CC BY
14
УДК 519.862.8
ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ
© 2004 г. В.И. Сидельников
The notion of heat supply systems mathematical models equivalenting is given. The order of equivalenting of mathematical models of main areas heat supply systems in radial is defined. The order of equivalenting of radial areas of heat supply systems in their larder groups, allowing to reduce the dimensions of corresponding mathematical models is defined.
Методика эквивалентирования математических моделей систем теплоснабжения. Анализ сложных систем теплового снабжения (СТС) с помощью систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разработанных в [1, 2], является универсальным для получения большого объема информации о стационарных и переходных режимах их работы. Однако численная реализация моделей данных СТС встречает определенные вычислительные трудности, которые быстро возрастают с увеличением размерности решаемых задач.
В данной статье разрабатывается методика эквивалентирования различных подсистем СТС их аналогами, эквивалентными по потерям тепловой энергии и по тепловым нагрузкам как в отдельных подсистемах, так и в СТС в целом. Ее основы заложены в [3, 4] для эквивалентирования электроэнергетических систем. Суть предлагаемого подхода сводится к следующему. В зависимости от конфигурации тепловой сети подход к ее эквивалентирова-нию осуществляется по трем общим правилам: магистральные участки СТС на первом этапе эквивалентируются в радиальные; радиальные на втором этапе - укрупненные группы потребителей тепловой энергии, получающие тепловую энергию по эквивалентным радиальным сетям; однотипные автономные источники тепловой энергии эквивалентируются в укрупненные (групповые) источники.
Эквивалентирование математических моделей магистральных участков СТС. Рассмотрим принципы эквивалентирования математических моделей магистральных участков схем СТС. На рис. 1а приведена магистральная схема теплоснабжения двух потребителей тепловой энергии, которая эк-вивалентируется в радиальную схему рис. 16. Эквивалентированию подлежит магистральный участок сети, который характеризуется следующими обобщенными параметрами: температурой теплоносителя Та, объемом магистрального участка теплотрассы I расходом теплоносителя I У, и коэффициентом тепловых потерь данного участка теплотрассы A.TiSTil8п.
Определим условия расчета параметров эквивалентных участков теплотрасс, представленных на рис. 16. Ясно, что температура теплоносителя в эквивалентных участках остается неизменной и равной Тп.
Рис. 1. Принцип эквивалентирования магистрального участка тепловой сети в радиальные
Расходы теплоносителя также однозначно определяются их величинами в нагрузках (Уа и I соответственно). Коэффициенты тепловых потерь (теплоотдачи) эквивалентных (магистральных, преобразованных в радиальные) участков Лт£п /&п и объемы теплотрасс Утра и Утра должны отвечать следующим условиям:
&т£п1$п = Л-га^га + -^та^та/^та, УтРг = Утри + Утра,
Лтй^тй 1&гп = (Уа / (Уа + Уа)) Ат£п/&п,
■^та^та/^та = (Уа / (Уи2 + Уа)) ^т^п/дл,
Утрп = (Уа / (Уа + УтУ) Утрь Утра = (Ут / (Уа + Уь?У) Утрь Отметим, что эквивалентная радиальная схема (рис. 16) в силу определенных выше правил ее эквивалентирования близка с исходной магистральной схемой как по потерям тепловой энергии, так и по времени протекания переходных процессов.
Рассмотренный выше порядок эквивалентирования одного магистрального участка тепловой сети в два радиальных легко обобщается на случай эквивалентирования тепловой сети, содержащей, в общем случае, п магистральных участков. Эквивалентирование магистральной сети в данном случае начинается с последнего и-го участка. При переходе к (п - 1)-му участку последний
эквивалентируется в 3 радиальных. Коэффициенты тепловых потерь эквива-
лентных участков и объемы теплотрасс I 'л-\- Утр2 и Утръ должны отвечать следующим условиям:
/&п = Атй$тй /¿¥д + ^та$та /&та + ^тв$тв /<%тз>
Утpi = Утрп + Утра + Утра,
ЯцБц 18л = (¥а /уа + + КЙЗ))2Д /4
= Унг КУт + Ут + Vиз /¿в = Уаз ¡Уих + Ут + Кй3))1Д/4
Утрп = Уа/Ут + ^2 + ^з))Ут,
УтРг2 = Ут/Уш + Ут + У03 )УтРь
Утрв = Ут/Уа + Ут + Уаз )Жтрл
Указанный порядок эквивалентирования магистральной сети в радиальную завершается эквивалентированием я-го магистрального участка.
