Метод операторных преобразований для функций бигармонических в шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

ПГПУ

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009

УДК 517. 444

МЕТОД ОПЕРАТОРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БИГАРМОНИЧЕСКИХ В ШАРЕ

© О.Э. ЯРЕМКО, Ю.А. ПАРФЁНОВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: [email protected]

Яремко О. Э., Парфёнова Ю. А. - Метод операторных преобразований для функций бигармонических в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 53-57. - Третья краевая задача для бигармонического уравнения в шаре широко известна в теории упругости. В данной работе предлагается новый операторный метод решения этой задачи.

Ключевые слова: оператор преобразования, векторные краевые задачи, бигармонические функции.

Yaremko О. Е., Parfenova Y. А. - Method of operational transformations for biharmonic in ball functions // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 53-57. - The mixed boundary value problem for biharmonic equation in ball is widely known in the theory of elasticity. In the given work the new operational solution method of this problem is offered.

Keywords: operator of transformation, vector boundary value problems, biharmonic functions.

1.Третья краевая задача для бигармонического уравнения в шаре из ЭТ3.

Найдем вектор-функцию

Замечание 1. Третья краевая задача для бигармонического уравнения в шаре широко известна в теории упругости, в скалярном случае она ставилась многими авторами. В данной работе предлагается новый операторный метод решения этой задачи.

Не ограничивая общности, считаем, что К = 1.

^ U (г,ф ,у )л и (г,ф,у )= ... ,

v U (Г,Ф .V )

бигармоническую на сфере SR =|( r,p, ^)| r = R, 0 <ф< 2л, 0 <^<^|, являющуюся решением третьей краевой

(1)

Лемма 1. Если функция и = и (г,ф ) является бигармонической, то существуют гармонические функции и1 = и1 (г,ф ) и и2 = и2 (г,ф ) такие, что:

и (г,ф)= г2и1 (г,ф,у )+ и2 (г,ф,у ).

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

Доказательство. Зададим функции и1 = и1 (г,ф) и и2 = и2 (г,ф,^ ) следующим образом:

и (г,ф’V ) = 1[Аи (г,ф,^ )] ,

г2 -

и2 (г,ф,^ )= и (г,ф’V )-~¿з/ \_Аи(г,ф’V )].

Заданные таким образом функции являются гармоническими, так как:

Аи (г,ф [Аи (г,ф )] = -4 Ь-, [0] = 0,

и2 (г,ф,^ )= Аи (г,ф)- А (г2и1 (г,ф ))= Аи (г,ф ’V )- {6и1 (г,ф’V )+ 4г —1 (^’фV ) + г2Аи1 (г,ф,^ )

При этом:

= Аи (г’ф)- 4ЬЪ^ _и1 (г’ф’V )] = Аи (г’ф’V )- 4Ь^ 1 _ Ам (г,ф’V )]

1 г

г2и1 (Г’ф)+и2 (Г’ф)= г2— Ь-1 [Ам (Г’ф’V )] + и (Г’ф’У )—— Ьу _Ам (г,ф’V )] = и (г,ф’V ).

Таким образом, существуют гармонические функции и1 = и1 (г’ф’V ) и и2 = и2 (г’ф’V ) такие, что для любой бигармонической функции и = и (^ф^ ) справедливо выражение:

и (г’ф^ )= г2и1 (г’ф^ )+ и2 (г’ф^ ).

Лемма доказана.

Лемма 2. Для любой бигармонической функции и = и (г’ф’У ) справедливы следующие равенства: ди (г^^)

= 0.

дп

2 ди1 (г-^ф) 1 ди2 (г,(р^)

2иЛ г,ф,щ + г ------------- + г ----------

дг дг

= (12 [М1 (Г,^,^)]+ А) [и2 (Г,^И])|^

Аи (г,^,^)[=1 = 4^32 [и1 (г,^,^)] .

Доказательство. Учитывая лемму 1, вычислим:

ди (г’ф’^ ) ди (г’ф’^ ) д( 2 . ч , чЧ

—^П------- = г—^г------ = г дг (г и (г’ф ’V )+ и2 (г’ф ’V ))=

2Щ (г’ф ’V)+ г 2 М2")+М*1>'| = 2г Ч (г’ф ’V)+ г- *1(г-”)+г Мт«').

дг дг ) дг дг

Тогда:

дг

ди (г’ф’V )

дп

= ^ 2и (г.ф .V )+г г д“2 (г’ф^ )

I дг дг

где

, ч ди, (Г’ф’V) г / \п

2и1 (г’ф^ )+ г------^--- = ¿2 _и1 (г’ф^ )],

гдM2(:;ф;V> = Ьо _», (г’ф’V )].

Аналогично вычислим:

тогда

Аи (г’ф ’V )= 6и1 (г’ф’V )+ 4г —1 (д’ф V ) = 4Ь^ _и1 (г’ф ’V )],

Ам (г,ф,у)\г=1 = 4132 [м (г,ф,у)\

Лемма доказана.

