т), если

inf sup |/(0 - S(If)\ = sup \f(0-So{If)\.

S:Cn—>C fSHoO'0

Обозначим через К и К1 - полные эллиптические интегралы первого рода для модулей к и к' := у/1 — к2, соответственно, где к выбрано из условия К'/К = 2/3/тг. Положим

ctn(z,k) := «”(«■*> „(,) := sn (2»А, Л ctn (,

SIl(2, к) \ 7Г ) \ 7Г /

где Л - полный эллиптический интеграл первого рода для модуля Л, определяемого условием Л/Л' = 2пК'/К, а Бп(г,к), сп(г,к), (\п(г,к) - эллиптические функции Якоби.

Теорема 2. При всех £ € Т метод

до « ^созх+мл ем#)»

>=1

где

2 ^ / ш+| 2т — 1 _. .2т — 1

dj =--т г У'(-1)т+1сШ—---КСОБ7—----7Г, 2 = 0,...,п-1,

' паДсг) " 2п 2п

•»' 7 т=1

является оптимальным на классе Н^^д-

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 99-01-01181 и № 00-15-96109)

ON THE OPTIMAL CONTROL OF IMPULSIVE DIFFERENTIAL INCLUSIONS © F.L. Pereira (Portugal), G.N. Silva (Brasil)

Dynamic optimization problems arising in a variety of application areas such as finance, mechanics, resources management, and space navigation, whose solutions might involve discontinuous trajectories have been, over the years, motivating a significant research effort in this class of problems.

In this article, we address the class of impulsive control problems for which the dynamics are defined by a differential inclusion with a vector valued control measure under the weakest assumptions known to date. In particular, we do not require the vector fields associated with the singular term of the dynamics to satisfy the so-called Frobenius condition. We will state the optimal control problem as follows:

(P) Minimize /i(a:(0),x(l)) (1)

subject to dx(t) € F(t,x(t))dt + G(t,x(t))fi(dt) t £ [0,1] (2)

(x(0),a;(l)) € C

lie K. (3)

Here, h : JRn x ]Rn -* 1R is the cost functional. F : [0,1] x lRn V{JRn), and G : [0,1] x IR" <—> V(lRnxq) are given set-valued functions, C is a closed set in JRn x IRn, K is a positive convex pointed cone in 1RQ.

By /i e K it is meant that p € C7*([0,1]; K), i.e., i-i{A) € K for any Borel set A C [0,1]. C*([0,1]; K), denotes the set in the dual space of continuous functions from [0,1] to lRq with values in K.

In this new context, we introduce a concept of proper solution which, besides providing a meaning to the dynamic optimization problem, is also endowed with a robustness property allowing to derive necessary conditions of optimality. More specifically, a trajectory x € BV+([0,1]; lRn) is a proper solution to (2) relative to the objective functional (1) if, for all t £ (0,1],

x(t) = x(0) + /o f(r)dr + /(M g(r)fi{dT)