Метод осреднения в моделях теплоснабжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.862.8

МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ В МОДЕЛЯХ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ О 2004 г. С.В. Жак, В.И. Сидельников, С.Ю. Мирская

The main principles of heat supply systems mathematical models introduced are the following - from the mathematical models of basic elements to mathematical models of heat supply systems, usage of average temperature values on basic elements exits in heat supply systems calculations, local modeling in the frames of basic elements of heat supply systems on real heat carrier temperature value changes.

Важность и актуальность математического моделирования систем теплового снабжения (СТС) не подвергается сомнению по следующим основаниям: математическая модель СТС в целом позволяет анализировать влияние технических и технологических мероприятий на эффективность функционирования СТС; несмотря на пропагандируемую рядом авторов целесообразность перехода на теплоснабжение от автономных источников централизованные СТС сохраняют и впредь будут сохранять актуальность, поскольку переход на автономные СТС сдерживается целым рядом организационно-экономических и технологических факторов; при наличии централизованных источников и в условиях резкого увеличения стоимости отпускаемой для промышленных предприятий и крупных непромышленных потребителей тепловой энергии становится актуальной задача поэтапного перехода на генерирование тепловой энергии от собственных (автономных) источников, что требует экономического обоснования с использованием соответствующих математических моделей комбинированного типа.

Отмеченная актуальность математического моделирования СТС ставит на повестку дня вопрос о выработке методологического подхода к математическому моделированию указанных систем, в том числе и сложных систем с разветвленной конфигурацией и различными типами источников тепловой энергии.

Общеизвестным является один из основных принципов построения математических моделей: чем сложнее моделируемая система, тем выше степень агрегирования анализируемой первичной информации. Иными словами, возрастающая сложность анализируемой системы входит в противоречие со степенью детализации ее первичных параметров.

Одним из важных при моделировании СТС является вопрос о выборе параметров режима, используемых в математическом моделировании. Ответу на данный вопрос в значительной мере посвящена данная статья.

СТС в простейшем случае (нет разветвлений, но присутствуют все возможные ее элементы) может быть представлена в виде следующей кольцевой схемы (рис. 1).

Рис. 1. Простейший случай теплоснабжения здания

На рис. 1 приведены следующие элементы СТС: 1 - источник тепловой энергии; 2 - теплотрасса прямой подачи; 3 - отопительный прибор; 4 - теплотрасса обратной подачи; 5 - обогреваемое помещение. Каждый элемент системы может быть описан температурой - функцией четырех аргументов: ир, х, у, 2). / = 1, ..., 5 и скоростями перемещения теплоносителя В системе У/(1., X,

V, 2),у= 1, ...А.

При всяком математическом моделировании необходимо ответить на вопросы: чем мы управляем? как мы можем управлять? зачем мы управляем (цели управления, функционирования системы)?

Ответ на первый вопрос очевиден: расход первичного энергоносителя в источнике К/ (кг/с, м /с, кВт-ч) и скорость циркулирования теплоносителя в системе \’;(м/с) или объемный расход і’/;(\г7с). Разумеется, управляемыми параметрами являются и некоторые экзогенные характеристики (толщина и площадь поверхности теплоизоляции каждого элемента, ее теплотехнические характеристики), но на этапе построения модели естественно считать их заданными, постоянными, как и характеристики среды /' = 1, ..., 4, размеры элементов, нормативные требования к тепловым режимам: н . < и / < и ,.

Варьирование ими возможно в процессе анализа реальных СТС с использованием построенных моделей.

Ответ на третий вопрос также несложен: минимум затрат (расход топлива, стоимость функционирования системы, суммарных затрат на улучшение ее технико-экономических показателей и т.д.).

Наиболее сложен ответ на второй вопрос. Можно отметить два «крайних» подхода к его решению: нормативное задание режимов функционирования каждого из элементов (основанных на статистических данных, опыте эксплуатации СТС), представленных в СНиП 2.04.05-91* в виде таблиц и упрощенных формул; общее описание тепловых полей каждого элемента, основанное на уравнении переноса тепла в несжимаемой жидкости [1]:

■+У,уи, =кд и, +-

5/ 1 1 1 2с,

(1)

-р

Очевидны недостатки каждого из подходов, делающие их непригодными для практического применения в поставленных задачах. Нормативный подход более или менее обоснован для систем с конкретными, фиксированными параметрами, и перенос рекомендаций на системы с их измененными значениями не только ведет к невозможности выбора оптимальных вариантов, но и не гарантирует обеспечения допустимых границ Ц-.