2

г

г=1

г=1

Г=1

( с12 + 4с13 с12 , -1

Теорема 1. Если матрица С2 =1 I невырожденная и если у матрицы Г = С2 С1 нет отрицатель-

I С22 + 4С23 С22,

ных собственных значений, где C. =

ci1 + ci2 + 6ci3 ci1

V c21 + c22 + 6c23 c21

то решение третьей краевой задачи с граничными усло-

виями вида (1) для бигармонического уравнения в шаре имеет вид:

u (г.ф.w )= r2u. (r.ф.w )+ u2 (r.ф.w ),

где

i Inn l

“i (r=^,^) = (l О)TlUÍ8

О О О

2nn l

“2 ( r,P,v)={О l) ттШ£

(l -g2r2 ) sin y C_l ( fl (Ф, Y)

2 f2 (Ф, *).

4^ ооо ^l-2rscosy + s2r2Y2

dsd Td Ф,

(2)

(l -g2r2 ) sin У _l Г fl (Ф, Y)

4^ 0 00 Л 2_ , „2r22 f2 (Ф, Y)

Л

dsd Td Ф.

000 ^1 - 2rscosy + s2r2 ^

Доказательство. С учетом лемм 1 и 2, поставленная задача заменяется на следующую: найти две гармонические функции и = и (г.ф ,v ) и u2 = и2 (г.ф .V ) такие, чтобы на сфере SR выполнялись условия:

сн + ci2L2 [и, (г,Ф,¥ )] + C!2Lc [и2 (г.Ф.V )] + 4cnLy [и, (г.ф .V )]|r=, = f (ф .V ),

C21 + C22L2 [и, (г.Ф .V )] + C*22L0 [u2 (г.ф .V )] + 4C23Lv [и, (г.ф .V )]|^ = f (ф .V ) .

Так как

T [ ( 4] du (г.Ф.W )

Lo [u (г.ф .w )_] =r—^—’

г ^ vi ✓ \ du (г.ф.w )

L2 [u (г.ф.W )] = 2u (r.ф.w )+ r—--------------- ,

то граничные условия (1) можно записать в виде:

/ч/ ч du. (r.ф.w ) du (г.ф .w )

(cu + c12 + 6c13)u. (г.ф.w )+ c11u2 (г.ф.w )+ (c12 + 4c13 )r-------- +c,„r--------------L

dr

dr

. \ / \ du. (г.ф .w ) du2 (г.ф .W )

(c21 + c22 + 6c23)u. (г.ф.w )+c21u2 (г.ф.w )+(c22 + 4c23)r------------------------L +c00r---------------¿

dr

В матричной форме записи получим следующее граничное условие:

dr

= / fa.W ), = /2 fa.W )

C1 ^u. (г.ф.W )' + ^ d + C2r — ^u. (г.ф.W )^ ' /1 (Ф .W )

VU2 (г.ф.W ), 2 dr VU2 (г.ф.W ) r=1 V /2 fa.W \

Полученное выражение умножим слева на C21, и с учетом введенного ранее обозначения Г = C2 'C., граничное условие примет вид:

Г

V

итак, третья краевая задача с граничными условиями вида (1) для бигармонического уравнения в шаре сведена к следующей векторной краевой задаче:

^u. (г.ф.W )' d + r — ^u. (r.ф.w )^ = c2-1 ' /I (Ф .W )

VU2 (г.ф.W ), dr VU2 (Г.Ф.W ) 2 r=1 V /2 (Ф .W \

Í

A

Ul (г.ф.W ) (г.Ф.W )

Л

VU2 (r

= О

с граничным условием

Ui (г.ф.W )' U2 (г.Ф.W )

+ r-

dr

Ul (r.Ф.W )' un (г.ф.W )

/ (ф .W )'

/2 (ф .w )

r=1

r=1

д

= c;1

Г

2

r=1

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

Имеем третью краевую задачу для уравнения Лапласа в шаре. Ее решение имеет вид:

Ui ( r,q>,y) ( r,q>,y)

V U2

■i 2^^ 1 =4rííí‘

(i -g2r2 ) sin y C_1 (/i (Ф, Y)

2 /2 (Ф, П

4^ 0 00 ||i_2rscosy + s2r2Y

Л

dsd Td Ф,

при этом

Ui (г.ф.W ) = (1 О)

: (г.ф.W ) = (О 1)

Ui (r.Ф.W )' U2 (г.ф.W )

Ui (г.Ф.У ) U2 (г.ф.W )

Теорема доказана.

(с12 + 4с13 с12 , -1

Следствие 1. Если матрица С2 =1 | невырожденная и у матрицы Г = С2 С1 нет целых отрица-

V С22 + 4С23 С22 у

тельных собственных значений, где C. =

C11 + C12 + 6C13 C11 V C21 + C22 + 6c23 C21

то решение третьей краевой задачи с граничными

условиями вида (1) для бигармонического уравнения в шаре имеет вид:

где

u (г.ф.W )= r2u. (г.ф.W )+ u2 (г.ф.W ), i (i 2** (l-s2r2)sin^ i (f (Ф,

if

\

/2 (Ф. n

4^ 0 0 ^i_2rscosy + s2r2У*

Таким образом, поставленная задача решена.