Эквивалентирование математических моделей радиальных участков тепловых сетей. Рассмотрим порядок и условия эквивалентирования математических моделей радиальных схем СТС. На рис. 2а приведена радиальная схема СТС с N нагрузками, которая эквивалентируется в схему рис. 26. Предлагаемый подход к эквивалентированию радиальных участков тепловых сетей позволит снизить размерность решаемых задач, и, при определенной последовательности эквивалентирования, анализировать режимы работы исходных СТС практически любой реально возможной размерности.
Задача эквивалентирования математических моделей радиальных СТС существенно сложнее и более многопланова по сравнению с магистральными, поскольку включает в себя эквивалентирование следующих подсистем: тепловых сетей; отопительных приборов; потребителей тепловой энергии; источников тепловой энергии.
Рис. 2. Принцип эквивалентирования радиальных участков тепловой сети
Рассмотрим методику эквивалентирования радиальных элементов СТС в указанной выше последовательности. Уравнения тепловых балансов для двух теплотрасс имеют вид:
р\РР-Утр\КГт\ ~ РтРруУйТкЫ — РтРруУйТт\Ы — (Тп -Т^А^'пБ'п /5п,
РуСруУтр2АТТ2 = руСруУаТкА1 — руСруУаТ12А1— (Т^ -ТС)А1АТ28Т2/3Т2. (1)
Сложим оба уравнения в (1):
Русру(Утр\АТп + УТр2АТТ2) = руРр^Ул + Уа)ТкА1 —
— рчРр-кУ&Тт\ + УаГтдЫ— /<%1)(7п ~Т^)А1—{Я.Т28Т218Т2){ТТ2 -ТС)А1. (2)
Очевидно, что уравнение теплового баланса для эквивалентной теплотрассы запишется в виде:
русруУтрЭАТтэ = руСрУуеэТкА1 — руСруу1ЭТтэА1 — (Ттэ —Тс) А/ , (3)
где Утрэ = Утл + У-РР2, у1Э = Уд + Уд, 1 /Ялэ = 11^л\ + УК-Х1•
При переходе от (2) к (3) погрешности в расчеты будут вносить слагаемые:
РуРр4Утр\АТт\ + Утр^АТт^) к р^рУтрзАТтз,
Р^руЬ’цТп + ЛРуСруУ0Ттэ,
Т-пХ^тх /Лл “Ь 'Г'1'2/^'1'2^'1'2 /И 7 '/■;/¡.
В общем случае, при эквивалентировании и радиальных теплотрасс, их эквивалентные параметры можно рассчитывать по формулам:
^ГРЭ = = 2>й , 1/^1Э = 21 /^Лг ■
2=1 2=1 2=1
Причина погрешностей в расчетах по эквивалентным формулам заключается в том, что температуры теплоносителей 7 у| и ГГТ2 в разных радиусах отличаются друг от друга. При равенстве Тп и эквивалентная формула (3) и исходные формулы (1) давали бы один и тот же результат, а 7Л = Т12 = Ттэ. Различие Тп и Т12 объясняется следующими причинами: различными объемами теплотрасс 177-1 и I 'Т!-< различными расходами теплоносителя в теплотрассах уя и уе; различными коэффициентами 11IIл и 1 /КЛ2 удельной теплоотдачи поверхностей теплотрасс.
