Математическая модель движения транспортных потоков по улично-дорожной сети Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 625.72

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ ПО УЛИЧНО-ДОРОЖНОЙ СЕТИ

© 2009 г. НА. Наумова, Л.М. Данович, В.Н. Савин, И.Н. Булатникова, И.А. Круглова

Кубанский государственный технологический Kuban State Technological

университет, г. Краснодар University, Krasnodar

Создана математическая модель движения транспортных потоков по улично-дорожной сети в предположении, что распределение интервалов по времени подчиняется закону Эрланга. Приведена аналитическая реализация данной модели и математический аппарат для вычисления характеристик качества организации движения на регулируемом и нерегулируемом перекрестках. Разработан алгоритм оптимизации движения автотранспортных средств по улично-дорожной сети.

Ключевые слова: транспортный поток; математическая модель; организация движения; регулируемый перекресток; нерегулируемый перекресток; улично-дорожная сеть.

The mathematical model of movement of transport streams on a traffic-street system in the assumption is created, that distribution of intervals on time submits to Arlang's law. Analytical realization of the given model and the mathematical device for calculation of characteristics of quality of the organization of movement on adjustable and noncontrollable crossroads are resulted. The algorithm of optimization of movement of vehicles on

a traffic-street system is developed.

Keywords: transport stream; mathematical model; the organization of movement; adjustable crossroads; noncontrollable crossroads; traffic-street system.

Современный темп жизни и значительное увеличение числа автовладельцев привели к резкому росту объемов движения автотранспорта в черте города, большому количеству заторов. Радикальное решение проблемы (строительство новых дорог, развилок в нескольких уровнях и т.п.) часто невозможно как в силу дороговизны таких проектов, так и по причине ограниченных возможностей строительства дорог в черте города. Поэтому актуальной является проблема оптимальной организации движения на уже существующей улично-дорожной сети.

Существует большое количество разнообразных математических моделей, позволяющих рассчитывать отдельные характеристики качества организации движения по отдельным деталям дорожной сети города. [1-3]. Проблема в том, что для каждой из них требуются различные исходные данные, результаты получаются в каждом отдельном случае с различной степенью точности, изменение какого-либо параметра для одной детали сети требует дополнительных исследований способа пересчета входных параметров для расчетов схемы движения по другой детали сети. Все это способствует усложнению процесса моделирования движения транспортных потоков по дорожной сети города в целом, увеличивает дороговизну сбора исходных данных. Этих недостатков лишена модель, разработанная авторами в ходе исследований в рамках данного проекта.

Нами применен системный подход к функционированию сети автомобильных дорог. Анализ отдельных ее деталей проведен с учетом общих для всей сетевой структуры установок.

Вся улично-дорожная сеть города представлена в виде ориентированного графа, вершинами которого являются перекрестки. Работа над процессом моделирования движения по улично-дорожной сети авторами была разбита на следующие этапы:

- моделирование движения на подходах к нерегулируемому перекрестку;

- моделирование движения на подходах к регулируемому перекрестку;

- моделирование движения между двумя соседними перекрестками.

Бессмысленно создавать математическую модель перекрестка, которая бы учитывала все детали системы, поскольку это приведет к усложнению процесса ее проектирования, затребует большое количество входящих параметров, на измерение которых необходимы внушительные материальные затраты, не оправдываемые, порой, получаемой точностью расчетов в силу случайности процесса. Кроме того, учет большого количества параметров приводит к составлению громоздких уравнений, решить которые можно только приближенными методами с потерей точности в расчетах. Хорошая модель, если такая существует, должна быть одновременно и точной, и простой.

Для создания такой модели в первую очередь необходимо выбрать закон распределения интервалов по времени между автомобилями. В силу простоты аналитической реализации модели наиболее распространено использование экспоненциального и смещенного экспоненциального законов распределения интервалов, представляющих удовлетворительную сходимость при небольших интенсивностях. Более широ-

кую область применения имеет распределение Пирсона, гамма-распределение и их частный случай - распределение Эрланга, а также смешанные распределения, учитывающие доли свободно движущихся и находящихся «в связке» автотранспортных средств. Используя критерий Романовского для проверки гипотезы о виде распределения интервалов по времени между автомобилями, мы показали, что при интенсивности движения по каждой полосе дороги до 300 авт/ч их распределение хорошо согласуется с распределением Эрланга второго порядка.