2. Третья краевая задача для неоднородного бигармонического уравнения в шаре из ЭТ3

Ч (г.ф .W )'

Найдем вектор-функцию u (г.ф.W ) =

V uJr

, являющуюся решением неоднородного бигармоническо-

го уравнения

A2u (г.ф .w )= / (г.ф .W ),

удовлетворяющим на сфере SR следующим граничным условиям:

, ч дм ( г,ф,цЛ , ч,

Ч T,9,¥j + с12 ——--------- + ci3Au ( r= ^ 'У )| r=R = 0

, s du ( r,q),y) , Ч|

((f,q},y) + c22-------------^-¿ + c23Au(r,q>,w)Ir R = °

(3)

дп

где /(г’ф’V ) - заданная на сфере 8К непрерывная функция, К - радиус сферы.

Не ограничивая общности, считаем, что К = 1.

Лемма 3. Если функция и = и (г’ф’V ) является решением уравнения

А2и (г’ф ’V )= / (г’ф ’V ), то существуют гармонические функции и1 = и1 (г’ф’V ) и и2 = и2 (г’ф’V ) такие, что:

и (г’ф’V )= г2и1 (г’ф’V )+ и2 (г’ф’V ),

где

1 2 ui (г.ф.W )= 44L3/ У (г.ф.W )], U2 (г.ф.W )= -уL^ [/(г.ф.W )].

Доказательство. Аналогично доказательству леммы 1.

T-E

u

Теорема 2. Если матрица С2 =| 12 я 13 12 | невырожденная и если у матрицы Г = С21С1 нет отрицатель-

ных собственных значений, где С1 =

С 22 + 4с2з С 22

С11 + С12 + 6С13 С11

V С21 + С22 + 6С23 С21

то решение третьей краевой задачи с граничными усло-

виями вида (3) для неоднородного бигармонического уравнения в шаре имеет вид:

где

I (г’ф’V )= г2и1 (лф^ )+ и2 (Г’ф’V ),

■1 2^^ 1

"1 (Г,Р,У) = {1 0) ТгШ£

(1 -е2г2) sin ¥ (/ (Ф, Т)

4 Ж 0 00 (Л 0,^,™„,,^2„2\/4 г /2 (ф, т)

Л

000 ^1 - 2recosy + e2r2

1 2?1 г (1 ~е2г2) sin ¥ ( /1 (Ф, Т)

(г,ф,у) = {0 1) — Г ГГ*-------------------тгЦ.

1 )У М 11 (1 -2^^ + ^)% " 1/2 (Ф,П

dsd x¥d Ф,

dsd x¥d Ф,

¡1 (г’ф’V )= 4Ь-/ \_/(Г’Ф’V )],

(4)

/2 (г’ф ’V )=- у [ I (г’ф ’V)].

Доказательство. С учетом леммы 3 и теоремы 1, поставленная задача заменяется на следующую: найти две функции и1 = и1 (Г’ф’V ) и и2 = и2 (Г’ф^ ) такие, чтобы внутри шара ВК выполнялись следующие условия:

Ам1 (Г’ф ’V )= /1 (Г’ф ’V ),

Аиг (Г’ф’V )= /, (Г’ф’V ), причем на сфере выполняется следующее граничное условие:

С1

и, (Г’ф’V )' дГ и, (Г’ф’V )

V и2 (г

+ Сг

дг

Vи2 (г

= 0

Полученное выражение умножим слева на С 21, и с учетом введенного ранее обозначения Г = С2 С, гранич-

ное условие примет вид:

М (Г’ф’V )' дГи, (Г’ф’V )

+ г-

(Г’ф’V )) дг 1 М2 (Г’ф’V )

=0

итак, третья краевая задача с граничными условиями вида (3) для неоднородного бигармонического уравнения в шаре сведена к следующей векторной краевой задаче:

А

\ (Г’ф’V ) | = [ /1 (ф’V ) '2 (Г’ф ’V )) 1/2 (ф ’V )

с граничным условием

М1 (Г’ф’V )' дГМ1 (Г’ф’V )

VМ2 (Г’'

+ Г

(Г’ф’V )) дг 1 М (Г’ф’V )

=0

Имеем третью краевую задачу для уравнения Пуассона в шаре. Ее решение имеет вид:

и (г,ф,у)Л_ 1 2ГГГет-е 0~£2г2)81ПТ ь (/ (ф>Т)

и2 (г,р,у)) 4ж\ 11 ^ _ 2гесо5у + е2г2 )32 "I/2 (ф>

СеС x¥d Ф,

при этом

М (г ’ф’V )=(1 0 )

М1 (Г’ф ’V )

М2 (Г’ф’V )

,(Г’ф’V )=(0 1)

М1 (Г’ф’V ) М2 (Г’ф’V )

Теорема доказана.

Таким образом, поставленная задача решена.

и

2

г=1

Г

г=1

Г

г=1

и