Метод определения функции транспортных затрат для узловой точки типа «Регулируемое пересечение потоков требований» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 656.02+351.811.12

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАТРАТ ДЛЯ УЗЛОВОЙ ТОЧКИ ТИПА «РЕГУЛИРУЕМОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОТОКОВ ТРЕБОВАНИЙ»

© 2014 г. Н.А. Наумова, Л.М. Данович

Наумова Наталья Александровна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Прикладная математика», Кубанский государственный технологический университет, г. Краснодар. Е-mail: Nataly_ [email protected]

Данович Лариса Михайловна - канд. техн. наук, доцент, заведующая кафедрой «Прикладная математика», Кубанский государственный технологический университет, г. Краснодар. E-mail: [email protected]

Naumova Natalya Alexandrovna — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Applied Mathematics», Kuban State Technological University, Krasnodar. E-mail: Nataly_ [email protected]

Danovich Larisa Mikhailovna — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, head of department Applied Mathematics», Kuban State Technological University, Krasnodar. E-mail: [email protected]

Моделирование транспортных сетей с целью оптимизации распределения транспортных потоков -актуальная задача. Сложность численного решения оптимизационных задач на сети во многом зависит от аналитического задания функции транспортных затрат. Авторами разработана математическая модель транспортной сети, базирующаяся на гипотезе о распределении интервалов по времени между требованиями по обобщенному закону Эрланга; предложена классификация узловых точек. Выведена функция для определения задержек требований для узловой точки, в которой происходит регулируемое пересечение многоканальных магистралей. Получена аналитическая реализация функции транспортных затрат для этого вида узловых точек сети. Приведен метод определения параметров обобщенного закона Эрланга по экспериментальным данным.

Ключевые слова: математическая модель; сеть; узловая точка; регулируемое пересечение; обобщенный закон Эрланга; функция транспортных затрат.

The modelling of transport networks with the aim of optimizing the traffic flow distribution is a vital task. The complexity of the numerical solution of optimization problems on the network depends largely on the analytical job functions of transport costs. The mathematical model of the transport network based on the hypothesis about the distribution of intervals of time between the requirements of generalized Erlang law was developed. We introduced our classification of nodes as well as the criteria of efficiency of flows distribution. The function to determine the delay requirements for the nodes, which is adjustable crossing multichannel highways, was deduced. An analytic realization of the functions of transport costs for this type of nodal points of the network was obtained. The method of determining the parameters of a generalized Erlang law on experimental data was developed.

Keywords: mathematical model; network; node; adjustable intersection; generalized Erlang law; the function of transport costs.

Введение

Математические модели, применяемые для анализа транспортных сетей, очень разнообразны по решаемым задачам, математическому аппарату, используемым данным и степени детализации описания движения [1]. В настоящее время, несмотря на многочисленные исследования в области транспортных потоков, не существует «универсальной» математической модели. Предпочтение той или иной из них следует отдавать в зависимости от поставленных целей. Кроме того, из-за различного характера закладываемых в основу моделирования гипотез и допущений невозможен даже обмен информацией между моделями.

Математические модели, которые позволяют получать прогнозные оценки по загрузке отдельных элементов транспортной сети и оценить эффективность проектов по ее реорганизации, могут быть получены с помощью теории конкурентного бескоалиционного равновесия [1]. Задача потокового равновесия сводится к поиску маршрутов сети с минимальными транспортными затратами, а сложность численного решения этих задач в свою очередь в основном зависит от аналитического задания функции транспортных затрат.

Граф-представление транспортной сети

Конкретизируем основные понятия, используемые в данной работе. Назовем сетевые потоки некон-

фликтными, если на данном участке сети они не пересекаются, и конфликтными - в противном случае. Вершинами графа будем считать узловые точки -точки, в которых происходит пересечение конфликтных потоков. То есть узловые точки образуются пересечением многоканальных магистралей.

