Векторные операторы для функций, гармонических в шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

izvestia

penzenskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta

imeni V. G. BELINSKOGO

physical, mathematical and technical sciences

№ 13 (17) 2009

УДК 517. 444

ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ГАРМОНИЧЕСКИХ В ШАРЕ

© Ю. А. ПАРФЁНОВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: julia5507@mail.ru

Парфёнова Ю. А. - Векторные операторы для функций, гармонических в шаре // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 28-34. - В работе вводятся оператор Lr и обратный ему Ц!, которые используются при нахождении операторов преобразования и решении конкретных краевых задач в однородных сферически симметричных областях. В данной работе предлагается операторный метод решения векторных краевых задач, в частности, найдено решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре и решение третьей краевой задачи для уравнения Пуассона в шаре.

Ключевые слова: оператор преобразования, векторные краевые задачи, гармонические функции.

Parfenova Y. А. - Vector operators for harmonic functions in ball // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 28-34. - In the investigation enters operator Lr and inverse to it operator, which are used at a finding of operators of transformation and the solution of concrete boundary value problems in homogeneous spherically symmetric areas. In the given work the operational solution method of vector boundary value problems is offered, in particular, solution of the mixed boundary value problem in ball for the Laplas equation and the mixed boundary value problem in ball for the Poisson equation are found.

Keywords: operator of transformation, vector boundary value problems, harmonic functions.

1. Пусть вектор-функция

u (xj, x2, x3) =

uj (xj, x2, x3)

un (^ X2 , X3 )

гармоническая в шаре БЯ = {(х1, х2, х3)/ х2 + х2 + х3 < Я|, где Я - радиус шара БЯ . При этом все функции иі (х1, х2, х3) - гармонические в шаре БЯ , то есть Аиі (х1, х2, х3) = 0 для всех точек с координатами (х1, х2, х3) из шара БЯ .

Определим оператор ЬГ равенством:

J Г / Ч“| г / \ ^ дu (xj, X2, X3

Lr |u (xj, x2, x3 ) I = Г u (xj, x2, x3)+ ^ xt

)

дx^

(1)

где

заданная матрица,

г=

Yj

V • nl

Y

jn

= (Y * )n>

Y nn J

f Pb, /'v v v

дu (xj, x2, x3)

Sx;

i = j, 3 .

i=1

Теорема 1. Если вектор-функция и = и (х1, х2, х3) - гармоническая в шаре БЯ, то вектор-функция

V (х1, х2, х3) = ЬГ [и (х1, х2, х3 )] также гармоническая в шаре БЯ .

Доказательство. Непосредственным вычислением найдем:

Дv (х1, х2, х3) = АЬГ [и (х1, х2, х3 )] = ЬГ [Ди (х1, х2, х3 )].

Поскольку вектор-функция и = и (х1, х2, х3) гармоническая в шаре БЯ , то Ди (х1, х2, х3 )= 0 . Тогда

Аv (х1, х2, х3) = 0 , то есть вектор-функция V = V (х1, х2, х3) является гармонической в шаре БЯ .

Теорема доказана.

Теорема 2 (см.[2]). Если вектор-функция и = и (х1, х2, х3) гармоническая в БЯ , то она представима в виде:

u(X1,X2,X3)=SPk (XJ,X2,X3),

= S Pk (^ X2 , X3 ),

k=0

где Pk (xj , x2 , x3 ) - однородные степени k гармонические многочлены; при этом ряд сходится абсолютно и равномерно внутри шара BR .

Теорема 3. Пусть для вектор-функция u = u (xj, x2, x3) дано разложение в ряд однородных векторных полиномов:

^uj (xj, x2, x3 )ч u (xj, x2, x3 )= ...

v un (XJ, X2 , x3 )j

тогда оператор LT [u (xj, x2, x3)] задается равенством:

да

LГ \_u (xj, X2 , x3 )^] = S (г + kE)Pk (X1, X2 , X3 ) ,

k=0

где E - единичная матрица порядка n .

Доказательство следует из основного свойства однородной функции [3].

Теорема 4. В сферической системе координат, определяемой равенствами:

xj = r siny cosф, 0 < ф < 2п, 0 <у < п,

< x2 = r siny sin ф, 0 < ф < 2п, 0 <у < п, x3 = r cosy, 0 <у < п. оператор L [u (xj, x2, x3 )^] имеет вид:

г / чП ^ ч дu (г,ф,у)

L^u (r ,ф ,у )] = Tu (r ,ф ,у )+ r—■ (2)

Доказательство проводится прямым вычислением выражения LT |u (xj, x2, x3.