Эквивалентирование математических моделей отопительных приборов. Рассмотрим уравнения тепловых балансов для двух независимых отопительных приборов:
\руСрУр\^р\ = РуС ~ РуСруУпТр\А1 - (.Яр 2^2 / др 2 ^Гр\ - А/,
\руСрУр2^р2 = РуСруУа^Т2^ ~ РуСруУ^р2^ ~ {^р2$р2 I ^р2 )(^р2 _ Т^А1. Сложив уравнения в (4), получим:
РуСрг)Ур\^р\ +Ур2^Тр2)= Русру(УпТт\ +У12^Т2)^ ~
~ РуС ру^Ур\ + р\^р\3 р\ ! &р\ +Тр2^р2^ р2 /^2^+ (^)
+ ^р\^р\3 р\ / ¿>р\ + Т2Ар28 р2 I
или в эквивалентной форме:
РуСруУрэАТрЭ = руСРуУаТтэА1 — руСруУ^Трэ А/ — ТрЭА11Кхрэ + ТэА^КхРэ, (6)
где УрЭАТрэ = ¥р\АТр1 + Ур2АТр2; УаТтэ = УйТп + \>аТті,
VоТрэ = УцТрі + УаТр2, ТРЭИ1хэ = Трі^ріБрі !8рі + Тр2Яр28р2/¿>Ръ Тэ/Кярэ = ТіАріБрі !8р\ + Т2Хр28р218р2.
Сравнение выражений (5) и (6) позволяет сделать вывод о том, что погрешность в вычислении потерь мощности по эквивалентной формуле (6) по сравнению с ее точным прообразом (5) возникает из-за различий коэффициентов теплоотдачи отопительных приборов, температур теплоносителей в них и температур воздуха в обогреваемых помещениях. При их совпадении расчеты по формулам (5) и (6) давали бы одинаковые результаты.
Эквивалентные параметры при объединении п отопительных приборов рассчитываются по формулам:
Урэ = ІГр1 , = 2>й , 1/ЯЛрЭ = Ъ/Ялрг ■
г=1 г=1 г=1
Эквивалентирование математических моделей обогреваемых помещений. Рассмотрим уравнения тепловых балансов для двух независимых обогреваемых помещений:
[ т\РугСркУг\^\ = (Лр1Бр1 / 5р1 УГр] - 7] )Л/ - {/^СТІ^СТІ I $СТ\Х^1 - Тс
уП2РугС-руУг2^'2 = р2^ р2 ^р2^ р2 ~ ^2 _ (ЛсТ 2 ^СТ 2 I ^СТ 2 )(^2 ~ТС)^-
Сложив уравнения в (7), получим:
РугсругітУгі^Т1 + т2У22АТ2) = (яр /8р^р{Гр1 + Бр2Тр2)Д/ — -(хрі8р\8ріТї+8р2Т2)аі-
ХСТ2„ _ . _ . _ Ї , (8)
\Т11СТ\^СТ\ ! $СТ\ + с ^СТ2р2^СТ2^СТ2^СТ2
&СТ2
A î +
+ {^СТ1^СТ1 ! &СТ\ + ^СТ2^СТ2 ! &СТ2^с
или в эквивалентной форме:
PvfipvJnsVzsATs = (Трэ - T3)At Шхрэ — {^стэ^стэ /8стэ)(Тэ - Tc)At, (9)
где m3Vz3 = ni\Vz\ + ш2\ 1 IRxps = УК-лр\ + 1/Rzp2, Астэ^стэ !8стэ = ^ст\^ст\1
/дсп + ^СТ2$СТ2/&СТ2-
Сравнение выражений (8) и (9) позволяет сделать вывод о том, что погрешность вычисления потерь мощность по формуле (9) по сравнению с ее точным прообразом, вычисляемым по формуле (8), возникает из-за различия изменений температуры в помещениях АТ{, различия температур отопительных приборов Tpi, различия температур воздуха в обогреваемых помещениях П
При их совпадении расчеты по формулам (8) и (9) давали бы одинаковые результаты. Эквивалентные параметры при объединении п обогреваемых помещений рассчитываются по формулам:
тэКэ ~ 2г , $СТЭ^СТЭ ! &СТЭ ~ 2 *^СТг Ал? I ^СП ■
2=1 2=1
Эквивалентирование математических моделей автономных источников тепловой энергии. Рассмотрим уравнения тепловых балансов для двух независимых источников тепловой энергии:
Русру¥к\АТк\ = + Русру^йТобр\^ + Р&ср&УАТА^ -
~(тг - Т сК\¥^А-к\Зк\ 1$к\ ~ РчС р-^а^кХ^ ~ Р&С р^СгУпХ^’
РчСр-Ук2^к2 = vГ2Qг^^ + РуСруУцТобр!^ + Рр^в!?е2~
~(ТГ ~ТСК2)^^к2^к2^к2 ~ РчСрчУ^к2~ Р&Ср^СГ2^Г22 Сложив уравнения в (10), получим:
РуС ру^к\^Тк\ + ^2А^и)=(УГ1 + УГ2^Г^ + РуС ру^й^обр! + У {2?обр2^р* +
+ Р %С р%¥е\Г е\ + ^в2^ в2 )А? “ (Ан^И !^к\ + ^
“ (ЛгА^С/П I $к\ +42^2^Я2 “
~ РVеру^Уй^кХ + У(2^и)А? “ +^/СГ2^Г22)^!