В работах [2, 3] авторы предлагают следующую классификацию узловых точек (УТ). Пусть одна часть потоков (назовем их главными) проходит через УТ беспрепятственно. Требования второй части потоков (второстепенных) ожидают возникновения достаточных интервалов по времени между требованиями главных потоков для пересечения УТ. Такая УТ названа узловой точкой первого типа или «нерегулируемое пересечение потоков требований».

Рассмотрим теперь узловую точку, в которой для возможности ее пересечения поочередно перекрывается движение для одной из групп неконфликтных потоков на фиксированное время. Это узловая точка второго типа или «регулируемое пересечение потоков требований».

Транспортную сеть представим в виде ориентированного мультиграфа. Узловые точки - вершины графа; полоса движения автотранспортных средств между двумя узловыми точками - дуга графа. Поток на графе - это совокупность однородных объектов (требований), пересылаемых из одной вершины в другую, т. е. поток - это некоторая функция, заданная на дугах графа. В разработанной авторами модели поток на графе задается в виде функции плотности распределения интервалов по времени между следующими подряд требованиями. Ранее [2, 3] была рассмотрена модель функционирования сети, построенная на гипотезе о распределении интервалов по времени между требованиями в каждом из потоков по закону Эрланга. В данной работе модель распространена на случай, когда интервалы по времени распределены по обобщенному закону Эрланга. При правильном подборе параметров с помощью обобщенного закона Эрланга можно аппроксимировать практически любое распределение случайной величины.

Если все параметры Х' различны, функция распределения обобщенного закона Эрланга выглядит так:

fk (t) = (-1)k1 п^ z

k-1 k-1

-V

i=0 i=0

k-1

П(Ьj n )

n=0 n* j

k-1

X it

Или более простой вид: /к (/) = £ а' Хге ' , если

i=0

ввести следующее обозначение:

k-1 X « = П^у-

n=0 Xn -Xi

k-1

причем Z «i = 1.

i=0

Функция плотности распределения обобщенного закона Эрланга, в случае совпадения каких-либо параметров, имеет иной вид и может быть получена из функции /(*)(s) с помощью разложения на простейшие дроби, однако, с учетом приведенного ниже способа получения параметров распределения по экспериментальным данным, эти случаи нас не интересуют.

Итак, если все параметры Х' различны, то интегральная функция распределения:

Fk (t) = 1 - Z агг-

i=0

Xit

Математическое ожидание М (Т) и дисперсия D(T) для обобщенного закона Эрланга могут быть получены с учетом определения потока Эрланга:

(к-1 Л к-1 1 М(Т) = МI £Т |=£ — ;

V'=0 ) '=0 Х'

! k-1 Л k-1 1

D(T) = DI Z T | = £ —

V i=0 ) i=0 (X )

2

(

п-й начальный момент: V = М (Тп) =

Z «X

n!

i X n+1

Метод определения функции транспортных затрат для узловой точки типа «регулируемое пересечение потоков требований»

Обобщенный закон Эрланга распределения случайной величины

При обобщенном распределении Эрланга интервал по времени между подряд идущими требованиями проходит к стадий: Т0, Т1,..., Тк-1, причем длительности этих стадий имеют показательные распределения с параметрами Х0,Х1,...,Хк-1 соответственно [4, 5]. Преобразование Лапласа функции плотности распределения /к (/) имеет вид

f (*\s) =

X0X1 ...Xk-1

(s + X0)(s + X1) ... (s + Xk-1 )■

Функция простого процесса восстановления обобщенного закона Эрланга

Выше отмечено, что преобразование Лапласа функции плотности распределения /к (/) имеет вид

f^ =■

X0X1 ... Xk-1

(s + Х0)(s + Х1) ... (s + Хк-1)"

Тогда преобразование Лапласа функции простого процесса восстановления следующее [4]:

H (*)(s) = f(*)(s)

H (*\s) = -

s (1 - f (*\t)) X 0X1...X k-1

или

s [(s + X 0 )( s + X1 )... (s + X k-1 )-X0 X1...Xk-1 ]

e

Рассмотрим вид этой функции и восстановим ее оригинал по изображению в случае обобщенного закона Эрланга порядков k е {2; 3; 4} (при k = 1 получим показательное распределение с параметром Х0).