Анализ тепловых полей для реальных объектов представляет собой крайне сложную задачу и, требуя значительных усилий, выдает больше информации, чем требуется для практики (например, распределение температурного поля в помещении, элемент 5), не обеспечивая при этом необходимой точности (что характерно для применения разностных методов).

Напрашивается «промежуточный» подход, учитывающий специфику задачи и приводящий к более простым математическим моделям.

Во-первых, в рамках рассматриваемых моделей можно считать скорость циркуляции теплоносителя в каяедом элементе постоянной и одномерной:

Vj = соп,^,_/ = 1, ..., 4. (2)

Во-вторых, целесообразно описывать каждый элемент не функцией четырех аргументов (',(1, х, у, г), а ее средним (по объему элемента) значением. Данный подход сокращает число аргументов в два раза.

Рассмотрим четыре элемента, описывающие движение теплоносителя в СТС. Каждый описывается функцией двух параметров 1.(1,х). Тогда уравнение (1) с учетом (2) запишется в виде [2]:

(ди,- диА

РСг

:<Цу(*УС/у), (3)

I Ч д(диА д2и где Шу(уг )= —

дх

1

дх

дх'

Значения параметров в (1) для соответствующих сред: р- плотность вещества, кг/м3; ср - удельная теплоемкость вещества, Дж/(кг-°С). В уравнении (1) член, содержащий вязкость, при свободной конвекции всегда мал по сравнению с другими членами уравнения и поэтому может быть опущен, т.е.

V

2с,

(

дл>, дУи

дх,■

кдхк

= 0.

Размерность величин, рассчитываемых по (3), - Вт/м , а их физический смысл - мощность тепловой энергии в единице объема. Для перехода к дифференциальным уравнениям, описывающим средние значения температур в элементах СТС, перейдем к цилиндрическим координатам и проинтегрируем (3) по объему. Дляу-го элемента системы получим:

Р°г

(ЬК2л --- И \и :ГСІХСІГСІ(р

& 40 о о

ЬЯ2л( ди ■

І гсіхсігсіср

ЬК2л

=*ш

ООО

Гд211,-

дх2

-ГСІХСІГСІф

(4)

Считая температуру линейно зависящей от продольной координаты х, по-

ди и и,I)-и и,о)

лучим: —— = —-— -------- —1 и

д2и

дх

дх2

■ = 0.

Тогда уравнение (4) преобразуется к виду:

рс

К,

ёТ, ди,

ТР —- + у,- |——с/У Ж у дх

= 0 .

(5)

Воспользуемся формулой Гаусса - Остроградского [3], и перейдем от интегралов по объему в (4) к интегралам по поверхности:

| дяуас/У = | , (6)

V 5

ди,

где а = V * и =---------

ди,-

а„ =п-

дх дх

В соответствии с (6) преобразуем второе слагаемое в (5) следующим образа/

зом: рс у -1—с1Г = рс у -11!пс18.

V дх * А

На рис. 2 приведена схема элемента системы, на которой видны направления тепловых потоков в нем.

I I \ I

У

Рис. 2. Распределение тепловой энергии в элементе системы

Интеграл по поверхности можно представить в виде: рсру ■ \ипс18 = 1Х + /2 + /3, где /ь /2 и/з соответственно интегралы по поверх-

5

ностям от теплового потока, подаваемого в элемент системы, теряемого им через ограждающую поверхность и отдаваемого в следующий элемент. Выпишем данные интегралы дляу'-го элемента системы:

/з = Рср',]П\ 1 и}гс1гё<р = рсру]лК2Т] = -рс^т].

о о

Отметим, что в (7) 7} является осредненным значением температуры теплоносителя /-го элемента. Отождествляя 7} пока со значениями на выходе, получим уравнение для /-го элемента системы:

Уточнение уравнений с учетом различия «средних» и «выходных» значений не меняет структуры системы, но несколько усложняет ее. Адекватность построенной модели изучаемому процессу подтверждается сравнением численного решения ОДУ с экспериментальными данными для простейших конкретных систем.

Выводы: разработаны основные методологические подходы к математическому моделированию систем автономного и централизованного теплоснабжения; сформулированы принципы математического моделирования СТС, которые сводятся к следующим тезисам - от математических моделей базовых элементов к математическим моделям СТС; использование при расчетах СТС средних значений температур на выходах базовых элементов.

А =Рср^]П\ \и]гёгё<р = -рсру]ттК2Т]_1 = рсру(Т]_1,

О о

^2 2л-

Литература

1. Ландау Э., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М., 1953.

2. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., 1951.

3. БудакБ.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М., 1967.

Ростовский государственный университет,

Ростовский государственный педагогический университет 17мая 2004 г.