Управление теплоснабжением помещения с учетом тепловой инерции Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 519.71

УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕМ ПОМЕЩЕНИЯ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВОЙ ИНЕРЦИИ

© 2005 г. В.И. Сидельников, С.Ю. Мирская

Here we investigate the questions of the approximate functions introduction in the heating supply model, which help to take into account heat inertia while transition processes modeling in the system.

При математическом моделировании систем теплоснабжения (СТС) возникает необходимость анализа их отдельных составляющих (помещений, теплотрасс и т.п.). Для моделирования переходных процессов отдельных зданий с учетом тепловой инерции СТС необходимо введение аппроксимирующих функций, позволяющих учитывать тепловую инерцию сети. В данной статье рассматривается один из возможных вариантов аппроксимации - использование функции Хаттингтона.

Рассмотрим математическое моделирование теплоснабжения отдельного здания.

dT 1 \ п — = aw (Tp -T) ап (T - Tc ),

Ul i=1

при Tp = const (1)

dT

■=-aT + b, dt

AP

где a = (a10 + a„); b = bA + awTP; a10 =--—--pSv; au

10 _ Т/ X P'

mPvzCpvzVz Sp

1 A

CT Sct ; b4 = ацТа-

mPvzCpvzVz 8СТ

Поскольку при переводе системы отопления из одного стационарного режима отопления в другой, с более высокой температурой, невозможно мгновенно установить температуру радиатора Тр на максимально допустимый уровень, процесс его нагрева заменяется непрерывной аппроксимацией функции единичного скачка от температуры начального стационарного режима до максимально допустимой.

Представим уравнение (1) в виде: = gu - аТ + V, где Тр = Трп +

Ж

+ и (Тру - Трп), 0 < и < 1, V = аиТс + аюТрП; g = аю (Тру - Трп).

* V + g

Оптимальное решение (если и - функция Хевисайда): Т =--+

а

с* = Т0 - ^.

a

Заменим управление, описываемое функцией единичного скачка,

аппроксимирующей функцией Хаттингтона u = e = u [1] (рис. 1),

где X - параметр, определяющий точность аппроксимации в смысле дос*

тижения управлением единичного значения: lim u (t) = 1, t > 0;

t l+<»

* 1 * u (t) =-, t = 0; lim u (t) = 0, t < 0.

Рис. 1. Общий вид аппроксимирующей функции Хаттингтона

Положив gu + w = ДО, приходим к уравнению dT = -аТ + / ^), реше-

dt

ние которого можно записать в интегральном виде [1]:

или

T = e~F\ T0 +Jf (т)е" dT I, F = Jadt = at,

Т = е~а ^То +1еот (и + w)dтj = е~а1 ^То -^ + + а. (2)

Разложим u(t) в ряд по степени ё~и. В результате получим ш (-1)" - 1

) = ^ -—— е п '. Этот ряд интегрируем на любом конечном интерва-

п=о п!

-at

- at,

ле.

F0 =J

-XT t \ 0 e-2lr £-3XT I ят„-е ,^_t,aT Ii - e~^T + e---£-+ ...L- =

dT = J e

0

2! 3!

f1 e(a -X)t e(a - 2X)t e(a - 3X)t

—e--+---+ •

a a -X (a - 2X)2! (a - 3X)3!

1 1

1

1

- + -l.

а а-1 (а - 21)2! (а - 31)3! Асимптотическое разложение в ряд позволяет найти решение с заданной точностью, не прибегая к численным квадратурам:

F0e

-at

i 6

a

-1t

-21t

-31t

a-1 (a - 21)2! (a -31)3!

-e-at JI -

1

1

1

- + —

a a-1 (a -21)2! (a -31)3! Обозначим первый ряд через un, а второй соответственно - vn

1

u0 =■

1

vn =-

-1t

(a -1)

(a -1)

= (-1)

n e

—n1t

= (-1)

(a -n1)n!

(а -пЯ)п\

Суммы рассмотренных рядов имеют вид 3(и) = Бп + Яп+1 и 3 (у) = 3п + Якп+1. Для получения требуемой точности е, в силу знакопере-менности рядов, расчет конечных сумм ведется до тех пор, пока не выполнятся условия |Яп+^ < |ип+^ < е и |ЯЯп+^ < |уп+1 | < е . Сформулированные

выше положения позволяют считать доказанной следующую теорему.