Для нахождения оригинала по изображению надо найти корни знаменателя дроби Н:

s = 0 V f = 1.

Корни уравнения f(*) (s) = 1 можно выразить только через параметры , решив уравнение:

(Хо + s )(Х! + s )(Х 2 + s )...(Х k-1 + s) = Х0 .

I случай) k = 2:

1 л/3

У2 =- 2 (ai +ßi)+'-у (ai _ßi);

1 л/з

Уз = - у (ai +ßi)-(ai -ßi) >

ö

x0xi = (X0 + 5)(Xi + 5) ö 52 + 5(X0 + Xi) = 0

ö 5 = 0 V 5 = - (X 0 + Xi ) . II случай) k = 3 :

X0XiX2 = (X0 + 5)(Xi + 5)(X2 + 5) ö 52 +

+5(X0 + Xi + X2) + (XiX2 + X0Xi + X0X2) = 0 v5 = 0

ö5=

-(X0 +Xi + X2)±^(X0 +Xi + X2) -4(XiXу + X0^i + X0X2)

III случай) k = 4 :

X0XiX 2X3 = (X0 + 5 )(Xi + 5 )(X 2

+ 5)(5 + X3)

0

ö 53 + 52 (X0 + Xi + X2 + X3) + +5 (X 2X3 +Х^з +X 0X3 +X 0Xi +X 0X 2 +XiX 2) + + (XiX 2X3 + X0 X 2 X3 + X 0X^3 + X 0XiX 2) = 0

ö

где a=3 - q +| 2)!-i f T; ß=3 - 2 -i 2 )2+i f У

причем а1Р1 = —— .

Таким образом, при всех k е {2; 3; 4} функцию

*

Н (•) можно разложить на простые дроби, содержащие члены:

1) от полюса s = 0;

2) от ненулевых полюсов в точках, являющихся корнями уравнения f * (•) = 1.

* 11 а2 — и2 1 * То есть Н (•) =—- +-£— + R (•),

и s2 2и2 s

*

где Я (•) - рациональная функция.

*

Определим вид Я ^)в зависимости от корней уравнения f * (s) = 1.

А. Каждому простому ненулевому корню •р уравнения

f (*)(s) = 1 в разложении Н *(•)

соответствует дробь [4]:

V 5 = 0

-i

Иначе

J

v 5 = 0.

(

sp ( f )) (• — sp )

Производные (f ) в каждом из случаев: k = 2 :

53 + 52|EX! 1+5 ^X'X

Л

1

V' *1 У

EXiX1 Xi

1 ш

V1 *l

=0 v 5=0.

( f (*}(5) )

k = 3:

/ X 0Xi -1 + X0Xi -1

Xi -X0 (5 + X0) X0 -Xi (5 + Xi)

( f )'

X0XiX2 -1

(Xi -X0 )(X2 -X0 )(5 + X0 )2

Пусть bi = EXi, b2 = E XX 1, b3 = E XX 1Xl .

1

1

Ш 1 *l

Корни многочлена третьей степени х3 + Ьхх2 + +Ь2 х + Ь3 = 0 можно определить с помощью формул Кардано:

1) делаем замену неизвестного х = у — Ь-; получаем уравнение вида у3 + ру + q = 0 ;

2) корни уравнения:

У1 =а1 +Р:;

+ X 0XiX 2__-i +

(X 0 -Xi )(X 2 -Xi )(5 + Xi )2

+ X0XiX 2__-i .

(X0 -X 2 )(Xi -X 2 )(5 + X 2 )2'

k = 4 :

( f )'

X0XiX 2X3

-i

(Xi -X0 )(X 2 -X 0 )(X3 -X0 ) (5 +X0 )2

X0XiX2X3

-i

(X0 -Xi )(X2 -Xi )(X3 -Xi ) (5 + Xi )2

2

2

+

+

+

+

+

xqx^

-i

(Xq -X2)(Xi -Х2)(Хз -Х2) (s + Х2)2

XQX1X2X3 —1

(XQ -X3 )(X1 -X3 )(X2 -X3 ) (5 + X3 )2

Каждой простой дроби

-1

5p (f \sp)) (5 - 5p)

в разложении H (5) соответствует оригинал

-1 5„t

Sp (/))

В. Каждой паре кратных действительных корней sp уравнения /^^ = 1 соответствует в разло-

жении H (5) сумма

A

- + -

A,

5 - 5

(5 - 5р )

. Следователь-

p р - s

но, оригинал имеет вид: A1eSpt + A2teSp'.