Поставим цель определить оператор L-} , обратный к оператору Ц.. Будем различать несколько случаев. Определение 1. Число X называется собственным числом матрицы г, если det(г-XE)= 0.

Теорема 5. Если Lг^u (xj, x2, x3)] = v (xj, x2, x3) и если v (xj, x2, x3) представима в виде ряда

да

v(xj,x2,x3)=SPk (x1,x2,x3), где Pk (xj,x2,x3), v(xj,x2,x3) - вектор-функции, а матрица (г + kE) - невырож-

k=0

денная при всех значениях k є N , то

да

u (xj,x2,x3) = L-.1 |v(xj,x2,x3 )^] = ^(г + kE) Pk (xj,x2,x3) (3)

k=0

Доказательство следует из теоремы 3.

Следствие 1. Если все собственные числа матрицы Г имеют положительные действительные части, то есть Re X. > 0, i = 1,3, то

Lp [v(xj,x2,x3)] = Jєг Ev(єxj,єx2,єx3)dє ,

„ г-E где E

є г E = exp ((г - E )ln є )

Следствие 2. Если среди чисел Л1Хп есть числа с отрицательной действительной частью и если штЯеА,. = — (т +1), где m - некоторое натуральное число или нуль, то

т 1 ( т \

ц1 [V(х1,х2,хз)] = Е(Г + кЕ)-1 Р (хих2,хз)+/еГ-Е I V(х1,х2,хз)—ЕРк (х1,хг,хз)ек ре

к=0 0 V к=0 )

Лемма 1. Число значений к, при которых матрица (Г + кЕ) вырождена, равно числу целых неотрицательных собственных значений матрицы Г без учета их кратности. При этом соответствующие значения противоположны по знаку целым неотрицательным собственным значениям матрицы Г .

да

Теорема 6. Если матрица (Г + кЕ) вырождена при значениях к = —Хр , 1 < р < п , V (х1, х2, х3) = Е Рк (х1, х2, х3)

к=0

и если выполнены условия разрешимости, то есть Рм (х1, х2, х3) = 0 , I = 1, р то

да

ЦГ1 ^ (х1, х2 , хз )] = Е ' (Г + кЕ)—1 Рк (х1, х2 , хз ) ,

к=0

где знак () у суммы означает, что слагаемые с номерами к1,...,кр пропущены.

Следствие 3. Если все собственные числа матрицы Г такие, что ЯеХк > 0 для всех к , кроме к1,...,кр , при которых матрица (Г + кЕ) вырожденна, причем Ри (х1, х2, х3) = 0 , I = 1, р то

1

Ц1 [V (х1, х2, х3)] = | е Г—Ev (е х1, е х2, е х3 )ре

0

Следствие 4. Если среди чисел Хр+1,...,Хп есть числа с отрицательной действительной частью и если штЯеА,. = — (т +1), где т - некоторое натуральное число или нуль, то

т 1 Г ( т \

ЦГ [V(х1, х2, х3 )] = Е(Г + кЕ) Рк (х1,х2, х3)+ [еГ—Е I V(х1, х2,х3)- ЕРк (х1, х2, х3 )ек ре

к=0 0 V к=0 )

Введенный таким образом оператор Ц и обратный ему Ц1 будут в дальнейшем широко использоваться в работе при нахождении операторов преобразования и решении конкретных краевых задач как в однородных, так и в кусочно-однородных сферически симметричных областях.

2. Пусть гармоническая функция и = и (г,ф ) — известное решение первой краевой задачи в единичном круге (задачи Дирихле):

Дй (г,ф )= 0

с граничным условием

й (г,ф Цг=1 = 1 (ф ) .

Найдем оператор преобразования П, позволяющий, зная й = й (г,ф ), находить функцию и = и (г,ф ), гармоническую в единичном круге и являющуюся решением третьей краевой задачи:

Ди (г,ф )= 0

с граничным условием

ди (г,ф )

Ни (г,ф )+ г-

дг

= / (ф ), (4)

г=1

где Н - положительное действительное число, отличное от нуля. Решение поставленной задачи будем искать в виде:

;(г,ф )=ЕС

и (г,ф )= > С^в^

к=0

да

£

Запишем известную функцию и = й(г,ф) в виде ряда й(г,ф) = Еакгкв,кф , выберем в качестве /к (ф ) = в,кф , тогда йк (г,ф )= гкв,кф . к 0