При построении авторской математической модели нерегулируемого перекрестка последний рассматривался как система массового обслуживания. Распределение интервалов по времени между автомобилями по всем направлениям движения принято подчиненным закону Эрланга ^го порядка. В этих предположениях была разработана аналитическая реализация модели, позволяющая рассчитывать основные характеристики обслуживания автомобилей на нерегулируемом перекрестке.

Среднее время ожидания (в секундах) автомобилем второстепенного направления возможности пересечь L транспортных потоков, когда временные интервалы в каждом из них распределены по закону Эрланга ^ порядков с параметрами Хь..., Хь

соответственно, равно:

(mz ) =

(

1 -п

i=1

1 ki-1

- £ R(n, T0Xi)

ki n=0

л

k +1+(k -1) Г L 1 - R(k1 -1, T0 Х^П L i=2 " 1 ki-1 "ft -Е R(n, T^) _ ki n=0 JJ

211 Г L R(k1 -1, L г=2 1 ki-1 - Е R(n, T0h) _ ki n=0 _ \ /

а средняя задержка (в секундах) у перекрестка одного автомобиля, совершающего движение по второстепенной дороге в данном направлении в транспортном потоке с параметрами распределения X и к

Wh = mzM (l) =

amz 1 -a

k-1 / , \ 1 R(k -1,Xt) = 1) ne Kt) / n!, a = —, ц = i/(mz) n=0 kM-

Суммарная задержка в автомобиле-часах за 1 ч календарного времени на нерегулируемом перекрестке может быть вычислена по формуле

Ы Н = Е

N,WH, 3600

где N. - интенсивность на г-й полосе второстепенного направления, авт/ч; WHi - средняя задержка у перекрестка одного автомобиля, совершающего движение в данном направлении, с,

Придерживаясь тех же предположений о законе распределения временных интервалов между автомобилями в транспортном потоке, авторы составили модель регулируемого перекрестка и разработали метод вычисления аналогичных характеристик уровня организации движения на нем.

В приведенных ниже формулах использованы следующие обозначения: Ть Т2- время, в течение которого запрещено движение на дорогах № 1 и 2; Т - длина цикла регулирования; (X1)., (X2). - параметр распределения Эрланга для i-й полосы дорог № 1 и 2; Нтах= max {И. j, (Х2)тах= max {(X2 ). j;

h - константа, среднее значение временных интервалов между отбывающими с одной полосы регулируемого перекрестка автомобилями.

Если параметры Т1 и Т2 выбраны таким образом, чтобы обеспечивалось выполнение системы неравенств:

H,

T2

(,>■(T) * f;

(1)

H

(12)i (T) * f,

то автотранспортные средства не будут задерживаться у перекрестка более одного цикла светофорного регу-(XI)

V /п

лирования. При T2 =

(12) m

-T и интенсивности дви-

жения по каждой полосе не выше 1000 авт/ч система (1) имеет место.

Суммарная задержка за время Тi автомобилей, совершающих движение по одной полосе, вычисляется следующим образом:

т: ХТ2 Т р~ГАТг 1

W (Т,х) =\н х * = - ^ - —+-

(г е{1;2}),

где X - параметр распределения Эрланга для данного

Xt 1 1

транспортного потока, Нх(*) + ^- 2Х* - чис-

ло автомобилей в очереди, образующейся за время * с на данной полосе для движения.

Средняя задержка за один цикл регулирования одного автомобиля, совершающего движение по одной полосе дороги,

Тср = W (Т, X)/ Н х (Т).

Средняя суммарная задержка (авт.-ч) за один час календарного времени всех автомобилей на данном регулируемом перекрестке:

где Т0 - приемлемый для продолжения движения интервал, с,

n2

YW T (xi). ) + yw (T2,(X2).)

'у ) = ----

у 'р Ti + T2

где n 1, n2 - число полос на дорогах № 1 и 2.