С. Каждой паре комплексно-сопряженных корней sp = а + /р уравнения f(*) (s) = 1 соответствует

A(s-а) + BP „ дробь в разложении ---—. В этом случае

(s -а)2 +Р2

оригинал имеет вид: Aeat cos pt + Beat sin pt.

При k = 2 вид функции восстановления определен полностью.

Заметим, что при k = 3 возможен или только случай B, или только случай C, или два простых действительных корня (случай A). Следовательно, неизвестных параметров не может быть более двух.

При k = 4 один из корней обязательно простой действительный, а два других либо простые действительные (случай A), либо кратные действительные (случай B), либо комплексно-сопряженные (случай C). Следовательно, вновь неизвестных параметров не может быть более двух.

Для нахождения двух неизвестных коэффициентов можно применить, например, метод произвольных значений:

- приведем правую часть равенства

* 11 а2 — ц2 1 *

H (s) = —- +--j----+ R (s) к общему знаменателю;

ц s 2ц2 s

- приравняем числитель полученной дроби к числителю дроби

H (*\s) = -

X QX1...X k-1

Определение средней задержки требований в узловой точке II типа при справедливости гипотезы о распределении временных интервалов по обобщенному закону Эрланга

Под задержкой в УТ II типа будем понимать время простоя в случае, если движение в данном направлении запрещено.

Вычислим предполагаемую суммарную задержку требований рассматриваемого потока за Т секунд -время, в течение которого запрещено движение в рассматриваемом направлении. При этом будем считать, что в момент времени t = 0 очередь в УТ отсутствует.

Разобьем интервал (0; Ti) на n частей точками tj,t2,...,tn; Ati = ti -ti_j. Тогда суммарная задержка всех требований данного потока за один цикл регулирования T = Tj + T2 приближенно равна:

W (Ti, X) «¿Я (ti )Ati.

i=j

Перейдя к пределу при max{Ati} ^ 0, получим:

Tj

W(T, X) = J Я(t)dt (треб.-с);

W (T, X) = J

ъ f , 2 2 Л 1 t CT -ц

- +-í—+ R(t)

ц 2ц

2

dt =

t2 CT2-ц2 ^ --+-2t- t

ц 2 2ц2

+ J R(t)dt.

Q

Выше доказано, что функция R(t) может состоять только из следующих слагаемых:

1) Aespt;

2) A1espt + A2tespt;

3) Aeat cos pt + Beat sinpt.

Соответствующие слагаемые в функции

W(T,x):

■* í ,

1) J Ae5ptdt =

Q T■

2) J (

A

V P У

=A {eSpT -1);

p

A1e5pt + A2te5pt) dt =

í Л Л e

A1 Jp1

5 p V p

s[(s + Х0)(s + Х1)...+ Хк-1 )-Х0Х1 .А-!] '

- подставим в полученное уравнение два произвольных значения и решим полученную систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, например, по формулам Крамера.

- 2 — 2 Итак, Н(-) = - + -—Ц- + R(t).

Ц 2ц2

+ Ar,

( \ t 5 pt 1 5pt

— e p--2 e p

V 5p 5p у

= A(eVí -1) + A(eVí -1)-4(e5pT -1) 5 p 5 p 5p

T

3) J(Aeai cos ßt + Beat sinßt) dt = .