Воспользуемся граничным условием (4), для к -того элемента оно примет вид:

дик (г,ф)

Ник (г,ф )+ г~ а дг

= /к (ф)>

г=1

кс,гкеікф + гкс, гк-1еікф І = еікф ,

к к 1г=1

кскгеікф + кскгеікф = еікф ,

с=

к + к

Тогда ик (г,ф ) =-гке‘кф и оператор П действует следующим образом:

к + к

гкеікФ П ) 1 гкеікФ

к+к

гк

кП

гк-----

к+к

Найдем интегральное выражение оператора П:

П [/ (г)] = |/(єг) F (е) dє = jєkrkF (е) dє = гк |єkF (є^є :

h + к

Задача отыскания из этого уравнения функции Р (е ) известна в литературе как проблема моментов [4]. Методом подбора найдем Р (е ) = е Н—1. Действительно,

1

І єк є к-1Сє = | єк+к-1Сє

к+к

к+к

Тогда оператор П можно записать в виде:

П[ 7 (г )] = | 7 (є г )є к-1с є 0

Найдем обратный оператор П-1:

гк

к+к

П-1 [ 1 ] = к 1 (х) + х1 /х| (х) + х2 Ґ (х) + х3 И, (х) .

Таким образом, поставленная задача решена.

В стационарном температурном поле, если на его границе коэффициент внешней теплопроводности конечен и отличен от нуля возникает третья краевая задача. В данной работе предлагается новый операторный метод решения этой задачи.

Векторна третья векторная краевая задача для уравнения Лапласа в шаре из й3 заключается в определении ^и1 (г,ф)^

, гармонической в шаре БЯ , являющейся решением уравнения лапласа

вектор-функции и (г,ф ) =

с граничным условием

Vип (г,Ф >¥ ),

Ги (г,ф,у )+ Я

Ди (г,ф,у )= 0 ди (г,ф,у )

дп

= 7 (ф ,¥ )>

(5)

где / (ф ,¥ ) - заданная на сфере непрерывная функция,

Я - радиус сферы,

Г - невырожденная квадратная матрица размерности п ,

д

----производная по нормали.

дп

то есть:

1

к

Г

1

є

0

к

г

г =Я

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

Лемма 2. Для любой сферы имеет место равенство

ди (г,ф ,у )

ди (г,ф ,у )

= г

дг

(6)

А I* г г \iV с- / I ЛИ 1 / 1 '*■' .XI

и {т,ф,у\ = —[[(г —----------- ----------------yd sd^d Ф, (7)

4ж ооо (R2 - 2Rrscosy + s2r2^

дп

где R - радиус сферы.

Доказательство. Доказательство следует из того факта, что внешняя нормаль к сфере направлена по радиус-вектору, приложенному в данную точку.

Лемма доказана.

Теорема 7. Если у матрицы Г нет отрицательных собственных значений, то решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре из Й3 имеет вид:

R 2*Д. 1 т_в (R2-s2r2) sin (ф, Т)

(R2 -2Rrscosy + s2r2)

где

cos у = siny sin T cos (ф -Ф)+ cosy cos T .

Доказательство. Введем следующее обозначение:

ди (г,ф ,у )

Ги (г ,ф ,у )+ г—^------ = v (г,ф ,У ),

то есть v(г,ф,у )= Lr [и(г,ф,у )] и по теореме 1 функция v(г,ф,у ) является гармонической в шаре BR . Кроме того, по лемме 2 v (r,^,^)| r = f (ф,щ). Таким образом, для функции v (г,ф ,у ) имеем задачу Дирихле для уравнения Лапласа в шаре:

Av (г,ф ,у )= 0

с граничным условием

v (|r=R = f (<р,у).

Решение этой задачи известно и имеет следующий вид:

R 2?«( R2 - r 2) sin Tf (Ф, Т)

v (w)=---------------------------Ч^ф, (8)

™ п п t D2 О I «2 \/2

где

cos у = siny sin T cos (ф -Ф)+ cosy cos T .

Произведем обратную замену и с учетом следствия 1 для случая, когда у матрицы Г нет отрицательных собственных значений, получим:

i

и (г,ф ,у )= LГ [v (г,ф ,у )] = J е F-Ev (е г,ф ,у )dе .

0

Тогда с учетом (8) решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре будет иметь вид:

R inn 1 (R2 _е2 r2 ) sin Т/ (Ф, Т)

'(^) =г2------------------------- /Jded™ф,

" "" (R - 2Rrs cos y + s r J

где cosy = siny sinTcos (ф -Ф)+cosy cosT .