Теорема. Аппроксимация функции единичного скачка функцией Хат-тингтона ведет к аппроксимации оптимального решения, т.е. при

\\и (0)- и* (/)|| < е, (А > А); ||т (/)- Т* (/)|| <8, Уе, д(е).

Параметр Я аппроксимирующей функции находится эмпирически по результатам эксперимента (описание эксперимента приведено в [2, 3]). Если известен набор точек (/■, у,), отвечающий реальному изменению температуры радиатора на известном временном интервале (/ъ /2), то можно найти минимальное Трп и максимальное Тру значения температур радиатора; по методу наименьших квадратов - значение параметра Я, дающее наилучшее приближение эмпирических данных функцией у = Т +

((pv Tpn)e

Поскольку e-

У - T

(

pn

t - T

pv pn

имеем x = ln

- ln

r y - T ^

s pn

TT - TT

V pv pn

= -1t.

Найдем значение 1, минимизируя сумму квадратов отклонений:

a

a

1

1

v

n

-1t

e

S = £( +Ц) ^ min,

i=1

dS п

— = 0^ 2+Ц)*ti = 0, (3)

ал i=i

n

E xt л = - ^-.

E t2

1=1

Так как функция управления интегрировалась в интервале от 0 до а в действительности она имеет отличные от нуля значения и в отрицательной полуплоскости, то к полученному в таблице значению функции (2) времени, при котором она достигает нормативного значения, следует добавить время запаздывания, которое находится по формуле:

1п (1п (и))

и = е, = . (4)

г Я

Расчет параметров аппроксимации

Экспериментальные данные Аппроксимирующий параметр Л

Время, с Температура, °С Xiti 7

0 12

1200 16

4800 30

9600 48 -7107,820596 92160000

10800 52 -10692,38177 116640000

13440 60 -22373,95321 180633600

14820 65 -35660,89414 219632400

16320 69 -66124,71899 266342400

16500 70

n E i=1 -141959,7687 875408400

Параметры 0,000162164

В общем случае параметр аппроксимации определяется для каждого помещения. Примеры подобных расчетов приведены в [3]. Если в здании замеры температуры обогревателя не производились, то нужно рассчитать изменения температур для всей СТС в целом и из полученных данных выбрать набор характерных точек, описывающих изменение температуры обогревателя во времени.

В качестве примера рассмотрим эксперимент, проведенный в производственном помещении ООО «Группа компаний К5», рассчитаем воз-

можную экономию тепловой энергии за счет рациональной организации «натопа» помещения с Т0 = 14 °С до Т = 20 °С. Характеристики помещения и ограждающих конструкций: Тс = -20 °С; 8р = 1,5 м2; 8Ст = 10 м2;

V = 50 м3; ЯСт = 0,41 Вт/(м-°С); 8Ст = 0,5 м; Я = 8,07 Вт/(м2-°С);

Рр

р= 1,205 кг/м3; Сруг = 1005 Дж/(кг-°С). Найдем параметры аппроксимации по формуле (3). Аппроксимирующий параметр Я функции Хаттингтона ищется без учета нескольких начальных точек, поскольку данная функция имеет значения в отрицательной полуплоскости. Результаты расчетов приведены в таблице.

Полученный результат свидетельствует о достаточно высокой точно -сти предлагаемого метода расчета параметра аппроксимации.

Выполним расчет аппроксимации рассматриваемой системы. Результаты с использованием функции Хаттингтона приведены на рис. 2, из которого видно, что время достижения нормативной температуры воздуха в помещении составляет 118 мин.

Полученные результаты позволяют констатировать, что предложенный метод аппроксимации функции управления обладает высокой точностью, требует малых затрат машинного времени и удобен в эксплуатации. Его использование позволяет оценивать затраты времени и тепловой энергии на повышение температуры воздуха в помещении в режиме прерывистого отпления, и, тем самым, оценивать экономическую эффективность данного мероприятия.

T, °С 30 25 20 15 10 5 0

50 100 - T аппрокс. -

150 --T

200 250 " " - T иск.

300 t, мин

Рис. 2. График изменения температур в помещении при аппроксимации управления функцией Хаттингтона

Литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1976.

0

2. Мирская С.Ю. Математическое моделирование теплоснабжения зданий с автономным источником тепла: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 2003.

3. Сидельников В.И., Мирская С.Ю. Математическое моделирование автономных систем теплового снабжения. Ростов н/Д, 2004.

Ростовский государственный педагогический университет 31 августа 2005 г.