(те),

х

х

Как в случае с регулируемым, так и в случае с нерегулируемым перекрестком число полос на конфликтующих направлениях может быть любым, меняется лишь значение соответствующей константы, что выгодно отличает разработанную нами модель от других существующих моделей.

Время движения по данному маршруту улично-дорожной сети складывается из времени движения между двумя соседними перекрестками и времени, теряемом у перекрестка на ожидание возможности продолжить движение в требуемом направлении (задержкой у перекрестка). Среднее время движения между соседними перекрестками рассчитывается по известной формуле /ср = S|vср , где S - расстояние

между соседними перекрестками; vср - средняя скорость движения автомобилей в потоке.

В силу того, что исходные данные для создания математической модели каждого участка сети затребованы одни и те же, возможно проводить оптимизацию организации движения на конкретном перекрестке, а благодаря этому и на всем участке улично-дорожной сети.

Для определения оптимального способа организации движения на перекрестке предлагается следующий алгоритм:

1) выбирается критерий оптимизации (средняя задержка у перекрестка одного автомобиля в данном направлении, суммарная задержка автомобилей данного направления за 1 ч календарного времени, средняя (по всем направлениям движения на перекрестке) задержка одного автомобиля, суммарная задержка автомобилей по всем направлениям движения на перекрестке за 1 ч календарного времени);

2) определяются все возможные способы организации движения на перекрестке с учетом реальных

Поступила в редакцию

условий (ширины проезжей части, типа пересечения, предполагаемой интенсивности и т.п.);

3) рассчитывается выбранный критерий для каждого из возможных способов организации движения;

4) выбирается оптимальный способ организации движения.

Авторами разработана структура базы данных, позволяющей хранить все необходимые для расчетов исходные параметры, и удобная для пользователя компьютерная программа в среде Delphi 6.

Разработанная авторами новая математическая модель движения транспортных потоков по улично-дорожной сети города и предлагаемый алгоритм оптимизации движения автотранспортных средств позволяют на основании минимального количества исходных данных прогнозировать целесообразность того или иного способа организации дорожного движения и предупредить появление и распространение по улично-дорожной сети транспортных заторов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-08-12169.

Литература

1. Сильянов В.В. Теория транспортных потоков в проектировании дорог и организации движения. М., 1977. 303 с.

2. Домбровский А.Н., Наумова Н.А. Математическая модель

движения автомобильного транспорта на нерегулируемом перекрестке // Наука и техника в дорожной отрасли: Ежеквартальный науч.-техн. журн. М., 2002. № 4. 4 с.

3. Домбровский А.Н., Наумова Н.А. Оценка характеристик

уровня обслуживания транспортных средств на нерегулируемых перекрестках // Автомобильные дороги: науч.-техн. информ. сб. / Информавтодор. М., 2002. Вып. 6. 11 с.

10 марта 2009 г.

Наумова Наталья Александровна - канд. техн. наук, доцент, кафедра прикладной математики, Кубанский государственный технологический университет.

наук, доцент, кафедра прикладной математики,

Данович Лариса Михайловна - канд. техн. государственный технологический университет.

Савин Владимир Николаевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра прикладной математики, государственный технологический университет.

Булатникова Инга Николаевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра прикладной математики, государственный технологический университет. E-mail: inkras@yandex.ru.

Круглова Инна Александровна - старший преподаватель, кафедра прикладной математики, государственный технологический университет.

Naumova Nataliya Aleksandrovna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department of «Applied Mathematics», Kuban State Technological University. Danovich Larisa Michailovna - Candidate of Technical Sciences, Mathematics», Kuban State Technological University. Savin Vladimir Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences, Mathematics», Kuban State Technological University. Bulatnikova Inga Nikolaevna - Candidate of Technical Sciences, Mathematics», Kuban State Technological University.

Kruglova Inna Aleksandrovna - senior lector, department of «Applied Mathematics», Kuban State Technological University.

assistant professor, assistant professor, assistant professor,

Кубанский Кубанский Кубанский Кубанский

department of «Applied department of «Applied department of «Applied