T

T

Q

T

5„t

e

Q

T

+

Q

T

Q

= A-

а

а2 +ß2

+B-

а

а2 +ß2

—cos ßt ^^ß-sin ßt

а а2

—sin ßt —cos ßt

а а2

= A

а

а2 +ß2

Icos(ßT), +Л-{ßT, )|--| +

+B-

а2 +ß2

aT

ism (ßT, )-^cos(ßT ^

Суммарная задержка всех требований данного потока за единицу времени - один час, выражается следующим образом:

w (T, X)

3600 1 w (T, X)

(треб.-ч).

Т 3600 т

Если число требований, прибывающих к УТ за один цикл регулирования, меньше числа требований, успевающих покинуть УТ за время, в течение которого разрешено движение в данном направлении, то очередь в данном направлении не накапливается и ликвидируется за один цикл.

Пусть пА 1 - число неконфликтных потоков в направлении А магистрали № 1, А - среднее время (в секундах) между пересекающими узловую точку требованиями одного потока; Н^ (^ - функция восстановления для 1-го потока направления А магистрали № 1; Wi (Т, Х) - суммарная задержка всех требований

1-го потока за один цикл регулирования; Т - время, в течение которого запрещено движение в направлении А магистрали № 1, с; Т2 - время, в течение которого запрещено движение для потоков магистрали № 2, с;

Т = Т+Т2.

nA1

T2

Если Е Н (Т) —2 пА1 < 0, то очередь в данном

¿=1 А

направлении ликвидируется за один цикл, и суммарная задержка за один час календарного времени:

(пА1 ^ 1

(Т' >=1 Х) ] (ТГ+Т2)

Аналогичные рассуждения для потоков остальных направлений.

nA1

T2

му построения функции транспортных затрат. Самым распространенным предположением о свойствах функции транспортных затрат является логичное предположение о ее аддитивной зависимости от транспортных затрат на прохождение отдельных дуг и вершин (узловых точек).

Функцией транспортных затрат для узловой точки в зависимости от целей оптимизации могут быть выбраны:

1) и(2п) - вес вершины 2п (узловой точки) для потока данного направления;

2) и(2п) - суммарный вес вершины 2п (узловой точки);

3) юм (2п) - средняя задержка требования выбранных направлений.

Для узловой точки II типа:

ЕЩ (Т, Х)(Т2, Х)

1) и( ^) = -- '

T

Z W■ (Ta, X)

2) Д(z„) = ^

T

где М - множество вы-

бранных направлений, a е {1; 2} ;

Z W (Ta , X)

3) ЮМ (Zn ) =

ieM

Z H (Ta )

где М - множество вы-

Если Е Н (Т) —2 пА1 > 0, то за время, в тече-

¿=1 А

ние которого разрешено движение для направления А , очередь не успевает ликвидироваться. В этом случае в узловой точке образуется «затор» в данном направлении. Под затором в узловой точке II типа будем понимать неограниченное увеличение очереди из поступающих к УТ требований.

Для остальных направлений, пересекающихся в узловой точке, рассуждения аналогичные.

Определение функции транспортных затрат

Согласно теории потокового равновесия [1], для получения численных значений равновесного распределения потоков необходимо сначала решить пробле-

бранных направлений, a е {1; 2} .

Авторами разработана компьютерная программа в среде DELPHI, определяющая вид функции транспортных затрат в узловой точке второго типа в зависимости от параметров распределения обобщенного закона Эрланга в соответствии с изложенными в данной работе утверждениями.

Пусть Т - множество способов распределения потоков для данной вершины (узловой точки) графа. Оптимальное распределение потоков в узловой точке является решением задачи (в зависимости от преследуемой цели):

1) Д(Zn)_ opt = min {Д(Zn)} ;

2) Д(Zn)_ opt = min {д(Zn)} ;

3) юм (Zn)_ opt = min{®m (Zn)} .

Определение параметров обобщенного закона Эрланга по экспериментальным данным

Параметры обобщенного закона Эрланга при практическом использовании приведенной выше модели возможно определить с помощью метода моментов, приравняем теоретические и эмпирические значения математического ожидания и дисперсии.