Теорема доказана.

Следствие 5. Если у матрицы Г нет целых отрицательных собственных значений, то решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре имеет вид:

(R2 -£2r2 ) sin (Ф, Т)

\3/2

(R2 - 2Rrscos у + e2r2

Таким образом, найдено решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре из Й3. 3. Третья краевая задача для уравнения Пуассона в шаре из Й3

Найдем вектор-функцию u (г,ф ,у ) =

u (r,ф,у )

vun (г,Ф ,¥ ),

, являющуюся решением уравнения Пуассона

Au (r ,ф ,у )= f (r ,ф ,у ),

и удовлетворяющую на сфере SR граничному условию:

Гu (г,ф ,у )+ R

Du (г,ф,у )

=О,

(9)

дп

где / (г,ф ) - заданная в шаре ВЯ непрерывная функция,

Я - радиус сферы,

Г - невырожденная квадратная матрица размерности п , д

----производная по нормали.

дп

Лемма 3. Если функция и = и (г,ф) непрерывно дифференцируема в шаре ВЯ вплоть до его границы и

все собственные числа матрицы Г положительны, то справедливо равенство:

1

и = | е Г—Еу (е г,ф )ё е = Ц1 [у (г,ф )],

0

где V = V (г,ф) - некоторая гармоническая функция.

Доказательство. Непосредственным вычислением найдем:

ди (е г ,ф )

(є гu (єг,ф,у )) =Гє г Eu (єг,ф,у )+єг

Зє

= Гє г Eu (єг,ф,у )+ єгr

Du (єг,ф,у )

є -Зг

= є

Гu (є г,ф ,у )+ r

Du (єг,ф,у )

V

= єГ-EЦГ (u(єr,ф,у ))= єг-^(єг,ф,у ).

Зг

Тогда

' 1 ^sTEv{er,q>,y}ds = j(sru(er,q>,y^ de=eYu= u .

Лемма доказана.

Следствие 6. Определенные ранее операторы Ц и £Г1 являются взаимообратными в классе непрерывно дифференцируемых функций.

Теорема 8. Если у матрицы Г нет отрицательных собственных значений, то решение третьей краевой задачи для уравнения Пуассона в шаре имеет вид:

u (r

1 R 1 Гр (д2 - є2r2 )sin Т^ [ f (R, Ф, Т)]

(г,ф ,^ )=j ТТ jjj є

4п

О ™ ООО

(R2 - 2Rге cosy + е2г2 у2 где cosy = siny sinTcos(ф -Ф)+ cosy cosT,

f (г,ф ,y ) - непрерывно дифференцируемая в шаре вплоть до его границы функция.

Доказательство. Введем следующее обозначение:

ди (г,ф ,у )

Ги (г,ф,у )+ г---^д---- = v(г,ф,у ),

dє dТd ФdЯ,

v(г,Ф,v )= L [u (г,Ф,¥ )]

и по лемме З имеем:

и (г,ф,у )= Ц1 [и (г,ф )].

Учитывая, что функция и = и (г,ф) является решением задачи Пуассона Ди (г,ф) = /(г,ф), вычислим:

Av(г,ф,у )= Lг [Au(г,ф,у )] = Lг [f (г,ф,v )].

то есть

зз

Таким образом, рассматриваемая задача для уравнения Пуассона в шаре примет вид:

Av (г,ф ,у )= Lr[ f (г,ф ,у )]

с граничным условием

v (r,^)| r=* = 0.

Решение этой задачи известно из [1] и имеет вид:

ч г R 2Гг(R2 -r2)sin^гГf (R,Ф,^)]

У—г------------- 2^ , («»

о оо (R - 2Rr cos y + sr j

где

cosY = siny sinTcos (ф -Ф)+ cosy cosT .

Произведем обратную замену и с учетом следствия 1 для случая, когда у матрицы Г нет отрицательных собственных значений, получим:

> R 2™ > (R2 - r2) sin Т!гГ f (R, Ф, T)1

u (r,v,v) = \ —d sd W ®dR

о ooo (R - 2Rr cos y + r )/2

Теорема доказана.

Таким образом, найдено решение третьей краевой задачи для уравнения Пуассона в шаре из Й3.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

2. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М, 1952.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. М.: Наука, 1970.

4. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: ГИФМЛ, 1961. 321 с.

з4