или в эквивалентной форме:
РчсрУкЭ^кЭ =vГэQг^■t + Русруу1эТобрЭ^ + Р&ср&^юТвЭ^ ~
- (тг - ТСКЭ )а?1аэ5'кэ / Зкэ - РуС- р&ср!усгэТг2Э А?,
где Укэ^Ткэ = Ук\кТк\ + Ук2&Тк2, У^э = У2\ + У22, Угэ = Уг\ + Уг2, Акэ£кэ/8кэ = = (Яи^и /8\ + /^К2^К2 /<%); ЯКЭ$КЭТСКЭ /§Э= (Ат$К1 Тск\ /8\+ /^ю^юТсЮ. /<%); ТпзУсГЭ = {Тг2\УсП + Тг22УсГ2)', ^0 = + Уа', УезТеЭ = Уе\Те\ + Уе2Те2, УаТкэ =
= У&Тк\ + УаТкъ ^¡эТобрЭ= УаТобру + УйТ^г-
Сравнение вьфажений (11) и (12) позволяет сформулировать причины возникновения погрешностей в результате эквивалентирования источников тепловой энергии. Основные причины возникновения погрешностей - различия в изменениях температур теплоносителей в источниках Д7^,, на выходе из Тю и на входе в источники Тобр1. При их совпадении расчеты по формулам (11) и (12) давали бы одинаковые результаты.
Эквивалентные параметры при объединении п источников тепловой энергии рассчитываются по формулам:
Ук2 =ЦУЫ, у0 = 2>й> угэ = 2>л, кКЭБКЭ /8кэ = 'Е^ю^ю /<%>
2=1 2=1 2=1 2=1
^кэ^кэТскэ I&кэ = Т.АЮ8ЮТСЮ /8ш, ТвЭ¥вЭ = Т,ТвУв1.
!=1 !=1
Выводы: 1. Сформулировано понятие эквивалентирования математических моделей СТС.
2. Определен порядок эквивалентирования математических моделей магистральных участков СТС в радиальные.
3. Определен порядок эквивалентирования радиальных участков СТС в их укрупненные группы, позволяющий снижать размерность соответствующих математических моделей.
4. Определен порядок эквивалентирования отопительных приборов, обогреваемых помещений и источников тепловой энергии.
Литература
1. Сидельников В.И., Мирская С.Ю. II Изв. вузов. Электромеханика. 2003. № 6. С. 46-51.
2. Сидельников В К. Математическое моделирование систем централизованного теплоснабжения. Ростов н/Д, 2003.
3. Ковалев КН., Татевосян Г.М., Сидельников В.И. //Изв. вузов СССР. Энергетика. 1979. №9. С. 25-32.
4. Ковалев КН., Сидельников ВК. II Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. №3. С. 22-36.
5. Каялое ГМ. II Электричество. 1953. № 5.
Ростовский государственный педагогический университет 11 мая 2004 г.