* X 2 _

Пусть k =—В-, где хВ - выборочная средняя

•2

случайной величины Т - интервалов между следующими подряд по одной полосе автомобилями; а В -

T

+

e

e

0

e

а

2

а

выборочная дисперсия случайной величины Т . Параметр к = [к ] +1 - целое число, большее к . При к = 2 :

1 1 _

—1— = xB;

Хо Хо

1 1 t \2

-+-^ = К ) .

(Хо)2 (Х, )2

Пусть Xj = xX0, тогда при (ctb)2 <1 xB I <2(ctb)

(или равносильном ему условии 1< к* < 2) значения параметров следующие:

2 4к* +42-к*

Хо

4k* -VT-

При k- 3:

1 1 1 _

- + —+-— - xR;

Х0 Х1 Х 2

11

-+-

— = (ст )2

(X0 )2 ' (Xj )2 '(X2 )2 =lCTB) .

Пусть Xj = xX0, X2 = xXj = x2X0, тогда при (стB )2 <1 xB I < 3(стB )2 (или равносильном ему усло-

вии 1 < k < 3 ):

(k* + 1)^(-k* + з)(зк* -1)

2 (k * -1)

Хп -

x2 + x + 1 1

о _ 2 -

X2 xB

При k- 4 :

1 1 1 1 _

— + — + — + — - xB;

Хо Xj Х2 Х3

1 1 1 1 2

-7 +-7 +-7 +-2-(CTB) .

(Хо )2 (X! )2 (X 2 )2 (X3 )2 V '

Пусть Х1 - xX0, Х2 - xX1 - x2Хо, Х3 - xX2 - x3X0.

Тогда при условии (стB )2 <1 xB I < 4 (стB )2 (или

равносильном ему условии 1 < k < 4) значения

параметров следующие:

x - -

У ±

Ь2 - 4

где

У -

1 + k* -1)2 +(k*)2 (x2 +1)(x +1) 1

k * -1

Хо

* X 2

Отметим, что если к =—В- - целое число, то для

.?2

всех к е {2, 3, 4} значение х = 1, а следовательно, все Х' совпадают. Таким образом, получим специальное распределение Эрланга, подробно рассмотренное в работах [2, 3]. Экспериментальные исследования транспортных потоков, проведенные авторами, пока-

7 *

зали, что значения параметра к не превышают четырех, чем и обосновано рассмотрение в данной статье только значений параметра к е {1, 2, 3, 4} .

Заключение

Приведены результаты работы авторов над моделированием транспортной сети с целью оптимизации ее функционирования. Как следует из работ [1, 6], такие оптимизационные задачи, как задача о выборе оптимальной топологии транспортной сети; расчет матрицы корреспонденций и распределения потоков; задача о светофоре (при каких условиях перед светофором не будет скапливаться очередь) сталкиваются с необходимостью определения функции транспортных затрат. От того, насколько точно будет она описывать реальные процессы в сети, зависит эффективность дальнейших управленческих решений. Проведенные авторами исследования показали, что более плотные потоки описываются с помощью обобщенного закона Эрланга значительно точнее, чем рассмотренный в работах [2, 3, 6] специальный закон Эрланга.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект р-юг-а-13-08-96502.

Литература

1. Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков: учеб. пособие / под ред. А.В. Гасникова. М., 2010. 362 с.

2. Наумова Н.А., Данович Л.М. Моделирование и программная реализация движения автотранспортных средств по улично-дорожной сети. Краснодар, 2011. 80 с.

3. Naumova N., Danovich L. Modelling and Optimisation of Flows Distribution in the Network // Applied Mathematics, 2012. Vol. 2, № 5. P. 171 - 175. doi: 10.5923/j.am. 20120205. 04.

4. Cox D.R., Smith W.L. Queues, Methuen. London, 1961.

5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения : учеб. пособие для втузов. М., 2000. 383 с.

6. Naumova КА. Problems of Optimisation of Flows Distribution in the Network // Applied Mathematics. 2013. Vol. 3, № 1. P. 12 - 19. doi: 10.5923/j.am.20130301.02.

Поступила в редакцию

3 сентября 2013 г.

2

x

x =

2

2

3

x

x

B